Inhaltsangabe als PDF - Universität Paderborn

Grundlagen der Geometrie
3h Vorlesung im SS 2013, Universität Paderborn, Prof. Dr. P. Bürgisser
Kap. 1 Affine Geometrie
1.0 Einleitende Vorbemerkungen
1.1 Wiederholung: Vektorräume
1.2 Affine Räume: Richtungsräume, Translationen, affine Teilräume, affine
Unabhängigkeit, Parallelität.
1.3 Affine Abbildungen I: Schwerpunkte von gewichteten Systemen.
1.4 Theoreme für die affine Ebene: Parallelprojektion, Strahlensatz, Satz
von Pappus.
1.5 Affine Abbildungen II: affine Rahmen, affine Gruppe GA(E), Homomorphismus GA(E) → GL(E), Proposition über Eindeutigkeit von
Fixpunkten, Theorem über die eindeutige Zerlegung von affinen Transformationen in eine Translation und eine affine Transformation, die
einen Fixpunkt hat.
Kap. 2 Euklidische Geometrie
2.1 Euklidische Vektorräume: Skalarprodukt, Norm, Cauchy-Schwarz Ungleichung, Dreiecksungleichung, Orthogonalität, Spiegelung sH an Hyperebene H.
2.2 Orthonormale Basen: paarweise orthogonale Vektoren sind linear unabhängig, Orthogonalisierung (Gram-Schmidt), orthogonales Komplement.
2.3 Lineare Isometrien: Erhaltung der Norm impliziert Erhaltung des Skalarprodukte, orthogonale Gruppe O(E), Satz über Zerlegung von Isometrien als Komposition von Spiegelungen.
2.4 Erinnerung an die Determinante: Eigenschaften, Determinante eines
linearen Endomorphismus, Gruppe SO(E), AT A = In charakterisiert
Isometrie der durch A vermittelten linearen Abbildung.
2.5 Drehungen in der Ebene, Winkel: Erinnerung an komplexe Zahlen,
Erinnerung an Analysis (cis : R → U, θ 7→ cos θ + i sin θ), Beschreibung
von SO(2) mittels Drehmatrizen, Definition des Winkels zwischen zwei
Strahlen.
2.6 Die Gruppe O(2): Zusammensetzung zweier Spiegelungen, Beschreibung von O(2).
2.7 Affine Isometrien: euklidische affine Räume, affine Isometrien, Gruppe
Isom(E), Untergruppe Isom+ (E). Satz: Zerlegung einer affinen Isometrie in Produkt von Spiegelungen an affinen Hyperebenen. Satz: Eindeutige Zerlegung einer affinen Isometrie in Translation und Isometrie,
welche einen Fixpunkt hat.
2.8 Affine Isometrien der euklidischen Ebene: Drehungen, Gleitspiegelungen, Charakterisierung von Isom+ (E) und Isom− (E). Konkrete Multiplikation in Isom(E).
2.9 Die Gruppe O(3): Drehungen and Geraden, Charakterisierung von
SO(E), Spur einer Matrix, Berechnung des Drehwinkels, Existenz invarianter Geraden, Antirotationen, Charakterisierung von O(E)\SO(E).
2.10 Affine Isometrien des 3-dimensionalen euklidischen Raumes: Antirotationen und Schraubungen, Beschreibung von Isom(E).