Ubung 9 - (IGPM) | RWTH Aachen

Rheinisch-Westfälische Technische Hochschule Aachen
Institut für Geometrie und Praktische Mathematik
Numerische Analysis 4 — WS 2009/2010
Prof. Dr. Wolfgang Dahmen — Mathieu Bachmann — Gerrit Welper
Übung 9
Abgabe: bis Do. 1.7.10, 15:30 Uhr im Einwurfkasten (vor Raum 149)
Aufgabe 32: (Nodale Basis)
Zeigen Sie Aufgabe 9.1.1 im Skript.
Punkte: 2
Aufgabe 33: (Lagrange-Elemente)
Gegeben sei der Finite Elemente Raum Vh = (Th , Fh , Pk ), wobei Th eine Konforme Triangulierung
von Ω ist. Weiterhin ist Fh eine Familie von affin linearen Abbildungen FT : 4 → T für T ∈ Th ,
wobei 4 ein Referenzsimplex ist.
Das Hauptgitter k-ter Stufe Hk (T ) mit k ≥ 1 im Simplex T mit den Ecken vi , i = 1, . . . , n ist
( n
)
n
X
X
Hk (T ) =
λi vi λi ∈ {0, 1/k, 2/k, . . . , 1},
λi = 1 .
i=1
i=1
Zu diesen Knoten existiert eine Lagrange-Basis für Pk (siehe Aufgabe 10 für den 2d Fall).
a) Zeigen Sie, dass die Funktionale
µ̂η (P̂ ) = P̂ (η),
η ∈ Hk
auf Pk total sind.
b) Sei
M = u ∈ H 1 (Ω) u|T ◦ FT ∈ Pk for all T ∈ Th .
Für gegebene uη,T mit η ∈ Hk (4) und T ∈ Th betrachten wir die Interpolationsaufgabe: finde
ein u ∈ M mit (u◦FT )(η) = uη,T . Zeigen Sie, dass dieses Interpolationsproblem eindeutig lösbar
ist.
Punkte: 1+4
Aufgabe 34: (Affine Transformation)
Sei T eine lokal quasi-uniforme Triangulierung, d.h. es existiert eine Konstante κ > 0, so dass für alle
T ∈ T
hT
ρT ≥
κ
gilt, wobei ρT der Durchmesser eines Inkreises von T ist. Mit T̂ bezeichnen wir ein Referenzdreieck
im R2 , z.B. durch die Punkte (0, 0), (1, 0) und (0, 1) gegeben. Sei FT : T̂ → T eine bijektive affine
Abbildung, gegeben durch x̂ → BT x̂ + x0 mit BT ∈ R2×2 und x0 ∈ R2 .
a) Zeige, dass dann
kBT k ≤
hT
ρT̂
und
kBT−1 k ≤
hT̂
ρT
gilt.
b) Zeige, dass
|det BT | ≤ Ch2T
gilt.
Punkte: 3+2
Aufgabe 35: (Diskrete L2 -Norm)
Gegeben sei der Finite Elemente Raum Vh = (Th , Fh , Pk ) aus Aufgabe 33 mit einer quasi-uniformen
Triangulierung in 2d. Die Knoten FT (η) für η ∈ H k (4) und T ∈ Th aus Aufgabe 33 werden mit
ηi , i = 1, . . . , N bezeichnet. Beweisen Sie, dass es von h unabhängige Konstanten c > 0 und C > 0
gibt, so dass gilt:
ckvk20,Ω
2
≤h
N
X
|v(ηi )|2 ≤ Ckvk20,Ω
für alle v ∈ M.
i=1
Punkte: 5