Oberseminar: Skolems Nonstandardmodelle der natürlichen Zahlen

Oberseminar:
Skolems Nonstandardmodelle
der natürlichen Zahlen
Vortrag am 6.5.2004 über den Artikel
Über die Unmöglichkeit einer Charakterisierung der
Zahlenreihe mittels eines endlichen Axiomensystems
von Thoralf Skolem aus dem Jahr 1933
1
Überblick
Eine grobe Gliederung des Artikels könnte so aussehen:
Ordnung der Funktionen
Seien f, g Funktionen ganzzahliger positiver Variablen“, die ganze positive Werte haben“. Also
”
”
mit anderen Worten: f, g : → . Dann ist eine der Mengen
1. N < := {n ∈
: f (n) < g(n)}
2. N = := {n ∈
: f (n) = g(n)}
3. N > := {n ∈
: f (n) > g(n)}
unendlich. Dies ist unter Voraussetzung des tertium non datur auch beweisbar.
Satz 1.1
Sei hfr : r ∈
g:
→
i eine Folge von Funktionen wie oben beschrieben. Dann gibt es ein monoton wachsendes
mit:
Zu allen (i, j) ∈
2
mit i < j existiert ein xij ∈
ij
derart, dass für alle x ≥ xij die Beziehung
ij
fi (g(x)) R fj (g(x)) gilt mit R ∈ {<, =, >}.
Axiome für eine Arithmetik
erfüllt folgende Bedingungen:
1. h , ≤i ist lineare Ordnung.
2. Es gilt 1 ∈
3. ∀n, m ∈
und ∀n ∈
(1 ≤ n).
[1 ist kleinstes Element in
(n < m → n + 1 ≤ m).
.]
[n + 1 ist Nachfolger von n.]
4. n + (m + 1) = (n + m) + 1.
[Rekursive Definition der Add. über Nachfolger.]
5. n · (m + 1) = n · m + n.
[Rekursive Definition der Mult. über Nachfolger.]
6. A(1) ∧ ∀m (A(m) → A(m + 1)) → ∀n A(n).
7. (n = m) → (A(n) ↔ A(m)).
[Induktion für Aussagen A.]
[Für Aussagen A.]
Funktionen als Aussagen
Gilt für die Aussagenfunktion A(x, y) folgende Aussage ∀x∃y A(x, y) und ist dieses y zu jedem x
eindeutig, so kann man y = f (x) definieren und es gilt ∀x A(x, f (x)).
Gilt zwar ∀x∃y A(x, y), ist dieses y aber nicht eindeutig, so gibt es ein kleinstes, das wiederum
eindeutig ist und man definiert f (x) = y mit diesem kleinsten y.
Analog kann man derart Funktionen in mehreren Variablen ausdrücken. Die Gesamtheit der derart
definierten Funktionen ist abgeschlossen bezüglich Einsetzen von Funktionen statt Variablen.
1
Gesamtheit dieser Funktionen erfüllt 1) - 5)
N ∗ sei diese Gesamtheit der über diese Aussagen definierten Funktionen.
1. N ∗ ist abzählbar und erfüllt das tnd, weshalb man N ∗ nach Satz 1.1 linear ordnen kann.
2. Wir betten
wie folgt in N ∗ ein: ι :
→ N ∗ , n 7→ gn , wobei gn :
→
, x 7→ n. In Zukunft
identifizieren wir n mit ι(n). Dann ist 1 ∈ N ∗ und es gilt: Ist f ∈ N ∗ und g wie in Satz 1.1,
so ist f (g(x)) ≥ 1 für alle x ∈
3. Ist f ∈ N ∗ , so definiere f + :
, also f ≥ 1.
→
, x 7→ f (x) + 1. Dann ist auch f + in N ∗ und mit Satz 1.1
erfüllt f + die Nachfolgereigenschaft.
4. Mit diesem Nachfolger definiert man eine Addition auf N ∗ ganz analog zu der auf
. Diese
Addition ist auch mit der Einbettung verträglich.
