Event-Handling in Java mit AWT-Objekten

Arbeitsblatt, Schubfachprinzip
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Mathe-AG des SFZ
Aufgaben mit einem kurzen Protokoll der Besprechung
Methoden der Zahlentheorie
• Teiler einer Zahl
• Division mit Rest
• Lemma von Euklid
• Eindeutige Primfaktorzerlegung



• Kanonische Primfaktorzerlegung n  p1 1  p 2 2  ...p m m
• Euklidscher Algorithmus
Siehe Grinberg S. 138ff
A1 Anzahl der Teiler, Aufgabe 8.2
Behauptung: Die Gesamtzahl aller Teiler einer Quadratzahl ist ungerade. Wenn die natürliche
Zahl keine Quadratzahl ist, ist die Teileranzahl gerade.
Tipp: Trenne die Zeiler in T1, d.h. die Zahlen die kleiner als Wurzel(n) sind, und T+, die übrigen
A2 Geister, Aufgabe 8.3
Behauptung: Ein Schrank habe 100 Schließfächer, die am Abend geschlossen sind. In der Nacht
kommen 100 Geister und treiben ihr Unwesen
•
Der erste Geist öffnet alle Schließfächer
•
Der n. Geist ändert den Zustand jedes Schließfaches mit einer Nummer, die durch n teilbar ist.
Welche Schließfächer sind am nächsten Tag geöffnet?
Tipp: Wie viele Geister ändern an einem Schließfach etwas?
A3 Teilerfreie Zahlen, Aufgabe 8.4
Behauptung: Beweisen Sie: Der kleinste von 1 verschiedene Teiler einer natürlichen Zahl n >1
ist eine Primzahl.
Tipp: Nimm an, der kleinste Teiler wäre keine Primzahl.
A4 Diophantische Gleichung mit teilerfremden Zahlen, Aufgabe 2.13
Behauptung: Seien a und b teilerfremde natürliche Zahlen. Zeigen Sie, dass es zwei natürliche
Zahlen x und y gibt, mit ax-by=1
Tipp: Schubfachprinzip (S.34)
MatheSFZ_AB08_Zahlentheorie1Prot.doc
W.Seyboldt
Stand: 27.6.13
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Betrachte die b-1 Vielfachen von a: a, 2a, 3a, …. (b-1)a. und ihre Reste bei der Division
durch b. Nimm an, der Test 1 komme nicht vor. Zeige dass das nicht geht.
Was gilt jetzt?
A5 Euklidsches Lemma Aufgabe 8.5
Behauptung: Es seien a1, a2, … an natürliche Zahlen und p eine Primzahl.
Beweisen Sie: p | a1  a 2  ...  a n  p | a j für mindestens ein j
Tipp: Für den Schluss von links nach rechts: Benutze A4, betrachte das Produkt aus allen ai und
allen xi. Multipliziere aus. Zeige, dass dies zu einem Widerspruch zur Teilbarkeit durch führt.
A6 Aufgabe 8.7
Behauptung: Sei p eine Primzahl. Dann gilt: Eine natürliche Zahl n ist genau dann durch p teilbar, wenn p in der Primfaktorzerlegung von n vorkommt.
A7 Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung Aufgabe 8.8
Behauptung: Die Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl ist eindeutig.
Tipp: Nimm an, es gäbe zwei verschiedene Darstellungen
A8 Teiler mit der kanonischen Primfaktorzerlegung Aufgabe 8.9


Behauptung: Sie n  p1 1  p 2 2  ...p m
m
die kanonische Primfaktorzerlegung einer natürlichen


Zahl n. Dann hat jeder Teiler k die Form k  p1 1  p 2 2  ...p m
Tipp: Betrachte die Primfaktorzerlegung einer Teiler k
m
mit 0  k  k
A9 Teiler mit der kanonischen Primfaktorzerlegung Aufgabe 8.10


