Kapitel 7: Primitivwurzeln

KAPITEL 7
Primitivwurzeln
1. Ordnung
Definition 7.1. Es sei m ∈ N und a ∈ Z mit ggT(m, a) = 1. Die kleinste
Zahl k > 0 mit ak ≡ 1 mod m nennt man Ordnung von a modulo m. Wir
schreiben k = ordm (a).
Bemerkungen:
a) Ist ggT(a, m) > 1, dann ist ak ≡ 1 mod m für alle k ∈ N.
b) Es sei ggT(a, m) = 1. Für alle t ∈ Z gilt ordm (a) = ordm (a + tm).
c) Gibt es ein a ∈ Z mit ordm (a) = l, so gibt es auch ein ã ∈ {1, . . . , m −
1} mit ordm (ã) = l.
d) Es seien m1 , . . . , mφ(m) die zu m teilerfremden Zahlen aus {0, . . . , m −
1}. Die Einheitengruppe des Rings Zm besteht genau aus den Elementen {[1], [m1 ], . . . , [mφ(m) ]}. Die Ordnung eines Elementes [x] ∈ Z∗m ist
ordm (x).
Satz 7.2. Es sei m ∈ N und a ∈ Z mit ggT(m, a) = 1 und k = ordm (a).
a)
b)
c)
d)
e)
Es gilt ah ≡ 1 mod m genau dann, wenn k ein Teiler von h ist.
k ist ein Teiler von φ(m).
Es gilt ai ≡ aj mod m genau dann, wenn i ≡ j mod k.
Die Zahlen a, a2 , . . . ak sind paarweise inkongruent.
Für jedes i ∈ N gilt
k
ordm (ai ) =
ggT(i, k)
f) Sind a1 und a2 zu m teilerfremd, und sind ordm (a1 ) und ordm (a2 )
zueinander teilerfremd, so gilt
ordm (a1 a2 ) = ordm (a1 ) · ordm (a2 ).
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2. Primitivwurzeln von Primzahlen
Definition 7.3. Ist ggT(m, a) = 1 und hat a die Ordnung φ(m) modulo m, so
nennt man a eine Primitivwurzel von m.
Satz 7.4. Es sei m ∈ N. Es gibt genau dann eine Primitivwurzel modulo m,
wenn Z∗m zyklisch ist.
Lemma 7.5. Es sei ggT(a, m) = 1, a eine Primitivwurzel von m und
m1 , m2 , . . . , mφ(m) die φ(m) vielen positiven ganzen Zahlen die teilerfremd zu m
sind. Dann ist die Menge der Reste {r1 , . . . , rφ(m) } ⊂ {1, . . . , m − 1} mit ri ≡ ai
mod m gleich der Menge {m1 , m2 , . . . , mφ(m) }.
Lemma 7.6. Besitzt die Zahl m eine Primitivwurzel, so besitzt sie genau
φ(φ(m)) Primitivwurzeln in {1, 2 . . . , m − 1}.
Satz 7.7. Ist m eine Primzahl, so besitzt m genau φ(m − 1) viele Primitivwurzeln in {1, 2 . . . , m − 1}.
3. Für welche m gibt es Primitivwurzeln?
Lemma 7.8. Ist k ≥ 3, so hat 2k keine Primitivwurzel.
Lemma 7.9. Das Produkt zweier teilerfemder Zahlen m, n > 2 hat keine Primitivwurzeln.
Lemma 7.10. Ist p eine ungerade Primzahl dann hat p2 eine Primitivwurzel.
Genauer: Ist a eine Primitivwurzel zu p, so ist a auch eine Primitivwurzel von
p2 oder ordp2 (a) = p − 1. Im zweiten Fall ist a + p eine Primitivwurzel von p2 .
Lemma 7.11. Ist p eine ungerade Primzahl und ist k ∈ N, so hat pk ein
Primitivwurzel. Genauer: ist a eine Primitivwurzel zu p und zu p2 , so ist p
auch eine Primitivwurzel zu pk mit k ≥ 2.
Lemma 7.12. Ist p eine ungerade Primzahl und ist k ∈ N, so hat 2pk eine
Primitivwurzel. Genauer: Ist a ungerade und eine Primitivwurzel zu pk , so ist
a auch eine Primitivwurzel zu 2pk .
Satz 7.13 (Gauß). Genau die Zahlen 1, 2, 4, pk und 2pk mit p ∈ P \ {2} und
k ∈ N haben Primitivwurzeln.