Aufgabensammlung

Ma OS
Beurteilende Statistik – Testen von Hypothesen – Aufgabensammlung
(CON, 2016)
Beurteilende Statistik - Testen von Hypothesen
Literatur: Neue Wege – Stochastik
Kapitel 5 Beurteilende Statistik
5.1 Schätzen von Anteilen – Konfidenzintervalle
5.2 Testen von Hypothesen
5.3 Andere Testverfahren
5.2 Testen von Hypothesen
S.164, Nr. 1 – Geschmackstest
Einfaches "raten": p = 0,5
Binomialverteilung mit p = q = 0,5 und n = 10:
P(X)
0,3
k
P(X=k)
kumuliert
0
0,000976563
0,000976563
1
0,009765625
0,010742188
0,25
2
0,043945313
0,0546875
0,2
3
0,1171875
0,171875
4
0,205078125
0,376953125
5
0,24609375
0,623046875
6
0,205078125
0,828125
7
0,1171875
0,9453125
8
0,043945313
0,989257813
9
0,009765625
0,999023438
10
0,000976563
1
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
Erwartungswert:  = 5
5
6
7
8
9
10
Standardabweichung:   1,58
Varianz: Var(X) = 2,5
"Acht oder mehr Treffer": P(X  8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) = 1 – P(X  7)
= 0,04395 + 0,00977 + 0,00098 = 0,05469 (7/128)
= 1 – 0,94531 = 0,05469 (ca. 5,5%)
Falls Christine einfach nur rät, so beträgt die W., dass sie 8 oder mehr mal richtig rät nur etwa 5,5%.
10 x richtig raten: P(X = 10) = 0,00098 < 0,1%
Die Wahrscheinlichkeit, dass zehnmal richtig geraten wurde ist mit weniger als 0,1% zwar sehr gering, aber immer noch möglich….
1
Ma OS
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(CON, 2016)
S. 164, Nr. 2 – In jedem 7. Ei
n = 50, p = 1/7 (Erwartungswert: 7,14)
P(X  3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) = 0,0603 (ca. 6,03%)
Wahrscheinlichkeit zwar gering, trotzdem nicht ausgeschlossen. Das ist es ja eigentlich nie. Grenze: 5%
Man nimmt die Aussage des Herstellers weiterhin als wahr an.
S.166, Nr. 3 – Das Tintenfischorakel
Der Tintenfisch rät wahllos: p = 0,5
Annahme: Paul sagt "richtiger" voraus, dann p > 0,5
Nullhypothese H0: Paul hat keine hellseherische Fähigkeiten, er sagt mit p = 0,5 das Ergebnis voraus
Alternativhypothese H1: Paul ist Hellseher, p > 0,5
X: Anzahl der richtig vorhergesagten Spiele
X
0
1
2
3
4
5
6
7
P(X)
0,0078125
0,0546875
0,1640625
0,2734375
0,2734375
0,1640625
0,0546875
0,0078125
P(X)
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Paul 5 oder mehr Spiele richtig vorhersagt (unter der Nullhypothesenannahme p =
0,5):
P(X  5  H0 ist wahr) = 0,164 + 0,055 + 0,008 = 22,7%
Diese Wahrscheinlichkeit ist "recht hoch", es besteht kein Anlass, die Nullhypothese zu verwerfen.
S.166, Nr. 4 – Der Farbstift als Würfel
p = 1/6 n = 120  = 20
Nullhypothese H0: p = 1/6
35 Treffer sind "mehr als erwartet" (P-Wert).
P(X  35H0 ist wahr) = 1 – P(X  34H0 ist wahr) = 1 – 0,99954 = 0,00046  0,05 % (P-Wert, sehr klein)
Die Wahrscheinlichkeit, dass Adugna mehr als 35mal eine 6 würfelt, ist mit ca. 0,5% mehr als gering. Es ist daher anzunehmen, dass Adugna das Experiment manipuliert, also die Trefferwahrscheinlichkeit größer als 1/6 ist.
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S.166, Nr. 5 – Parteien auf dem Prüfstand
Ausgangsannahme der "Die Karierten": p = 0,1 (H0) Annahme: p hat sich erhöht.
Stichprobe mit n = 80: 15 Treffer (Erwartungswert  =8 Treffer)
P(X  15H0 ist wahr) = 1 – P(X  14H0 ist wahr) = 1 – 0,98765 = 1,2% (sehr geringer p-Wert, kleiner 5%)
 Man sollte die 10%-Einschätzung nach oben korrigieren.
