Einführung der Quadratwurzel

2007/2008
Lehrtext
Einfürung der Quadratwurzeln
Einführung der Quadratwurzel
In den 90er Jahren wurde als Werbemaßnahme ein Bungeespringen aus der EibseeSeilbahn veranstaltet. Die Gondel wurde direkt über der Riffelriss zum Stehen gebracht, sodass eine Sprunghöhe von 200 m erzielt wurde. Der Ort, an dem sich der
Springer befindet ist von der Zeit abhängig und wird durch eine Funktion mit der
Funktionsgleichung
h : x 7→ h(x) = 5 · x2
beschrieben.
Arbeitsaufträge
1. Fülle die folgende Tabelle aus
xs
5 10 15 20 25
h(x) m
2. Zeichne den Graphen der Funktion für D = Q+
3. Bestimme rechnerisch den Zeitpunkt x, an welchem der Springer 125 m erreicht
hat.
4. Überlege, ob die gefundene Lösung eindeutig ist.
Lösung der Arbeitsaufträge
1. Ausfüllen der Tabelle: Die Werte der leeren Zellen errechnet man dadurch, dass man
in die Gleichung h(x) = 5x2 den jeweils vorgegebenen Wert einsetzt und dann den so
entstandenen Zahlenterm ausrechnet.
xs
h(x) m
1
5
1,5 2,0 2,5
11,25 20 31,25
3,0
45
2. Zeichnung des Graphens
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3. Um die Zeitpunkt herauszufinden, wann der Springer 125 m in die Tiefe gesprungen ist,
bleiben zwei Möglichkeiten:
• Graphische Lösung
Wir kennen den y-Wert und wollen den x- Wert herausfinden. Deshalb ziehen wir bei
y = 125 eine Parallele zur x- Achse. Man Markiert den Schnittpunkt mit dem Funktionsgraphen. Durch diesen Schnittpunkt zeichnet man eine Parallele zur y- Achse.
Der Schnittpunkt dieser Gerade mit der x- Achse liefert den gesuchten x- Wert:
Man erkennt x = 5. Damit benötigt der Springer 5 s, um 125 m zu springen.
Normalerweise ordnet die Funktion jedem x ein bestimmtes y zu, im Zeichen x 7→ y.
In unserem Fall sind wir aber genau anders herum vorgegangen. Dieses Vorgehen hat
den folgenden Fachnamen:
Unter der umgekehrten Zuordnung versteht man das Vorgehen,
dass man einem vorgegeben y ein x zuordnet, im Zeichen:
h−1 : y 7→ x
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• Die rechnerische Methode. Es ist bekannt, dass h(x) = 125 Setzt man diesen Wert
ein, dann erhält man die folgende Gleichung:
125 = 5x2
Schreibt man die Gleichung noch in der gewohnten Form an, dass die Unbekannte
links steht, dann ergibt sich:
5x2 = 125 |:5
x2 = 25
Gesucht ist demnach eine Zahl, deren Quadrat 25 ist. Durch Probieren erhält man
x = 5, da x2 = 25. Auch hier geht man gegenüber der früheren Vorgehensweise
umgekehrt vor: Man sucht zu einer Quadratzahl eine passende Zahl. Dies gesuchte
Zahl heißt Quadratwurzel. Im Zeichen schreibt man:
√
25 = 5
Definition
Die nichtnegative Lösung der Gleichung x2 = a√ mit a aus
Q+ heißt Quadratwurzel. Im Zeichen schreibt man a. a ist der
Radikant der Quadratwurzel.
4. Uneindeutigkeit der Lösung
Neben der gefundenen Lösung gibt es noch eine zweite Lösung. Setzt man nämlich x = −5,
dann gilt ebenfalls x2 = (−5)2 = 25 Die mathematische Begründung dafür findet man in
der Umformung der Gleichung:
x2 = 25
x2 − 25 = 0
Die linke Seite der Gleichung kann man durch Anwendung der dritten binomischen Formel
umformen zu:
(x − 5)(x + 5) = 0
Ein Produkt ist immer dann Null, wenn einer der Faktoren Null ist
Unser Produkt hat die Faktoren x − 5 und x + 5. Damit muss gelten:
x−5=0 ⇒ x=5
x + 5 = 0 ⇒ x = −5
Damit ist die Lösungsmenge
L = {−5; 5}
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Die Gleichung
x2 − a = 0
hat immer zwei Lösungen, nämlich
√
x=− a
und
x=
√
a
Wurzeln sind nicht rationale Zahlen
Knobelaufgabe
In den drei gezeichneten Quadraten ist jeweils die Diagonale eingezeichnet. Ermittle
jeweils durch Konstruktion die Länge der Diagonalen.
