Lineare Algebra

Lineare Algebra
Jung Kyu Canci
Mit der Hilfe von:
Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher, Viviane Wehrle
Herbstsemester 2015
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung in die Lineare Algebra
1.1 Elementare Logik . . . . . . . . . .
1.1.1 Aussagen . . . . . . . . . .
1.1.2 Verknüpfung von Aussagen
1.1.3 Wichtige Bemerkungen . .
1.2 Elementare Mengentheorie . . . . .
1.2.1 Quantoren . . . . . . . . . .
1.2.2 Zahlenmengen . . . . . . .
1.3 Abbildungen und Relationen . . .
1.3.1 Abbildungen . . . . . . . .
1.3.2 Relationen . . . . . . . . .
1.4 Ringe und Körper . . . . . . . . .
1.4.1 Ringe . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Wichtiges Beispiel . . . . .
1.4.3 Polynomringe . . . . . . . .
1.4.4 Körper . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Komplexe Zahlen . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
5
10
12
15
15
17
17
19
22
22
24
26
27
28
4
INHALTSVERZEICHNIS
Kapitel 1
Einführung in die Lineare Algebra
1.1
1.1.1
Elementare Logik
Aussagen
In der Mathematik und in der Logik ist eine Aussage ein sprachliches Gebilde, das
entweder wahr oder falsch ist. Auch wenn wir nicht wissen, welches von beiden gilt,
muss erkennbar sein, dass eine und nur eine der beiden Möglichkeiten zutreffen kann.
Beispiel 1.1. Dies sind Aussagen:
• “Ein Hund ist ein Tier.” (Wahr)
• “2 plus 2 ist gleich 3.” (Falsch) Man schreibt auch 2 + 2 = 3.
• “Jedes Vielfache von 4 ist eine gerade Zahl.” (Wahr)
Dies sind keine Aussagen:
• “2+2.” Es fehlt etwas.
• “α ist grösser als 5.” Man weiss nicht, was α ist; es muss zuerst α definiert werden.
Vorsicht: Es gibt einige Sätze, bei denen kein Mensch bestimmen kann, ob sie gelten
oder nicht. Aber man erkennt, dass sie entweder falsch oder wahr sind.
Beispiel 1.2. “Jede gerade Zahl grösser als 3 ist die Summe zweier Primzahlen.” Dies
ist eine Aussage, von der kein/e Mathematiker/in weiss, ob sie wahr oder falsch ist.
1.1.2
Verknüpfung von Aussagen
Man kann neue Aussagen bilden, indem zwei oder mehr Aussagen verknüpft werden.
5
6
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
• Disjunktion. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ∨ q ist wahr, wenn
entweder p oder q oder beide Aussagen p und q wahr sind. Die Wahrheitstabelle
von p ∨ q ist folgende, wobei m wahr und 7 falsch bedeutet.
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p∨q
m
m
m
7
(1.1)
Z.B. zeigt die erste Reihe, dass p ∨ q wahr ist, wenn p und q beide wahr sind. Die
zweite Reihe zeigt, dass p ∨ q wahr ist, wenn p falsch und q wahr ist.
Wenn man in der Mathematik die Aussage “p oder q sind wahr” sagt, können auch
beide wahr sein.
Beispiel 1.3. Sei p die Aussage p: “6 ist eine Primzahl” und sei q die Aussage q:
“7 ist eine Primzahl”. p ∨ q ist die Aussage p ∨ q: “Entweder 6 ist eine Primzahl
oder 7 ist eine Primzahl oder beides sind Primzahlen”. Obwohl p falsch ist, ist p ∨ q
wahr, weil q wahr ist.
• Konjunktion. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ∧ q ist nur dann wahr,
wenn beide Aussagen wahr sind. Die Wahrheitstabelle von p ∧ q ist folgende:
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p∧q
m
7
7
7
(1.2)
Wenn mindestens eine der Aussagen p und q falsch ist, ist p ∧ q falsch.
Beispiel 1.4. Seien a, b, c die folgenden Aussagen:
a: 42 = 16;
b: sin π = 1;
c: cos π = −1;
Es gilt: a ∧ b ist falsch, a ∧ c ist wahr, b ∧ c ist falsch.
• Implikation. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ⇒ q ist wahr, wenn die
Aussage q logisch aus der Aussage p folgt. Um genau zu sein, betrachten wir die
Wahrheitstabelle von p ⇒ q:
1.1. ELEMENTARE LOGIK
7
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p⇒q
m
7
m
m
Die Implikation p ⇒ q ist genau dann falsch, wenn p wahr und q falsch ist. In allen
anderen Fällen ist p ⇒ q wahr. Man sagt, dass p ⇒ q genau dann stimmt, wenn p
wahr und q falsch nicht möglich ist.
Beispiel 1.5. Seien a, b, und c die folgenden Aussagen:
a: Es regnet.
b: Es gibt Wolken.
c: Ich bin glücklich.
a ⇒ b stimmt, weil es nicht möglich ist, dass es regnet und es keine Wolken gibt.
Wir nehmen an, dass ich den Regen nicht mag. Also ist a ⇒ c falsch. Denn wenn
a wahr ist, ist c falsch.
• Äquivalenz. Seien p und q zwei Aussagen. Die Aussage p ⇔ q ist die Zusammenfassung von (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p). Die Wahrheitstabelle ist folgende:
p
m
m
7
7
q
m
7
m
7
p⇔q
m
7
7
m
Daher sind zwei Aussagen p und q genau dann äquivalent, wenn die Wahrheitswerte
von p und q gleich sind.
Beispiel 1.6. Seien a, b, und c die folgenden Aussagen:
a: Ich habe eine 4 in der Prüfung von Lineare Algebra bekommen.
b: Ich habe die Prüfung in Lineare Algebra bestanden.
c: Ich habe eine Note grösser oder gleich 4 in der Prüfung von Lineare Algebra
bekommen.
a ⇒ b stimmt. Aber a ⇔ b stimmt nicht, weil b nicht a impliziert. b ⇔ c stimmt.
• Negation. Sei p eine Aussage. Die Aussage ¬p ist immer dann wahr, wenn die
Aussage p falsch ist, und immer dann falsch, wenn die Aussage p wahr ist. Die
Wahrheitstabelle ist folgende:
p ¬p
m 7
(1.3)
7 m
8
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Beispiel 1.7. Sei p die folgende Aussage:
p: “Ich habe Lust, die Aufgaben in Lineare Algebra zu lösen.”.
Also ist ¬p: “Ich habe keine Lust, die Aufgaben in Lineare Algebra zu lösen.”.
Vorsicht! ¬p ist nicht äquivalent zu “Ich hasse es, die Aufgaben in Lineare Algebra
zu lösen.”.
Einige Eigenschaften der Verknüpfungen von Aussagen
Seien a, b, c feste Aussagen, aber beliebig gewählt.
• Kommutativgesetz. Die Aussagen
i) “a ∨ b ist äquivalent zu b ∨ a”
ii) “a ∧ b ist äquivalent zu b ∧ a”
gelten.
Beweis: Trivial oder betrachte die Tabellen (1.1) und (1.2) zuerst mit a = p und
b = q und dann mit a = q und b = p.
• Assoziativgesetz. Die Aussagen
i) “a ∨ (b ∨ c) ist äquivalent zu (a ∨ b) ∨ c”
ii) “a ∧ (b ∧ c) ist äquivalent zu (a ∧ b) ∧ c”
gelten. Z.B. wird durch die Klammer in a∨(b∨c) angezeigt, dass zuerst die Aussage
b∨c betrachtet werden soll und dann die Disjunktion der Aussage a mit der Aussage
b ∨ c; analog mit den anderen Aussagen (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) und (a ∧ b) ∧ c.
Beweis von i). Durch die folgende Wahrheitstabelle:
a
m
m
7
7
m
m
7
7
b
m
7
m
7
m
7
m
7
c
m
m
m
m
7
7
7
7
b∨ c
m
m
m
m
m
7
m
7
a∨(b∨ c)
m
m
m
m
m
m
m
7
a∨ b
m
m
m
7
m
m
m
7
(a∨ b)∨ c
m
m
m
m
m
m
m
7
Alternativer Beweis: Die Aussage a ∨ (b ∨ c) ist genau dann wahr, wenn mindestens
eine der Aussagen a und b ∨ c gilt. Ferner ist die Aussage b ∨ c wahr genau dann,
wenn mindestens eine der Aussagen b und c gilt. Daher ist die Aussage a ∨ (b ∨ c)
wahr genau dann, wenn mindestens eine der Aussagen a, b oder c gilt. Analog für
(a ∨ b) ∨ c.
Beweis von ii). Siehe Aufgabe 1.4.