5. Eine Multiplikation entsteht ebenso einfach.
Wichtiger Satz liefert 6) und 7)
Die Punkte 6) und 7) aus Abschnitt 1 gelten wegen folgendem
Satz 1.2
Jede auf Grund der aufgestellten Axiome herstellbare Aussage, die in
wahr ist, ist auch in N ∗ wahr.
Denn ein Axiom selbst ist natürlich eine auf Grund der Axiome herstellbare, wahre Aussage.
Obiger Satz liefert viel mehr
Mit Satz 1.2 sind aber nicht nur alle Bedingungen aus 1 erfüllt, sondern es gilt folgendes Zitat:
Ein endliches Axiomensystem kann nie die Zahlenreihe charakterisieren, d.h. von allen
anderen Reihen unterscheiden, jedenfalls dann nicht wenn das tertium non datur auch
darin vorkommt.
Thoralf Skolem (1933)
Unterschied der beiden Systeme
Wir ordnen den Aussagen eine Höhe“ zu und betrachten die Menge aller f (x), wobei f die Funk”
tionen durchläuft, die mittels Aussagen der Höhe“ ≤ x definiert sind. Dann ist in
diese Menge
”
∗
für jedes x beschränkt, aber in N muss das nicht der Fall sein.
2
2
Hauptteil
In diesem Artikel zeigt Skolem, dass die natürlichen Zahlen aus axiomatischer Sicht keine Sonderstellung als einzigartige Menge haben. Dies beweist er, indem er eine (per Einbettung) echte
Obermenge der natürlichen Zahlen konstruiert, die alle Eigenschaft erfüllt, die auch
2.1
erfüllt.
Satz 1
satz1.tex verschollen
2.2
Einfaches Axiomensystem der Arithmetik
ax.tex verschollen
2.3
Funktionen als Aussagen
Um eine dieser weitläufigeren Mengen“ zu konstruieren, in der all diese Aussagen gelten, betrachten
”
wir uns eine ganz bestimmte Sorte von Funktionen, nämlich die, welche man mittels Aussagen
definieren kann.
2.3.1
Verallgemeinerung der Induktion
Dazu müssen wir aber zunächst die Induktion, also Punkt 6) aus Abschnitt 1, verallgemeinern. Wir
wollen zeigen, dass auch
U (1) ∧ ∀y (∀x ((x ≤ y) → U (x)) → U (y + 1)) → U (z)
gilt. Dazu setzen wir V (y) := ∀x ((x ≤ y) → U (x)). Damit ist V (1) = U (1) und weiter
V (y + 1)
= ∀x ((x ≤ y + 1) → U (x))
(1)
= ∀x (((x = y + 1) → U (x)) ∧ ((x ≤ y) → U (x)))
(2)
= U (y + 1) ∧ ∀x ((x ≤ y) → U (x))
(3)
= U (y + 1) ∧ V (y).
(4)
Damit schließen wir weiter
U (1) ∧ ∀y (∀x ((x ≤ y) → U (x)) → U (y + 1))
= U (1) ∧ ∀y (V (y) → U (y + 1))
(5)
⇔ U (1) ∧ ∀y (V (y) → V (y) ∧ U (y + 1))
(6)
= U (1) ∧ ∀y (V (y) → V (y + 1))
(7)
⇒ V (z)
nach 6)(8)
= ∀x ((x ≤ z) → U (x))
(9)
⇒ U (z).
(10)
Dabei bedeutet ⇒ logische Implikation und ⇔ logische Äquivalenz.
3
2.3.2
Jede Menge“ besitzt kleinstes Element
”
Mit Hilfe dieser erweiterten Induktion zeigen wir, dass jede Aussage, die überhaupt gültig ist, auch
für eine kleinste Zahl gültig ist. Wir zeigen also folgende Formel
U (z) → ∃x (U (x) ∧ ∀y (U (y) → (x ≤ y))).
