Die Transzendenz der Eulerschen Zahl e

Die Transzendenz der Eulerschen Zahl e
nach Jean-Paul Delahaye
Der in [1, Seiten 201-202] skizzierte Beweis der Transzendenz der Eulerschen Zahl e wird im
folgenden ausgeführt. Ein alternativer Beweis, der auf Ideen von David Hilbert (1862–1943)
beruht, findet sich in [2]
Vorbemerkung. Ist P ein reelles Polynom, das heißt, ein Polynom mit reellen Koeffizienten
in der Unbestimmten x, so bezeichnet das Symbol P auch die Funktion
R+
0 → R , ξ 7→ P (ξ) .
Das bedeutet, dass im Gegensatz zum üblichen Gebrauch der Definitionsbereich der zu dem Polynom gehörigen Polynomfunktion auf die Menge nicht negativen reellen Zahlen eingeschränkt
wird.
Hilfssatz 1. Es seien P ein Polynom mit reellen Koeffizienten und m eine natürliche Zahl
(∈ N0 ) mit Grad P ≤ m. Dann gilt:
Z
t
t−x
e
I(t) :=
t
P (x)dx = e ·
0
m
X
P
(j)
(0) −
j=0
m
X
P (j) (t) .
j=0
Beweis durch Induktion nach m:
Induktionsanfang bei m = 0: P (x) = a ∈ R,
Z t
Z t
t−x
et−x dx = a · (−et−x )|t0 = a · (−e0 + et ) = et · a − a
e a dx = a
0
0
Induktionsschluss mit partieller Integration: Es sei Grad P ≤ m + 1.
Erinnerung: In Umkehrung der Produktregel
(u · v)0 = u0 · v + u · v 0
hat man:
Z
u·v =
und damit
Z
Z
0
(u · v) =
0
u ·v+
Z
0
Z
u·v =u·v−
u · v0
u0 · v .
Mit
u(x) = P (x) , v 0 (x) = et−x
1
(1)
2
berechnet man:
u0 (x) = P 0 (x)
v(x) = −et−x
Z t
Z t
Z t
Z t
t−x
0
t
0
t−x
t
e P (x)dx =
u · v = u · v|0 −
v · u = −e · P |0 +
et−x P 0 (x)dx =
I(t) =
0
0
0
= et · P (0) − P (t) + et ·
m
X
P (j+1) (0) −
j=0
m+1
X
= et ·
P (j) (0) −
j=0
m+1
X
0
m
X
P (j+1) (t) =
j=0
P (j) (t) .
j=0
Aus Grad P ≤ m + 1 folgt Grad P 0 ≤ m und damit ist die Induktionsvoraussetzung anwendbar.
P
r
Bezeichnung. Für ein reelles Polynom P = m
r=0 ar x wird gesetzt:
∗
P =
m
X
|ar |xr .
r=0
Hilfssatz 2. Für reelle Polynome P , Q gilt:
1. Die Funktion P ∗ ist monoton wachsend (Definitionsbereich R+
0 !).
2. |P | ≤ P ∗ .
3. Für alle t ≥ 0 gilt: |I(t)| ≤ tet P ∗ (t).
4. (P · Q)∗ ≤ (P ∗ · Q∗ ).
Beweis. Es sei
P =
m
X
ar x r ,
r=0
Q =
n
X
bs x s .
s=0
1. Aus 0 ≤ x < y ∈ R und |ar | ≥ 0 folgt mit den Monotoniegesetzen zunächst |ar |xr ≤ |ar |y r
für alle r ∈ {0, 1, . . . , m} und damit auch P ∗ (x) ≤ P ∗ (y).
P
Pm
Pm
r
r
r
∗
2. |P |(x) = |P (x)| = | m
r=0 ar x | ≤
r=0 |ar x | =
r=0 |ar |x = P (x).
3. |I(t)| ≤
Rt
0
|et−x P (x)|dx =
Rt
0
2.
et−x |P (x)|dx ≤
Rt
0
1.
et−x P ∗ (x)dx ≤
Rt
0
et P ∗ (t)dx = tet P ∗ (t).
4. Es gilt:
(P · Q)(x) = P (x) · Q(x) =
t
m+n
XX
ar bt−r · xt ,
t=0 r=0
wobei ar = 0 für r > m und bt−r = 0 für t − r > n gesetzt ist. Damit folgt:
∗
(P ·Q) (x) =
m+n
X
t=0
|
t
X
r=0
t
ar bt−r |·x ≤
m+n
t
XX
t=0 t=0
|ar |·|bt−r |·xt = P ∗ (x)·Q∗ (x) = (P ∗ ·Q∗ )(x) . 3
Bezeichnung. Für n, p ∈ N, p Primzahl, wird gesetzt
H = xp−1 (x − 1)p (x − 2)p · · · (x − n)p ∈ R[x] .
Hilfssatz 3. Für das reelle Polynom H gilt:
1. Die Koeffizienten des Polynoms H und aller seiner Ableitungen sind ganze Zahlen.
2. Der niedrigste von 0 verschiedene Koeffizient von H hat den Grad p − 1 und ist gleich
(−1)np · (n!)p .
3. Grad H = (n + 1)p − 1 =: m.
4. Für j ∈ {0, 1, . . . , m} und k ∈ {1, 2, . . . , n} sind die ganzen Zahlen H (j) (k) durch p!
teilbar; genauer gilt:
0,
0 ≤ j < p,
(j)
H (k) =
(2)
p! · cjk , p ≤ j ≤ m .
mit cjk ∈ Z.
5. Für j ∈ {0, 1, . . . , m} gilt:

