10. Übungsblatt - Institut für Physik

A. Trügler
W. Schweiger
Institut für Physik
FB Theor. Physik
KFU Graz
Theoretische Mechanik
SS 09
der Erdbahn ist 1.5×108 km. Der Betrag des Drehimpulses des Raumschiffs
ℓ (und damit seine Bahngeschwindigkeit) ergibt sich daraus, dass die Gesamtenergie E an den Umkehrpunkten gleich dem effektiven Potential Ueff
wird.
Jupiterbahn
Raumschiff
10. Übungsblatt (zu rechnen bis zum 12.6.2009)
Erdbahn
Aufgabe 35: Betrachten Sie das Zweiteilchenproblem (Massen m1 und m2 ) mit
Zentralpotential U (|~r1 − ~r2 |). Für eine Kreisbewegung mit Radius R gilt
dUeff /dρ|R = 0.
a) Für welchen Wert des Drehimpulses l ist die Relativbewegung eine
Kreisbewegung mit Radius R?
b) Wie groß ist die Energie bei dieser Kreisbewegung?
c) Wie groß ist die Umlaufdauer bei dieser Kreisbewegung?
Drücken Sie die Ergebnisse durch l, R, U (R), U ′ (R) und die reduzierte
Masse µ aus.
Aufgabe 38: Vom Mond (Masse M , Radius R) wird ein Raumschiff (Masse
m ≪ M ) gestartet. Seine Anfangsgeschwindigkeit sei v0 , die Anfangsrichtung schließe einen Winkel α zur Vertikalen ein (siehe Figur).
β
h1
h1
α
R
Aufgabe 36: In der Quantenmechanik zeigt man, dass bei einer Kreisbahn eines
Elektrons in einem Wasserstoffatom der Drehimpuls nur bestimmte Werte
annehmen kann, die von den Massen der beteiligten Teilchen unabhängig
sind. Während der Drehimpuls gleich bleibt, ändert sich sehr wohl die Gesamtenergie, da darin die reduzierte Masse des Gesamtsystems auftaucht.
a) Um welchen Bruchteil ändert sich die Energie eines Atoms, wenn man
bei gleicher Drehimpuls-Quantenzahl den aus einem Proton bestehenden Kern durch ein Deuteron ersetzt?
(Ein Deuteron ist etwa doppelt so schwer wie ein Proton; das Massenverhältnis Proton:Elektron beträgt 1836:1)
b) Um welchen Faktor ändert sich der Radius eines solchen Atoms, wenn
das Elektron bei gleichem Gesamtdrehimpuls durch ein µ-Meson ersetzt wird?
(mµ : me = 207 : 1)
R
h2
a) Wie groß muss v0 sein, damit das Raumschiff die maximale Höhe h1
(gemessen von der Mondoberfläche) erreicht?
Hinweis: Benutzen Sie Energie- und Drehimpulserhaltung.
b) Unter welchem Winkel β kehrt es zum Mond zurück?
c) Im höchsten Punkt der Bahn (Höhe h1 ) werden die Triebwerke kurz
gezündet, sodass das Raumschiff momentan die zusätzliche Geschwindigkeit v1 erhält. Wie groß muss v1 sein, damit das Raumschiff in eine
Umlaufbahn mit der minimalen Entfernung h1 und der maximalen
Entfernung h2 (von der Mondoberfläche) gebracht wird?
Aufgabe 37: Ein Raumschiff soll in einer elliptischen Bahn unter geringstem
Energieaufwand von der Erde zum Jupiter gebracht werden. Wie groß muss
die minimale Startgeschwindigkeit (relativ zur Erde) sein und wie groß ist
die Geschwindigkeit, mit der es am Jupiter ankommt?
Betrachten Sie das Problem in der Näherung, dass sich Erde, Jupiter und
Raumschiff im Gravitationsfeld der Sonne bewegen, ohne sich allerdings gegenseitig zu beeinflussen und nähern Sie die Erd- und Jupiterbahnen durch
Kreisbahnen.
Die Umlaufdauer des Jupiters um die Sonne beträgt 11.9 Jahre. Der Radius
Aufgabe 39: Ein Asteroid oder ein anderer Himmelskörper mit Masse mA ≪
mE fliegt auf einer Hyperbelbahn in den Anziehungsbereich der Erde. Dabei soll die Relativgeschwindigkeit zur Erde in großer Entfernung von der
Erde gleich v0 sein. Welchen Stoßparameter s = l/(µv0 ) darf der Asteroid
nicht unterschreiten, wenn er nicht mit der Erde kollidieren soll?
(G = 6.67 × 10−11 m3 /(kg s2 ), RErde ≈ 6370 km, mErde ≈ 5.98 × 1024 kg)
Hinweis: Betrachten Sie dabei das System Asteroid-Erde als Zweiteilchenproblem und vernachlässigen Sie die Anziehungskräfte der Sonne und der
anderen Planeten. Offenbar muss dann der Perihelabstand rP größer als der
Erdradius RErde sein.
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