Praktikumsaufgabe 5

Praktikum
zur Vorlesung “Angewandte Mathematik (AM)”
Prof. Dr. Christian Schröder
Praktikum 5
Wie funktioniert ein Tesla-Transformator? – Mit Hilfe des nach seinem
Erfinder Nikola Tesla* benannten Tesla-Transformators ist es möglich, mit nur
geringem (Bastel-)Aufwand hochfrequente Wechselströme (bis 500 kHz)
geringer Stromstärke aber sehr hoher Spannung (bis 300 kV!) zu erzeugen
(siehe Abb. 3). Kernstück eines Tesla-Transformators ist die folgende Schaltung,
die aus einem Kondensator, einer Spule und einem Widerstand besteht.
C
S1
U(t)
S2
L
R
Abbildung 1: Ersatzschaltbild für das Kernstück eines Tesla-Transformators.
a) Zunächst sei der Schalter S1 geschlossen und der Schalter S2 geöffnet. Es
wird nun eine konstante äußere Spannung U(t)=U0 so lange angelegt, bis der
Ladestrom Null ist. Anschließend wird der Schalter S1 geöffnet und der
Schalter S2 geschlossen, d.h. die äußere Spannungsquelle wird abgekoppelt.
Was geschieht? Was gilt für die Teilspannungsabfälle? Für welche
physikalische Größe läßt sich hieraus eine Differentialgleichung herleiten?
Um was für einen Differentialgleichungstyp handelt es sich?
b) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung analytisch
und geben Sie alle Lösungen in reeller Form an. Wie lauten die
Anfangsbedingungen? Unter welchen Umständen bildet diese Anordnung
einen Schwingkreis? Wie groß ist die Eigenfrequenz des Schwingkreises?
c) Erläutern Sie anhand der Skizze in Abb. 2 die Funktionsweise eines TeslaTransformators. Die Primärspule Lp besitzt üblicherweise nur einige wenige
Windungen und umschließt die Sekundärspule Ls, bei der die Windungszahl
erheblich größer ist. Angenommen, die primärseitige Kapazität sei Cp=20pF,
die Induktivität sei Lp=40 mH, der Widerstand sei R=100Ω und die Spannung
U0 = 800V. Welche Frequenz ergibt sich für den Schwingkreis und damit für
den Wechselstrom in der Sekundärspule? Die Primärspule habe 100
Windungen und die Sekundärspule hat 23000 Windungen. Welche
Spannungen werden sekundärseitig erzeugt?
Abbildung 2: Skizze eines Tesla-Transformators (links). Kommerzieller Versuchsaufbau (rechts)
*Nikola Tesla (Physiker: 1856-1943) gilt als “vergessenes Genie”. Neben dem
Tesla-Transformator, hat er nicht nur den Wechselstrom erfunden, sondern auch
den Wechselstrommotor. Er baute das erste ferngesteuerte Boot der Welt und
erfand das Radio, was ihm allerdings erst nach seinem Tod zugesprochen
wurde. Tesla wurde in Kroatien geboren und hat im Laufe seines Lebens über
700 Patente erhalten. Er hat sich einen erbitterten Konkurrenzkampf mit Edison
geliefert, der als Verfechter des Gleichstroms galt. Zur Demonstration der
Gefährlichkeit des Wechselstroms erfand Edison “nebenbei” den Elektrischen
Stuhl. Tesla war ein Idealist, der es nicht so gut wie Edison verstand,
Erfindungen zu Geld zu machen. Er starb einsam und nahezu mittellos im Alter
von 87 Jahren in einem Hotelzimmer in New York. In Würdigung seiner
überragenden Verdienste hat man die Einheit der magnetischen Flussdichte
nach ihm benannt.
Medizinisch werden hochfrequente Schwingkreise oft zur Erzeugung Joulescher
Wärme im Körper benutzt. Bei kleinen Amplituden sind hochfrequente Ströme
i.a. unschädlich für den Organismus. Eine Schädigung tritt hauptsächlich durch
die Wechselwirkung mit den niederfrequenten, körpereigenen Strömen in
verschiedenen Geweben (Nervenbahnen, Herz) auf. Hochfrequente Ströme
beeinflussen dagegen solche Gewebe kaum. Weiterhin schädlich ist die Bildung
von Elektrolyseprodukten in den Zellen. Bei hochfrequenten Strömen ist die
Ionenbildung allerdings zu langsam (Trägheit!) und somit nur bei niedrigen
Frequenzen zu beachten.
Abbildung 3: Achtung Hochspannung! Selbstversuche mit dem Tesla-Transformator. Wegen des
„Skin-Effekts“ werden nur über die Körperoberfläche (schwache) Ströme geführt. Die beiden
schwarz-weißen Aufnahmen zeigen Nikola Tesla in seinem Labor.