1. Logik und Mengenlehre 2. Rechnen mit reellen Zahlen

1. Logik und Mengenlehre
1. Aufgabe: Gegeben sind die logischen Aussagen
p : Die Eulersche Zahl e gehört zur Menge der gebrochenen Zahlen,
q : Die Gleichung x3 = 1 hat genau eine Lösung im Bereich der reellen Zahlen,
r : Jedes Dreieck hat mindestens einen Winkel von 90 , s : Die Funktion f (x) =
ln (x2 1) hat den De…nitionsbereich (1; +1).
Bestimmen Sie den Wahrheitswert der Aussagen p; q; r; s und der Aussage (p ^ q) !
(r _ s). Für den Wahrheitswert von s bitte eine kurze Begründung angeben.
2. Aufgabe: Geben Sie die Wahrheitstafel für den folgenden logischen Ausdruck an:
(p _ q) ^ (q ! r):
3. Aufgabe: Ein Indikatortest mit den drei chemischen Verbindungen I, II und III
brachte die folgenden Ergebnisse:
(a) Wenn I keine Säure ist oder II keine Säure ist, dann ist auch III keine Säure.
(b) Ist I keine Säure oder ist III keine Säure, dann ist auch II keine Säure.
(c) Es ist mindestens eine der chemischen Verbindungen eine Säure.
Ermitteln Sie mittels Wahrheitstafel, welche der drei Verbindungen I, II und III nach den
Aussagen (a)-(c) in jedem Falle eine Säure ist.
4. Aufgabe: Gegeben sind die Mengen A = fx : x2
4g, B = [1; 3], C = [0; 5),
D = ( 1; 0], E = f1; 2:5; 2g. Bestimmen Sie a) A [ B, b) A \ B, c) A \ C, d) AnC, e)
C [ D, f) C \ D, g) D \ E, h) A [ E.
2. Rechnen mit reellen Zahlen
1. Aufgabe: Ermitteln Sie alle reellen x, für die die Ungleichung
1
3x;
j2x
2j
x + 8;
(x + 2) (x
x+3
2)
c)
e)
jx
5j
a)
b)
< x + 1;
x2 5
< x;
x+2
x 5
d)
x + 3;
x 2
x+1
f)
> 3 gilt.
x 1
2. Aufgabe: Bestimmen Sie alle reellen Lösungen der Gleichungen:
a)
1) + ln 3 = ln x2 1 , b) 2x+1 + 3x = 2x + 3x+2 ,
p
30x2
c) x4 10x2 =
; d) 8 + x 1 = x + 1:
x 3
ln (x
1
3. Aufgabe: Berechnen Sie die Summen
a)
n
X
(2i + 1) , b)
i=1
2
X
i
e;
4
X
c)
i=0
wobei a1 = 1; a2 = 2; a3 = 5; a4 =
(i ai ) ,
i=1
1.
3. Zahlenfolgen und Reihen
1. Aufgabe: Bestimmen Sie die Grenzwerte
a)
c)
e)
p
3n5 + 66n4 17
n4 + n
;
b)
lim
;
lim
n!1
n!1 7n4 + n3 + 2
7n6 + n3 + 2
(n2 + 1) (n4 + n)
n (2n2 + 1)
lim
;
d)
lim
;
n!1
n!1 (n + 2)3
n5 2
p
n+1 1
9n2 + 1
lim
; f) lim
:
n!1
n!1 2n + 1 4n
n+2
Hinweis: Lösen Sie zunächst die Klammern auf.
2. Aufgabe: Ermitteln Sie die Grenzwerte
a)
lim
3
n
1
n!1
n
;
lim
b)
n!1
1
1+
2n
n=3
:
3. Aufgabe: Berechnen Sie die Summenwerte der Reihen
a)
1
X
2n 5
n
;
b)
n=0
1
X
2 7
n
+2
n=0
2n
;
c)
1
X
3
n
:
n=1
4. Funktionen
4.1. Transzendente Funktionen
1. Aufgabe: Veranschaulichen Sie sich die folgenden Funktionen
a) f (x) = sin(6x); b) f (x) = arccos(x); c) f (x) = tan(x);
d) f (x) = cosh(x); e) f (x) = e1=x :
Geben Sie De…nitionsbereich, Wertebereich, Polstellen an. Ist die jeweilige Funktion
periodisch? Wenn die Funktion periodisch ist, dann ist die Periode anzugeben.
