Lemma 10. Die Menge Afi (K n) aller Affinitäten von Kn ist eine

Lemma 10. Die Menge Aff (Kn ) aller Affinitäten von Kn ist eine Gruppe
bezüglich der Verkettung.
Beweis. (vgl. Lemma 39 LAAG I sowie Noch ein Beispiel“ aus
”
Vorl. 1, Seite 10)
Zuerst zeigen wir, dass jede Affinität bijektiv ist. Nach Lemma 13 LAAG I
genügt es zu zeigen, dass es zu jeder Affinität F (x) = Ax + b eine inverse
Abbildung gibt. Wir konstruieren die inverse Abbildung: Wir setzen
G (x) = A−1 x − A−1 b. Dann gilt:
G ◦ F (x) = A−1 (Ax + b) − A−1 b = A−1 Ax + A−1 b − A−1 b = x.
F ◦ G (x) = A(A−1 x − A−1 b) + b = AA−1 x − AA−1 b + b = x. Also ist
jede Affinität bijektiv.
Ausserdem sehen wir, dass die Umkerabbildung G auch eine Affinität ist.
Wir betrachten die Menge SKn := {aller Bijektionen g : Kn → Kn }.
Nach Wicht. Bsp. aus Vorl. 1 (Seite 15) ist (SKn , ◦) eine Gruppe (wobei
◦“ die Verkettung ist). Wie oben gezeigt gilt Aff (Kn ) ⊆ SKn . Nach Satz
”
2 genügt es zu zeigen, dass Aff (Kn ) eine Untergruppe ist, also dass
(i) ∀F ∈ Aff (Kn ) gilt: F −1 ∈ Aff (Kn ) – Das haben wir bereits oben
gezeigt.
(ii) ∀F , G ∈ Aff (Kn ) gilt: F ◦ G ∈ Aff (Kn ).
Sei A, B ∈ GLn (K) und a, b ∈ Kn . Dann gilt für F (x) = Ax + a und
G (x) = Bx + b:
F ◦ G (x) = F (G (x)) = A(Bx + b) + a = |{z}
AB x + Ab + a ∈ Aff (Kn )
| {z }
∈GLn (K)
wie behauptet.
Nebenergebnis. Jede Affinität ist eine Bijektion.
∈Kn
Punkte in der allgemeinen Lage – affines Analogon der
linearen Unabhängigkeit
Def. Die Punkte a0 , ..., ak ∈ Kn bzw. die endliche (k+1-elementige)
Menge {a0 , ..., ak } ⊆ Kn heißt in der allgemeinen Lage, wenn die affine
Hülle Aff (a0 , ..., ak ) k−dimensional ist.
Bemerkung: Da der Vektorraum zu Aff
(a0 , ..., ak ) gleich
span (a1 − a0 ), (a2 − a0 ), ..., (a3 − a0 ) ist, sind die Punkte
a0 , ..., ak ∈ Kn genau dann in der allgemeinen Lage, wenn die Vektoren
(a1 − a0 ), (a2 − a0 ), ..., (a3 − a0 ) linear unabhängig sind.
Diese drei Punkte
sind NICHT in
der allg. Lage
Diese drei Punkte
sind in
der allg. Lage
Def. Fortsetzung Eine (n + 1)−elementige Menge in der allgemeinen
Lage heißt eine affine Basis.
Lemma 11. Seien Kn , Km zwei affine Räume der Dimensionen n und m.
Die Punkte a0 , ..., an ∈ Kn seien eine affine Basis in Kn . b0 , ..., bn ∈ Km
seien beliebige Punkte.
Dann existiert genau eine affine Abbildung F : Kn → Km s.d. F (ai ) = bi .
Ferner gilt: Ist m = n und b0 , ..., bn eine affine Basis, so ist diese
Abbildung eine Affinität.
