Z b Z a Z 3 Z 3 Z 1 Z 3 Z 3 Z 1 Z 1 Z 1 Z 3 Z 3 Z 3 Z 3

SS 2008
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik
1. Die Zufallsvariablen
Übungsblatt 4
X und Y haben die gemeinsame Verteilungsfunktion
F (a; b) =
Z b
Z a
1
1
9x2 1[0;1] (x)y 2 1[0;1] (y ) dx dy :
B bezeichnet 1B (x) die Indikatorfunktion von B .
Sie hat den Wert 1 für x 2 B und 0 sonst.)
(Für eine beliebige Borelmenge
Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten:
(a)
P ( 41 < X 43 ; 14 < Y
(b)
P ( 14 < X + Y
(c)
P (Y
(d)
P (X + Y >
(e)
P (X = 12 ).
(f)
P (X + Y
23 ).
1
2
34 ).
34 ).
j Y 23 ).
23 j X = 12 ).
Siehe hierzu L10, S.30 u. 31., sowie L11, S.32 u. 33.
Lösung
f (x; y ) = 9x2 1[0;1] (x)y 2 1[0;1] (y ). Es ist f (x; y ) = f1 (x)f2 (y ) mit f1 (x) = 3x2 1[0;1] (x) und
f2 (y ) = 3y 2 1[0;1] (y ).
Sei
(a)
P ( 41 < X 43 ; 14 < Y
43 )
= F ( 34 ; 34 ) F ( 34 ; 41 ) F ( 14 ; 34 ) + F ( 41 ; 14 )
=
Z 3 Z 3
4
4
1
1
f (x; y ) dx dy
Z 3 Z 1
=
=
4
4
1
1
Z 3Z 3
4
4
1
4
Z 3
4
1
4
1
4
(b) 14
< X+Y
f (x; y ) dx dy +
4
4
1
1
f (x; y ) dx dy
Z 1 Z 1
4
4
1
1
f (x; y ) dx dy
f (x; y ) dx dy
f2 (y ) dy
3
= (( )3
4
169
=
1024
Z 1 Z 3
Z 3
4
1
4
f1 (x) dx
1
( )3 )2
4
3
2
4 ist in dem Gebiet des R erfüllt, das von den Geraden
y = 41
x,
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y = 34
Übungsblatt 4
x, y = 0 und y = 1 eingeschlossen wird.
P ( 14 < X + Y
43 )
43 )
= P (X + Y
=
Z 3=4 Z 3=4 x
0
0
P (X + Y
14 )
f1 (x)f2 (y ) dy dx
Z 1=4 Z 1=4 x
0
0
f1 (x)f2 (y ) dy dx
Rechnen oder rechnen lassen? Mit Mathematica geht's so:
Mathematica 5.1 for Linux
Copyright 1988-2004 Wolfram Research, Inc.
-- Motif graphics initialized -In[1]:= f[x_, y_] := 9x^2y^2
In[2]:= Integrate[f[x, y], {x, 0, 3/4}, {y, 0, 3/4 - x}] Integrate[f[x, y], {x, 0, 1/4}, {y, 0, 1/4 - x}]
91
Out[2]= ----10240
2
3)
R 1 R 2=3
(c)
P (Y
(d)
P (X + Y > 12 j Y
8
27 .
=
Es ist P (X +Y
0 0
>
also ist P (X + Y
(e)
R
R
R
f1 (x)f2 (y ) dy dx = 01 f1 (x) dx 02=3 f2 (y ) dy = 02=3 f2 (y ) dy =
1
2
32 ) = P (X +PY(Y>22;Y) 3 ) .
1
2; Y
> 12
R
3
R
2
8
32 ) = 02=3 11=2 y f1 (x)f2 (y) dx dy = 1078
3645 und P (Y 3 ) = 27 ,
27
539
j Y 23 ) = 1078
3645 8 = 540
R
P (X = 12 ) = 11==22 f1 (x) dx = 0.
2
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Übungsblatt 4
(f)
P (X + Y
32 j 12
" < X 21 + ") =
=
=
!
=
=
2. Die Zufallsvariable
P (X + Y 23 ; 21 " < X 12 + ")
P ( 21 " < X 12 + ")
R 1=2+" R 2=3 x
f1 (x)f2 (y ) dy dx
1=2 " 0
R 1=2+"
1=2 " f1 (x) dx
R
R 2=3 x
1
=
2+
"
1
f2 (y ) dy dx
2" 1=2 " f1 (x) 0
1 R 1=2+" f (x) dx
2" 1=2 " 1
1 R 2=3 1=2
f1 ( 2 ) 0
f2 (y ) dy
1
f1 ( 2 )
Z 2=3 1=2
f2 (y ) dy
0
1
216
X mit der Dichtefunktion
8
<
f (x) = :
0:1 e
0
0:1x für
x0
sonst
beschreibt die Lebensdauer eines Qualitätsprodukts.