1.1. ELEMENTARE LOGIK
9
• Distributivgesetz. Die Aussagen
i) “a ∨ (b ∧ c) ist äquivalent zu (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)”
ii) “a ∧ (b ∨ c) ist äquivalent zu (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)”
gelten.
Beweis von i). Durch die folgende Wahrheitstabelle:
a
m
m
7
7
m
m
7
7
b
m
7
m
7
m
7
m
7
c
m
m
m
m
7
7
7
7
b∧ c
m
7
m
7
7
7
7
7
a∨(b∧ c)
m
m
m
7
m
m
7
7
a∨ b
m
m
m
7
m
m
m
7
a∨ c
m
m
m
m
m
m
7
7
(a∨ b)∧(a∨ c)
m
m
m
7
m
m
7
7
Beweis von ii). Siehe Aufgabe 1.5.
• Prinzip der doppelten Negation. Der Wahrheitswert von ¬¬a ist gleich wie a. Um
das zu sehen, betrachte die folgende Wahrheitstabelle:
a
m
7
¬a
7
m
¬¬ a
m
7
Wir habe zwei Mal die Wahrheitstabelle in (1.3) angewandt (zuerst mit a statt p
und dann mit ¬a statt p). Man sagt auch, dass a äquivalent zu ¬¬a ist.
Beispiel 1.8. Sei a die Aussage a: “Ich habe einen Apfel gegessen”. Die Aussage
¬¬a besagt: “Es ist falsch, dass ich keinen Apfel gegessen habe”.
• De Morgansche Gesetze.
i) ¬(a ∨ b) ist äquivalent zu ¬a ∧ ¬b.
Beweis: Gemäss der Tabelle (1.1) gilt
a
m
m
7
7
und gemäss der Tabelle (1.2) gilt
b
m
7
m
7
¬(a ∨ b)
7
7
7
m
10
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
a
m
m
7
7
b
m
7
m
7
¬a
7
7
m
m
¬b
7
m
7
m
¬a ∧ ¬b
7
7
7
m
Beispiel 1.9. Sei a wie im Beispiel 1.8. Sei b die Aussage b: “Ich habe eine
Birne gegessen.”. a ∨ b besagt: “Ich habe einen Apfel gegessen oder ich habe
eine Birne gegessen.”. Daher sagt die Aussage ¬(a∨b): “Es ist nicht wahr, dass
ich einen Apfel oder eine Birne gegessen habe.”. Andererseits sagt ¬a ∧ ¬b:
“Ich habe keinen Apfel gegessen und ich habe keine Birne gegessen.”.
ii) ¬(a ∧ b) ist äquivalent zu ¬a ∨ ¬b.
Beweis: Siehe Aufgabe 1.3.
1.1.3
Wichtige Bemerkungen
Die gemeinsame Logik (die Logik der Menschen) hat folgende wesentliche Prinzipien:
• Prinzip der Zweiwertigkeit (Bivalenzprinzip). Jede Aussage ist entweder wahr oder
falsch. Ist das Prinzip der Zweiwertigkeit nicht erfüllt, spricht man von mehrwertiger Logik. Wir werden hier nie mehrwertige Logik betrachten.
• Satz vom Widerspruch. Zwei sich widersprechende Aussagen können nicht zugleich
zutreffen. In mathematischen Symbolen: a ∧ ¬a ist immer falsch für jede Aussage
a.
Hinreichende und notwendige Bedingungen
Wirklich wichtig ist die Veknüpfung “⇒” (Implikation). Seien a und b zwei Aussagen.
Nehmen wir an, dass die Aussage a ⇒ b wahr ist. Man sagt, dass die Prämisse a eine
hinreichende Bedingung für die Konklusion b ist und die Konklusion b eine notwendige
Bedingung für die Prämisse a ist.
Seien a und b wie im Beispiel 1.5. a ist eine hinreichende Bedingung für b. Wenn
es regnet, müssen (mindestens ein paar) Wolken am Himmel sein. Aber das Gegenteil
gilt nicht: Es können Wolken am Himmel sein, ohne dass es regnet. Also ist die Aussage “Es regnet” nur eine hinreichende Bedingung für die Aussage “Es gibt Wolken”
(und die Aussage “Es gibt Wolken” ist nur eine notwendige Bedingung für die Aussage
“Es regnet”). Die Aussage a ⇒ b liest man wie folgt: “Wenn es regnet, dann gibt es
Wolken.”.
Antinomien
Eine Antinomie ist ein Satz, der einen Widerspruch enthält. Sie ist keine Aussage. Man
kann nicht bestimmen, ob sie wahr oder falsch ist, weil es immer einen Widerspruch
(Kontradiktion) gibt.
1.1. ELEMENTARE LOGIK
11
Beispiel 1.10. Antinomie des Barbiers:
“Man kann einen Barbier als einen definieren, der all jene und nur jene rasiert, die sich
nicht selbst rasieren.”
Die Frage ist: Rasiert der Barbier sich selbst?
Beim Versuch, die Frage zu beantworten, ergibt sich ein Widerspruch. Denn angenommen
der Barbier rasiert sich selbst, dann gehört er zu denen, die er laut Definition nicht
rasiert, was der Annahme widerspricht. Angenommen es gilt das Gegenteil und der
Barbier rasiert sich nicht selbst, dann erfüllt er selbst die Eigenschaft derer, die er rasiert,
entgegen der Annahme.
Aufgaben
Aufgabe 1.1. Bestimmen Sie, welche Sätze Aussagen sind:
(a) Das ist eine Katze.
(b) Eine Katze ist ein Tier.
(c) Ein Hund und eine Katze.
(d) Wie viel Uhr ist es?
(e) Nicht rauchen!
(f) Rauchen ist verboten.
(g) Ich lüge immer.
(h) Eine ganze Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3
teilbar ist.
Bilden Sie für jede obige Aussage die Negation.
Aufgabe 1.2. Seien p und q zwei Aussagen. Betrachten Sie die Aussagen A : p ⇒ q und
B : ¬q ⇒ ¬p. Beweisen Sie, dass A äquivalent zu B ist. Geben Sie ein paar Beispiele.
Aufgabe 1.3. Beweisen Sie Teil ii) aus den De Morganschen Gesetzen: ¬(a ∧ b) ⇔
¬a ∨ ¬b.
Aufgabe 1.4. Beweisen Sie Teil ii) des Assoziativgesetzes: a ∧ (b ∧ c) ⇔ (a ∧ b) ∧ c.
Aufgabe 1.5. Beweisen Sie Teil ii) des Distributivgesetzes: a ∧ (b ∨ c) ⇔ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c).
12
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
1.2
Elementare Mengentheorie
Eine Menge ist eine abstrakte Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen. Diese Objekte heissen Elemente einer Menge.
Sei M eine Menge. “x ∈ M ” bezeichnet “x ist ein Element von M ” oder anders
gesagt “x ist in M ”.
“x ∈
/ M ” bezeichnet “x ist kein Element von M ” und ist gleichwertig mit “x ist nicht
in M ”.
Es gibt zwei Arten, Mengen zu beschreiben:
• Durch die Angabe der Elemente.
Zum Beispiel:
M = {Viviane Wehrle, Stefano Iula, Olivia Ebneter, Katharina Laubscher}
Daher ist M die Menge der Assistierenden in Lineare Algebra 1.
• Durch die Angabe einer Eigenschaft, die zwischen x ∈ M und x ∈
/ M unterscheidet.
Zum Beispiel:
M = {x | x ist ein/e Assistent/in in Lineare Algebra 1 im HS2015 in Basel}
Man liest “M ist die Menge der Elemente x, so dass x ein ... ist”.
Sind alle Elemente einer Menge N zugleich Elemente von M , so heisst N eine Teilmenge
oder Untermenge von M und man schreibt
N ⊂ M.
Wenn N ⊂ M und M ⊂ N , dann enthalten N und M genau dieselben Elemente. Man
nennt die Mengen M , N gleich und schreibt
M = N.
Die Notation
N (M
bedeutet, dass N ⊂ M und dass es mindestens ein x ∈ M gibt, s.d. x ∈
/ N.
Die leere Menge ist eine Menge, die keinerlei Elemente enthält. Daher gibt es nur
eine einzige leere Menge. Als Zeichen für die leere Menge verwendet man ∅ (auch ∅ oder
{}). Es gilt
∅⊂M
für jede beliebige Menge M .
Seien A und B beliebige Mengen. Die Menge D, die aus allen Elementen besteht,
welche sowohl zu A als auch zu B gehören, heisst Durchschnitt der Mengen A und B.
Man schreibt:
D = A ∩ B.
1.2. ELEMENTARE MENGENTHEORIE
13
Beispiel 1.11. Seien A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {5, 6, 7} und C = {6, 7}. Dann ist
A ∩ B = {5}, A ∩ C = ∅, B ∩ C = C.
