Blatt 2

Prof. Dr. Maria-Roser Valentı́
Dr. Stephen Winter
Sommersemester 2017
Übungen zur Vorlesung:
Theoretische Physik IV – Quantenmechanik I
Blatt 2, Abgabetermin: 02.05.2017
Aufgabe 1: Welenfunktionen: Normierung, Superposition (5 Punkte)
Betrachten Sie Wellenfunktionen
Ψk (x) = Ak eikx
;
k=
nπ
a
;
n = 0, ±1, ±2, ±3, ...
(1)
auf dem Intervall [−a, a] ⊂ R.
a) BestimmenRSie die Koeffizienten Ak , so dass die Wellenfunktionen Ψk (x) normiert
a
sind (d.h. −a Ψ∗k (x)Ψk (x)dx = 1) und skizzieren Sie die ‘Wahrscheinlichkeitsdichte’
|Ψk (x)|2 . (1 Punkte)
b) Berechnen Sie das Skalarprodukt (1 Punkte)
Z a
Ψ∗k (x)Ψk0 (x)dx.
(Ψk , Ψk0 ) =
(2)
−a
c) Bestimmen Sie eine geeignete Linearkombination
Ψ(x) = cΨk + c0 Ψk0
(3)
so dass die Wellenfunktion an den Rändern des Intervalls verschwindet, d.h. Ψ(−a) =
Ψ(a) = 0. Normieren Sie die Wellenfunktion, skizzieren Sie die Wahrsheinlichkeitsdichte aus Teil a) und diskutieren Sie das Ergebnis. (2 Punkte)
d) Bestimmen Sie das Skalerprodukt (Ψ, Ψk̃ ) und vergleichen Sie das Ergebnis mit den
Koeffizienten aus Teil c). (1 Punkte)
Aufgabe 2: Sequentieller Stern-Gerlach-Versuch (15 Punkte)
In diesem Problem untersuchen wir die Unterschiede zwischen Messungen des Spins eines
Teilchens und des Zustands eines Teilchens in sequentiellen Stern-Gerlach-Versuchen eines
zufälligen Winkels. Wie wir sehen werden, macht es Sinn den Spinzustand unseres
Teilchen durch einen zweikomponentigen Vektor und Operatoren durch 2 × 2-Matrizen
1
darzustellen. (Diese Notation wird in Kapitel 3 eingehender behandelt).
Nehmen wir an, dass wir zunächst einen Teilchenstrahl mit s = ~/2 durch die SternGerlach-Vorrichtung mit B||z senden. Inhomogenitäten im Feld bewirken dann, dass der
Strahl aufgespalten wird. Teilchen,
welche in +z-Richtung ausgelenkt werden, beschreiben
1
wir durch den Vektor Ψ+z =
. Teilchen, welche in −z-Richtung ausgelenkt werden,
0
0
werden durch Ψ−z =
beschrieben. Das Skalarprodukt ist in dieser Basis (Ψ1 , Ψ2 ) =
1
hΨ1 |Ψ2 i = Ψ†1 Ψ2 , wobei A† = Transponiert(A∗ ). Der Erwartungswert einer Observablen
ist hΨ|Ô|Ψi = Ψ† OΨ, wobei O eine hermitesche 2 × 2-Matrix ist, welche die Observable
repräsentiert. In diesem Fall können Messungen des Spins entlang einer bestimmten
Richtung (x, y, z) folgenden Matrixoperatoren zugeordnet werden:
~ 0 −i
~ 1 0
~ 0 1
, Sy =
, Sz =
(4)
Sx =
i 0
2 1 0
2
2 0 −1
Dies sind die berühmten Pauli-Matrizen. Allgemeiner gesagt, Messungen des Spins entlang einer Richtung in der xy-Ebene, definiert durch n̂ = (sin φ)x̂ + (cos φ)ẑ können
folgendem Matrixoperator zugeordnet werden:
iφ
iφ
Sn̂ (φ) = e− ~ Sy · Sz · e ~ Sy
(5)
Unter Verwendung obiger Definitionen:
cos φ sin φ
~
a) Zeigen Sie, dass Sn̂ (φ) = 2
, berücksichtigen Sie hierbei Ihre Kensin φ − cos φ
ntnis bezüglich Exponenten von Matrizen aus Blatt 1. (2 Punkte)
b) Berechnen Sie die Erwartungswerte Φ† OΦ mit O = Sx , Sy , und Sz für:
i) Φi = Ψ+z ,
ii) Φii = Ψ−z ,
iii) Φiii =
√1 (Ψ+z
2
+ Ψ−z ),
iv) Φiv =
√1 (Ψ+z
2
− Ψ−z ),
Wenn wir Φi als “Spin entlang der +z-Richtung” und Φii als “Spin entlang der −zRichtung” bezeichnen, als was sollten wir Φiii und Φiv bezeichnen? (5 Punkte)
cos θ
†
c) Was ist der Wert für θ = f (φ), für welches Φ Sn̂ (φ)Φ = +~/2 gilt, mit Φ =
?
sin θ
Was ist der Wert im Fall von −~/2? Verwenden Sie Ihre Antwort um die beiden Zustände Ψ+n̂ (φ) und Ψ−n̂ (φ) zu definieren, welche Zustände “Spin entlang +n̂Richtung” und “Spin entlang n̂-Richtung” repräsentieren. (3 Punkte)
2
d) Nun können wir den Fall eines sequentiellen Stern-Gerlach-Versuchs betrachten. Wenn
ein Teilchen im Zustand Ψ eine Stern-Gerlach-Vorrichtung mit Magnetfeld in n̂-Richtung
durchläuft, ist die Wahrscheinlichkeit P± , dass es in ±n̂-Richtung
abgelenkt wird,
1
0
gegeben durch P± = 12 Ψ† (I ± ~2 Sn̂ )Ψ, wobei I =
. Nehmen Sie an, dass die
0 1
Vorrichtung gemäß folgender Skizze aufgebaut ist:
(1)
SG
(2)
SG
SG
(3)
(4)
Wir präparieren ein Teilchen im Zustand Ψ+z , anschließend durchläuft es die SternGerlach-Vorrichtung mit Magnetfeld in +n̂-Richtung. Anschließend durchläuft das
Teilchen eine andere Stern-Gerlach-Vorrichtung mit Magnetfeld in +ẑ-Richtung. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit als Funktion von φ, dass das Teilchen in den jeweiligen
Positionen (1), (2), (3) und (4) gemessen wird. Was passiert, wenn n̂ = ẑ? Was
passiert für den Fall, dass n̂ = x̂? (5 Punkte)
3