(a) Wie groÿ ist
länger als
P (X > 30), d.h. mit welcher Wahrscheinlichkeit hält das Produkt
30 Zeiteinheiten?
P (X > 30 j X > 15), d.h. mit welcher Wahrscheinlichkeit hält
das Produkt noch mindestens 15 Zeiteinheiten, wenn es schon 15 Zeiteinheiten
(b) Wie groÿ ist
gehalten hat?
Siehe hierzu L12, S.37 u. 38.
Lösung
R
P (X > 30) = 1 P (X 30) = 1 030 0:1e 0:1x dx = 1 ( e 0:130 +1) = e 3 0:050.
30^X>15) = P (X>30) = e 3 = e 1:5 0:223.
(b) P (X > 30 j X > 15) = P (X>
P (X>15)
P (X>15)
e 1: 5
Anmerkung: P (X > 30 j X > 15) = P (X > 15); das Produkt verhält sich also nach
15 Zeiteinheiten so wie ein neues Produkt.
(a)
3. Simulation von Zufallsvariablen
(a) Simulieren Sie 100 Realisierungen x1 ; : : : ; x100 der Zufallsvariablen
gabe 2 mit Mathematica.
X aus Auf-
3
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Übungsblatt 4
F die Verteilungsfunktion von X , r = F 1 : [0; 1] ! R deren Umkehrfunktion
und Y eine auf [0; 1] gleichverteilte Zufallsvariable (übliche Schreibweise: Y U [0; 1]).
Dann ist r(Y ) wie X in Aufgabe 2 verteilt, denn P (r(Y ) x) = P (Y F (x)) =
R
F (x) = 0x 0:1 e 0:1u du.
Sei
Siehe hierzu L12, S.36.
1 P
(b) Bestimmen Sie Mittelwert x
= 100
1i100 xi und Standardabweichung
q P
1
2
) der simulierten Werte.
99 1i100 (xi x
(c) Vergleichen Sie den Mittelwert mit dem Erwartungswert
s=
R1
1 x f (x) dx.
Lösung
(a)
F 1 (x) = 10 ln(1
x). Für Y mit Y
U [0; 1] ist F
1 (Y ) eine Zufallsvariable mit
der gewünschten Verteilung.
Table[-10*Log[1-Random[]],{100}]
liefert die geforderte Simulation in Mathematica.
(b) Das Simulationsergebnis kann man in eine Tabelle schreiben und die Funktionen
Mean
und
StandardDeviation
auf sie anwenden, um die gewünschten Gröÿen zu erhalten.
x = 8:21792 und s = 8:72996 ergeben.
0:1x dx = R 1 e 0:1x dx = 10 (mittels partieller Inte1 x f (x) dx = 0 x 0:1 e
0
Bei mir hat die Simulation die Werte
(c)
R1
R1
gration).
4. Lineare Transformation von Zufallsvektoren
X1 ; X2 ; : : : ; Xn seien Zufallsvariablen, X der Zufallsvektor (X1 ; X2 ; : : : ; Xn ) mit Dichte f : Rn ! R und A 2 Rn:n invertierbar. Dann hat der Zufallsvektor Y = AX die
Dichte g (y ) = f (A 1 y )j det Aj 1 , genauer: ist G Rn ein Ereignis bezüglich X , so
gilt
P (X 2 G) =
Z
G
f (x) dx =
Z
AG
f (A 1 y )j det Aj 1 dy = P (Y
Siehe hierzu L14, S.42; Diskussion in der Übung!
Seien X1 ; X2 unabhängig, X1 ; X2
Wie sind Y1 und Y2 verteilt?
U [0; 1], A = 11
1 und
1
2 AG)
Y = (Y1 ; Y2 ) = AX .
Lösung
4
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Übungsblatt 4
Die Dichte fX hat den Wert 1 auf dem Quadrat G mit den Eckpunkten (0; 0); (1; 0); (1; 1); (0; 1)
0 auÿerhalb. A transformiert G in das Quadrat AG mit den Eckpunkten
(0; 0); (1; 1); (2; 0); (1; 1). Auf AG ist die Dichte fY gleich j det Aj 1 = 21 und 0 auÿerhalb.
und den Wert
Ra
Rb
Die gemeinsame Verteilung von Y1 und Y2 ist FY (a; b) = 1
Ra R1
Die Verteilung von Y1 ist FY1 (a) = 1 1 21 1AG (x; y ) dy dx.
Das innere Integral hat den von
1
Z
1
12
8
>
>
>
>
<
>
>
>
:
und ist die Dichte von Y1 .
Die Verteilung von Y2 ist FY2 (b) =
Z
1
1
1
2
1
x abhängigen Wert
1AG (x; y) dy = >
Das innere Integral hat den von
1 2 1AG (x; y ) dy dx.
Rb
1
x0
x 2]0; 1]
2 x x 2]1; 2]
0
x>2
0
x
R1 1
1 2 1AG (x; y ) dx dy .
y abhängigen Wert
8
>
>
>
>
<
1AG (x; y) dy = >
>
>
>
:
0
1+y
1 y
0
y 1
y 2] 1; 0]
y 2]0; 1]
y>1
und ist die Dichte von Y2 .
5