Wie vorher seien A und B beliebige Mengen. Die Menge V , die aus allen Elementen
besteht, die zu mindestens einer der Mengen A oder B gehören, heisst Vereinigungsmenge
von A und B. Man schreibt:
V = A ∪ B.
Beispiel 1.12. Seien A, B, C wie im Beispiel 1.11. Dann ist
A ∪ B = {x | x ganze Zahl und 1 ≤ x ≤ 7} = A ∪ C, B ∪ C = B.
Sei A eine Teilmenge einer Menge U (manchmal wird eine solche Menge U Universum genannt). Ac bezeichnet genau die Menge der Elemente aus U , welche nicht in A
enthalten sind. D.h.
Ac = {x ∈ U | x ∈
/ A}.
Ac heisst das Komplement von A in U . In einem Mengendiagramm sieht die Situation
so aus:
Dabei ist A der weisse Kreis und U das ganze Rechteck. Das Komplement Ac ist rot
gefärbt.
Sei B eine andere Teilmenge von U (B kann auch gleich A sein). Die Menge B \ A
bezeichnet genau die Menge der Elemente aus B, welche nicht in A enthalten sind. D.h.
B \ A = {x ∈ B | x ∈
/ A}.
In einem Mengendiagramm:
Dabei bezeichnet jetzt A den linken und B den rechten Kreis und U weiterhin das
gesamte Rechteck. Die Menge B \ A ist rot gefärbt.
Die Menge B \ A wird relatives Komplement von A in B genannt oder einfacher als B
ohne A bezeichnet.
14
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Beispiel 1.13. Seien A, B, C wie im Beispiel 1.11. Sei U = A ∪ B ∪ C. Dann ist
Ac = C\A = C, B c = {1, 2, 3, 4} = A\B, C c = A, A\C = A, B\C = {5}, B\A = {6, 7}.
Man benutzt Klammern in der Mengentheorie wie in Rechnungen: z.B. betrachtet
man im Ausdruck A ∪ (B ∪ C) zuerst die Menge B ∪ C als die Vereinigungsmenge von B
und C und dann die Menge A ∪ (B ∪ C) als die Vereinigungsmenge der Mengen A und
B ∪ C. Es gilt folgender Satz:
Satz 1.14. Seien A, B, C drei beliebige Teilmengen einer Menge U . Es gelten die folgenden Eigenschaften:
1. A ∪ B = B ∪ A und A ∩ B = B ∩ A.
2. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C und A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C.
3. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) und A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
4. A = (Ac )c .
5. (A ∪ B)c = Ac ∩ B c und (A ∩ B)c = Ac ∪ B c .
Beweis. Einige der obigen Eigenschaften sind ganz einfach zu beweisen (z.B. 1)). Im
Allgemeinen betrachtet man folgende Aussagen: a:“x ∈ A”, b:“x ∈ B”, c:“x ∈ C”.
Dann wenden Sie das Kommutativ-, das Assoziativ- und das Distributivgesetz sowie das
Prinzip der doppelten Negation und die De Morgansche Gesetze auf die Aussagen a, b, c
an.
Seien A und B zwei beliebige Mengen. Das kartesische Produkt zweier Mengen A
und B ist die Menge aller geordneten Paare von Elementen der beiden Mengen, wobei
die erste Komponente ein Element von A und die zweite Komponente ein Element der
Menge B ist. Man schreibt
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Beispiel 1.15. Seien B, C wie im Beispiel 1.11. Also
B × C = {(5, 6), (5, 7), (6, 6), (6, 7), (7, 6), (7, 7)}.
Vorsicht! Im Allgemeinen ist (a, b) 6= (b, a). Die Position ist wichtig. Z. B. sind in der
obigen Menge B × C die Elemente (6, 7) und (7, 6) nicht gleich.
Sei A eine beliebige Menge. P(A) bezeichnet die Potenzmenge von A, die die Menge
aller Teilmengen von A ist.
Beispiel 1.16. Es gilt:
• P(∅) = {∅}.
• P({a}) = {∅, {a}}.
1.2. ELEMENTARE MENGENTHEORIE
15
• P({a, b}) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
Vorsicht! Die Menge {∅} ist eine Menge, die genau ein Element enthält. Dieses
Element ist die Leermenge. Es gilt a ∈ {a, b}, {a} ⊂ {a, b} und {a} ∈ P({a, b}).
Satz 1.17. Sei n eine beliebige aber feste ganze Zahl n ≥ 0. Sei A eine Menge mit genau
n Elementen. Dann hat die Potenzmenge P(A) genau 2n Elemente.
Beweis. Man beweist den Satz durch vollständige Induktion über n. Induktionsanfang:
Sei n = 0 (also A = ∅). Dann ist P(∅) = {∅}, P(∅) hat also genau 20 = 1 Element.
Induktionsschritt: Wir nehmen die Induktionsvoraussetzung an, d.h. dass P(A) genau 2n
Elemente hat für jede Menge A mit n Elementen. Sei B eine Menge mit n+1 Elementen.
Dann existiert eine Teilmenge A ⊂ B und ein Element x ∈ B, so dass B = A ∪ {x}.
Daher enthält A genau n Elemente. Jede Teilmenge von B ist entweder eine Teilmenge
von A oder von der Form C ∪ {x}, wobei C eine Teilmenge von A ist. Die Anzahl der
Teilmengen erster Sorte ist 2n und die Anzahl der Teilmengen zweiter Sorte ist ebenfalls
2n . Daher hat die Potenzmenge P(B) genau 2 · 2n = 2n+1 Elemente.
1.2.1
Quantoren
Der Existenzquantor wird durch das Zeichen ∃ dargestellt. Die Schreibweise ∃x bedeutet:
“Es existiert (gibt) ein x ...”. Z.B. sei n eine beliebige ganze Zahl. Sei Xn = {n, n + 2, n +
4}. ∃x ∈ Xn , so dass x ein Vielfaches von drei ist.
Die Schreibweise @ ist die Negation von ∃. Z.B. sei n eine gerade Zahl und Xn wie
oben beschrieben. Also @x ∈ Xn s.d. x ungerade ist.
Die Schreibweise ∃! bedeutet “Es gibt ein x und genau ein x ...”. Z.B. sei Xn wie
oben beschrieben. Also ∃!x ∈ Xn , s.d. x ein Vielfaches von drei ist.
Der Allquantor wird durch das Zeichen ∀ dargestellt. Die Schreibweise ∀x bedeutet:
“Für jedes x ...”. Z.B. sei n eine gerade Zahl und Xn wie oben beschrieben. Dann ist x
eine gerade Zahl ∀x ∈ Xn .
Beispiel 1.18. Die folgende Aussage ist wahr: “∀ Pferd, das meine Vorlesung besucht,
gilt, dass es die Farbe grün hat”. Die Aussage ist wahr, weil kein Pferd meine Vorlesungen besucht. In der Logik sagt man, dass die Leermenge jede Eigenschaft erfüllt.
1.2.2
Zahlenmengen
Mit N bezeichnen wir die Menge der natürlichen Zahlen.
N = {1, 2, 3, . . .}
(Um die natürlichen Zahlen richtig zu definieren braucht man die Peano-Axiome). Mit
N0 bezeichnen wir N ∪ {0}.
Mit Z bezeichnen wir die Menge der ganzen Zahlen.
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
16
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Die Menge Q der rationalen Zahlen ist die Menge, die alle Brüche zweier ganzer
Zahlen enthält:
nz
o
Q=
| z, n ∈ Z, n 6= 0 .
n
a c
Erinnerung: Seien b , d ∈ Q (also bd 6= 0). Dann gilt ab = dc genau dann, wenn ad−bc = 0.
Mit R bezeichnen wir die Menge der reellen Zahlen. Es gibt eine intuitive Idee hinter
den reellen Zahlen. Man kann sie sich als Gerade vorstellen:
Eine andere Darstellung der reellen Zahlen ist die folgende:
R = {a0 , a1 a2 a3 . . . | a0 ∈ Z, ai ∈ {0, 1, . . . , 9} ∀i ∈ N} .
Eine echte Definition der reellen Zahlen ist:
“Die reellen Zahlen sind die Grenzwerte der Cauchy–Folgen rationaler Zahlen”. (Diese
Begriffe werden Sie in Analysis kennenlernen).
Aufgaben
Aufgabe 1.6. Seien A, B zwei Mengen. Beweisen Sie, dass A = B genau dann wenn
∃ eine Menge C mit
A ∩ C = B ∩ C und A ∪ C = B ∪ C.
Aufgabe 1.7. Seien A, B zwei Mengen. Beweisen Sie
1. A \ (A \ B) = A ∩ B;
2. (A \ B) \ (B \ A) = A \ B;
3. A ∪ (B \ A) = A ∪ B;
4. (A \ B) ∪ (A ∩ B) = A.