S.166, Nr.6 – Test beim Roulette-Tisch – eine ungewöhnliche Testgröße
Betrachtet werden die Ergebnisse bei 300 aufeinanderfolgenden Spielen am Roulette-Tisch.
Testgröße X: Maximale Länge einer Folge mit Zahlen gleicher Farbe.
z.B. … 7 24 17 26 15 4 29 20 28 31 20 32 36 6 …
(hier: 10 mal schwarze Zahlen aufeinander folgend  X = 10)
Nullhypothese H0 : "Der Tisch ist in Ordnung"
Alternativhypothese H1 : "Der Tisch ist nicht in Ordnung"
Zufallszahlengenerator: 300 mal erzeugen einer Zahl zwischen 0 und 36 (gleichwahrscheinlich)
Maximal auftretende Länge von Serien gleicher Farbe wird notiert (X)
Das Experiment wird 100 mal wiederholt.
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
h(X)
0
0
0
0
2
14
26
23
21
12
9
1
0
0
0
0
0
0
0
0
2%
14%
26%
23%
21%
12%
9%
1%
100%
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(CON, 2016)
Hypothesentests mit Signifikanzniveau
Es gibt viele Situationen, in denen man eine Entscheidung von dem Ergebnis eines statistischen Tests abhängig macht, zum Beispiel, ob ein bestimmtes neues Medikament wegen verbesserter Wirksamkeit eingesetzt wird, ob man eine Lieferung mit zugesagter Qualität zurückweisen wird, oder ob sich eine aufwändige
Wahlkampagne zum Verbessern des Wähleranteils lohnt. Solche Tests werden häufig in gleichartigen Situationen immer wieder eingesetzt. Ist für ein bestimmtes Testergebnis die Wahrscheinlichkeit, dass dieses bei
Gültigkeit der Nullhypothese eintritt (P-Wert), gering, so wird die Nullhypothese verworfen. Wie gering
diese Wahrscheinlichkeit sein soll, wird vor Durchführung des Tests festgelegt.
Signifikanzniveau
Beim Hypothesentest legt man vor der Durchführung des Tests das Signifikanzniveau  fest. Das Signifikanzniveau für einen Test ist eine Schranke für die Wahrscheinlichkeit, mit der ein Testergebnis unter der
Annahme, dass Ho stimmt, eintreten darf (P-Wert). Tritt ein Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit  
ein, so spricht dies signifikant gegen die Nullhypothese, man wird Ho "verwerfen". Das Signifikanzniveau
kennzeichnet das Risiko, das man bei Anwendung des Testverfahrens in Kaufnimmt, die Nullhypothese zu
verwerfen, obwohl sie eigentlich richtig ist. Damit ist eine klare Entscheidungsregel für den Test vorgegeben.
Es hängt von der Bedeutung der Entscheidung ab, welches Signifikanzniveau man festlegt ("Willkür").
S.171, Nr.8 – Reale und simulierte Münzen
Signifikanztest auf 5%-Niveau:  = 5% = 0,05
Annahme (Nullhypothese H0): Die Münze ist fair, also p("Kopf") = p("Zahl") = 0,5
Alternativhypothese H1: Münze ist nicht fair, p  0,5
Stichprobenumfang: n = 200
Erwartungswert = 100
Hier handelt es sich um einen zweiseitigen Signifikanztest: Betrachtet man "Kopf", so kann eine Abweichung nach oben oder
unten zu einer Ablehnung der Nullhypothese führen.
Verwerfungsbereich: V = {0, 1, 2, … klinks}  {krechts, …, 199, 200}
Die 5% des Signifikanzniveaus werden zu gleichen Teilen auf die beiden Randbereiche der Verteilung aufgeteilt.