1. Überlege, welche Wurzelzahlen du damit bestimmen kannst.
2. Suche einen Bruch, dessen Wert die Wurzelzahlen nährungsweise ausdrückt.
Man kann die Länge zeichnerisch ermitteln, in dem man in der folgende Schritte vornimmt:
1. Zeichne in die Zeichnung die Diagonale des Quadrats:
2. Ermittle die Fläche des ursprünglichen Quadrats:
AQuadrat = 3 cm · 3 cm = 9cm2
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3. Die Diagonale halbiert die Fläche und damit kann man die Fläche Dreiecksfläche bestimmen:
1
ADreieck = · 9 cm2 = 4,5 cm2
2
4. Unterteile das Diagonalenquadrat in kongruente Dreiecke und ermittle deren Anzahl:
Das Diagonalenquadrat besteht aus 4 kongruenten Dreiecke mit der Fläche A = 4,5 cm
Die Fläche des Diagonalenquadrats ist
ADiagonalenquadrat = 4 · 4,5 cm2 = 18 cm2
Damit gilt also
d2 = 18
Das vorgestellte Verfahren ist damit ein Verfahren zur konstruktiven Verfahren von
denn wegen der Definition der Wurzel gilt:
√
d2 = 18 ⇒ d = 18
√
18,
Nach dem gleichen Verfahren hat die Diagonale des ersten Quadrats eine Länge von
√
d= 2
√
Im folgenden Text wird begründet, dass 2 keine
√ rationale Zahl ist: Wir nehmen zunächst das
√
Gegenteil an und gehen also davon aus, dass 2 eine rationale Zahl ist. Daher kann man 2
als Bruch schreiben:
√
p
2=
q
√
. Weil 2 keine ganze Zahl sein kann sind p und q teilerfremde Zahlen. Quadriert die Gleichung,
dann ist
p2
2= 2
q
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oder
2q 2 = p2
Damit ist p2 durch die Zahl 2 teilbar und daher kann man die Zahl p durch 2 teilen und daher
gilt p = 2r. Setzt man dies in die erste Gleichung ein, dann erhält man:
2q 2 = (2r)2
q 2 = 2r2
Man stellt also fest, dass man auch q 2 durch 2 teilen kann. Somit sind aber p und q nicht
teilerfremd. Wir haben also
√ einen Widerspruch zur Annahme festgestellt. Aus diesem Grund
muss die Annahme, dass 2 eine rationale Zahl ist, falsch. Damit hat man indirekt gezeigt:
√
√
2 ist keine rationale Zahl. Im allgemeinen sind Wurzelzahlen a
mit a 6= b2 keine rationalen Zahlen, sondern irrationale Zahlen. Die
rationalen Zahlen Q ergeben zusammen mit den irrationalen Zahlen
die Zahlenmenge der reellen Zahlen , kurz R.
Näherungsverfahren zur Bestimmung von Wurzeln
In der folgenden Gruppenarbeit erlernt man Methoden, wie man die Wurzelzahl näherungsweise
bestimmen kann:
Gegeben sind die beiden Funktionen
f : x 7→ f (x) = x
und
1
g : x 7→ g(x) =
2
12
x+
x
1. Zeichne die Graphen der beiden Funktionen f (x) und g(x), wobei du für
die Funktion g(x) eine Wertetabelle anlegen musst.
2. Ermittle graphisch die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Funktionsgraphen
√ und erkläre mit Hilfe des gezeichneten Schaubilds, dass man
damit 12 näherungsweise bestimmen kann.
3. Zeige allgemein, dass der Schnittpunkt der Funktionen
f : x 7→ f (x) = x
√
und g : x 7→ g(x) = 21 x + xa eine Näherung für a ist.