Anwendung in D2: Seien (A, B, C ) die Ecken eines nichtausgearteten
Dreiecks in der Ebene R2 . Dann gilt für beliebige Punkte A′ , B ′ , C ′ der
Ebene: Es gibt genau eine affine Abbildung, mit A 7→ A′ , B 7→ B ′ ,
C 7→ C ′ . Ferner gilt: Sind die Punkte A′ , B ′ , C ′ auch die Ecken eines
nichtausgearteten Dreiecks, so ist die Abbildung eine Affinität:
B
Es gibt (genau eine) Affinität,
die A-->A’, B-->B’, C-->C’
A
C
C’
B’
A’
Analogon in Linearer Algebra – Lemma 15 Vorl. 9 LAAG I (V , +, ·)
sei ein n−dimensionaler Vektorraum; (U, +, ·) sei ein Vektorraum
beliebiger Dimension. (v1 , ..., vn ) sei ein Basis-Tupel in V und
(u1 , ..., un ) sei ein n−Tupel der Vektoren aus U. Dann gilt: Es existiert
genau eine lineare Abbildung f : V → U so dass f (vi ) = ui für alle
i = 1, ..., n. Ist (u1 , ..., un ) auch eine Basis, so ist die Abbildugn ein
Beweis von Lemma 11. Nach Definition ist das Tupel
(a1 − a0 , a2 − a0 , a3 − a0 , ..., an − a0 ) eine Basis in Kn , weil es aus n
linear unabhängigen Vektoren besteht. Wir betrachten das Tupel
(b1 − b0 , b2 − b0 , b3 − b0 , ..., bn − b0 ) (von Vektoren in Km ). Nach eben
wiederholtem Lemma 15 aus LAAG I gibt es (genau eine) lineare
Abbildung f , so dass f (ai − a0 ) = f (bi − b0 ). Wir betrachten die affine
Abbildung
F : Kn → Km , F (x) := b0 + f (x − a0 ) = b0 − f (a0 ) + f (x) .
Wir zeigen, dass F die gewünschte Eigenschaft F (ai ) = bi hat: Wir
rechnen es aus: Für i = 0 ist F (a0 ) = b0 + f (a0 − a0 ) = b0 + f (~0) = b0 .
Für i = 1, ..., n gilt:
F (ai ) = b0 + f (ai − a0 )
Konstr. von f
=
b0 + bi − b0 = bi .
Ferner gilt: Ist (b0 , ..., bn ) eine affine Basis, also sind b1 − b0 , ..., bn − b0
linear unabhängig, so ist f nach Lemma 15 LAAG I ein Isomorphismus;
folglich ist F eine Affinität. Existenz von F (und die Zusatzaussage) ist
damit (konstruktiv) bewiesen; wir müssen jetzt die Eindeutigkeit zeigen.
Eindeutigkeit von F mit F (ai ) = bi
Seien F , F ′ : Kn → Km affine Abbildungen mit der Eigenschaft
F (ai ) = F ′ (ai ) = bi .
Die Abbildungen F und F ′ seien wie folgt gegeben: F (x) = c + f (x) und
F ′ (x) = c ′ + f ′ (x) wobei c, c ′ ∈ Km . Wir haben:
Linearität
bi − b0 = F (ai ) − F (a0 ) = c + f (ai ) − c − f (ai )
=
f (ai − a0 ).
′
Analog gilt: bi − b0 = f (ai − a0 ). Nach Lemma 15 LAAG I ist dann
f′ ≡f.
Dann gilt: b0 = c + f (a0 ) und b0 = c ′ + f (a0 ); wir ziehen eine Gleichung
von der Anderen ab und bekommen: c − c ′ = ~0. Daraus folgt
F ′ (x) = F (x) wie wir es wollen.
Affine Eigenschaften (K = R, falls nicht explizit erwähnt.)
Def. Sei M eine Teilmenge eines affinen Raums Kn . Eine Eigenschaft
der Menge M heißt affin, wenn für jede Affinität F : Kn → Kn die
Bildmenge {F (a)wobei a ∈ M} auch diese Eigenschaft hat.