P(X  klinks  H0)  0,025 und P(X  krechtss  H0)  0,025
Die Grenzen klinks und krechts erhält man durch ausprobieren ( kumulierte Tabelle).
k
0
…
83
84
85
86
P(X  k)
0,000
…
0,009
0,014
0,020
0,028
P(X  k-1)
1,000
…
 Verwerfungsbereich: V = {0, 1, 2, …, 85}  {115, …, 199, 200}
 Annahme der Nullhypothese: {86, 87, …,112, 114}
4
113
114
115
116
…
200
0,972
0,980
0,985
0,990
1,000
0,028
0,020
0,015
0,009
0,000
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Beurteilende Statistik – Testen von Hypothesen – Aufgabensammlung
(CON, 2016)
S.171, Nr. 9 – Warenkontrolle
Annahme (Nullhypothese H0): p("fehlerhaft") = 7%
Stichprobenumfang: n = 50  Man erwartet  = n  p = 3,5 defekte Teile
Signifikanzniveau  = 5% = 0,05 (Abweichung "nach rechts", einseitiger Signifikanztest)
P(X  k  H0 ist wahr) = 1 - P(X  k - 1  H0 ist wahr)  0,05 (P-Wert  0,05)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
P(X  k)
0,026
0,126
0,310
0,532
0,729
0,865
0,941
0,978
0,992
P(X  k-1)
0,974
0,874
0,690
0,468
0,271
0,135
0,059
0,022
0,008
 Annahme {0, 1, … 7} defekt Teile in der Lieferung
 Ablehnung ab 8 defekten Teilen in der Lieferung
S.171, Nr. 10 – Bevorzugen junge weibliche Meerkatzen Puppen als Spielzeug?
Signifikanztest auf 5%-Niveau
H0: Die Meerkatze wählt jeweils zufällig aus (p = 0,5)
H1: Die Meerkatze wählt gezielt Stoffpuppen aus (p > 0,5)  rechtseitiger Signifikanztest
X: Anzahl der gewählten Stoffpuppen
P(X  k  H0 ist wahr) = 1 - P(X  k - 1  H0 ist wahr)  0,05 (P-Wert  0,05)
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(X = k)
0,00098
0,00977
0,04395
0,11719
0,20508
0,24609
0,20508
0,11719
0,04395
0,00977
0,00098
P(X  k)
0,10%
1,07%
5,47%
17,19%
37,70%
62,30%
82,81%
94,53%
98,93%
99,90%
100,00%
1 – P(X  k)
99,90%
98,93%
94,53%
82,81%
62,30%
37,70%
17,19%
5,47%
1,07%
0,10%
0,00%
Die Nullhypothese wird verworfen, falls mehr als 8 Stoffpuppen ausgewählt werden.
P(X  8  H0 ist wahr) = 1 - P(X  7  H0 ist wahr)  5,47%
P(X  9  H0 ist wahr) = 1 - P(X  8 H0 ist wahr)  1,07%
 Verwerfungsbereich der Nullhypothese: V = {9, 10}
Hier werden 8 Stoffpuppen ausgewählt  Die Nullhypothese wird nicht verworfen.
S.171, Nr. 12 – Euro-Münze
600 mal Kopf, 400 mal Zahl ("erwartet: 500 / 500")
Näherung mit Hilfe der -Regeln:
99%-Umgebung: [  2,58 ;  + 2,58]
 U99 = [500 – 2,5815,81 ; 500 + 2,5815,81]  [459,21 ; 540,79]
 U99 = [459 ; 541]
 Ablehnung: [0 ; 458] oder [542 ; 1000]
(Ablehnung 0,5% links und 0,5% rechts)
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Beurteilende Statistik – Testen von Hypothesen – Aufgabensammlung
(CON, 2016)
S.171, Nr. 12 – Euro-Münze
600 mal Kopf, 400 mal Zahl ("erwartet: 500 / 500")
 = 500
p = 0,5
 rechtsseitiger Signifikanztest
H0: Wahrscheinlichkeit "Zufall" p = 0,5 (Laplace-Münze)
H1: Die Münze ist keine Laplace-Münze, fällt häufiger auf Kopf
P(X  k  H0 ist wahr) = 1 - P(X  k - 1  H0 ist wahr) < 1%
k
…
533
534
535
536
537
538
539
540
P(X = k)
…
0,00286
0,0025
0,00218 0,00189 0,00163
P(X  k)
…
98,30%
98,55%
98,76%
98,95%
99,12%
0,0014
0,0012
0,00103
99,26%
99,38%
99,48%
1  P(X  k)
…
1,70%
1,45%
1,24%
1,05%
0,88%
0,74%
0,62%
0,52%
1  P(X £ 537) = P(X  538) = 0,88% < 1%
Verwerfungsbereich / Ablehnungsbereich der Nullhypothese: V = {538; 539; …; 1000}
S.171, Nr. 13 – Einfacher Test beim Roulette
p("Rouge") =
Nullhypothese H0: Das Roulette-Spiel ist in Ordnung
Alternativhypothese H1: Das Roulette-Spiel ist in nicht Ordnung, es kommt entweder zu einer außergewöhnlichen Häufung
des Falles "rouge" oder zu einer Abweichung in die andere Richtung.