√
4. Gib die Abweichung dieser Näherung für 12 in % an.
Lösungsvorschlag für diese Gruppe:
1. Die Zeichnung der beiden Funktionsgraphen ergibt das folgende Schaubild:
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2. Für die Bestimmung der Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Funktionsgraphen
ergibt sich folgende Gleichung:
1
12
x=
x+
2
x
6
1
x= x+
2
x
1
x2 = x2 + 6
2
1 2
x =6
2
x2 = 12
Nach Definition
x=
√
12
Die grau schraffierte Fläche gezeichneten Schaubild ist also ein Quadrat mit dem Flächeninhalt
x2 = 12
3. Der allgemeine Nachweis:
1
a
x+
2
x
1
a
x= x+
2
2x
1
a
x2 = x2 +
2
2
x=
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1 2 a
x =
2
2
2
x =a
Nach Definition also
x=
√
a
Weitere Näherungsmethoden zur Wurzelbestimmung
Methode der Intervallhalbierung
Methodenbeschreibung Die Beschreibung dieser Näherungsmethode wird am
besten am Zahlenstrahl erläutert:
1. Schritt: Die gesuchte Wurzelzahl wird in einem Intervall eingesperrt.
2. Schritt: Man bildet den Mittelwert des Startintervalls und quadriert den Mittelwert.
3. Ist das Quadrat des Mittelwerts größer als das Quadrat der Wurzelzahl, dann
ist der errechnete Mittelwert die obere Grenze des neuen Intervalls, andernfalls
die untere Grenze des neuen Intervalls.
4. Schritt: Gemäß der in 3. angegebenen Regel wird nun eine Grenze des Startintervalls ersetzt und man erhält Intervall 1.
5. Schritt: Nun führt man die Schritte 1 bis 3 für Intervall 1 durch.
6. Schritt: Durch Anwendung der Regel aus 3. erhält man nun das nächste Intervall 2 und verfährt mit diesem genauso wie mit Intervall 1
Das Ergebnis dieser Methode sieht für
√
2 folgendermaßen aus:
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Gruppenarbeit Gesetze der Wurzelrechnung mit PDA
Gruppenausstattung
Jede Gruppe erhält die folgenden Ausrüstungsgegenstände:
1. Ein Class- PAD mit Computeralgebrasystem
2. Zwei Folien zur Präsentation
3. Drei Plakatelemente für das Lernplakat Gesetze der Wurzelrechnung.
Allgemeine Arbeitsaufträge an alle Gruppen
Ziel dieser Gruppenarbeit ist es, dass jede Gruppe ein Wurzelgesetz entdeckt und es der Klasse
präsentiert.
Als Präsentationsmittel stehen einmal der Tageslichtprojektor und ein Plakat zur Verfügung.
Auf das Plakat klebt jede Gruppe ihr entdecktes Wurzelgesetz. Arbeitet in euren Gruppen
arbeitsteilig, d.h. teilt die Arbeitsaufträge untereinander auf.
Gruppe 1– Arbeitsaufträge
Einstiegsaufgabe:
Der Lehrling eines Schreiners muss in ein Werkstück eine diagonale Stütze einbauen. Das erste
quadratische Werkstück hat eine Länge von 3 dm, das zweite quadratische Werkstück
hat eine
√
Länge von 5 dm. Der Lehrling schneidet aus dem Holz eine Latte heraus, die 8 dm heraus.
Überlege, ob er damit die beiden Stützbalken in die Werkstücke einbauen kann.
Arbeitsaufträge:
1. Fülle die folgende Tabelle aus:
√
Zahl
√ a
√6
√8
√15
√19
√19
91
√
Zahl
√ b
√7
√11
√13
√21
√29
35
√
√
( a)2 + ( b)2
2. Fülle die folgende Tabelle aus:
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√
Zahl
√ a
√6
√8
√15
√19
√19
91
√
Zahl
√ b
√7
√11
√13
√21
√29
35
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√
( a + b)2
3. Vergleicht die beiden ausgefüllten Tabellen miteinander und entscheidet, welche der folgenden Aussagen richtig ist:
√
√
√
2
• ( a)2 + ( b)2 = ( a + b
• Die Summe von zwei Quadratwurzeln ist nicht identisch mit der Quadratwurzel aus
der Summe der beiden Radikanten.
√
√
√
• a + b 6= a + b
• Quadriert man die Summe von zwei Quadratwurzeln, dann erhlät man das gleiche
Ergebnis wie die wenn man die Quadratwurzel aus der Summe der beiden Radikanten
quadriert.