Bezeichnung – Wiederholung Die Bildmenge einer Menge M unter
der Abbildung F werden wir mit BildF (M) := {F (a) wobei a ∈ M}
bezeichnen.
Bsp. Eigenschaft Unterraum zu sein“ ist eine affine Eigenschaft.
”
Tatsächlich: Man betrachte einen affinen Unterraum
U = {a0 + v | v ∈ VU } ⊆ Kn . Ist F ein Affinität, so ist F (x) = Ax + b
für ein A ∈ GLn (Kn ) und b ∈ Kn . Dann gilt:
BildF (U) := {A(a0 + v ) + b | v ∈ VU } = {Aa0 + b + Av | v ∈ VU } =
| {z }
a′
{a′ + u | u ∈ BildA (VU )}. Da, nach Satz 12(i) LAAG I, BildA (VU ) ein
Untervektorraum von Kn ist, ist BildF (U) ein affiner Unterraum. Wir
bemerken, dass dim(BildA (VU )) (und deswegen auch dim(BildF (U)))
gleich dim(U), weil A ∈ GLn (K) ist.
Bsp. Eigenschaften Gerade , Ebene, oder Hyperebene zu sein“
”
sind affine Eigenschaften. Tatsächlich ist nach Definition
Gerade
Unterraum der Dimension 1
Ebene
Unterraum der Dimension 2
Hyperebene Unterraum der Dimension n − 1
Da die Isomorphismen die Dimension des Untervektorraums
erhalten, ist Bild einer Geraden, Ebene oder Hyperebene jeweils
eine Gerade, Ebene oder Hyperebene.
Bsp. Eigenschaft aus 3 Punkten zu bestehen ist eine affine
Eigenschaft.
Def. Seien a0 , a1 ∈ Rn . Die Strecke mit Endpunkten a0 , a1 ist die
Menge {a0 + λ(a1 − a0 ) wobei 0 ≤ λ ≤ 1 }. (ist sinnvoll nur
wenn K = R ist)
a1
a0
Bsp. Eigenschaft eine Strecke zu sein ist auch eine affine
Eigenschaft.
Tatsächlich: Für jeden Punkt einer Strecke
{a0 + λ(a1 − a0 ) wobei 0 ≤ λ ≤ 1 } gilt
Def.
λf (a1 − a0 )
F (a0 + λ(a1 − a0 )) = F (a0 ) +
{z
}
|
.
λ(F (a1 ) − F (a0 )) nach Def.
Dann ist die Bildmenge
{F (a0 ) + λ(F (a1 ) − F (a0 )) wobei 0 ≤ λ ≤ 1 } auch eine Strecke.
Def.
Sei (a, b, c) ein Tripel von Punkten in Kn .
1. Die Punkte a, b, c heißen kollinear,
liegen.
falls sie auf einer Geraden
2. Ist (a, b, c) ein kollineares Punktetripel und a 6= b, so heißt der
durch die Gleichung c − a = λ(b − a) eindeutig bestimmte Skalar λ
das Teilverhältnis des kollinearen Punktetripels (a, b, c), bezeichnet
durch TV (a, b, c).
Bsp. c heißt der Mittelpunkt der Strecke (a, b), wenn TV (a, b, c) =
gilt (hat Sinn falls 12 = 2−1 wohldefiniert ist, also falls 1 + 1 6= 0 ist.)
Das ist äquivalent zu c = a + 12 (b − a).
c
TV(a,b,c)=1/2
a
b
b
c
a
TV(a,b,c)=-1
1
2
0
3
1
Bsp. In R2 sind a =
, b=
und c =
kollinear. Wegen
1
1
1
3
1
gilt TV (a, b, c) = 13 .
c −a=
= 31 (b − a) = 13
0
0
c=(1,1)
a=(0,1)
b=(3,1)
Geometr. Bedeutung: Wir betrachten
den affinen Raum R2 . Dann gilt:
TV(a,b,c)=-2
|TV (a, b, c)| =
Länge(a, c)
.