Aufgabe 1.8. Seien A, B, C drei Mengen. Beweisen Sie
1. (A \ B) \ C = A \ (B ∪ C);
2. (A \ B) \ C ⊂ A \ (B \ C);
3. (A \ B) \ C = A \ (B \ C) genau dann wenn A ∩ C = ∅.
4. A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C).
1.3. ABBILDUNGEN UND RELATIONEN
17
Aufgabe 1.9. Die symmetrische Differenz zweier Teilmengen A, B einer Universummenge ist die Menge definiert durch:
A 4 B := (A \ B) ∪ (B \ A).
Beweisen Sie, dass
A 4 B = (A ∪ B) \ (A ∩ B).
Aufgabe 1.10. Bestimmen Sie die Potenzmengen von A = P(∅) und B = P({a}).
Aufgabe 1.11. Seien A, B zwei Mengen. Beweisen Sie
1. P(A) ∪ P(B) = P(A ∪ B) genau dann wenn A ⊂ B oder B ⊂ A;
2. P(A \ B) ⊂ (P(A) \ P(B)) ∪ {∅};
3. P(A \ B) = (P(A) \ P(B)) ∪ {∅} genau dann wenn A ⊂ B oder A ∩ B = ∅.
1.3
Abbildungen und Relationen
1.3.1
Abbildungen
Definition 1.19. Seien X, Y zwei Mengen. Eine Abbildung von X nach Y ist eine
Vorschrift f , die jedem x ∈ X ein eindeutig bestimmtes y = f (x) ∈ Y zuordnet. X wird
Definitionsmenge genannt, Y Zielmenge.
Man schreibt
f: X → Y
x 7→ y = f (x)
Beispiel 1.20. Folgendes sind Abbildungen:
1.
f: R → R
x 7→ x2
f : {1, 2, 3}
1
2.
2
3
→
7→
7→
7→
{1, 2}
f (1) = 1
f (2) = 2
f (3) = 1
Folgendes sind keine Abbildungen:
3.
f: R → R
√
x 7→
x
f (x) ist nicht definiert für negative x. Wenn die Definitionsmenge R≥0 = {x ∈ R |
x ≥ 0} ist anstatt R, ist f eine Abbildung.
18
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
4.
f : [−1, 1] → R
.
x 7→ arcsin x
f ist keine Abbildung, weil gilt sin(x) = sin(x + 2nπ) ∀n ∈ Z. Wenn die Zielmenge
[−π/2, π/2] ist anstatt R, ist f eine Abbildung.
Zwei Abbildungen f : X → Y , g : X 0 → Y 0 sind genau dann gleich, wenn X = X 0 ,
Y = Y 0 und f (x) = g(x) für jedes x ∈ X = X 0 .
Definition 1.21. Sei f : X → Y eine Abbildung und M ⊂ X eine Teilmenge. Dann
heisst
f |M : M → Y
x 7→ f (x)
die Einschränkung von f auf M .
Weiter bezeichnen wir mit
f (M ) = {y ∈ Y | ∃x ∈ M mit f (x) = y}
= {f (x) | x ∈ M } ⊂ Y
das Bild von M (in Y ). Insbesondere nennt man f (X) das Bild von f .
Sei N ⊂ Y eine Teilmenge. Die Teilmenge
f −1 (N ) = {x ∈ X | ∃f (x) ∈ N }
heisst Urbild von N in X.
Definition 1.22. Eine Abbildung f : X → Y zwischen zwei Mengen heisst
1. injektiv, wenn gilt aus f (x) = f (x0 ) folgt x = x0 für alle x, x0 ∈ X. Äquivalent
dazu ist: Für jedes y ∈ Y enthält das Urbild f −1 ({y}) entweder 0 oder 1 Element.
2. surjektiv, wenn f (X) = Y , d.h. wenn es zu jedem y ∈ Y ein x ∈ X mit f (x) =
y gibt. Äquivalent dazu ist: Für jedes y ∈ Y ist das Urbild f −1 ({y}) nicht die
Leermenge.
3. bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist. Äquivalent dazu ist: Für jedes y ∈ Y
enthält das Urbild f −1 ({y}) genau ein Element.
Ist f bijektiv, dann gibt es eine Umkehrabbildung
f −1 : Y → X
y 7→ x, so dass y = f (x).
Beispiel 1.23.
• Die Abbildung f definiert in Beispiel 1.20 1 ist nicht injektiv
(f (x) = f (−x) ∀x ∈ R). f ist nicht surjektiv, denn es gibt keine negative Zahl, die
ein Quadrat ist.
1.3. ABBILDUNGEN UND RELATIONEN
19
• Die Abbildung f definiert in Beispiel 1.20 2 ist nicht injektiv (f (1) = f (3) = 1). f
ist surjektiv, weil f ({1, 2, 3}) = {1, 2}.
• Die Abbildung f : [−1, 1] → [−π/2, π/2] definiert durch f (x) = arcsin x ist bijektiv
(folgt aus Trigonometrie).
Definition 1.24. Seien X, Y, Z Mengen und f : X → Y , g : Y → Z Abbildungen. Dann
heisst die Abbildung
g◦f: X → Z
x 7→ g(f (x))
die Komposition von f und g.
Bemerkung 1.25. Die Komposition von Abbildungen ist assoziativ, d.h. für f : X → Y ,
g : Y → Z, h : Z → W gilt
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
Beweis. Für jedes x ∈ X gilt:
((h ◦ g) ◦ f )(x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) = (h ◦ (g ◦ f ))(x).
Bemerkung 1.26. Die Komposition von Abbildungen ist nicht kommutativ. Z.B. Seien
f: R → R
,
x 7→ x + 1
g: R → R
x 7→ 2x + 1
Es gilt (f ◦ g)(x) = f (2x + 1) = 2x + 2 und (g ◦ f )(x) = g(x + 1) = 2x + 3.
Definition 1.27. Für eine Menge X heisst
f: X → X
x 7→ x
die identische Abbildung, bezeichnet mit idX .
Mit Hilfe der identischen Abbildung werden wir eine Charakterisierung der bijektiven
Abbildungen geben (Siehe Aufgabe 1.13).
1.3.2
Relationen
Für zwei gegebene Mengen A und B bezeichnet eine Relation R zwischen A und B eine
Teilmenge des kartesischen Produkts A × B:
R ⊂ A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}.
Definition 1.28. Sei X eine Menge. Eine Relation R ⊂ X×X auf X heisst Äquivalenzrelation,
wenn für alle x, y, z ∈ X gilt
20
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
1. (x, x) ∈ R; (reflexiv)
2. ∀x, y ∈ X gilt (x, y) ∈ R ⇔ (y, x) ∈ R; (symmetrisch)
3. (x, y), (y, z) ∈ R ⇒ (x, z) ∈ R; (transitiv)
Für x1 , x2 ∈ X schreibt man oft
x1 ∼ x2
statt (x1 , x2 ) ∈ R.
Beispiel 1.29.
1. Sei X eine beliebige Menge. Die Relation x ∼ y ⇔ x = y ist eine
Äquivalenzrelation.
2. Sei X = Z. Die Relation x ∼ y ⇔ (x − y ist gerade) ist eine Äquivalenzrelation.
3. Sei X = {p | p ist eine Aussage}. Die Relation x ∼ y ⇔ (x ist äquivalent zu y) ist
eine Äquivalenzrelation.
4. Seien X, Y Mengen. Sei f : X → Y eine Abbildung. Die Relation x1 ∼ x2 ⇔
f (x1 ) = f (x2 ) ist eine Äquivalenzrelation.
Ist auf einer Menge X eine Äquivalenzrelation ∼ definiert, betrachtet man für x ∈ X
die Menge
Ax := {y ∈ X | x ∼ y} .
Ax ist eine Untermenge von X und heisstÄquivalenzklasse von x.
Bemerkung 1.30. Für x, y ∈ X gilt:
1. Ax = Ay ⇔ x ∼ y;
2. Entweder ist Ax = Ay oder Ax ∩ Ay = ∅. (Es gibt keine andere Möglichkeit!)
Beweis. Wir beweisen zuerst 1.
“⇐” Annahme: x ∼ y. Sei z ein beliebiges Element von Ax . Dann gilt z ∼ x und gemäss
Annahme auch x ∼ y. Mit der Transitivität von ∼ haben wir z ∼ y. Also z ∈ Ay .
Daher Ax ⊂ Ay (weil z ein beliebiges Element von Ax ist). Ähnlich beweisen wir
Ay ⊂ Ax , also Ax = Ay .
“⇒” Da y ∈ Ay = Ax folgt y ∼ x.
Jetzt beweisen wir 2. Sei Ax ∩ Ay 6= ∅. Es folgt, dass es ein z ∈ Ax ∩ Ay gibt. Also z ∼ x
und z ∼ y. Daher x ∼ y (Transitivität), woraus mit 1 folgt Ax = Ay .
