Serie 5

Zahlentheorie
Serie 5
Aufgaben zur Prüfungsvorbereitung
1. Beweise die folgende Aussage mit Induktion nach n:
n
X
(2k + 1) = (n + 1)2
k=0
2. (a) Berechne ggT(7161, 2821, 1209).
(b) Bestimme ganze Zahlen u, v, w so dass gilt:
7161 · u + 2821 · v + 1209 · w = ggt(7161, 2821, 1209)
3. (a) Berechne den Kettenbruch von
√
223.
(b) Berechne den Kettenbruch von
√
61.
4. Berechne den exakten Wert des periodischen Kettenbruches
[1, 5, 1, 7, 1, 5, 1] .
√
5. (a) Bestimme den Kettenbruch von m2 + m.
√
√
Hinweis: Betrachte zuerst ( m2 + m − m) · ( m2 + m + m).
√
(b) Bestimme mit (a) den Kettenbruch von 132.
6. Finde die Lösung mit kleinstem positivem x-Wert der folgenden diophantischen Gleichung:
437x + 667y = 299
7. (a) Finde zwei ganzzahlige Lösungen x & y der Gleichung
x2 − 10y 2 = −1 .
(b) Finde eine ganzzahlige Lösung x & y der Gleichung
x2 − 14y 2 = 9 .
8. Berechne das multiplikativ-Inverse von 191 in Z717 .
9. Berechne mit power mod:
599
mod 797
10. RSA.
Alice publiziert die Zahlen n = 2279 und e = 257 und sie weiss, dass gilt n = 43 · 53.
Bob verschlüsselt mit RSA die Zahl a, d.h. er berechnet die Zahl ae mod n.
Die verschlüsselte Zahl, welche er an Alice schickt, ist 18.
Berechne a.
11. Diffie-Hellman Key Exchange.
Alice und Bob wählen gemeinsam die Zahlen q = 131 und a = 2.
Alice wählt geheim die Zahl n = 51 und Bob schickt die Zahl 17 an Alice.
(a) Welche Zahl schickt Alice an Bob?
(b) Welche Zahl ist der gemeinsame Schlüssel von Alice und Bob?