Länge(a, b)
Vorzeichen von TV (a, b, c) ist +“, wenn c und b von einer Seite von a
”
liegen, und −“, wenn a zwichen b und c liegt.
”
Ferner gilt: Liegt c auf der Strecke a, b, so ist 0 ≤ TV (a, b, c) ≤ 1.
Liegt a auf der Strecke b, c, so ist TV (a, b, c) ≤ 0. Liegt b auf der
Strecke a, c, so ist TV (a, b, c) ≥ 1.
Mnemonische Regel/alte Bezeichnung für TV (a, b, c)
b
Früher hat man TV (a, b, c) wie folgt
→
−
−
→
ab ist der Vektor s.d.
ac
bezeichnet: →
− . Wir wollen hier ab als
a + ab = b;
ab
a
→ als c −a verstehen, siehe
also ist ab=b-a
b −a und −
ac
0
das Bild:
→
−
ac
c−a
Die Formel →
hat nur dann Sinn, wenn c − a und b − a
− = b−a
ab
proportional sind, also wenn a, b, c auf einer Gerade liegen (also, kollinear
sind), und b 6= a ist.
Das Teilverhältnis ist eine affine Eigenschaft.
Lemma 12. Sind (a, b, c) kollinear und F eine Affinität, so sind auch
(F (a), F (b), F (c)) kollinear; ferner gilt:
TV (a, b, c) = TV (F (a), F (b), F (c)).
Beweis. Liegen a, b, c auf einer Geraden G , so liegen F (a), F (b), F (c)
auf der Bildmenge BildF (G). Da BildF (G) wieder eine Gerade ist, sind
F (a), F (b), F (c) kollinear.
Nach Definition ist
c − a = TV (a, b, c)(b − a).
Nach Definition ist F (c) − F (a) = f (c − a) und
F (b) − F (a) = f (b − a). Also,
F (c) − F (a) = TV (a, b, c)(F (b) − F (a)),
also TV (F (a), F (b), F (c)) = TV (a, b, c)
Folgerung:
Punkt c ist der Mittelpunkt
der Strecke (a, b)
Punkt c teilt die Strecke (a, b)
im Verhältnis 2 : 1
affine Eigenschaft
affine Eigenschaft
Flächeninhalt einer Menge
Flächeninhalt der zweiten Menge
ist eine affine Eigenschaft
(K = R)
In der Vorl. 12 LAAG I, Seiten 47–52 haben wir verstanden, dass eine
lineare Abbildung fA : R2 → R2 (wobei R2 mit der üblichen
Schulgeometrischen“ Ebene identifiziert ist) den Flächeninhalt einer
”
jeden Figur mit dem Faktor det(A) multipliziert.
Wir wissen, dass jede Affinität von R2 die Form F (x) = F (a) + fA (x − a)
hat. Da die Translation (Parallelverschiebung) offensichtlich den
Flächeninhalt erhält, multipliziert die affine Abbildung den Flächeninhalt
einer jeden Figur mit dem Faktor det(A).
Flächeninhalt einer Menge
Deswegen erhalten die Affinitäten von R2 Flächeninhalt
der zweiten Menge .
Selbstverständlich ist das Phänomen mehrdimensional : In Dim(3) und in
Dim(n) ist Volum(BildF (Menge)) = det(f )(Volum(Menge)) und
deswegen
det(f ) · Volum(Menge1 )
Volum(Menge1 )
Volum(BildF (Menge1 ))
=
=
Volum(BildF (Menge2 ))
det(f ) · Volum(Menge2 )
Volum(Menge2 )
Wiederholung Eine Eigenschaft einer Teilmenge M ⊆ Rn heißt affin,
wenn für jede Affinität F : Rn → Rn die Bildmenge
{F (a) wobei a ∈ M} auch diese Eigenschaft hat.