2
4.2. Polynome und gebrochenrationale Funktionen
2. Aufgabe: Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion
f (x) = 4 + 8x + 9x2 + 5x3 + x4 :
Geben Sie die Zerlegung in Elementarfaktoren an.
3. Aufgabe: Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion
f (x) = 9 + 21x + 10x2
6x3
3x4 + x5
4. Aufgabe: Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion
f (x) = x4 + 5x3
7x2
5x + 6:
Geben Sie die Zerlegung in Elementarfaktoren an.
5. Aufgabe: Bestimmen Sie von der folgenden Funktion die Nullstellen, Pole und
die Lücken
x3 x2 6x
.
f (x) = 2
x
10x + 21
Geben Sie die Gleichung der Asymptoten an.
6. Aufgabe: Bestimmen Sie von der folgenden Funktion die Nullstellen, Pole und
die Lücken
x3 + 2x2 x 2
.
f (x) =
x 2
Geben Sie die Gleichung der Asymptoten an.
7. Aufgabe: Ermitteln Sie von der folgenden Funktion die Nullstellen, die Pole und
die Lücken:
x4 + x3 7x2 13x 6
f (x) =
:
x2 3x 10
Geben Sie auß
erdem die Gleichung der Asymptoten an.
4.3. Grenzwerte
8. Aufgabe: Bestimmen Sie die Grenzwerte
a)
d)
2x3 + 7x
3x2 1
6x2 x4
;
b)
lim
;
c)
lim
;
x!1 x3
x!1 x4 + x2 + 2
x!1 2x3 + 1
3
2x3 + 7x
x3 3x2 + 2x
lim 3
; e) lim
.
x!2 x2
x!1 x
3
x 2
lim
3
5. Di¤erenzialrechnung für Funktionen einer Veränderlichen
1. Aufgabe: Führen Sie für die folgende Funktionen eine Kurvendiskussion durch:
a) f (x) = (4x2
2x + 1)e2x ;
b) f (x) =
ex
x
1
2x2
;
2 + x2
e) f (x) = xe x ; f) f (x) = x4 2x2 + 5;
x2 8x + 7
ln x
; h) f (x) =
;
g) f (x) =
x
x+1
i) f (x) = x (ln x)2 x ln x + x; k) f (x) = x3
c) f (x) = ln(1 + x2 );
;
d) f (x) =
2x2
x+2
Geben Sie die Nullstellen, die Polstellen, die Extremstellen und die Wendepunkte der
jeweiligen Funktion an. Ein Nachweis mit Hilfe der dritten Ableitung ist nicht erforderlich.
Notieren Sie auß
erdem die Intervalle, auf denen die Funktion monoton wachsend bzw.
fallend ist, und jene Intervalle, auf denen sie konkav bzw. konvex ist.
2. Aufgabe: Betrachten Sie die folgende Funktion:
a) f (x) =
x2
2x 7
;
x 4
b) f (x) =
2x2 4x
:
(x + 2)2
Ermitteln Sie die lokalen Extremstellen (Art und Funktionswert), die Wendepunkte sowie
die Asymptoten.
3. Aufgabe: Bestimmen Sie die zweite Ableitung und die Extremwerte der Funktion
f (x) = ex+4=x :
4. Aufgabe: Bestimmen Sie die Grenzwerte
x4 + 2x2 3
,
x!1 x2
x!4 x2
x 12
3x + 2
ln x
sin x
c) lim x ln x, d) lim
, e) lim x
,
x!0
x!1 x
x!0 e
1
cos x 1
1
1
f) lim x
, g) lim
,
x!0 e
x!0
1
x sin x
sin(2x)
sin x cos x
h) lim
; i)
lim
:
3x
x!0 1
x! =4 1
e
tan x
a)
lim
x
4
, b)
lim
Hinweis: bei g) sind die Brüche auf den Hauptnenner zu bringen.
5. Aufgabe: Geben Sie das Taylorpolynom zweiten Grades (Schmiegeparabel) der
4
Funktion
f (x) = p
1
x2 + 3
an der Stelle 1 an. Vereinfachen Sie die zweite Ableitung dabei so weit wie möglich.
6. Aufgabe: Geben Sie das Taylorpolynom zweiten Grades (Schmiegeparabel) der
Funktion
f (x) = (1 + x2 )1=3
an der Stelle 0 an.
7. Aufgabe: Geben Sie das Taylorpolynom dritten Grades der Funktion
f (x) = p
1
x 1
an der Stelle 2 an.