Nun also die Induktion:
Induktionsanfang: Nach 2) gilt ∀y (1 ≤ y), also ∀y (U (y) → (1 ≤ y)), also auch
U (1) → U (1) ∧ ∀y (U (y) → (1 ≤ y)) und damit U (1) → ∃x (U (x) ∧ ∀y (U (y) → (x ≤ y))).
Induktionsschluss: Gelte die Formel für alle x ≤ z. Dann ist auch
U (z + 1) → ∃u ((u ≤ z) ∧ U (u)) ∨ ∀u ((u > z) ∨ ¬U (u))
(11)
und weiter nach Annahme
U (u) ∧ (u ≤ z) → ∃x (U (x) ∧ ∀y (U (y) → (x ≤ y))).
Daraus folgt
∃u (U (u) ∧ (u ≤ z)) → ∃x (U (x) ∧ ∀y (U (y) → (x ≤ y))).
(12)
Andererseits ist
U (z + 1) ∧ ∀u ((u > z) ∨ ¬U (u)) → U (z + 1) ∧ ∀u (U (u) → (z + 1 ≤ u))
→ ∃x (U (x) ∧ ∀u (U (u) → (x ≤ u))).
(13)
In Worten fassen wir zusammen: Gilt U (z + 1), so ist nach 1) ∃u (U (u) ∧ (u ≤ z)) und damit
nach 2) ∃x (U (x) ∧ ∀y (U (y) → (x ≤ y))) oder es ist ∀u ((u > z) ∨ ¬U (u)) und damit nach 3)
∃x (U (x) ∧ ∀u (U (u) → (x ≤ u))).
Insgesamt gilt also immer
U (z + 1) → ∃x (U (x) ∧ ∀y (U (y) → (x ≤ y))).
Nach Induktion gilt also jede Aussage, die überhaupt gültig ist, auch für eine kleinste Zahl. Daraus
folgt sofort, dass jede Teilmenge der natürlichen Zahlen ein minimales Element besitzt.
2.3.3
Funktionen durch Aussagen darstellen
Es gibt Aussagenfunktionen A, sodass
∀x∃y A(x, y)
eine wahre Aussage ist. Ist in diesem Fall zu jedem x nur ein y vorhanden mit A(x, y), so kann man
dies als Funktion auffassen: f (x) = y ist somit die Umschreibung von A(x, y) und statt
∀x∃y A(x, y) schreibt man ∀x A(x, f (x)).
Existieren zu einem der x mehrere y mit A(x, y), so kann man unter diesen das kleinste auswählen
und x eindeutig zuordnen. In diesem Fall ist f (x) = y gleichbedeutend mit
A(x, y) ∧ ∀z (A(x, z) → (y ≤ z))
4
und wieder gilt ∀x A(x, f (x)).
Hat man die Aussagenfunktion A(x, y, z), so kann man
A(x, y, z) ∧ ∀u∀v (A(x, u, v) → (y < u) ∨ (y = u) ∧ (z ≤ v))
bilden, wodurch y und z als Funktionen von x gegeben sind. Ist obige Aussage wahr, so ist y = f (x)
und z = g(x) derart, dass y die kleinste Zahl ist mit A(x, y, z 0 ) für irgendein z 0 und z ist die kleinste
Zahl, für die A(x, f (x), z) gilt.
Ist die Aussage ∀x∃y∃z A(x, y, z) wahr, so existieren f und g für alle x und man hat ∀x A(x, f (x), g(x)).
Gilt andererseits ∀x∀y∃z A(x, y, z), so kann man die Aussagenfunktion
A(x, y, z) ∧ ∀u (A(x, y, u) → (z ≤ u))
bilden, womit z als eine Funktion f (x, y) gegeben wird. Ist die entsprechende Aussage wahr, so
kann man
∀x∀y A(x, y, f (x, y))
schreiben.
