Knobelei des Studienjahres 2012/13

Summe und Produkt
Gesucht sind zwei unbekannte natürliche Zahlen, die beide größer als 1 sind. Paul erfährt das
Produkt dieser beiden Zahlen und Susi ihre Summe (die Namen wurden so gewählt, damit
sich alle Deutschlehrer, für die die Knobelei zu schwierig ist und die deshalb die Lösung nicht
finden können, wenigstens über die beiden Alliterationen freuen können ) . Dieser Sachverhalt ist beiden bekannt, und es kommt zu folgendem Dialog zwischen Paul und Susi:
Paul: „Ich kenne die beiden Zahlen nicht.“
Susi: „Ich weiß, dass Du sie nicht kennst.“
Paul: „Jetzt kenne ich sie doch!“
Susi: „Jetzt kenne ich sie auch!“
(P1)
(S1)
(P2)
(S2)
Welche beiden Zahlen sind gesucht?
Lösung
Auch wenn es völlig unmöglich erscheint: die Aufgabe ist tatsächlich lösbar!
1.) Aus (P1) ergibt sich, dass nicht beide Zahlen Primzahlen sein können. In diesem Fall
wäre das Produkt nämlich nur auf eine Weise als Produkt zweier natürlicher Zahlen,
die beide größer als 1 sind, darstellbar, und Paul wüsste sofort, welche Zahlen gesucht
werden (wenn das Produkt der beiden Zahlen z.B. 15 wäre, können die beiden Zahlen
nur 3 und 5 sein, weil man 15 nur so als Produkt mit Faktoren der obigen Art
darstellen kann).
2.) Aus 1.) und S1 ergibt sich, dass die Summe der beiden Zahlen nicht als Summe zweier
Primzahlen darstellbar sein kann (wenn die Summe der beiden Zahlen z.B. 10 wäre,
könnte Susi nicht wissen, ob Paul die beiden Zahlen kennt, denn wegen 3+7=10
könnten die beiden Zahlen ja 3 und 7 sein; dann wäre das Produkt 21 und Paul wüsste
sofort Bescheid, da die einzig mögliche Produktdarstellung von 21 eben 3*7 ist).
Ein berühmtes Problem in der Mathematik ist die Starke Goldbachsche Vermutung;
sie lautet: Jede gerade Zahl größer als 2 ist die Summe von zwei Primzahlen.
Diese Vermutung ist zwar (Stand November 2011) nur für alle Zahlen bis 2,6*1018
bewiesen, aber das sollte für eine Knobelei als Beweis genügen.
Die Summe der beiden Zahlen muss also ungerade sein, d.h. eine der beiden Zahlen ist
gerade und die andere ungerade. Aber auch manche ungeraden Zahlen kommen nicht
als Summe in Frage (z.B. kann die Summe der beiden Zahlen nicht 19 sein, da sich 19
als Summe zweier Primzahlen darstellen lässt, nämlich 2+17=19). Genauer gilt: wenn
sich eine ungerade Zahl als Summe zweier Primzahlen schreiben lässt, muss der eine
Summand die Primzahl 2 sein, denn alle anderen Primzahlen sind ungerade und die
Summe von zwei ungeraden Zahlen ist gerade. Zulässige Summen (nach S1) sind also
alle ungeraden Zahlen, die nicht die Summe einer Primzahl und 2 sind, die also nicht
um genau 2 größer sind als eine Primzahl. Unter 100 z.B. sind dies die Zahlen
11 17 23 27 29 35 37 41 47 51 53 57 59 65 67 71 77 79 83 87 89 93 95 97 .
3.) Von den Produkten, die nach 1.) zulässig sind (für die also P1 zutrifft), sind nach P2
nur diejenigen zulässig, die sich auf genau eine Weise als Produkt zweier Faktoren
schreiben lassen, deren Summe zulässig nach 2.) ist (beispielsweise ist das Produkt 30
nicht zulässig: wegen 2*15=30, 3*10=30 und 5*6=30 gibt es drei verschiedene
Produktdarstellungen, so dass P1 erfüllt ist. Die entsprechenden Summen sind
2+15=17, 3+10=13 und 5+6=11. Wegen S1 scheidet nur die Möglichkeit 3/10 aus,
da 13 keine zulässige Summe nach 2.) ist; die Faktorisierungen 2*15 und 5*6 bleiben
aber beide zulässig, da die Summen 17 und 11 zulässig sind, so dass Paul auch nach
(S1) nicht weiß, welche beiden Zahlen gesucht sind. (P2) gilt also nicht).