• Notiert das gefundene Wurzelgesetz mit eigenen Worten.
Gruppe 2– Arbeitsaufträge
1. Fülle die folgende Tabelle aus. Schreibe in die Tabelle nur Wurzelzahlen und keine Kommazahlen.
√ √
√
Zahl
a
Zahl
a·b
√
√ b
√6
√7
√8
√11
√15
√13
√19
√21
√19
√29
91
35
2. Fülle die Folgende Tabelle mit Hilfe des Computeralgebrasystems des PDA aus (Wähle
dazu im Menü das Programm main ).
√ √ √
√
Zahl
a
Zahl
a· b
√
√ b
√6
√7
√8
√11
15
√
√13
√19
√21
√19
√29
91
35
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3. Vergleicht beide ausgefüllte Tabellen miteinander und sucht von den folgenden Aussagen
die heraus, die richtig sind:
• Das Produkt zweier Wurzelzahlen ist gleich der Wurzel aus dem Produkt der Radikanten.
√
√ √
• a · b 6= ab
• Zwischen dem Produkt aus zwei Wurzelzahlen und der Wurzel aus dem Produkt der
Radikanten dieser Wurzeln besteht keine Verbindung.
√
√ √
• a· b= a·b
Arbeitsaufträge Gruppe 3
1. Fülle die folgende Tabelle aus. Schreibe in die Tabelle nur Wurzelzahlen und keine Kommazahlen.
√ pa
√
Zahl a Zahl b
b
√
√
6
7
√
√
8
√
√11
√15
√13
19
√
√21
√19
√29
91
35
2. Fülle die Folgende Tabelle mit Hilfe des Computeralgebrasystems des PDA aus (Wähle
dazu im Menü das Programm main ).
√
√
√
Zahl a Zahl b √ab
√
√
√6
√7
√8
√11
√15
√13
√19
√21
√19
√29
91
35
3. Vergleicht beide ausgefüllte Tabellen miteinander und sucht von den folgenden Aussagen
die heraus, die richtig sind:
• Der Quotient zweier Wurzelzahlen ist gleich der Wurzel aus dem Quotient der gleichen Radikanten.
√
p
√
• a ÷ b 6= ab
• Zwischen dem Quotienten aus zwei Wurzelzahlen und der Wurzel aus dem Quotient
der gleichen Radikanten dieser Wurzeln besteht keine Verbindung.
√
p
√
• a ÷ b = ab
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Gruppe 4 – Arbeitsaufträge
1. Schreibe die folgenden Zahlen in der Form a2 · b, wobei a und b aus N:
8 18 72 32 12 75 162
2. Gib die folgenden Wurzelzahlen in den PDA ein. Wähle dazu das Programm main aus
dem
√ Menü.
√
√
√
√
√
8
18
32
12
75
162
Notiere jeweils Eingabe und Ausgabe des Programms nebeneinander.
3. Ergänze das folgende Gesetz
√
a2 b = ...
4. Gib das gefundene Gesetz in einer wörtlichen Formulierung an.
Gruppe 5 – Arbeitsaufträge
1. Berechne die folgenden Terme mit dem PDA:
√
√
( 7 + 8)2
√
√
√
√
( 5 − 3)2 − ( 5 + 7)2
√
√
√
√
( 3 · ( 5 − 2 + 7))
√
√
√
√
√
3 · ( 7 − 8) + ( 3 − 8)2
p
√
√
√
5 − ( 3 − 2,5) · 2
2. Jedes Gruppenmitglied notiert sich einen Term und das zugehörige Ergebnis.
3. Finde mit deinen bisherigen Kenntnissen die notwendigen Zwischenschritte heraus.
4. Notiere die ganze Rechnung auf der Präsentationsfolie
Gruppe 6– Arbeitsaufträge
1. Gib die folgenden Terme in den PDA ein:
3
√
2
2
√
5
√
3−2 3
√
7
√
13 − 3
√
5
3
√
√
2− 3
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Einfürung der Quadratwurzeln
Lehrtext
2. Jedes Gruppenmitglied notiert sich einen Term und das zugehörige Ergebnis.
3. Überlege dir die notwendigen Zwischenschritte, damit du die Terme ohne Bruch schreiben
kannst.
4. Notiere die ganze Rechnung auf der Präsentationsfolie.
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