Punkt zu sein
Gerade (zu sein)
Strecke
Dreieck
parallele Gerade
Winkel (in D2 oder D3) zwischen zwei
Geraden ist 90◦
Länge einer Strecke (in D2 oder D3) ist gleich 5
Punkt c ist die Mittelpunkt
der Stecke (a, b)
Punkt c teilt die Stecke (a, b)
in Verhältnis 2 : 1
Flächeninhalt (in D2 oder Volumen in D3)
Flächeninhalt einer Menge
Flächeninhalt der zweiten Menge = 5
affin
affin
affin
affin
affin
nicht affin
nicht affin
affin
affin
nicht affin
affin
Anwendung in der (Schul)geometrie
Wir sagen, dass eine geometrische Aufgabe affin ist, falls nur affine
Eigenschaften gegeben sind.
Um eine affine Aufgabe zu lösen, können Sie zuerst eine passende
Affinität anwenden. Wenn Sie dies klug genug tun, vereinfacht dies die
Aufgabe.
BspAufgabe. Beweisen Sie, dass sich die Seitenhalbierenden eines
Dreiecks
(a) in einem Punkt schneiden
(b), dass der Schnittpunkt sie im Verhältnis 2 : 1 teilt,
(c), dass die 6 Dreiecke, in die die Seitenhalbierenden das Dreieck teilen,
gleichen Flächeninhalt haben.
Bemerkung Hausaufgabe 4 ist die Verallgemeinerung von (a) und (c)
für 3-dim Fall.
c
b’
a
a’
c’
b
Man betrachte eine Affinität, die die Ecken des Dreiecks ABC in die
Ecken eines regelmäßigen Dreiecks überführt. (Existiert nach Lemma
11, weil A, B, C und A′ , B ′ , C ′ affine Basen in R2 sind.) Die Abbildung
führt die Seiten in Seiten über. Die Abbildung führt die Mittelpunkte
der Seiten in die Mittelpunkte der Seiten über. Die Abbildung führt die
Seitenhalbierenden in die Seitenhalbierenden über. Da sich in dem
regelmäßigen Dreieck, die Seitenhalbierenden in einem Punkt schneiden,
schneiden sich die Seitenhalbierenden des ursprünglichen Dreiecks auch in
einem Punkt. (a) ist bewiesen.
F(c)
F(b’)
c
b’
F
a’
m’
m
a
c’
b
F(a’)
F(a)
F(c’)
F(b)
F(c)
F(b’)
c
b’
F
a’
m’
m
a
c’
b
F(a’)
F(a)
F(b)
F(c’)
Da in einem regelmäßigen Dreieck alle 6 Dreiecke, in die die
TV(a,b,c)=-2
Seitenhalbierenden das Dreieck teilen, gleich sind, sind ihre
Flächeninhalte auch gleich, also
Flächeninhalt eines kleinen Dreieck
= 1.
Flächeninhalt eines anderen kleinen Dreiecks
(∗)
Da dies eine affine Eigenschaft ist, gilt (∗) auch für das ursprüngliche
Dreieck. (c) ist bewiesen.
Man betrachte ein “kleines” Dreieck.
Da der Winkel F (c)F (a)F (a′ ) gleich 30o ist, ist
|(m′ , F (b ′ ))| = sin(30o ) |(m′ , F (a))| = 12 |(m′ , F (a))|. Da
|(F (b), m′ )| = |(m′ , F (a))|, teilt der Punkt m′ die Seitenhalbierende
(F (b), F (b ′ )) im Verhältnis 2 : 1. Da Affinitäten die Teilverhältnisse
erhalten, teilt m die Seitenhalbierende (b, b ′ ) im Verhältnis 2 : 1. (b)
ist bewiesen.
F(c)
F(b’)
c
b’
F
a’
o
30
m
a
b
c’
TV(a,b,c)=-2
F(a’)
F(a)
m’
F(c’)
F(b)