Ähnliches kann gemacht werden, wenn die Quantoren abwechselnd vorkommen. Betrachte die
Aussage ∀x∃y∀z∃u A(x, y, z, u). Setze zunächst
B(x, y) := ∀z∃u A(x, y, z, u)
und bilde
∀x∃y B(x, y) ∧ ∀v (B(x, v) → (y ≤ v)),
was wahr ist und y = f (x) als Funktion von x bestimmt. Also gilt
∀x B(x, f (x)), d.h. ∀x∀z∃u A(x.f (x), z, u).
Dann gilt auch
∀x∀z∃u A(x, f (x), z, u) ∧ ∀w (A(x, f (x), z, w) → (u ≤ w)),
wodurch u = g(x, z) bestimmt wird. Somit gilt insgesamt
∀x∀z A(x, f (x), z, g(x, z)) statt ∀x∃y∀z∃u A(x, y, z, u).
Beginnt andererseits die Aussage mit einem ∃-Zeichen, so betrachte etwa ∃x∀y∃z A(x, y, z). Dann
kann man sagen, dass man ∀y A(a, y, f (y)) für ein gewisses a und eine Funktion f hat.
2.3.4
Gesamtheit dieser Funktionen ist abgeschlossen bzgl. Einsetzen
Die durch diese Methode entstehenden Funktionen bilden eine Gesamtheit, die abgeschlossen ist
bezüglich Einsetzen von ebensolchen Funktionen anstelle von Variablen.
Betrachte dazu etwa z = f (x, y) und y = g(u). Also sind etwa A(x, y, z) und B(u, y) Aussagenfunktionen, sodass ∀x∀y A(x, y, f (x, y)) und ∀u B(u, g(u)) wahr sind.
5
Bilde nun die Aussage
C(x, u, z) := ∃y (A(x, y, z) ∧ B(u, y)),
womit ∀x∀u∃z C(x, u, z) wahr und z eindeutig durch eine Funktion in x und u bestimmt ist. Diese
Funktion ist gerade die Einsetzung z = f (x, g(u)).
Ebenso kann man die Aussagenfunktion
D(x, y, u) := ∃z (A(x, y, z) ∧ B(z, u))
bilden und erkennt, dass
∀x∀y∃u D(x, y, u)
wahr und u eindeutig durch eine Funktion in x und y bestimmt ist. Diese Funktion ist
u = g(f (x, y)).
An diesen beispielhaften Ausführungen erkennt man aber, dass diese Reproduktion ganz allgemein
gilt.
2.4
N ∗ als Gesamtheit dieser Funktionen
Wir definieren nun N ∗ als die Gesamtheit dieser Funktionen. In diesem Abschnitt zeigen wir,
dass damit N ∗ die ersten fünf Bedingungen an ein System für Arithmetik erfüllt und im nächsten
Abschnitt erkennen wir, dass auch die Punkte 6) und 7) gelten.
2.4.1
Lineare Ordnung
Sind f1 und f2 zwei beliebige Element von N ∗ , so gibt es Aussagefunktionen A1 und A2 , sodass
z = f1 (y) mit A1 (y, z) und u = f2 (y) mit A2 (y, u) gleichbedeutend ist. Damit ist die Aussage
∀x∃y ((x < y) ∧ ∀z∀u (A1 (y, z) ∧ A2 (y, u) → (z < u)))
entweder wahr oder falsch. Ersetzt man das zweite <“ durch =“ oder >“, so muss eine dieser
”
”
”
drei Aussagen wahr sein, da hier das tertium non datur gilt.
Damit folgt aber sofort, dass unendlich viele x vorhanden sein müssen mit f1 (x) R f2 (x) wobei R
eine der Relationen <, =, > ist.
Infolgedessen können die Elemente von N ∗ nach Satz 1.1 linear geordnet werden nach ihrem
Wachstum im Unendlichen.
Anmerkung 2.1: Hier kann für zwei verschiedene Funktionen
f1 6= f2 durchaus f1 (g(x)) = f2 (g(x)) für alle x
gelten, womit diese beiden Funktionen in N ∗ miteinander identifiziert werden. Eigentlich müsste
man also richtiger N ∗ als die Menge der Äquivalenzklassen dieser oben definierten Funktionen
bezüglich der Gleichheit im Unendlichen ansehen.