4.) Schließlich sind nach (S2) nur solche Summen zulässig, die auf genau eine Weise als
eine Summe geschrieben werden können, deren beide Summanden ein Produkt haben,
das zulässig ist gemäß 3.)
Überprüft man dies für alle möglichen Zahlenpaare, findet man die Zahlen 4 und 13 als
Lösung der Aufgabe, denn:
(P1)
4*13=52, und wegen 2*26=52 kann Paul aus der Kenntnis des Produktwertes nicht auf die
beiden Faktoren schließen. (P1) ist also erfüllt.
(S1)
4+13=17, und 17 kann man auf 7 verschiedene Weisen als Summe darstellen:
2+15, 3+14, 4+13, 5+12, 6+11, 7+10 und 8+9.
Keines dieser Zahlenpaare führt zu einem Produkt mit eindeutiger Faktorisierung:
Produkt
30
42
52
60
66
70
72
Faktorisierung mit
Faktorsumme 17
2*15
3*14
4*13
5*12
6*11
7*10
8*9
Andere Faktorisierungen
3*10, 5*6
2*21, 6*7
2*26
2*30, 3*20, 4*15, 6*10
2*33, 3*22
2*35, 5*14
2*36, 3*24, 4*18, 6*12
Susi weiß also tatsächlich, dass Paul die beiden Zahlen nicht kennen kann, da er in allen
möglichen Fällen verschiedenen Alternativen hat; S1 ist also ebenfalls erfüllt.
(P2)
Das Produkt 52 kann nur auf zwei Weisen als Produkt natürlicher Zahlen >1 dargestellt
werden: 4*13=52 und 2*26=52. Wären 2 und 26 die beiden gesuchten Zahlen, so wäre die
Summe 28, und diese Summe könnte man auch als Summe zweier Primzahlen ausdrücken
(5+23=28 oder auch 11+17=28). In diesem Fall könnte Susi also nicht wissen, dass Paul die
beiden Zahlen nicht kennen kann. Wenn Paul also von Susi erfährt, dass sie dies doch weiß
(dass also (S1) gilt), weiß er, dass die beiden gesuchten Zahlen nicht 2 und 26 sein können.
Damit bleiben für ihn nur noch 4 und 13 übrig, er kennt die beiden Zahlen also, d.h. (P2) ist
erfüllt.
(S2)
Damit Susi durch (P2) die Zahlen bestimmen kann, muss von allen möglichen Zerlegungen
der genannten Summe 17 in zwei Summanden genau eine die Eigenschaft haben, dass das
zugehörige Produkt auf genau eine Weise als Produkt geschrieben werden kann, die eine
zulässige Summe wie in 2.) haben. Dies ist der Fall:
Produkt
30
42
52
60
66
70
72
Faktorisierung mit Faktorsumme 17
oder anderen zulässigen Summen
2*15, 5*6
3*14, 2*21
4*13
5*12, 3*20
6*11, 2*33
7*10, 2*35
8*9, 3*24
Andere Faktorisierungen mit unzulässiger
Summe
3*10
6*7
2*26
2*30, 4*15, 6*10
3*22
5*14
2*36, 4*18, 6*12
Durch diese Tabelle kann Susi also erkennen, dass die beiden gesuchten Zahlen 4 und 13 sein
müssen, da dies bei bekannter Summe 17 die einzige Möglichkeit ist, die zu einem Produkt
führt, das auf genau eine Weise als Produkt zweier Faktoren mit zulässiger Summe dargestellt
werden kann. (S2) ist also ebenfalls erfüllt.
Bemerkung
Die Aufgabe ließe sich übrigens noch um die Aussage (P1) verkürzen, da sich (P1)
unmittelbar aus (S1) ergibt. Man könnte sie also auch so formulieren:
Susi: „Ich weiß, dass Du die Zahlen nicht kennst.“
Paul: „Stimmt, aber jetzt kenne ich sie doch!“
Susi: „Jetzt kenne ich sie auch!“
(S1)
(P)
(S2)