Die Äquivalenzklassen von X bezüglich ∼ betrachtet man nun als Elemente einer
neuen Menge X/ ∼.
1.3. ABBILDUNGEN UND RELATIONEN
21
Beispiel 1.31. Sei m ∈ N. Wir definieren eine Äquivalenzrelation auf Z durch x ∼ y
genau dann wenn gilt m teilt y − x. Man schreibt auch x ≡ y mod m wenn x ∼ y. Die
Äquivalenzklasse eines Elements n ∈ Z ist
An = {n + km | k ∈ Z} .
Oft schreibt man hier n anstatt An . Die Klasse n wird Restklasse von n modulo m
genannt. In der Tat kann man durch Division mit
Rest zeigen,dass es für jedes n ∈ Z
ein 0 ≤ r < m gibt, so dass n = r. Also Z/ ∼= 0, 1, . . . , m − 1 . Diese Menge ist auch
mit Z/mZ bezeichnet.
Aufgaben
Aufgabe 1.12. Seien A, B zwei Mengen und f : A → B eine Abbildung. Seien X1 , X2 ∈
P(A) und Y1 , Y2 ∈ P(B). Beweisen Sie
1. f (X1 ∩ X2 ) ⊂ f (X1 ) ∩ f (X2 );
2. f (X1 ∪ X2 ) = f (X1 ) ∪ f (X2 );
3. f (X1 \ X2 ) ⊃ f (X1 ) \ f (X2 );
4. f −1 (Y1 ∩ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∩ f −1 (Y2 );
5. f −1 (Y1 ∪ Y2 ) = f −1 (Y1 ) ∪ f −1 (Y2 );
6. f −1 (Y1 \ Y2 ) = f −1 (Y1 ) \ f −1 (Y2 );
Geben Sie Beispiele, bei denen in 1 und/oder 3 die Gleichheit nicht gilt.
Aufgabe 1.13. Zeigen Sie, dass gilt: f : X → Y ist bijektiv ⇔ ∃g : Y → X mit g ◦ f =
idX und f ◦ g = idY . (Ein solches g wird inverse Abbildung genannt und man sagt, dass
f invertierbar ist.)
Aufgabe 1.14. Beweisen Sie, dass die folgende Abbildung invertierbar ist:
f : R \ {1} → R \ {2} , x 7→
2x + 1
x−1
Bestimmen Sie die inverse Abbildung.
Aufgabe 1.15. Sei X eine endliche Menge. Sei f : X → X eine Abbildung. Beweisen
Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind:
1. f ist injektiv;
2. f ist surjektiv;
3. f ist bijektiv.
22
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Aufgabe 1.16. Sei X eine endliche Menge und A eine Teilmenge von X. Sei f : A → X
eine Bijektion. Beweisen Sie, dass A = X. Was könnten Sie sagen, wenn X unendlich
wäre?
Aufgabe 1.17. Sei X eine nichtleere Menge. Sei f : X → P(X) die Abbildung definiert
durch x 7→ X \ {x}. Beweisen Sie, dass f injektiv, aber nicht surjektiv ist.
Aufgabe 1.18. (∗ ) Beweisen Sie, dass es für jede Menge X keine Bijektion
f : X → P(X)
gibt.
Aufgabe 1.19. Beweisen Sie, dass die Relationen in Beispiel 1.29 Äquivalenzrelationen
sind.
Aufgabe 1.20. Sei X eine Menge. Eine Partition P ist eine Teilmenge der Potenzmenge P(X), deren Elemente nichtleere Teilmengen von X sind, sodass jedes Element von X
in genau einem Element von P enthalten ist. Sei A die Menge aller Äquivalenzrelationen
auf X und B die Menge aller Partitionen von X. Beweisen Sie, dass A in Bijektion zu
B steht.
Aufgabe 1.21. (∗ ) Seien A, B zwei nichtleere Mengen. Zeigen Sie: Wenn es eine injektive Abbildung f : X → Y und eine injektive Abbildung g : Y → X gibt, dann gibt es
eine Bijektion zwischen X und Y .
1.4
1.4.1
Ringe und Körper
Ringe
Definition 1.32. Eine Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen
+: R × R → R
,
(a, b) 7→ a + b
·: R × R → R
(a, b) 7→ a · b
heisst Ring, wenn gilt
G0. Die Verknüpfung + ist kommutativ : a + b = b + a ∀a, b ∈ R.
G1. Die Verknüpfung + ist assoziativ : a + (b + c) = (a + b) + c ∀a, b, c ∈ R.
G2. ∃ ein Element 0R ∈ R mit a+0R = a ∀a ∈ R. (0R heisst Nullelement oder neutrale
Element bzgl. +)
G3. ∀a ∈ R existiert b ∈ R, so dass a + b = 0R . Das Element b heisst additives Inverse
von a.
R1. Die Verknüpfung · ist assoziativ : a · (b · c) = (a · b) · c ∀a, b, c ∈ R.
1.4. RINGE UND KÖRPER
23
R.2 Es gelten die Distributivgesetze, d.h
a · (b + c) = a · b + a · c , (a + b) · c = a · c + b · c ∀a, b, c ∈ R.
Ein Ring heisst kommutativ wenn a · b = b · a ∀a, b ∈ R. Ein Element 1R ∈ R \ {0R }
heisst Einselement, wenn 1R · a = a · 1R = a ∀a ∈ R.
Um einen Ring zu definieren, braucht man ein Tripel (R, +, ·), wobei R eine Menge
und +, · zwei Verknüpfungen auf R sind. Wenn es klar ist, welches diese zwei Verknüpfungen sind, dann schreibt man nur R statt (R, +, ·).
Bemerkung 1.33. Es gibt nur ein Nullelement und es gilt
0R · a = a · 0R = 0R ∀a ∈ R.
(1.4)
Ferner, wenn R ein Einselement hat, ist es eindeutig.
Beweis. Eindeutigkeit von 0R . Seien 0a , 0b zwei Nullelemente von R. Es gilt:
0a = 0a + 0b = 0b .
Eindeutigkeit von 1R . Seien 1a , 1b zwei Einselemente von R. Es gilt:
1a = 1a · 1b = 1b .
Beweis von (1.4):
0R · a = (0R + 0R ) · a = 0R · a + 0R · a.
Also folgt 0R = 0R · a. Änlich beweist man a · 0R = 0R .
Beispiel 1.34. Die folgenden Beispielen sind Ringe:
1. R = {0R };
2. R = {0R , 1R };
3. Z, Q, R mit den üblichen Verknüpfungen + und ·;
4. Sei X eine beliebige Menge. Sei R = {f : X → R | f Abbildung} mit
(f + g)(x) = f (x) + g(x) , (f · g)(x) = f (x) · g(x) ∀f, g ∈ R, x ∈ X.
Wir werden in den folgenden Kapiteln Beispiele von nicht kommutativen Ringen
sehen.
Definition 1.35. Sei R ein Ring. x ∈ R heisst Links–bzw. Rechtsnullteiler, falls x 6= 0R
und ∃y ∈ R mit y 6= 0R und x · y = 0R bzw. y · x = 0R . Falls R kommutativ ist, so nennt
man so ein x Nullteiler. Ein kommutativer Ring mit Einselement, der kein Nullteiler
hat, heisst Integritätsbereich.
Ein Element x 6= 0R ist kein Links–bzw. Rechtsnullteiler wenn die Implikation
x · y = 0R (bzw. y · x = 0R ) ⇒ y = 0R
gilt.
Im nächsten Abschnitt werden wir Beispiele von Integritätsbereichen sehen. Wir
werden auch Beispiele von Ringen mit Nullteiler betrachten.
24
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
1.4.2
Wichtiges Beispiel
Division mit Rest: Für jedes a, b ∈ Z mit b 6= 0 gibt es ein q, r ∈ Z mit a = b · q + r
und 0 ≤ r < |b|. (|b| bezeichnet den Betrag von b)
Für ein m ∈ Z, sei mZ = {m · n | n ∈ Z} die Menge der Vielfachen von m. Für
a, b ∈ Z, sei ggT(a, b) der grösste gemeinsame Teiler von a und b.
Satz 1.36. Seien a, b ∈ Z \ {0} und m = ggT(a, b). Es gilt
aZ + bZ = mZ.
(1.5)
Beweis. Zuerst beweisen wir, dass ein n ∈ N existiert s.d.
aZ + bZ = nZ.
(1.6)
Dann zeigen wir n = ggT(a, b).
Behauptung 1: ∃n ∈ N mit (1.6) wahr.
Beweis der Behauptung 1 : Sei n die kleinste Zahl in N, die in aZ + bZ enthalten ist.
