Aufgabe 1 (ca. 7 P) Seite 1 Die Anzahl Tore, die eine

Aufgabe 1 (ca. 7 P)
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Die Anzahl Tore, die eine Fußballmannschaft pro Spiel schießt, sei eine Zufallsvariable X mit Erwartungswert EX = 1 und Varianz D2 (X) = 1. Mit Hilfe des Zentralen Grenzwertsatzes berechne man
(näherungsweise) die Wahrscheinlichkeit, daß die Mannschaft in 100 Spielen mehr als 80 Tore schießt.
Lösung:
Anzahl Tore im Spiel 1, 2, 3, . . . : X1 , X2 , X3 , . . . mit EXi = D2 (Xi ) = 1 ; i = 1, 2, 3, . . . .
Anzahl Tore in 100 Spielen:
Y := X1 + X2 + · · · + X100 .
D2 (Y ) = 100 · D2 (X) = 100
=⇒ U100 :=
Y − EY
Y − 100
=
ist näherungsweise (0,1)-normalverteilt
D(Y )
10
Y − 100
80 − 100
=⇒ p(Y > 80) = p
>
=
10
10
= p(U100 > −2) = p(U100 < 2) ≈ G(2) ≈ 0, 977
(G Verteilungsfkt. einer (0,1)-Normalverteilung).
Aufgabe 2 (ca. 10 P)
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2
Ein Merkmal X sei normalverteilt mit dem (unbekannten) Erwartungswert ξ und der Varianz σ . In einer
Stichprobe vom Umfang n = 16 ergab sich ein empirischer Mittelwert x̄ = 2. Getestet werden soll die
Hypothese H0 : ξ ≤ 0 gegenüber der Alternative H1 : ξ > 0 mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von
99,5%.
Welches Vertrauensintervall für den Parameter ξ ist zur Durchführung des Tests zu verwenden, falls
a) die Varianz σ 2 = 9 bekannt ist
b) nur ein Schätzwert s2 = 9 für die unbekannte Varianz gegeben ist.
(15)
Führen Sie beide Tests durch und formulieren Sie jeweils das Testergebnis. (t99,5% = 2, 947).
Lösung:
σ
P
a) p(X̄ − up% · √ ≤ ξ) =
n
100
x̄ = 2 ; P = 99, 5% ; U99,5% = 2, 58 ; σ = 3 ; n = 16 .
Realisiertes Vertrauensintervall (VI):
3
2 − 2, 58 · √ ≤ ξ
16
=⇒ 0, 065 ≤ ξ
0 = ξ0 liegt nicht im VI =⇒ H0 wird verworfen zugunsten H1 : ξ > 0.
P
S
b) p(X̄ − tn−1
p% · √ ≤ ξ) =
n
100
x̄ = 2 ; P = 99, 5% ; t15
99,5% = 2, 947 ; s = 3 ; n = 16
Realisiertes VI:
3
2 − 2, 947 · √ ≤ ξ =⇒ −0, 21025 ≤ ξ
16
0 = ξ0 liegt im VI =⇒ H0 wird nicht verworfen.
Aufgabe 3 (ca. 13 P)
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An einer Autobahnmautstelle werde die Ankunft von n = 330 Autos beobachtet. Die Zeit zwischen zwei
Ankünften (= Zwischenankunftszeit) wird als Zufallsvariable T mit der (unbekannten) Verteilungsfunktion
F interpretiert. Die Anzahl nk von Ankünften im Zeitintervall Ik (Zeiteinheit Minuten); k = 1, 2, . . . , 6;
ist aus nachfolgender Tabelle ersichtlich:
Ik [0, 1] ]1, 2] ]2, 3] ]3, 4] ]4, 5] ]5, ∞[
nk 182
80
39
15
9
5
Das arithmetische Mittel t̄ aller Zwischenankunftszeiten beträgt
t̄ = 1, 25 min. Es wird vermutet, daß T
(
1 − e−λ t für t ≥ 0 ; λ > 0
exponentialverteilt ist, d.h. die Verteilungsfunktion F0 (t) =
0
für t < 0 ; besitzt.
Man teste die Hypothese H0 : F = F0 mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 90%.
Hinweis: Ein Schätzwert λ̂ von λ ist λ̂ = 1/t̄.
Zur Durchführung des Tests ergänze man die Tabelle (Ik =]ak , bk ]):
Ik
F0 (bk ) − F0 (ak ) =: pk
nk
] − ∞, 1] 182 0, 55 − 0 = 0, 55
]1, 2]
80
0, 8 − 0, 55 = 0, 25
82, 5
0, 0758
]2, 3]
39
0, 91 − 0, 8 = 0, 11
36, 3
0, 2008
]3, 4]
15
0, 96 − 0, 91 = 0, 05
16, 5
0, 1364
]4, 5]
9
0, 98 − 0, 96 = 0, 02
6, 6
0, 8727
]5, ∞[
5
1 − 0, 98 = 0, 02
6, 6
0, 3879
(
Lösung:
F0 (t) =
1 − e−0,8t ; t ≥ 0
0
; t<0
r = 6 Klassen ; s = 1 geschätzter Parameter
n = 330
6 (nk − npk )2
P
k=1
X
npk
2
r−s−1,90%
Da u2r ≤ X
181, 5
(nk − npk )2
npk
0, 0014
n · pk
= 1, 675 = u26
=X
2
4,90%
2
r−s−1,P %
= 7, 78
d.h. u26 = 1, 675 ≤ X
2
4,90%
= 7, 78
braucht H0 : F = F0 nicht verworfen zu werden.
zu Aufgabe 3
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Aufgabe 4 (ca. 10 P)
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Die Wachstumsrate X der Umsätze einer bestimmten Firma möge Werte
zwischen -1 und +3 annehmen
(
c · (x + 1) für − 1 ≤ x ≤ 3
und werde durch folgende Funktion f : IR → IR beschrieben: f (x) =
0
sonst ; c ∈ IR
a) Bestimmen Sie c ∈ IR derart, daß f Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X ist.
b) Berechnen Sie die Verteilungsfunktion von X.
Lösung:
a)
+∞
R
f (x)dx = 1 =⇒
−∞
R3
c · (x + 1)dx = 1
−1
=⇒ c ·
(x + 1)2 3
1
|−1 = 1 =⇒ c · 8 = 1 =⇒ c =
2
8
(
b) f (x) =
1
(x
8
+ 1) ; −1 ≤ x ≤ 3
0
sonst
Verteilungsfunktion F :
F =
Rx
f (ξ)dξ
−∞
Fall 1: x < −1 =⇒ F (x) = 0
Fall 2: −1 ≤ x ≤ 3
F (x) =
Rx 1
−1
8
(ξ + 1)dξ =
1 (ξ + 1)2 x
1
|−1 = (x + 1)2
8
2
16
Fall 3: x > 3 =⇒ F (x) = 1
Zusammenfassung:
F (x) =



 0
1
(x
16


 1
+ 1)
2
; x < −1
; −1 ≤ x ≤ 3
; x>3
zu Aufgabe 4
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c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit positiver Wachstumsraten.
d) Welches ist der Erwartungswert von X ?
Lösung:
c)
p(X) > 0) = 1 − p(X ≤ 0) =
= 1 − F (0) = 1 −
1
15
=
16
16
d)
EX =
+∞
R
x · f (x)dx =
−∞
=
R3
−1
1
x · (x + 1)dx =
8
"
#3
3
1Z 2
1 x3 x2
=
(x + x) dx =
+
8
8 3
2 −1
−1
1 27 9
1
1 1
=
+
−
− +
8 3
2
8
3 2
1 28
=
+4
8 3
=
5
3