0 ≤ j < p − 1,
 0,
(p − 1)!(−1)np (n!)p , j = p − 1 ,
H (j) (0) =

p! · cj0 ,
p ≤ j ≤ m.
(3)
mit cj0 ∈ Z.
6. Für alle x ∈ [0, n] und k ∈ {0, 1, . . . , n} gilt:
H ∗ (k) ≤ (2n)m .
(4)
Beweis.
1. Die Koeffizienten auf der rechten Seite der binomischen Formel
p X
p
p
(x − k) =
(−k)p−r xr
r
r=0
sind für alle k ∈ Z ganze Zahlen. Die Koeffizienten von H ergeben sich daraus durch
Addition, Subtraktion und Multiplikation, also durch Operationen, die nicht aus dem
Bereich der ganzen Zahlen herausführen. Eine Division wird nicht benötigt.
2. p − 1 + n · p = (n + 1) · p − 1.
3. (−1)p · (−2)p · . . . · (−n)p = (−1)np · (n!)p .
4. Erinnerung an die Produktregel für höhere Ableitungen:
(j)
(u · v)
=
j X
j
i=0
i
u(j−i) v (i) .
4
(Beweis durch Induktion: Der Induktionsanfang bei j = 0 ist klar. Zum Induktionsschluss berechnet man:
j j X
j (j−i) (i) 0 X j
(j+1)
(u(j−i) v (i) )0 =
u
v ) =
(u · v)
= (
i
i
i=0
i=0
j
X j
(u(j−i+1) v (i) + u(j−i) v (i+1) ) =
=
i
i=0
j j X
j (j−i+1) (i) X j (j−i) (i+1)
u
v
=
u
v +
=
i
i
i=0
i=0
j+1
j
X j X j
(j−i+1) (i)
u(j+1−i) v (i) =
u
v +
=
i−1
i
i=1
i=0
j
j
j
j (j+1) (0) X
j (0) (j+1)
(j+1−i) (i)
+
u
v +
u v
=
=
u
v +
i
i−1
j
0
i=1
j j + 1 (0) (j+1)
j + 1 (j+1) (0) X j + 1 (j+1−i) (i)
u
v +
u v
=
u
v +
i
j+1
0
i=1
j+1
X j+1
=
u(j+1−i) v (i) .)
i
i=0
Für jedes k ∈ {1, 2, . . . , m} werden die folgenden Polynome definiert:
Gk = (x − k)p
H
Hk =
.
Gk
Dann gilt
H = G k · Hk
und
(j)
Gk (x)
=



p!
(x − k)p−j , 0 ≤ j ≤ p ,
(p − j)!


0,
p<j
sowie speziell an der Stelle k:
(j)
Gk (k)
=
p!, j = p ,
0, j =
6 p.
Für die Ableitungen von H ergibt sich daraus

0 ≤ j < p,

j  0,
X j
(j−i)
(i)
H (j) (k) =
Gk (k) · Hk (k) =
j
(j−p)

i

p! · Hk
(k), p ≤ j ≤ m .
i=0
j−p
Die Polynome Hk selbst und alle ihre Ableitungen haben ganzzahlige Koeffizienten; sie
haben an den Stellen k nur ganzzahlige Werte. Damit folgt
j
(j−p)
cjk =
· Hk
(k) ∈ Z ,
j−p
wie behauptet.
5
5. Es werden die folgenden Polynome definiert:
G0 = xp−1
H
;
H0 =
G0
es handelt sich um reelle Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. Dann gilt
H = G0 · H0
und
(j)
G0 (x)
=



(p − 1)! p−1−j
x
, 0 ≤ j < p,
(p − 1 − j)!