Seien i, j ∈ Z mit a · i + b · j = n. Dann n · c = a · i · c + b · j · c ∈ aZ + bZ ∀c ∈ Z. Daher
folgt aZ + bZ ⊃ nZ. Sei d ∈
/ nZ. O.B.d.A. nehmen wir d > 0 an. Wir wollen zeigen, dass
d∈
/ aZ + bZ. Bei der Division mit Rest ∃q, r ∈ Z mit 0 < r < n und d = q · n + r (r 6= 0
weil d ∈
/ nZ). Wenn d ∈ aZ + bZ folgt r = d − q · n ∈ aZ + bZ (da aZ + bZ ⊃ nZ).
Aber dies widerspricht der Minimalität von n als kleinste natürliche Zahl in aZ + bZ.
Das endet den Beweis der Behauptung 1.
Behauptung 2: Die Zahl n in (1.6) ist gleich ggT(a, b).
Beweis der Behauptung 2 : Der gösste gemeinsame Teiler ggT(a, b) von zwei Zahlen a, b ∈
Z \ {0} ist bestimmt durch die zwei folgenden Bedingungen:
• ggT(a, b) ist ein ganzer positiver Teiler von a und b;
• jeder andere gemeinsame Teiler von a und b teilt auch ggT(a, b).
Diese zwei Eigenschaften bestimmen den ggT(a, b). Also muss man zeigen, dass n die
zwei obigen Bedingungen erfüllt.
• Da (1.6) gilt, folgt a, b ∈ nZ. Also ist n ein gemeinsamer Teiler von a und b.
• Sei t ein gemeinsamer Teiler von a und b. Wie schon bemerkt ∃i, j ∈ Z mit n =
a · i + b · j. Also ist t auch ein Teiler von n.
Wir haben bewiesen, dass n = ggT(a, b).
Bemerkung 1.37. Wenn a = b = 0, folgt 0Z + 0Z = 0Z. Wenn a = 0 und b 6= 0, gilt
ggT(a, b) = b. So ist (1.5) mit m = ggT(a, b) trivialweise wahr.
Korollar 1.38. Sei p eine Primzahl und a, b ∈ Z mit p|a · b. Dann gilt p|a oder p|b.
1.4. RINGE UND KÖRPER
25
Beweis. Wenn a · b = 0 gibt es nichts zu zeigen, weil entweder a = 0 oder b = 0 und jede
Zahl teilt 0. Wenn p|a, gibt es ebenfalls nichts zu zeigen. Sei p - a, da p Primzahl ist,
folgt ggT(a, p) = 1. Gemäss Satz 1.5 ∃i, j ∈ Z mit a · i + p · j = 1. Also b = a · b · i + p · b · j.
Daher p | b, weil p | a · b.
Sei m ∈ N grösser als 1 und Z/mZ = {0, 1, . . . , m − 1} die Menge aus Beispiel 1.31.
Wir werden zwei Verknüpfungen + und · auf Z/mZ definieren. Seien a, b ∈ Z dann gilt
a + b = a + b , a · b = a · b.
(1.7)
Z. B. Sei m = 3. Es gilt
. . . −3 = 0 = 3 = 6 . . .
,
. . . −2 = 1 = 4 = 7 . . .
,
. . . −1 = 2 = 5 = 8 . . . ,
und z. B.
−2 + 14 = 2 + 2 = 4 = 1
,
2 · 14 = 2 · 2 = 4 = 1.
Weil (Z, +, ·) ein Ring ist, folgt, dass (Z/mZ, +, ·) auch ein Ring ist. Das Element 0
ist das Nullelement von Z/mZ und 1 ist das Einselement von Z/mZ.
Beispiel 1.39. Sei m = 2. Die additive und die multiplikative Tabelle sind folgende:
+
0
1
0
0
1
1
1
0
,
·
0
1
0
0
0
1
0
1
Sei m = 4. Die additive und die multiplikative Tabelle sind folgende:
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
,
·
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1
Satz 1.40. Sei m ∈ N. Es gilt
Z/mZ Integritätsbereich ⇔ m ist eine Primzahl.
Beweis. (⇒) Sei m keine Primzahl. Also ∃ a, b ∈ Z mit 1 < a, b < m und m = a · b. Also
sind a und b beide nicht null in Z/mZ und a · b = m = 0. Also sind a und b Nullteiler.
Daher ist Z/mZ kein Integritätsbereich.
(⇐). Sei m eine Primzahl und a, b ∈ Z/mZ mit a · b = 0. Dann m | a · b. Mit Korollar
1.38 folgt m | a oder m | b. Daher a = 0 oder b = 0.
26
1.4.3
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Polynomringe
Sei R ein Ring. Ein Polynom mit Koeffizienten in R ist ein formaler Ausdruck der Gestalt
f (t) = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · + an tn ,
wobei ai ∈ R ∀i = 0, . . . , n und ai als i–ter Koeffizient von f bezeichnet wird. Das
Symbol t wird Variabel genannt. Wir können ein Polynom wie folgt darstellen:
X
ai ti ,
f (t) =
i∈N0
wobei nur endlich viele ai nicht Null sind.
Wir sagen, dass zwei Polynome f, g gleich sind, wenn die i-ten Koeffizienten von f
und g gleich sind für jedes i ∈ N0 .
Die Menge aller Polynome mit Koeffizienten in R wird mit dem Symbol R[t] bezeichnet.
Wir definieren zwei Verknüpfungen auf R[t], die wir Addition und Multiplikation
nennen:
Seien f, g ∈ R[t], d.h.
f (t) = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · + an tn
,
g(t) = b0 + b1 t + b2 t2 + · · · + bm tm .
Im Allgemeinen kann man m = n annehmen. Wäre bspw. m > n, so könnten wir f
schreiben als:
f (t) = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · + an tn + 0tn+1 + . . . + 0tm
d.h. ai = 0 ∀i ∈ {n + 1, . . . , m}. In diesem Fall definiert man die Addition von f und g
als:
(f + g)(t) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )t + · · · + (an + bn )tn
(ähnlich falls n ≥ m)
Die Multiplikation ist definiert als f · g = c0 + c1 t + · · · + cm+n tm+n , mit
X
ck =
ai bj
i+j=k
Daher gilt:
c0
c1
c2
cm+n
=
=
=
...
=
a0 b0
a1 b0 + a0 b1
a2 b0 + a1 b1 + a0 b2
an bm .
Wir können jedes Polynom f (t) ∈ R[t] als eine Abbildung f : R → R betrachten. Die
Abbildung f ist definiert durch f (x) = a0 + a1 · x + a2 · x2 + · · · + an · xn ∀x ∈ R. Falls
1.4. RINGE UND KÖRPER
27
ai = 0 ∀i ∈ N (d.h. f (t) = a0 ) wird f (t) konstantes Polynom genannt. Jedes x ∈ R mit
f (x) = 0R heisst Nullstelle von f (t).
(R[t], +, ·) ist ein Ring. Das Nullelement ist das konstante Polynom 0, welches auch
Nullpolynom genannt wird. Die Funktion deg : R[t] → N0 ∪ {−∞} gegeben durch
max{k ∈ N0 | ak 6= 0}, falls f (t) 6= 0
deg(f (t)) =
−∞,
falls f (t) = 0
definiert den Grad des Polynoms f . Wir werden folgende Konvention benutzen:
−∞ + c = −∞ ∀c ∈ R.
Bemerkung 1.41. ∀f, g ∈ R[t] gilt:
1. deg(f + g) ≤ max{deg(f ), deg(g)};
2. deg(f · g) ≤ deg(f ) + deg(g).
Diese Ungleichungen folgen direkt aus den Definitionen der Addition und der Multiplikation in R[t].
1.4.4
Körper
Definition 1.42. Ein Ring (K, +, ·) heisst Körper, wenn K kommutativ ist, ein Einselement 1K enthält und ∀x ∈ K∗ := K \ {0} gilt ∃y ∈ K∗ mit x · y = 1K . Ein solches y
wird multiplikative Inverse von x genannt und mit x−1 bezeichnet.
Man sagt, dass jedes Element von K invertierbar ist mit multiplikativer Inverse x−1 .
Bemerkung 1.43. Für jedes x ∈ K gibt es genau eine multiplikative Inverse y von x.
Beweis. Sei x ∈ K ein festes aber beliebiges Element. Seien y1 , y2 multiplikative Inverse
von x. Es gilt:
y1 = 1K · y1 = y2 · x · y1 = y2 · 1K = y2 .
Bemerkung 1.44. Sei K ein Körper. In K gibt es keine Nullteiler, d.h. jeder Körper
ist nullteilerfrei.
Beweis. Sehen Sie die Aufgabe 1.25.
Beispiel 1.45.
1. Q mit den üblichen Verknüpfungen + und · ist ein Körper.
2. R mit den üblichen Verknüpfungen + und · ist ein Körper.
3. Z/2Z ist ein Körper mit den Verknüpfungen + und · definiert durch die Tabellen
im Beispiel 1.39.