 Zweiseitiger Signifikanztest: Signifikanzniveau 3% (1,5% links und 1,5% rechts)
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Ma OS
Beurteilende Statistik – Testen von Hypothesen – Aufgabensammlung
(CON, 2016)
Beispiel-Abituraufgaben
1.
Wenn mindestens 4 % der Gäste mit dem Service unzufrieden sind, sollen Sonderschulungen für das Personal abgehalten werden. 200 Gäste werden zufällig ausgewählt und befragt. Bei welcher Entscheidungsregel wird die Nullhypothese
H0: „Mindestens 4 % der Gäste sind unzufrieden“ mit einer Wahrscheinlichkeit von höchstens 5 % irrtümlich abgelehnt?
Stichprobenumfang: n = 200
p = 0,04  Man "erwartet" 8 unzufriedene Gäste.
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(X = k)
0,00028
0,00237
0,00983
0,02704
0,05549
0,09063
0,12273
0,14172
0,14246
0,12663
0,10078
P(X k)
0,03%
0,27%
1,25%
3,95%
9,50%
18,56%
30,84%
45,01%
59,26%
71,92%
82,00%
P(X k-1)
99,97%
99,73%
Nullhypothese H0: Mindestens 4% sind unzufrieden  p = 0,04 (oder mehr …)
Alternativhypothese H1: Weniger als 4% sind unzufrieden.
P(X  k  H0 ist wahr)  0,05  k = 3
Die Nullhypothese wird verworfen, wenn nur 0 bis 3 Gäste bei der Befragung "unzufrieden" antworten.
2.
Das Personal wird einer Schulung unterzogen. Angeblich sind danach nur noch höchstens 40 % der Abstürze auf reine
Bedienungsfehler zurückzuführen. Bei den nächsten 100 Systemabstürzen waren in 45 Fällen reine Bedienungsfehler die
Ursache. Untersuchen Sie, ob man die Vermutung, dass nur noch höchstens 40 % der Abstürze auf reine Bedienungsfehler zurückzuführen sind, auf Grund dieses Testergebnisses auf dem Signifikanzniveau von 5 % ablehnen kann.
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Ma OS
Beurteilende Statistik – Testen von Hypothesen – Aufgabensammlung
(CON, 2016)
Übungsaufgabe: Test auf Nebenwirkungen
Ein Arzneimittelhersteller behauptet, dass sein neues Medikament A im Gegensatz zu dem vergleichbaren Medikament B
eines anderen Herstellers seltener zu Allergien führe.
Bei Medikament B treten in etwa 10 % der Fälle Allergien auf.
Das neue Medikament A soll an 100 Personen auf einem Signifikanzniveau von 5 % getestet werden.
Geben Sie eine passende Entscheidungsregel an.
Testgröße X: Anzahl der Menschen, die an einer Allergie erkranken
Nullhypothese H0: Medikament A führt NICHT zu weniger Allergien als Medikament B (p  0,1)
Alternativhypothese H1: p < 0,1
n = 100
p = 0,1
 = 10
Linksseitiger Signifikanztest mit  = 0,05
0,14000
0,12000
0,10000
0,08000
0,06000
0,04000
0,02000
0,00000
0
4
8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 84 88 92 96 100
k
0
1
2
3
4
5
6
P(X = k)
2,7E-05
0,0003
0,00162
0,00589
0,01587
0,03387
0,05958
P(X  k)
0,00%
0,03%
0,19%
0,78%
2,37%
5,76%
11,72%
P(X  k  H0 ist wahr)  0,05  k = 4
Wenn also nur bis zu 4 Personen an einer Allergie erkranken (weniger als 5), so wird die Nullhypothese (Medikament A ist
NICHT besser) verworfen. In diesem Fall wird die Behauptung des Zustellers A als wahr angenommen.