8. Aufgabe: Geben Sie das Taylorpolynom dritten Grades der Funktion
f (x) = xe2x
an der Stelle 1 an.
9. Aufgabe: Geben Sie das Taylorpolynom vierten Grades der Funktion
f (x) = ln x
an der Stelle 2 an. Vergleichen Sie die Funktionswerte von f (x) und des Taylorpolynoms
an der Stelle 2:1.
6. Komplexe Zahlen
1. Aufgabe: Man berechne u + v, u
a) u = 9
v, u v und u v für die Zahlen
7j; v = 3 + 2j
b) u = 1 + 3j; v = 4
2. Aufgabe: Berechnen Sie
(2 + 3j)(1 6j) 10
;
3 2j
5 + 5j 5 5j
b)
+
;
4 3j 4 + 3j
(2j + 1)(j 2) + 1
c)
:
(2 j)2 2 + j
a)
5
j
Geben Sie das Ergebnis von c) auch in exponentieller Form an.
3. Aufgabe: Geben Sie die komplexen Zahlen z1 = 4j; z2 =
in exponentieller Darstellung an. Berechnen Sie
3
p
3j; z3 = 3 3 + 3j
z15 z22
:
z34
Geben Sie das Ergebnis in algebraischer Darstellung an.
1+2j
an. Bes4. Aufgabe: Geben Sie die exponentielle Darstellung der Zahl u = 2+j
98
timmen Sie Real- und Imaginärteil der Zahl u .
5. Aufgabe: Geben Sie die exponentielle Darstellung der Zahl u = 61 2j
an. Berech2j
2+j
15
nen Sie auß
erdem 220 u unter Verwendung der exponentiellen Darstellung von u. Geben
Sie das Ergebnis in algebraischer Darstellung an.
p
6. Aufgabe: Stellen Sie u = 1 + j 3 und v = 1 j in exponentieller Darstellung
u15
dar. Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der Zahl 20 . Geben Sie das Ergebnis in
v
algebraischer Darstellung an.
p
7. Aufgabe: Geben Sie die Zahl z = 3 3 3j in exponentieller Darstellung an!
14
Bestimmen Sie 61 z . Geben Sie das Ergebnis in algebraischer Darstellung an.
8. Aufgabe: Berechnen Sie (1 j)13 unter Verwendung der exponentiellen Darstellung. Geben Sie das Ergebnis in algebraischer Darstellung an.
3+j
9. Aufgabe: Bestimmen Sie die exponentielle Darstellung von z = j+2
und berechnen Sie unter Verwendung dieser Darstellung z 11 . Geben Sie das Ergebnis in algebraischer
Darstellung an.
10. Aufgabe: Geben Sie alle Lösungen z 2 C der Gleichung
z 2 + 3jz + 4 = 0 an.
11. Aufgabe: Geben Sie alle Lösungen z 2 C der Gleichungen
a) z 2 + 2z + 5 = 0;
b) z 2
6z + 18 = 0
an.
12. Aufgabe: Geben Sie alle Lösungen z 2 C der Gleichungen
a) z 4 =
16;
b) z 3 =
27j;
an.
6
c) z 4 = 8
1+
p
3i :
7. Vektoren
1. Aufgabe: Gegeben sind die Vektoren
0
1
0
1
0
1
0
1
3
1
5
0
B
C
B
C
B
C
B
C
~a = @ 0 A ; ~b = @ 1 A ; ~c = @ 4 A ; d~ = @ 1 A :
2
2
2
1
a) Man untersuche, ob die Vektoren ~a; ~b; ~c linear unabhängig oder linear abhängig sind.
Im letzteren Falle gebe man die zugehörige Vektorgleichung an.
b) Untersuchen Sie, ob die Vektoren ~a; ~b; d~ linear unabhängig oder linear abhängig sind.
c) Welche Winkel schließ
en ~b und ~c bzw. ~a und 2~b 7d~ ein?
d) Welchen Winkel schließ
t ~b mit der x-Achse ein?
2. Aufgabe: Gegeben seien die Punkte P1 (1; 5; 3); P2 (2; 1; 4); P3 ( 2; 1; 1). Wie
!
!
großist der Flächeninhalt des Dreiecks P1 P2 P3 ? Wie großist P1 P2 P1 P3 ?