4. N mit den üblichen Verknüpfungen + und · ist kein Körper.
28
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
5. Z/4Z mit den üblichen Verknüpfungen + und · definiert durch die Tabelle im Beispiel 1.39 ist kein Körper .
Satz 1.46. Sei b ∈ N. Es gilt:
Z/bZ ist ein Körper ⇔ b ist eine Primzahl.
Beweis. (⇒). Gemäss 1.44 ist jeder Körper ein Integritätsbereich. Also folgt mit Satz
1.40, dass b eine Primzahl ist.
(⇐). Sei b eine Primzahl. Der Ring Z/bZ ist kommutativ mit Einselement 1. Zu
zeigen ist, dass jedes Element a ∈ Z/bZ \ {0} invertierbar ist. Da a 6= 0, gilt ggT(a, b)=1.
Aus Satz 1.5 folgt, dass es ein i, j ∈ Z mit a · i + b · j = 1 gibt. Daher gilt
1 = a · i + b · j = a · i + b · j = a · i.
Also hat a ein multiplikatives Inverses, und zwar i.
1.4.5
Komplexe Zahlen
Man bezeichnet mit R2 das kartesische Produkt R × R. Also
R2 = {(a, b) | a, b ∈ R}.
Wir werden auf der Menge R2 die Struktur eines Körpers definieren. Dazu betrachten
wir die zwei Verknüpfungen Addition und Multiplikation durch folgende Gesetze:
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , b1 + b2 )
(a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) = (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 )
für alle (a1 , b1 ), (a2 , b2 ) ∈ R2 .
Man überprüft leicht, dass das Nullelement (0, 0) und das Einselement (1, 0) ist.
Ferner sieht man einfach, dass die Addition und die Multiplikation kommutativ sind. Es
gelten auch die Distributivität und Assoziativität :
(a1 , b1 ) · ((a2 , b2 ) + (a3 , b3 )) =
=
=
=
=
(a1 , b1 ) · (a2 + a3 , b2 + b3 )
(a1 (a2 + a3 ) − b1 (b2 + b3 ), a1 (b2 + b3 ) + b1 (a2 + a3 ))
(a1 a2 − b1 b2 + a1 a3 − b1 b3 , a1 b2 + b1 a2 + a1 b3 + b1 a3 )
(a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 ) + (a1 a3 − b1 b3 , a1 b3 + b1 a3 )
(a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) + (a1 , b1 ) · (a3 , b3 )
(a1 , b1 ) · ((a2 , b2 ) · (a3 , b3 )) = (a1 , b1 ) · (a2 a3 − b2 b3 , a2 b3 + b2 a3 )
= (a1 (a2 a3 − b2 b3 ) − b1 (a2 b3 + b2 a3 ), a1 (a2 b3 + b2 a3 ) + b1 (a2 a3 − b2 b3 ))
= ((a1 a2 − b1 b2 )a3 − (a1 b2 + b1 a2 )b3 , (a1 a2 − b1 b2 )b3 + (a1 b2 + b1 a2 )a3 )
= (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + b1 a2 ) · (a3 , b3 )
= ((a1 , b1 ) · (a2 , b2 )) · (a3 , b3 ).
1.4. RINGE UND KÖRPER
29
Sei x = (a, b) ∈ R2 \ {(0, 0)}. Weil a2 + b2 > 0 können wir das Element y =
betrachten und bemerken, dass
a
−b
( a2 +b
2 , a2 +b2 )
−b
a
x · y = (a, b) · ( a2 +b
2 , a2 +b2 )
a
−b
−b
a
= (a a2 +b
2 − b a2 +b2 , a a2 +b2 + b a2 +b2 )
= (1, 0)
Es folgt, dass y (wirklich) das inverse Element von x ist; man bezeichnet es mit x−1 .
Die Menge R2 mit diesen Verknüpfungen ist ein Körper, den wir C nennen, den
Körper der komplexen Zahlen.
Es gibt auch eine andere Darstellung der komplexen Zahlen. Die Gleichung x2 +1 = 0
ist nicht lösbar in R. Wir definieren eine neue Zahl i mit der Eigenschaft i2 + 1 = 0.
Diese Zahl heisst imaginäre Einheit. Wir definieren die Menge der komplexen Zahlen als
C = {a + ib | a, b ∈ R}
wobei a + bi = c + id genau dann wenn a = c und b = d. Daher gibt es eine Bijektion
C → R2
.
a + ib 7→ (a, b)
Wir haben die folgende geometrische Situation:
Sei z = a + bi mit a, b ∈ R eine beliebige komplexe Zahl. (a, b) sind die kartesischen
Koordinaten von z. Die Zahl a wird Realteil von z genannt und mit Re(z) bezeichnet. Die
Zahl b ist der Imaginärteil von z und wird mit Im(z) bezeichnet. Der Körper C besitzt
die obige Struktur von R2 . Die folgenden Gesetze definieren die zwei Verknüpfungen
Addition und Multiplikation auf C:
(a1 + b1 i) + (a2 + b2 i) = a1 + a2 + (b1 + b2 )i;
(a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + b1 a2 )i.
(1.8)
Die obigen Bemerkungen über die Verknüpfungen auf R2 zeigen, dass (C, +, ·) ein Körper
ist, wobei +, · durch die Gesetze wie in (1.8) definiert sind. Sei z = a + ib ∈ C \ {0},
dann gilt
a
b
z −1 = 2
−
i.
a + b2 a2 + b2
30
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
√
Wir nennen a2 + b2 den Betrag von z und bezeichnen ihn mit |z|. Ferner ist z := a − bi
die komplex konjugierte Zahl von z. Daher gilt für jedes z ∈ C \ {0}:
z −1 =
z
.
|z|2
(1.9)
Die Gleichung (1.9) folgt auch aus folgender Bemerkung:
z · z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2 = |z|2 .
Seien z1 = a1 + b1 i, z2 = a2 + b2 i. Dann gilt
z1 + z2 = a1 + a2 + (b1 + b2 )i
= a1 + a2 − (b1 + b2 )i
= a1 − b1 i + a2 − b2 i = z1 + z2
und
z1 · z2 =
=
=
=
a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + a2 b1 )i
a1 a2 − b1 b2 − (a1 b2 + a2 b1 )i
a1 a2 − (−b1 )(−b2 ) + (a1 (−b2 ) + a2 (−b1 ))i
(a1 − b1 i)(a2 − b2 i) = z1 · z2 .
Die geometrische Darstellung der komplexen Konjugation ist die folgende:
Polarform der komplexen Zahlen
Sei z = a + bi ∈ C. Wir betrachten die folgende Situation:
wobei
r=
p
p
r2 sin2 α + r2 cos2 α = a2 + b2 .
(1.10)
1.4. RINGE UND KÖRPER
31
Gemäss des Satzes des Pythagoras ist r die Länge des Pfeils von 0 bis z. Bemerke, dass
jede komplexe Zahl eindeutig durch die Länge r und den Winkel α bestimmt ist. Daher
können wir eine neue Darstellung von z angeben:
z = r(cos α + i sin α)
(1.11)
wobei r wie in (1.10) definiert ist und α der einzige Winkel in [0, 2π) mit (cos α, sin α) =
(a/r, b/r) ist. (Bemerkung: es gilt bi = ib ∀b ∈ R). Wir nennen (r, α) die Polarkoordinaten
von z und die Darstellung in (1.11) ist die Polarform. Wie wir schon gesagt haben, ist r
der Betrag von z. Den Winkel α bezeichnet man als das Argument der komplexen Zahl,
α = arg(z).
Die Multiplikation zweier komplexer Zahlen hat eine schöne geometrische Interpretation in Polarkoordinaten. Seien z1 = r1 (cos α1 + i sin α1 ) und z2 = r2 (cos α2 + i sin α2 )
komplexe Zahlen. Es gilt
z1 · z2 = (r1 cos α1 + ir1 sin α1 )(r2 cos α2 + ir2 sin α2 )
= r1 r2 (cos α1 cos α2 − sin α1 sin α2 ) + ir1 r2 (cos α1 sin α2 + sin α1 cos α2 )
= r1 r2 (cos(α1 + α2 ) + i sin(α1 + α2 )).
Also gelten |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | und arg(z1 · z2 ) = arg(z1 ) + arg(z2 ) ∀z1 , z2 ∈ C.
Wenn man eine komplexe Zahl n–mal mit sich selbst multipliziert, erhalten wir so
die Formel von Moivre:
z n = [r (cos α + i sin α)]n = rn (cos nα + i sin nα) .
In kartesischen Koordinaten berechnet sich die Summe zweier komplexer Zahlen einfach. In Polarkoordinaten lässt sich hingegen das Produkt einfach berechnen.
