10. Die komplexen Zahlen

Leitfaden
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10.5. Der Fundamentalsatz der Algebra.
Wir beginnen mit folgendem wesentlichen Hilfssatz:
Lemma (Argand, 1814). Sei f ein nicht-konstantes Polynom und b ∈ C. Ist
f (b) 6= 0, so gibt es b′ ∈ C mit |f (b′ )| < |f (b)|.
Beweis: Wir betrachten zuerst den Spezialfall b = 0. Das heißt, wir zeigen: Sei
f ein nicht-konstantes Polynom mit komplexen Koeffizienten. Ist f (0) 6= 0, so gibt es
c ∈ C mit |f (c)| < |f (0)|.
Pn
Beweis des Spezialfalls: Sei f (z) = t=0 at z t , mit an 6= 0. Es ist a0 = f (0) 6= 0.
Wir können annehmen, dass a0 = 1 ist (wir betrachten statt f (z) das Polynom a10 f (z)).
Wir suchen also ein c mit |f (c)| < 1.
Sei 1 ≤ k < n minimal mit ak 6= 0. Es ist also
f (z) = 1 + ak z k + · · · + an z n
= 1 + z k (ak + ak+1 z + · · · an z n−k )
= 1 + z k g(z),
dabei ist also g(z) das Polynom g(z) = ak + ak+1 z + · · · an z n−k und wie wir wissen ist
ak 6= 0. Wir setzen a = ak . Es ist also g(0) = a 6= 0.
Wegen g(0) = a und 21 |a| > 0 gibt es ein δ > 0 mit
(∗)
|g(z) − a| ≤ 21 |a|
falls
|z| < δ.
(Hier verwenden wir, dass die Funktion g(z) im Punkt z = 0 “stetig” ist.)
Sei
t = min{1, 21 |a|δ k },
es ist also t eine reelle Zahl mit
0<t≤1
und
0 < t ≤ 21 |a|δ k .
Die letzte Ungleichung schreiben wir um:
t
|a|
≤ 21 δ k < δ k .
Wie wir wissen, kann man aus jeder komplexen Zahl eine k-te Wurzel ziehen. Sei also
c eine k-te Wurzel von − at , also
ck = − at
und daher
ck a = −t.
Es folgt
|c|k = | at | < δ k ,
und daher
|c| < δ.
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Funktionen
(Wurzelziehen aus positiven reellen Zahlen ist streng monoton.) Wegen |c| < δ liefert
(∗) die Abschätzung
|g(c) − a| ≤ 21 |a|.
(∗∗)
Also sehen wir
|f (c)| = |1 + ck g(c)|
= |1 + ck a + ck g(c) − ck a|
≤ |1 + ck a| + |c|k |g(c) − a|
≤ |1 − t| + | at | · 12 |a|
= 1 − t + 21 t = 1 − 21 t < 1.
Das erste Ungleichungszeichen ist die Dreiecksungleichung und die Verträglichkeit der
Betragsbildung mit der Multiplikation, das zweite gilt wegen (∗∗). Schließlich verwenden wir: wegen 0 < t ≤ 1 gilt |1 − t| = 1 − t und |t| = t.
Aus dem Spezialfall b = 0 folgt der allgemeine Fall unmittelbar: Ist nämlich f ein
nicht-konstantes Polynom und b ∈ C mit f (b) 6= 0, so setzen wir g(z) = f (z + b). Nach
dem Lemma gibt es c ∈ C mit |g(c)| < |g(0)|, aber f (c + b) = g(c) und f (c) = g(0).
Man nehme also b′ = c + b.
Damit ist das Argand-Lemma bewiesen.
Minimumsatz von Cauchy. Sei f (z) ein Polynom mit komplexen Koeffizienten.
Es gibt c ∈ C mit |f (z)| ≥ |f (c)| für alle z ∈ C.
Beweis-Idee: Man zeigt zuerst, dass es eine reelle Zahl r gibt mit |f (z)| ≥ |f (0)| für
alle z mit |z| ≥ r. Der Beweis ist der gleiche wie bei reellen Polynomen: man verwendet
nur Betragsabschätzungen, die die Koeffizienten von f (z) betreffen.
Sei s = inf{|f (z)| | z ∈ C}, dies ist die größte reelle Zahl mit s ≤ |f (z)| für alle
z ∈ C (das Infimum der Beträge der Funktionswerte). Man betrachtet nun das Quadrat
Q0 = {(x, y) | |x| ≤ r, |y| ≤ r} ⊂ R2 = C. Wegen der Wahl von r gilt
s = inf{|f (z)| | z ∈ Q0 }.
Nun halbiert man die Kantenlängen des Quadrats Q0 , erhält auf diese Weise vier
Quadrate mit Kantenlänge 2s , und für mindestens eines dieser vier Teilquadrate, sagen
wir Q1 , muss gelten:
s = inf{|f (z)| | z ∈ Q1 }.
Nun werden die Kantenlängen des Quadrats Q1 halbiert, um ein Quadrat Q2 mit
Kantenlänge 4s zu erhalten, so dass gilt:
s = inf{|f (z)| | z ∈ Q2 },
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usw. Man erhält auf diese Weise eine Folge von Quadraten Qt mit Kantenlänge
s
2t
und
Q0 ⊃ Q1 ⊃ Q2 ⊃ · · ·
sodass jeweils gilt:
s = inf{|f (z)| | z ∈ Qt }.
T
Offensichtlich besteht t Qt aus einem einzigen Punkt, also einer einzigen komplexen
Zahl c (denn wir erhalten ja zwei Intervall-Schachtelungen: eine auf der x-Achse, die
andere auf der y-Achse). Man sieht nun, dass |f (c)| = s gelten muss (dies ist wieder
eine Stetigkeitsaussage). Also gilt: |f (c)| ≤ |f (z)| für alle z ∈ C.