Nun gehören auch sämtliche konstanten Funktionen zu N ∗ und indem man eine natürliche Zahl
n mit der konstanten Funktion gn :
→
, x 7→ n identifiziert, bettet man
6
in N ∗ ein.
2.4.2
Alle Elemente sind größer als 1
Damit gehört auch insbesondere 1 zu N ∗ und für ein beliebiges f aus N ∗ gilt f (g(x)) ≥ 1, weshalb
in N ∗ auch f ≥ 1 gilt. Damit ist 1 das kleinste Element von N ∗ .
2.4.3
Es gibt Nachfolger und Vorgänger
Zu jedem f aus N ∗ kann man die Funktion f + :
→
, x 7→ f (x) + 1 definieren, die sicherlich zu
N gehört. Gilt nun f1 (g(x)) < f2 (g(x)) für alle x, so ist f1+ (g(x)) = f1 (g(x)) + 1 ≤ f2 (g(x)) für
∗
alle x, womit nach 3) f + der Nachfolger von f ist. Dank der Einbettung von
definition verträglich mit der auf
, weshalb die natürlichen Zahlen ein Anfangstück von N ∗ bilden.
Die Ordnung von N ∗ ist allerdings viel weitläufiger als die von
Ordnungstypus als
.) Betrachte dazu das Element fid :
Konstante, da es zu jedem n ∈
ist diese Nachfolger-
unendlich viele x ∈
→
. (N ∗ ist von einem höheren
, x 7→ x. Es ist größer als jede
gibt mit fid (x) = x > n = gn (x). Weiter
+
ist fid
> fid etc. und für f2id mit f2id (x) = 2x gilt f2id > fid + n für jede natürliche Zahl n.
Andererseits gibt es zu jedem Element aus N ∗ , das größer ist als 1, eines, das unmittelbar kleiner
ist: Sei y = δ(x) gegeben durch
(y + 1 ≥ x) ∧ ∀z (z + 1 ≥ x → (y ≤ z)).
In
ist offenbar ∀x∃y (y + 1 ≥ x) wahr, also existiert δ(x) für alle x und somit ist δ Element von
∗
N . Sei nun f > 1 beliebiges Element von N ∗ . δf sei die durch Einsetzen entstandene Funktion
mit δf (x) = δ(f (x)), die somit in N ∗ liegt. Da f > 1 gewählt war, gilt also f (g(x)) > 1 für alle x
und mit δ(x) + 1 = x für x > 1 folgt δf (g(x)) + 1 = f (g(x)) für alle x, also ist δf der Vorgänger“
”
von f .
2.4.4
Funktion auf
auch Funktion auf N ∗
Ist F (x1 , x2 , . . . ) eine Funktion in
, so ist F (ϕ1 , ϕ2 , . . . ) eine Funktion in N ∗ , wenn die ϕi varia-
ble Elemente aus N ∗ darstellen. Skolem schließt in [1]: [ . . . ] jede Funktion in N stellt in dieser
”
Weise auch in N ∗ eine solche Funktion dar.“ Auf die Erweiterung dieser Funktionen geht er in [2]
näher ein.
2.4.5
Addition und Multiplikation
Ebenso knapp fertigt Skolem die Punkte 4) und 5) ab und schließt aus dem bisher gezeigten, dass
N ∗ die Eigenschaften 1) - 5) besitzt, denn offenbar bleiben die Rekursjonsformeln der Addition
”
und der Multiplikation noch gültig in N ∗ .“
Ich möchte allerdings noch etwas auf diese Rekursionen eingehen und die Definitionen für N ∗
formulieren.
Addition: Sei f aus N ∗ . Dann sei f + 1 := f + der oben beschriebene Nachfolger. Ist g aus N ∗ mit
g > 1, so existiert in N ∗ der Vorgänger δg mit g = (δg)+ . Damit sei f + g :=(f + δg)+ .