Behauptung: Sie n  p1 1  p 2 2  ...p m
m
die kanonische Primfaktorzerlegung einer natürlichen
Zahl n. Dann gibt es genau 1  1   1  2   ...  1  m  Teiler von n.
Tipp: Benutzer A8
A10 Aufgabe 8.12
Wie viele Nullen stehen am Ende der Zahl 100! ?
A11 Aufgabe 8.11
Behauptung: Zwei teilerfremde Zahlen a und b sind Teiler von n. Dann ist auch das Produkt ab
Teiler von n.
Tipp: Benutzer A9
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W.Seyboldt
Stand: 27.6.13
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Protokoll des Treffens am 28.6.13
Zu A1:
Wir untersuchen beispielhaft die Teilermengen von ein paar Zahlen:
T(60) = {1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}
T(49) = {1,7,49}
T(36) = {1,2,3,4,6,9,12,18,36}
Beobachtung: Wenn wir von 1 her die Teiler überprüfen, so finden wir immer zwei Teiler, z.B.
60=1*60, 6=*2*30, …
Bei Quadratzahlen, z.B. 49=7*7 taucht dabei der „letzte“ Teiler zweimal auf.
Wir müssen also nur alle Zahlen bis unterhalb von wurzel(n) überprüfen.
Wenn n keine Quadratzahl ist, können wir die Teilemengen in zwei gleich große Teile unterteilen, z.B. T-(60)={1,2,3,4,5,6} und T+(60)={10,12,15,20,30,60} wurzel(60)=7,74, wir müssen
also nur bis n=7 testen. Bei Quadratzahlen ist die Wurzel selbst ein Teiler, der keinen Partner hat.
Wir lesen Greiner S. 138 die Lösung von 8.2
Zu A2:
Wir erkennen schnell, dass alle Schließfächer deren Nummern Quadratzahlen sind, am Morgen
geöffnet sind. Die Anzahl der Geister, die an den Schließfächern drehen ist ja gleich groß wie die
Anzahl der Teiler einer der Schließfachnummer.
Zu A3:
Wenn der kleinste Teiler t einer Zahl n keine Primzahl ist, so ist er das Produkt zweier Zahlen a
und b mit ab=t und a<1<t. Beide Zahlen sind also kleiner als t und größer als 1.
Und beide Zahlen sind Teiler von n, denn es gibt ein k mit t*k=n, also gilt a*b*k=n. Damit ist a
auch ein Teiler, ebenso b.
Wir haben damit gezeigt, dass in unserer Argumentationskette etwas nicht stimmen kann. Da alle
Schlüsse außer der Annahme, das t keine Primzahl ist, richtig sind, muss diese Annahme falsch
sein.
Man sagt, man hat die Aussage mit einem Widerspruch bewiesen. Konkret: Wenn man annimmt,
dass die zu beweisende Aussage falsch ist und damit etwas zeigen kann, was nicht sein kann,
dann muss die Aussage richtig sein.
Zu A4:
Diophantische Gleichungen sind Polynome mit (ganzzahligen) Koeffizienten, bei denen man
nur die Lösungen sucht, die ganze Zahlen sind.
Zwei Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie nur den Teiler 1 gemeinsam haben
Wir überprüfen die Gleichung ax  by  1 anhand von Beispielen.
a=4, b=9: 4*7-9*3=1, :
a=11, b=13: 11*6-13*5=1
Wie findet man die Zahlen?
Man kann z.B. die 11-er Reihe aufschreiben und überprüfen, ob es eine Zahl, die 1 kleiner ist,
eine 13-er Zahl ist.
Dies entspricht dem Tipp.
Was ist Division mit Rest? Das ist die Division der Grundschule.
Die (b-1) Zahlen a, 2a, 3a, … (b-1)a sind alle nicht durch b teilbar, sonst wären a und b nicht
teilerfremd.
Wenn bei diesen Zahlen bei der Division mit Rest der Rest 1 herauskommt, sind wir fertig, denn:
Wenn x*a = q*b+1 ist, so ist xa-q*b=1. Das aber wollen wir haben.
Also müssen wir nur noch zeigen, dass der Rest 1 auftritt.
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W.Seyboldt
Stand: 27.6.13
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Wir beweisen dies mit dem Schubfachprinzip. Wenn wir 17 Sockenpaare in 16 Schubladen verstauen wollen, müssen wir in mindestens 1 Schublade 2 Sockenpaare stecken.
