- 13 - 13 7. Indexzahlen pi Preis des Gutes i zur Basiszeit pt Preis

- 13 -
- 14 8. Wahrscheinlichkeitsrechnung
7. Indexzahlen
Laplace'sche Wahrscheinlichkeitsdefinition
p0i
p
Preis des Gutes i zur Basiszeit
i
t
P( A) =
Preis des Gutes i zur Berichtszeit
q0i
Menge des Gutes i zur Basiszeit
qti
Menge des Gutes i zur Berichtszeit
G = Menge aller Elementarereignisse (Ereignisraum)
A = Ereignis (Teilmenge von G)
n
L
0 ,t
Kolmogorov-Axiome
∑ pt q0
i
I
Anzahl der Elementarereignisse in A
Anzahl der Elementarereignisse in G
( p) =
i
⋅ 100[ %]
i =1
n
Preisindex nach Laspeyres
∑ p0 q0
i
i
i =1
1. Axiom:
0 ≤ P( A) ≤ 1
2. Axiom:
P( G ) = 1
3. Axiom:
P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪...) = P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) +...
gilt für disjunkte Ereignisse
n
∑
I 0p,t ( p) =
i=1
n
∑
i=1
pti qti
⋅100[ %]
Preisindex nach Paasche
p0i qti
Bedingte Wahrscheinlichkeit
n
I 0L,t (q ) =
∑
p0i qti
i=1
n
∑
i=1
⋅100[ %]
Mengenindex nach Laspeyres
P(B A) =
p0i q0i
P (B ∩ A)
P ( A)
n
I
p
0 ,t
( q) =
∑
i=1
n
∑
pti qti
⋅100[ %]
Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Mengenindex nach Paasche
i i
t 0
pq
i=1
P(B A) = P (B | A ) = P(B)
n
I o ,t ( p ,q ) =
∑
i=1
n
∑
i=1
pti qti
⋅100[ %]
Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Umsatzindex (Wertindex)
p0i q0i
8.1.
01
Basisjahr 1
02
Basisjahr 2
Additionssatz
- für disjunkte Ereignisse
I02 ,t
I
= 01,t ⋅100[ %]
I01,02
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B )
P( A ∪ B ∪ C ) = P( A) + P( B ) + P( C )
Umbasierung von Basisjahr 1 auf Basisjahr 2
- für nicht-disjunkte Ereignisse
P ( A ∪ B ) = P( A ) + P ( B ) - P(A ∩ B)
P ( A ∪ B ∪ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) −P ( A ∩ B ) − P ( A ∩ C ) − P ( B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C )
13
14
- 15 8.2.
- 16 -
Multiplikationssatz
f ( xi ) ≥ 0
Eigenschaften:
∑
für stochastisch unabhängige Ereignisse
f ( xi ) = 1
i
P( A ∩ B ) = P( A) ⋅ P( B )
Verteilungsfunktion
P( X ≤ x ) = ∑ f ( xi )
P( A ∩ B ∩ C ) = P( A) ⋅ P( B ) ⋅ P( C )
xi ≤ x
für stochastisch abhängige Ereignisse
0 ≤ F ( x) ≤ 1
Eigenschaften:
P( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P( B A )
für x1 ≤ x 2 gilt F ( x1 ) ≤ F ( x 2 )
= P ( B ) ⋅ P( A B )
P( A ∩ B ∩ C ) = P ( A ) ⋅ P( B A ) ⋅ P( C A ∩ B )
8.3.
Erwartungswert
E ( X ) = ∑ xi f ( xi ) = µ
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit
i
Die Ereignisse Ai sind disjunkt und bilden eine endliche Zerlegung der Grundgesamtheit. Für
ein beliebiges Ereignis E innerhalb G gilt dann:
n
(
Var ( X ) = ∑ xi2 f ( xi ) − ( E ( X )) = σ2x
)
2
P ( E ) = ∑ P E Ai ⋅P (Ai )
i =1
Varianz
i
9.2.
Stetige Zufallsvariable
n
= ∑ ( E ∩ Ai )
Wahrscheinlichkeitsdichte
i=1
8.4.
(
Satz von Bayes
)
P Aj E =
( ) (
P Aj ⋅ P E Aj
n
)
i
dF ( x )
= F' ( x )
dx
Eigenschaften:
( A ) ⋅ P( E A )
∑P
i=1
f ( x) =
f ( x) ≥ 0
i
+∞
∫
f ( x)dx = 1
−∞
9. Zufallsvariable, Wahrscheinlichkeitsverteilung
9.1.
Verteilungsfunktion
Diskrete Zufallsvariable
x
Wahrscheinlichkeitsfunktion
F ( x ) = P( X ≤ x ) =
∫
−∞
P( X = xi ) = f ( xi )
15
16
f ( v )dv
- 17 -
- 18 10.2. Hypergeometrische Verteilung
Erwartungswert
Parameter
∞
F ( X ) = ∫ x f ( x ) dx = µ
=
=
=
n
N
M
−∞
Varianz
∞
Stichprobenumfang
Umfang der Grundgesamtheit
Zahl der Elemente in der Grundgesamtheit mit einer
bestimmten Eigenschaft
2
Var ( X ) = ∫ x 2 f ( x ) dx − [ E ( x )] = σ2x
P( X = x ) = f H ( x n , N , M )
−∞