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Ma OS
Beurteilende Statistik – Testen von Hypothesen – Aufgabensammlung
(CON, 2016)
Fehler bei der Testentscheidung
Bei einer Entscheidung basierend auf einen Signifikanztest hat man niemals absolute Sicherheit – egal, wie man sich entscheidet, es besteht also immer die Gefahr einer Fehlentscheidung:

man kann fälschlicherweise H0 verwerfen (Fehler 1. Art)

man kann aber auch H0 fälschlicherweise nicht verwerfen (Fehler 2. Art)
H0 wird verworfen
H0 wird nicht verworfen
Fehler 1. Art

H0 ist wahr
(-Fehler)
Fehler 2. Art

H0 ist falsch
Fehler 1. Art:
H0 ist wahr, wird aber verworfen
Fehler 2. Art:
H0 ist falsch, wird aber angenommen
(-Fehler)
S.175, Nr. 20 – Impfstoff
n = 50
p = 0,75
Nullhypothese H0: 75% aller geimpften Personen sind 5 Monate lang geschützt
Alternativhypothese H1: Mehr als 75% aller geimpften Personen sind 5 Monate lang geschützt
 Rechtsseitiger Signifikanztest
a) Falls man die Nullhypothese verwirft, obwohl sie wahr ist, so geht man von einer höheren Wirksamkeit des Impfmittels
aus, als es in Wirklichkeit besitzt.
b) Entscheidungsregel (Signifikanztest) für  = 5%:
P(X  k  H0 ist wahr) = 1  P(X  k  1  H0 ist wahr)  0,05
k
…
39
40
41
42
43
…
P(X = k)
…
0,11942
0,09852
0,07209
0,04634
0,02586
…
P(X  k)
…
73,78%
83,63%
90,84%
95,47%
98,06%
…
1  P(X  k)
…
26,22%
16,37%
9,16%
4,53%
1,94%
…
1  P(X  42  H0 ist wahr) = P(X  43  H0 ist wahr) = 4,53%  5%
Verwerfungsbereich der Nullhypothese: V = {43, 44, .., 50}
Falls 43 oder mehr Patienten durch den neuen Impfstoff wie versprochen fünf Monate lang vor Heuschnupfen geschützt
werden, so ist die Nullhypothese zu verwerfen.
9
Ma OS
Beurteilende Statistik – Testen von Hypothesen – Aufgabensammlung
Binomialverteilung, Testen von Hypothesen, Abituraufgaben
(CON, 2016)
(Aufgabenstellungen Abitur Ba-Wü)
http://www.matheabi-bw.de/index.php/vorbereitung-abitur-2013/beispielaufgaben/wahlteil-stochastik/binomialverteilung-testen-von-hypothesen
In diesen Aufgaben geht es um mehrfach durchgeführte Zufallsexperimente mit zwei möglichen Ausgängen, sogenannten
Bernoulli-Experimenten. Wenn eine Zufallsvariable X sich als Trefferzahl bei einer Bernoulli-Kette beschreiben lässt, ist diese
Zufallsvariable binomialverteilt.
Die Wahrscheinlichkeitswerte einer solchen Verteilung entnehmen Sie Tabellenwerken.
Ein Aufgabentyp beschäftigt sich mit dem Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten, Bestimmen von Ereignissen, die eine vorgegebene Wahrscheinlichkeit haben oder die Anzahl der Durchführungen von Experimenten, damit bestimmte Wahrscheinlichkeiten erreicht werden.
Der andere Aufgabentyp ist der einseitige oder zweiseitige Signifikanztest (Ablehnungsbereich oder Irrtumswahrscheinlichkeit).
Aufgabe 1
Ein Glücksrad hat die Sektoren 1, 2 und 3 mit folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung:
Sektor
1
2
3
Wahrscheinlichkeit
0,2
0,3
0,5
a) Wie oft muss man das Glücksrad mindestens drehen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% wenigstens
einmal den Sektor 1 zu bekommen?
b) Es besteht der Verdacht, dass die Wahrscheinlichkeit für den Sektor 1 größer als 0,2 ist. Daher wird die Nullhypothese H0:
p  0,2 durch 100 Versuche getestet. Wenn mehr als 28mal der Sektor 1 erscheint, wird die Nullhypothese abgelehnt. Wie
groß ist die Irrtumswahrscheinlichkeit?