Wenn wir a*n +1 Gegenstände auf n Fächer verteilen, so kommt in mindestens ein Fach a+1 Gegenstände.
Wir zeigen die Behauptung, dass unter den (b-1) Zahlen a, 2a, … (b-1)a der Rest 1 bei der Division durch b vorkommt, indem wir das Gegenteil annehmen und dann wieder einen Widerspruch
herleiten.
Wir nehmen also an, dass 1 nicht als Rest auftritt. Dann treten nur (b-2) Reste auf. Ein Rest muss
wegen des Schubfachprinzips bei den (b-1) Zahlen zweimal auftreten.
Also gibt es zwei Zahlen x1a und x2a mit x1a = q1b+r und x2a = q2b+r. Damit ist x1a – x2a = q1b –
q2b = qb. Damit ist x1a – x2a durch b ohne Rest teilbar. D.h. b ist ein Teiler von a, da (x1 – x2)
kleiner als b ist und nicht durch b teilbar. Das aber ist nicht richtig.
Also tritt der Teiler 1 auf.
Ergänzung: Wenn (x,y) eine Lösung von ax  by  1 ist, so ist auch  x1  kb, y1  la  eine Lösung.
Denn: Aus ax  by  1 folgt ax  ab  ab  by  1 oder a(x  b)  b(a  y)  1
Sind  x1, y1  und  x 2 , y2  zwei Lösungen von ax  by  1 , so gilt für ihre Differenz
 x1  x2 , y1  y2 
a  x1  x 2   b  y1  y2   ax1  by1   ax 2  by2   1 1  0 . Oder a  x1  x 2   b  y1  y2  Damit
ist b ein Teiler von  x1  x 2  und a ein Teiler von  y1  y2  , denn b teilt nicht a und a teilt nicht
b. Also gibt es Zahlen k und l mit akb  bla . Damit muss k = l sein.
Also sind die Lösungen von ax  by  1 alle von der Form  x k , yk    x1  kb, y1  ka  , wobei
 x1, y1  eine Lösung der Gleichung ist, z.B. die, die wir mit dem Verfahren des Beweises kon-
struieren können.
Ergänzung: Ist g=ggT(a,b), so ist lassen haben die diophantischen Gleichung der Form
ax  by  g eine Lösung (und damit unendlich viele), siehe etwa Grinberg aufgabe 8.19
Ergänzung: Die Lösungen der Gleichung ax  by  g kann man mit dem erweiterten Euklidschen Algorithmus bestimmen.
Zu A5: Euklidsches Lemma: Wenn eine Primzahl Teiler eines Produktes ist, so ist sie Teiler
mindestens einer der beiden Faktoren.
Wir überprüfen dies an zwei Beispielen:
7 | 14*9, klar 7| 14
11 | 121*33, klar 11 | 121 und 11 | 33
Dies gilt nicht, wenn der Teiler keine Primzahl ist:
6|4*9, aber 6 teilt nicht 4 und nicht 9 – 6 ist das Produkt aus 2 und 3, beide sind also auch Teiler
von 4*9. Und da beide Primzahlen sind, sind sie Teiler eines Faktors, aber eines verschiedenen.
Wir untersuchen nur p | a1*a2
Wir nehmen wieder an, dass die Aussage falsch ist, dass p weder Teiler von a1 noch von a2 ist.
Da p eine Primzahl ist, sind p und ai jeweils teilerfremd (das gilt nicht automatisch, wenn p keine
Primzahl ist)
Dann gibt es nach der gerade besprochenen Aufgabe A4 Zahlen xi und yi (i=1,2) mit ai*xi-p*yi=1
Somit ist x1a1  x 2a 2   y1p  1   y2p  1  y1p  y2p  y1p  y2p  1  p  py1y2  y1  y2  1
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Also ist p kein Teiler der Zahl x1a1  x 2a 2 , da sich bei der Division durch p ja der Rest 1 ergibt.
Das ist aber falsch, denn p teilt ja schon a1  a 2
Zu A10:
Wie viele Nullen hat 100! am Ende der Dezimaldarstellung?
Eine Null heißt, die Zahl enthält den Faktor 10, drei Nullen; sie enthält den Faktor 10 dreimal.
Wir müssen also herausbekommen, wie oft sie den Faktor 10 enthält, wie oft also der Faktor 5
und der Faktor 2 im Produkt 100! enthalten sind.
In der Zahl 5 ist die 5 1 mal enthalten, eben so in 10, 15, … 100. In 25 ist sie 2 mal enthalten,
ebenso in 50, 75, 100.
Wir haben also im Produkt 100! 20+4 mal den Faktor 5.
Der Faktor 2 ist öfters enthalten.
Also hat die Zahl 100! 24 Nullen am Ende.
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