3. Aufgabe: Gegeben seien die Vektoren
0
1
0
1
0
1
4
1
C ~ B
C
B
C
A ; b = @ 2 A ; ~c = @ 11 A ;
2
1
2
0 1
0
1
0 1
2
2
1
B C
C
B C ~ B
b) ~a = @ 2 A ; b = @ 2 A ; ~c = @ 1 A ;
0
1
2
0 1
0
0 1
1
0
2
1
B C
B
B C
C
c) ~a = @ 1 A ; ~b = @ 1 A ; ~c = @ 1 A :
1
3
0
5
B
a) ~a = @ 1
Untersuchen Sie die Vektoren auf lineare Abhängigkeit bzw. Unabhängigkeit. Bei Abhängigkeit ist die entsprechende Abhängigkeitsgleichung anzugeben.
4. Aufgabe: Zeigen Sie, dass die drei Vektoren
0
1
0
1
0
1
1
B
C
B
B
C
~a = @ 2 A ; ~b = @ 4 A ; ~c = @
1
3
1
2
C
2 A
10
in einer Ebene liegen. Wie großist der Winkel zwischen ~a und ~b? Welchen Winkel
schließ
en ~a und ~i ein?
5. Aufgabe: Berechnen Sie das Volumen des Tetraeders mit den Eckpunkten
A(1; 1; 1), B(1; 1; 1), C( 1; 2; 1) und S(0; 2; 4).
7
6. Aufgabe: a) Zeigen Sie, dass die Vektoren
0
1
0
1
0 1
2
1
1
B C ~ B
C
B C
~a = @ 5 A ; b = @ 1 A ; ~c = @ 2 A in einer Ebene liegen.
7
1
2
b) Stellen Sie den Vektor ~c als Linearkombination
Warum ist das möglich?
7. Aufgabe: Bilden die Vektoren
0
1
1
B C
~a = @ 1 A ;
0
0
1
0
C
~b = B
@ 3 A;
2
a
1~
~ der Vektoren ~a und ~b dar.
+
2b
0
1
1
B
C
~c = @ 2 A
1
eine Basis? Wenn ja, dann stelle man den Vektor
0
1
1
B C
d~ = @ 4 A
4
in dieser Basis dar.
8. Aufgabe: Gegeben sind die Vektoren
0
B
~a = @
2
7
3
7
6
7
1
C
A;
0
~b = B
@
3
7
6
7
2
7
0
1
B
~c = @
C
A;
1
6
7
2
7
3
7
C
A;
0
1
1
B
C
d~ = @ 4 A
5
Zeigen Sie, dass die Vektoren f~a; ~b; ~cg eine orthonormale Basis bilden. Stellen Sie den
Vektor d~ in der Basis f~a; ~b; ~cg dar.
8. Matrizen
1. Aufgabe: Bestimmen Sie die Determinante
a)
4 2
1 1
1 1
2
2 ;
3
b)
8
1
0
3
1
4
5
2
2 :
4
2. Aufgabe: Bestimmen Sie die Determinante
2
a)
3
1 0
1
2 1
1
;
0
1
1 4
1
1
2 3
b)
1
0
0
2
2
3
1
1
1 3
4 2
2 1
1
2
C
3 A;
1
1
1
2
4
2
5
1
0
3. Aufgabe: Gegeben sind die Matrizen
A=
5 3 2
1 1 6
!
;
0
1
B
B=@ 0
2
0
1
B
C=@ 0
2
1
1
C
4 A
2
Berechnen Sie, falls möglich, A B; B A; B C und A C.
4. Aufgabe: Bestimmen Sie alle Matrizen X 2 R2;2 , für die die Gleichung
IX + AX T
T
= 2 (B + X)
erfüllt ist, wobei I die Einheitsmatrix ist und
A=
3 2
6 1
!
;
B=
7
9
9
6
!
:
Ermitteln Sie dabei zunächst die allgemeine Lösung ohne die speziellen Matrizen A und
B einzusetzen.
5. Aufgabe: Man löse die Matrizengleichung
3XA + B = 2 (X + XA)
für X 2 R2;2 , wobei
A=
9
4
5
1
!
;
B=
1
3
2
1
!
:
Geben Sie zunächst die Lösung allgemein an und setzen Sie anschließ
end A und B ein.
6. Aufgabe: Bestimmen Sie alle Matrizen X 2 R2;2 , für die die Gleichung
IA + 2X = 5X + X T B
9
T
erfüllt ist, wobei I die Einheitsmatrix ist und
A=
4
2
1
5
!
;
B=
9
2
2
2
!
:
Ermitteln Sie dabei zunächst die allgemeine Lösung ohne die speziellen Matrizen A und
B einzusetzen.
10