Lösung:
zu a) p("1") = p = 0,2
n Wiederholungen
"Mindestens eine 1 bei n Wiederholungen"
n
 Gegenereignis: "Keine 1 bei n Wiederholungen": 0,8
n
n
 1 – 0,8  0,95  0,8  0,05  n  13,43
Man muss das Glücksrad mindestens 14mal drehen
zu b) n = 100, p = 0,2
P(X > 28  p = 0,2) = 1 – P(X  28  p = 0,2) = 1 – 0,97998 = 0,02002  2%
Aufgabe 2
Eine Firma, die Handys herstellt, behauptet, dass höchstens 4% der Geräte defekt seien. Die Behauptung soll mit einer Stichprobe von 250 Stück getestet werden. Man erhält 10 defekte Handys.
Kann man daraus mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% schließen, dass die Firmenangabe nicht zutrifft?
Lösung:
Nullhypothese H0: 4% der Geräte sind defekt, p = 0,04
Alternativhypothese H1: Mehr als 4% der Geräte sind defekt.
Bei einer Stichprobengröße von n = 250 sind k = 10 Handys defekt.
P(X  10  H0) = 1 – P(X  9) = 1 – B(250, 9, 0,04) = 1 -
 0,5447 ca.55%
 10 defekte Handys bei einer Stichprobe von 250 liegen deutlich nicht im Ablehnungsbereich der Nullhypothese. Die Behauptung der Firma kann nicht widerlegt werden.
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Ma OS
Beurteilende Statistik – Testen von Hypothesen – Aufgabensammlung
(CON, 2016)
Aufgabe 3
Ein Computerhersteller bezieht von einem Lieferanten Speicherchips. Erfahrungsgemäß sind 95% der Chips einwandfrei.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 30 Chips
mehr als 26 einwandfrei?
mindestens zwei defekt?
b) Der Computerhersteller überprüft die Hypothese, dass mindestens 95% der Chips einwandfrei sind, mit einer Stichprobe
vom Umfang 100. Die Irrtumswahrscheinlichkeit soll höchstens 10% betragen.
Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich.
Lösung:
zu a) p = 0,95
q = 0,05
n = 30
P(X > 26) = 1 – P(X  26)  1 – 0,0608 = 0,9392 = 93,92%
Die Wahrscheinlichkeit für mehr als 26 einwandfreie Chips beträgt 93,92%.
Mindestens 2 defekt  höchstens 28 in Ordnung: P(X  28)  0,4465 = 44,65%
Mit 44,65%iger Wahrscheinlichkeit sind mindestens zwei Chips defekt.
zu b) p = 0,95
q = 0,05
n = 100
 = 95 (man "erwartet" 95 einwandfreie Chips)
Testvariable X: Anzahl der einwandfreien Chips
Nullhypothese H0: Mindestens 95% einwandfrei  p  0,95
Alternativhypothese H1: p < 0,95
Abgelehnt wird H0, wenn die Anzahl der einwandfreien Chips in der Stichprobe zu klein ist (linksseitiger Signifikanztest mit
 = 10%).
P(X  a  H0 ist wahr)  0,1
Auszug aus Tabelle:
k
…
88
89
90
91
92
93
94
…
P(X = k)
…
0,00281
0,0072
0,01672
0,0349
0,06487
0,10603
0,15001
…
P(X  k)
…
0,43%
1,15%
2,82%
6,31%
12,80%
23,40%
38,40%
…
P(X  91  H0 ist wahr) = 6,31%  10%
 Ablehnung von H0, falls weniger als 92 Chips in Ordnung sind. {0, 1, …, 91} = Ablehnungsbereich
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Ma OS
Beurteilende Statistik – Testen von Hypothesen – Aufgabensammlung
(CON, 2016)
Aufgabe 4
Ein Computerhersteller bezieht von einem Lieferanten Speicherchips.
a) Erfahrungsgemäß sind 80% der Chips einwandfrei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind von 30 Chips mehr als 20 einwandfrei?
b) Wie groß dürfte die Defektwahrscheinlichkeit eines Chips höchstens sein, damit von 10 Chips mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit alle einwandfrei sind?
c) Die Chips, die zu 80% einwandfrei sind, werden in Viererpackungen geliefert. Ab welcher Anzahl Viererpackungen muss
mit mehr als 50% Wahrscheinlichkeit damit gerechnet werden, dass in mindestens einer Packung alle Chips defekt sind?