0,
p≤j
sowie speziell an der Stelle 0:
(j)
G0 (k)
=
(p − 1)!, j = p − 1 ,
0,
j=
6 p − 1.
und
H00 (x) = p · H̃(x) ,
wobei H̃ das Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten bezeichnet, das gegeben ist durch
p
p
H̃(x) = (x − 1) · . . . · (x − n) ·
n
X
k=1
1
.
x−k
Für die Ableitungen von H ergibt sich daraus

0 ≤ j < p − 1,

j  0,
X j
(j−i)
(i)
H (j) (0) =
G0 (0)·H0 (0) =
j
(j+1−p)

i

(p − 1)! · H0
(0), p − 1 ≤ j ≤ m .
i=0
j+1−p
Damit folgt
H (p−1) (0) = (p − 1)! · Hk (0) = (p − 1)!(−1)np (n!)p
und für j ≥ p
(j)
H (0) =
j
j
(j+1−p)
H̃ (j−p) (0) .
(p − 1)! · H0
(0) = p!
j+1−p
j+1−p
Das Polynom H̃ selbst und alle seine Ableitungen haben ganzzahligen Koeffizienten und
damit an der Stelle 0 nur ganzzahlige Werte. Also ist
j
cj0 =
H̃ (j−p) (0) ∈ Z .
j+1−p
6. Mit den vorher eingeführten Bezeichnungen gilt:
H = G0 · G1 · G2 · . . . · Gn ,
also nach Hilfssatz 2, Teil 4,
∗
H ≤
n
Y
k=0
G∗k .
6
Für k ∈ {1, 2, . . . , n} hat man ferner aus demselben Grund
G∗k (x) ≤ (x + k)p .
Damit ergibt sich
H ∗ (x) ≤ xp−1 (x + 1)p (x + 2)p · · · (x + n)p .
Im betrachten Intervall ist jeder Faktor kleiner-gleich 2n, woraus die Behauptung folgt.
Beweis der Transzendenz der Eulerschen Zahl e.
Annahme. Die Zahl e ist algebraisch,
a0 + a1 e + a2 e2 + . . . + an en = 0
(5)
mit ak ∈ Z für alle k ∈ {0, 1, 2, . . . , n} und a0 , an 6= 0.
Zur Herstellung des Widerspruchs betrachten wir den Ausdruck mit P = H
J := a0 I(0) + a1 I(1) + a2 I(2) + . . . + an I(n) .
(6)
Wir berechnen
J =
n
X
ak I(k) =
ak (ek · H (j) (0) − H (j) (k)) =
nach (1)
k=0 j=0
k=0
=
n X
m
X
m X
n
X
k
(j)
ak e · H (0) −
m X
n
X
m X
n
X
(j)
ak H (k) = −
= a0 (p − 1)!(−1)np (n!)p + p!c =
= (p − 1)!(a0 (−1)np (n!)p + pc)
nach (5)
j=0 k=0
j=0 k=0
j=0 k=0
ak H (j) (k) =
nach (2) und (3)
mit c ∈ Z. Wählen wir p > n, |a0 |, so ist a0 (−1)np (n!)p sicherlich nicht durch p teilbar und
damit folgt J 6= 0, genauer:
|J| ≥ (p − 1)! .
(7)
Andererseits haben wir nach (4):
Z
|I(k)| = |
k
k−x
e
k
Z
k−x
H(x)dx| ≤
|e
0
Z
H(x)|dx ≤
|J| ≤
n
X
ek−x H ∗ (x)dx ≤ kek (2n)m ,
0
0
also
k
|ak |kek (2n)(n+1)p−1 = r · sp
k=0
mit
n
1 X
r=
|ak |kek ∈ R+ , s = (2n)n+1 .
2n k=0
Erinnerung. Für alle s ∈ R+ gilt:
sp
= 0.
p→∞ p!
lim
(8)
LITERATUR
7
(Beweis. Das (p+1)-ste Folgenglied entsteht aus dem p-ten Glied durch Multiplikation mit dem Faktor
s/(k + 1). Bei gegebenem s gilt für alle p > 2|s|, daß der hinzukommende Faktor kleiner als 1/2 ist,
also von einer bestimmten Stelle an das nächste Glied immer - dem Betrage nach - kleiner ist als die
Hälfte des vorangehenden. Damit muß es sich aufgrund des Axioms von Archimedes-Eudoxus um eine
Nullfolge handeln.)
Da es unendlich viele, also beliebig große Primzahlen gibt, kann man die Primzahl p auch noch
so groß wählen, dass gilt
sp−1
1
<
,
(9)
(p − 1)!
r·s
und man erhält
(7)
1≤
|J| (8)
sp−1 (9)
≤ r·s·
< 1,
(p − 1)!
(p − 1)!
den gewünschten Widerspruch.
Literatur
[1] Jean-Paul Delahaye:
π – die Story, Basel – Boston – Berlin: 1999 Birkhäuser
[2] Rudolf Fritsch: Transzendenz von e im Leistungskurs, Der mathematische und naturwissenschaftliche Unterricht 42 (1989), Seiten 45-80 – im Internet unter:
http://www.mathematik.uni-muenchen.de/∼fritsch/euler.pdf