f H ( x n, N , M ) =
10. Diskrete Verteilungen
M

x
10.1. Binomialverteilung
Parameter
E( X ) = n ⋅
Wahrscheinlichkeitsfunktion
f B ( x n, p) = 


x
p ⋅ ( 1 − p)
x
N − M
n− x
N





n


M
N
Varianz
P( X = x ) = f B ( x n , p)
n

Erwartungswert
n = Stichprobenumfang
p = Erfolgswahrscheinlichkeit des Elementarereignisses



Var ( X ) = n ⋅
n− x
M N − M N −n
⋅
⋅
N
N
N −1
10.3. Poissonverteilung
Verteilungsfunktion
Parameter
P( X ≤ x ) = FB ( x )
µ
Erwartungswert , Varianz
Wahrscheinlichkeitsfunktion
Erwartungswert
P( X = x ) = f P ( x µ )
E( X ) = n⋅ p
µ x e− µ
x!
Varianz
f P ( x µ) =
Var ( X ) = n ⋅ p ⋅ (1 − p )
Verteilungsfunktion
P( X ≤ x ) = FP ( x µ )
Rekursionsformel
17
18
- 19 f ( x + 1 µ) =
- 20 -
(
P( X1 = x1 ,..., X k = xk ) = f AH x1 , x2 ,..., xk n , N 1 , N 2 ,... N k
µ
f ( x µ)
x +1
Erwartungswert
E( X ) = µ
(
)
f AH x1 ,..., x k n , N1 ,..., N k =
Varianz
N1 

N2 

x1 

x2 
N 






Var ( X ) = µ
k
i=1
=n
pi = Erfolgswahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse
Erwartungswert
Wahrscheinlichkeitsfunktion
E ( Xi ) = n ⋅
(
P( X 1 = x1 ,..., X k = xk ) = f M x1 , x2 ,..., xk n , p1 ,..., pk
(
)
f M x1 , x2 ,..., xk n , p1 , p2 ,..., pk =
k
∑ xi
mit
i=1
=n
Ni
N
Varianz
)
Var ( X i ) = n ⋅
n!
p x1 ⋅ p2x2 ⋅...⋅ pkxk
x1 ! x2 !... xk ! 1
k
und ∑ pi = 1
i=1
Erwartungswert
( E( X ) = n ⋅ p )
i
Varianz
Var ( X i ) = n ⋅ pi ⋅ ( 1 − pi )
10.5. Allgemeine hypergeometrische Verteilung
n = Stichprobenumfang
N i = Zahl der Elemente in der Grundgesamtheit mit einer bestimmten, für
jedes i verschiedenen Eigenschaft
Wahrscheinlichkeitsfunktion
19
20
Ni  Ni  N − n
⋅ 1 −  ⋅
N  N −1
N 

Nk 

xk
... 



n
k
und
n = Stichprobenumfang
Parameter
Parameter
∑ xi
mit
10.4. Multinomialverteilung
i

∑ Ni
i=1
=N
)