Lösung:
zu a) p = 0,8
q = 0,2
n = 30
k = 20
P(X > 20) = 1 – p(X  20) = 1 – 0,0611 = 0,9389 = 93,89%
zu b) p ist nun unbekannt, n = 10, q = 1 – p ist die W. für "Chip ist in Ordnung"
10
10
Alle 10 Chips in Ordnung: q = (1 – p)  0,9  q =
= 0,9895  p  0,0105  1,05%
4
zu c) Viererpackung: p("alle vier defekt") = 0,2 = 0,0016
 Nicht alle vier defekt: 1 – 0,0016 = 0,9984
n
 In allen Verpackung nicht alle vier defekt: 0,9984
n
 Nicht in allen n Packungen nicht alle vier defekt: 1 – 0,9984
 Das ist gleichbedeutend mit: In mindestens einer Packung sind alle vier defekt.
 1 – 0,9984  0,5
n
0,5  0,9984
n
n 
 Ab 433 Verpackungen muss mit mindestens 50% Wahrscheinlichkeit damit gerechnet werden, dass in mindestens einer Verpackung alle vier Chips defekt sind.
Aufgabe 5
Bei einem Test gibt es 10 Fragen mit jeweils 4 Antworten, von denen immer nur eine richtig ist.
a)
Ein Kandidat kreuzt bei jeder Frage rein zufällig eine Antwort an. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat er
A: genau drei richtige Antworten,
B: mindestens drei richtige Antworten,
C: mehr als drei, aber weniger als acht richtige Antworten ?
b)
Es soll nun festgelegt werden, wie viele richtige Antworten zum Bestehen des Tests ausreichen sollen. Bei zufälligem
Ankreuzen der Antworten soll die Wahrscheinlichkeit für ein Bestehen des Testes höchstens 5% betragen. Wie viele richtige Antworten müssen dafür mindestens verlangt werden.
Lösung:
zu a) p = 0,25
q = 0,75
n = 10
k
0
1
2
3
P(X = k)
0,05631
0,18771
0,28157
0,25028
P(X  k)
5,63%
24,40%
52,56%
77,59%
4
5
6
7
8
9
10
0,146
0,0584
0,01622
92,19%
98,03%
99,65%
0,00309
0,00039
0
0
99,96%
100,00% 100,00% 100,00%
A: P(X = 3) = 25,03%
B: P(X  3) = 25,03% = 1 – P(X  2) = 1 – 52,56% = 47,44%
C: P(3 < X < 8) = P(X  7) – P(X  3) = 99,96% – 77,59% = 22,37%
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Beurteilende Statistik – Testen von Hypothesen – Aufgabensammlung
(CON, 2016)
zu b) P(X  a) = 1 – P(X  a–1)  0,05
 aus der Tabelle: 1 – P(X  6)  0,035  0,05
 Es müssen sechs richtige Fragen beantwortet werden.
Aufgabe 6
Ein Labor entwickelt einen neuen Impfstoff und testet ihn in einem neuen Tierversuch mit 900 Mäusen. Mit dem Impfstoff
dürfen keine klinischen Studien an Menschen durchgeführt werden, wenn sich im Tierversuch in mindestens 2% der Fälle
unerwünschte Nebenwirkungen zeigen.
Bestimmen Sie für die Nullhypothese H0: p  2% die Entscheidungsregel für den Test mit 900 Mäusen mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 1%.
Lösung:
p = 0,02
n = 900
Testvariable X: Anzahl der geimpften Mäuse, die unerwünschte Nebenwirkungen zeigen
Nullhypothese H0: p  0,02
Alternativhypothese H1: p < 0,02
Abgelehnt wird H0, wenn die Anzahl der Mäuse, die unerwünschte Nebenwirkungen zeigen, entsprechend klein ist (linksseitiger Signifikanztest mit  = 1%).
P(X  a  H0 ist wahr)  0,01
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P(X = k)
0
0
0
0
0,000006
0,00022
0,00067
0,00173
0,00395
0,00799
0,01453
P(X  k)
0,00%
0,00%
0,00%
0,00%
0,01%
0,03%
0,10%
0,27%
0,66%
1,46%
2,92%
P(X  8  H0 ist wahr)  0,0066 < 0,01
Die Nullhypothese (p  0,02) wird verworfen, falls weniger als 9 der geimpften Mäuse unerwünschte Nebenwirkungen zeigen.
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