7
Multiplikation: Mit Hilfe der Addition definieren wir für f aus N ∗ weiter: f · g := f · δg + δg für
g > 1 und f · 1 := f .
2.5
Satz 2
Wie erwähnt, garantiert uns ein wichtiger Satz, dass auch die Punkte 6) und 7) in N ∗ erfüllt sind.
Um den Beweis zu vereinfachen, beschäftigen wir uns noch mit Aussagefunktionen.
2.5.1
Vorbereitungen
Zunächst behalten Aussagefunktionen über
eine Bedeutung über N ∗ . Eine beliebige Aussage-
funktion hat nämlich die Gestalt
Q1 x1 Q2 x2 · · · U (x1 , x2 , . . . , y1 , y2 , . . . )
wobei die Qi Quantoren ∀ oder ∃ sind und U durch Konjunktion, Disjunktion und Negation aus
Beziehungen < oder = zwischen Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten gebildet ist. Setzt man
nun statt der Variablen beliebige Funktionen einer Variablen x (also Elemente aus N ∗ ), so behalten
diese Beziehungen ja ihre Bedeutung.
Diese Darstellung kann man allerdings etwas vereinfachen. Sowohl in
als auch in N ∗ hat man
(x > y) ↔ ∃z (x = y + z)
und
(x = y) ∨ (z = u) ↔ (xz + yu = xu + yz).
Damit kann man also Disjunktionen und <-Beziehungen ersetzen, wodurch in U nur noch Gleichungen und Konjunktionen vorkommen.
2.5.2
Formulierung und Beweis
Satz 2.2
Jede auf Grund der aufgestellten Axiome herstellbare Aussage, die in
Beweis. Die Gültigkeit einer Aussage in
wahr ist, ist auch in N ∗ wahr.
lässt sich durch Ersatz einiger Variablen durch gewisse
Funktionen anderer Variablen und eventuelle Einsetzungen gewisser Zahlen für andere Variablen so
ausdrücken, dass diese Konjunktion für beliebige Werte in
für die restlichen Variablen gültig ist.
Kommen ∀x∃y vor, so ist y Funktion von x. Kommt ∃y einzeln vor, so ersetze y durch
eine spezielle Zahl. Es bleiben also eventuell ∀x übrig, weshalb die Aussage für beliebige
Werte gelten muss.
Wenn diese Konjunktion in
gültig ist, müssen alle Gleichungen wahr sein. Es genügt also zu
zeigen:
Gegeben sei die Gleichung
F (a1 , . . . , x1 , . . . , f1 (x1 , . . . ), f2 (x1 , . . . ), . . . ) = G(a1 , . . . , x1 , . . . , f (x1 , . . . ), f2 (x1 , . . . ), . . . )
wobei a1 , a2 , . . . spezielle Elemente von
sind und f1 , f2 , . . . gewisse Funktionen, d.h. Elemente
∗
aus N . F und G seien Polynome. Ist diese Gleichung in
8
wahr für beliebige xi , so ist sie auch in
N ∗ für beliebige ϕi statt der xi wahr.
Ersetzt man nun aber die xi durch Elemente ϕi aus N ∗ , so werden F und G zu Funktionen einer
für jedes x ∈
Variablen x, die in
den selben Wert haben. Sie sind also auch dann gleich,
wenn man für x das zu Beginn definierte g(x) einsetzt, womit sie also in N ∗ gleiche Funktionen
bezeichnen. Mit anderen Worten: Für jede Wahl von ϕ1 , ϕ2 , . . . in N ∗ stellen sie das selbe Element
in N ∗ dar. Damit ist die Gleichung also für alle ϕi gültig in N ∗ .
2.6
Folgerung aus Satz 2
Um die Kraft dieses Satzes zu erkennen, zitieren wir erneut aus dem Originalartikel:
Ein endliches Axiomensystem kann nie die Zahlenreihe charakterisieren, d.h. von allen
anderen Reihen unterscheiden, jedenfalls dann nicht wenn das tertium non datur auch
darin vorkommt.