Fundamentalsatz der Algebra
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht konstante Polynom in C[t]
eine Nullstelle in C besitzt.
Definition 1.47. Sei R ein Ring. Ein Polynom f (t) ∈ R[t] heisst irreduzibel in R wenn
deg(f (t)) ≥ 1 und für jede Darstellung f (t) = a(t) · b(t) mit a(t), b(t) ∈ R[t] entweder
a(t) oder b(t) konstant ist.
Wir können den Fundamentalsatz der Algebra auch so formulieren:
Satz 1.48. Ein Polynom f (t) ∈ C[t] ist irreduzibel genau dann wenn deg(f (t)) = 1.
Der Beweis dieses Satzes wird hier nicht präsentiert.
32
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Aufgaben
Aufgabe 1.22. Sei m ∈ N grösser als 1 und Z/mZ = {0, 1, . . . , m − 1} die Menge aus
Beispiel 1.31. Seien + und · die Verknüpfungen definiert wie in (1.7). Beweisen Sie,
dass (Z/mZ, +, ·) ein kommutativer Ring mit Einselement ist.
Aufgabe 1.23. Sei R ein endlicher Ring mit Einselement. Die kleinste positive ganze
Zahl n, s.d.
n · 1R = 1R + 1R + . . . + 1R = 0R
|
{z
}
n–mal
heisst die Charakteristik des Ringes R und wird als char(R) bezeichnet.
Beweisen Sie, dass
R Integritätsbereich ⇒ char(R) ist prim.
Aufgabe 1.24. Betrachten Sie den Ring (Z/5Z, +, ·). Schreiben Sie die additive und
die multiplikative Tabelle auf.
Aufgabe 1.25. Beweisen Sie, dass die Aussage in Bemerkung 1.44 wahr ist.
√
Aufgabe 1.26. Beweisen Sie, dass die Menge K = {a+b 2 | a, b ∈ Q} mit der üblichen
Addition und Multiplikation ein Körper ist.
a b
| a, b, c, d ∈ R .
Aufgabe 1.27. Wir betrachten die Menge M =
c d
Wir definieren auf M die folgenden zwei Verknüpfungen, die wir Addition und Multiplikation nennen:
0 0 a + a0 b + b0
a b
a b
:=
+
c + c0 d + d0
c0 d0
c d
a b
c d
0 0 aa0 + bc0 ab0 + bd0
a b
:=
·
ca0 + dc0 cb0 + dd0
c0 d0
Beweisen Sie, dass M ein Ring ist.
Ist M kommutativ? Hat M ein Einselement?
Aufgabe 1.28. (*) Sei p eine Primzahl. Sei (R, +, ·) ein Ring mit p Elementen, der
ein Einselement hat. Beweisen Sie, dass R ein Körper ist.
Aufgabe 1.29. Geben Sie Beispiele, wo die Ungleichungen in Bemerkung 1.41 strikt
sind.
Aufgabe 1.30. Sei p eine Primzahl, p 6= 2. Beweisen Sie, dass xp = x ∀x ∈ Z/pZ.
[Tipp: Beweisen Sie dies mit vollständiger Induktion über x.]
Aufgabe 1.31. Sei p eine Primzahl, p 6= 2. Nehmen wir an, dass es a ∈ Z/pZ gibt, so
dass a2 = −1.
1.4. RINGE UND KÖRPER
1. Beweisen Sie, dass (−1)
33
p−1
2
= 1.
2. Beweisen Sie, dass p − 1 ∈ 4Z.
Aufgabe 1.32. Beweisen Sie, dass jeder endliche Integritätsbereich ein Körper ist.
Aufgabe 1.33. Sei K ein Körper. Beweisen Sie, dass
1. Der Ring K[t] mit den üblichen Verknüpfungen ein Integritätsbereich ist.
2. f ∈ K[t] ist invertierbar ⇔ f ist eine Konstante.
Aufgabe 1.34. (*) Sei R ein Ring. Seien f, g ∈ R[t] mit deg(f (t)) = n > 0. Sei
f (t) = f0 + f1 t + . . . + fn tn wobei fn ein invertierbares Element aus R ist (d.h. ∃h ∈ R
mit fn ·h = h·fn = 1R ). Beweisen Sie, dass es zwei eindeutige Polynome q(t), r(t) ∈ R[t]
mit
g(t) = f (t) · q(t) + r(t) , deg(r(t)) < n
gibt.
Aufgabe 1.35. Sei K ein Körper. Sei f (t) ∈ K[t]. Beweisen Sie mit Hilfe der Aufgabe
1.34, dass
x ∈ K ist eine Nullstelle von f
⇔ ∃g(t) ∈ K[t] mit f (t) = (x − t)g(t).
Aufgabe 1.36. Beweisen Sie, dass die Behauptung “Jedes nicht konstante Polynom in
C[t] besitzt eine Nullstelle in C” äquivalent zu Satz 1.48 ist.
Aufgabe 1.37. Sei K ein Körper. Sei f (t) ∈ K[t]. Beweisen Sie mit Hilfe der Aufgabe
1.35, dass die Anzahl der Nullstellen von f kleiner oder gleich deg(f ) ist. Gilt diese
Beschränkung mit R Ring statt K Körper? Wenn ja, geben Sie einen Beweis. Wenn
nein, geben Sie ein Gegenbeispiel.
n n−1
,
[Tipp: Betrachten Sie den Ring in Aufgabe 1.27, besonders die Elemente
1
1
1 1−n
1 0
,
]
0 −1
−1
n
Aufgabe 1.38. Sei K ein Körper. Seien f (t), g(t) ∈ K[t]. Man sagt, dass g(t) ein
Teiler von f (t) ist, wenn es ein Polynom h(t) ∈ K[t] mit f (t) = h(t)g(t) gibt. Seien
a(t), b(t) ∈ K[t] zwei beliebige Polynome, die nicht das Nullpolynom sind. Ein ggT(a, b)
(grösster gemeinsamer Teiler von a(t), b(t)) ist ein gemeinsamer Teiler von a(t) und b(t),
der ein Vielfaches von jedem gemeinsamen Teiler von a und b ist. Für jedes f (t) ∈ K[t]
sei
f (t)K[t] = {f (t) · g(t) | g(t) ∈ K[t]}.
Beweisen Sie, dass ∀a(t), b(t) ∈ K[t] \ {0} gilt:
a(t)K[t] + b(t)K[t] = m(t)K[t],
wobei m(t) ein ggT(a, b) ist. Bemerkung: Es könnte unendlich viele ggT(a, b) geben.
34
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG IN DIE LINEARE ALGEBRA
Aufgabe 1.39.
1. Bestimmen Sie jede Nullstelle der Gleichung t3 = 1;
2. Für jede ganze Zahl n > 0 und jede reelle Zahl a geben Sie die Polarkoordinaten
der Nullstellen der Gleichung tn = a.
Aufgabe 1.40. (*) Beweisen Sie, dass der Grad (deg) eines irreduziblen Polynoms f (t)
aus R[t] kleiner als 3 ist. [Tipp: Betrachten Sie die Konjugation in C]
Index
Äquivalenzklasse, 20
Äquivalenzrelation, 19
Abbildung, 17
Additives Inverse, 22
Allquantor, 15
Argument einer komplexen Zahl, 31
Betrag, 30
Bijektiv, 18
Bild, 18
Charakteristik, 32
De Morgansche Gesetze, 9
Definitionsmenge, 17
Die Formel von Moivre, 31
Durchschnitt von Mengen, 12
Einschränkung einer Abbildung, 18
Einselement, 23
Elemente einer Menge, 12
Existenzquantor, 15
Fundamentalsatz der Algebra, 31
Grad vom einen Polynom, 27
Kommutative Ring, 23
Komplement, 13
Komplex konjugierte Zahl, 30
Komplexe Zahlen, 29
Komposition, 19
Menge, 12
Multiplikatives Inverse, 27
Notwendige Bedingung, 10
Nullelement, 22
Nullstelle, 27
Nullteiler, 23
Polarform, 31
Polarkoordinaten, 31
Polynom, 26
Grad, 27
Konstantes Polynom, 27
Irreduzibles Polynom, 31
Nullpolynom, 27
Potenzmenge, 14
Realteil, 29
Relation, 19
Relatives Komplement, 13
Restklasse, 21
Ring, 22
Hinreichende Bedingung, 10
Surjektiv, 18
imaginäre Einheit, 29
Imaginärteil, 29
Injektiv, 18
Integritätsbereich, 23
Inverse Abbildung, 21
Invertierbare Abbildung, 21
Teilmenge, 12
Kartesisches Produkt, 14
Zielmenge, 17
Umkehrabbildung, 18
Untermenge, 12
Urbild, 18
Vereinigungsmenge, 13
35