Thoralf Skolem (1933)
Dies ist leicht einzusehen. Setzt man das tertium non datur voraus, so ist jeder Versuch einer Charakterisierung der Zahlenreihe eine Sammlung von Aussagen, die in
wahr sind. Diese Aussagen
sind nach Satz 2.2 aber auch in N ∗ gültig, unterscheiden diese beiden Systeme also nicht. Und
tatsächlich sind
2.7
und N ∗ verschieden, wie wir oben beim Ordnungstyp bereits erkannt haben.
Beispiel einer Aussage, die in N ∗ , aber nicht in
N gilt
Um diesen Unterschied noch stärker zu verdeutlichen, betrachten wir eine Aussage, die in N ∗ , aber
nicht in
wahr ist.
Dazu ordnen wir jeder auf Grund der Axiome konstruierbaren Aussage eine Höhe“ zu: Eine
”
beliebige Aussage A hat ja folgende Form
A = Q1 x1 Q2 x2 · · · Qn xn ((
P1 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = P2 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym )) ∧
(14)
( P3 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym ) = P4 (x1 , . . . , xn , y1 , . . . , ym )) ∧ . . . ) (15)
Dabei sind die Pi Polynome mit nur positiven Koeffizienten, da sie aus Addition und Multiplikation
entstanden sind, und die Qi Quantoren.
Ist K die Summe aller Koeffizienten und gr der Grad des Polynoms Pr , so heiße
(A) := K + n + m + max {y1 , . . . , ym } + max {g1 , g2 , . . .}
die Höhe der Aussage A. Dabei ist A zunächst eine Aussagenfunktion und wird durch die Belegung
der yi mit bestimmten Werten zu einer Aussage.
Damit gibt es zu einer gegeben Höhe nur endlich viele Aussagen in
Nun gilt in
.
:
Es gibt eine grösste Zahl unter allen, die als Funktionswerte auftreten für Funktionen
eines einzelnen Argumentes mit dem Werte x des Argumentes, die mittels Aussagen der
Höhen 5 x definiert werden.
9
Mit anderen Worten: Ist M die Menge der Funktionen aus N ∗ in einer Variablen, so bezeichnen wir zu f ∈ M mit Af diejenige Aussage, über die f bestimmt ist. Dann besitzt die Menge
{f (x) : f ∈ M ∧ (Af ) ≤ x} ein größtes Element in
.
Dies gilt allerdings nicht in N ∗ . Nehmen wir als Höhe t, wobei die Elemente von N ∗ als Funktionen
der Variablen t aufgefasst werden. Dann sind unter den Aussagen der Höhe ≤ t alle, deren Höhe
eine Zahl in
ist, d.h. alle Aussagen dieser Art aus
. Damit werden aber alle Elemente f von
∗
N als Funktionen berücksichtigt und es kann unter den f (t) kein größtes geben. Damit gilt also
in N ∗ die Aussage, dass für gewisse Elemente diese Menge unbeschränkt ist, was in
nicht wahr ist.
Zudem kann man für N ∗ folgendes Axiom“ fordern:
”
Es gibt eine Aussagenfunktion A(x) derart, dass
∃x A(x) ∧ ∀x∃y (A(x) → A(y) ∧ (x > y))
wahr ist.
Literatur
[1] Thoralf Skolem, Über die Unmöglichkeit einer Charakterisierung der Zahlenreihe mittels
eines endlichen Axiomensystems, Norsk Matematisk Forening, Skrifter, 1933, S. 73 - 82
[2] Thoralf Skolem, Über die Nichtcharakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich oder
abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschliesslich Zahlenvariablen, Fundamenta mathematicae 23, 1934, S. 150 - 161
[3] Thoralf Skolem Peano’s axioms and models of arithmetic, Selected works in Logic, Jens
E. Fenstad Herausgeber, Universitetsforlaget, Oslo, S. 587 - 600
10