Fundamentalsatz der Algebra (Gauß, 1799). Jedes nicht-konstante Polynom
mit komplexen Koeffizienten hat eine komplexe Nullstelle.
Beweis. Sei f (z) nicht-konstantes Polynom mit komplexen Koeffizienten. Wegen
des Minimumsatzes gibt es c ∈ C mit |f (z)| ≥ |f (c)| für alle z ∈ C. Nach dem ArgandLemma muss f (c) = 0 gelten.
10.6. Zur Geschichte.
Betrachtet man reelle Polynome vom Grad 2, so stellt man sofort fest, dass viele
keine reelle Nullstelle haben. Als allgemeine Formel für die Nullstellen von T 2 + pT + q
möchte man schreiben:
r
p2
p
− q,
α=− ±
2
4
die rechte Seite ist aber nur definiert, falls
p2
d=
−q ≥0
4
2
gilt. Ist dagegen d = p4 − q < 0 so stellt sich das Problem, was man unter einer Wurzel
einer negativen Zahl verstehen sollte. Es zeigt sich, dass es genügt, ein neues Symbol
für eine Wurzel aus −1√einzuführen, wir haben es i genannt. Dann kann man die beiden
Wurzeln aus d mit ±i −d bezeichnen.
Warnung.
Grundsätzlich sollte man für negative Zahlen d
√
nie d schreiben, da die Verwendung des Wurzelzeichens
für negative Zahlen nicht eindeutig definiert werden kann
und daher zu Rechenfehlern√führen kann (und führen muss).
Schreibt man stattdessen i −d so bezieht man sich auf das
einmal gewählte Symbol i, damit ist eine Wurzel von −1
fest gewählt.
Ist man nur an reellen Zahlen interessiert, so sind die komplexen Zahlen für quadratische Polynome gar nicht hilfreich. Das ist anders, wenn man kubische Polynome
betrachtet.
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Funktionen
Zum Beispiel hat das Polynom T 3 − 4T + 1 drei reelle Nullstellen,
α1 = −2, 11491..., α2 = 0, 254102..., α3 = 1, 86081...
die man mit Hilfe
√ von komplexen Zahlen gut überblicken kann (dabei spielt 3jeweils der
Imaginärteil 12 687 eine Rolle). Allgemein kann man die Nullstellen für X + pX + q
in der Form
s
s
r
r
2
3
3
3
q
q2
p
p3
q
q
+
+ − −
+
α= − +
2
4
27
2
4
27
schreiben. In unserem Spezialfall p = −4, q = 1 ist
p3
1 64
687
q2
+
= −
=−
,
4
27
4 27
12
also eine negative Zahl. Die Nullstellenformel für kubische Polynome geht auf Niccolo
Tartalia (1499-1557) und Girolamo Cardano (1501-1576).
Wieder wurden bei der Formel für α Wurzelzeichen hingeschrieben, obwohl wir ja sagten, dass man dies eigentlich
nicht tun soll!
Die Rechenregeln für das Arbeiten mit “komplexen Zahlen” wurden von Rafael
Bombelli (1526-1572) formuliert, und zwar in seinem Buch L’Algebra (1572).
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) hat als erster den Fundamentalsatz der
Algebra bewiesen: Jedes nicht-konstante Polynom mit komplexen Koeffizienten besitzt
eine Nullstelle.
Daraus folgt:
Satz. Jedes nicht-konstante reelle Polynom lässt sich als Produkt von reellen Polynomen vom Grad 1 und 2 schreiben.
Pn
Beweis: Sei f (T ) = t=0 ct T t ein nicht-konstantes reelles Polynom (also mit reellen Koeffizienten ct ). Wir fassen es auf als Polynom mit komplexen Koeffizienten. Nach
dem Fundamentalsatz der Algebra besitzt f (T ) mindestens eine komplexe Nullstelle,
sagen wir α. Es ist also
Xn
ct αt = 0.
t=0
Daraus folgt:
Xn
t=0
ct αt =
Xn
t=0
ct αt =
Xn
t=0
ct αt = 0 = 0.
Im ersten Schritt verwenden wir ct = ct , dies gilt, weil wir voraussetzen, dass alle Zahlen
ct reell sind. Im zweiten Schritt verwenden wir, dass das Konjgieren mit Addition und
Multiplikation verträglich ist. Insgeamt sehen wir, dass mit α auch α eine Nullstelle
ist.
Es folgt, dass sich f (T ) in der Form (T − α) · (T − α) · h(T ) schreiben lässt, wobei
wir zuerst einmal nur wissen, dass h(T ) ein Polynom mit komplexen Koeffizienten ist.
Nun ist
g(T ) = (T − α)(T − α) = T 2 − (α + α)T + αα
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ein reelles Polynom. Teilen wir f (T ) durch g(T ) mit Rest, so erhalten wir reelle
Polynome q(T ) und r(T ) mit
f (T ) = g(T )q(T ) + r(T )
mit
grad r(T ) < grad g(T ).
Also sehen wir:
g(T )h(T ) = f (T ) = g(T )q(T ) + r(T ),
und daher ist
g(T )(h(T ) − q(T )) = r(T ).
Wäre h(T ) 6= q(T ), so stände links ein Polynom vom Grad mindestens zwei, während
der Grad von r(X) kleiner oder gleich ist. Dies zeigt: h(T ) = q(T ), also ist h(T ) ein
reelles Polynom.
Beachte: Diese Folgerung ist eine Aussage über reelle Polynome, ohne irgend
einen Verweis auf die komplexen Zahlen. Unser Beweis (und jeder andere bisher bekannte Beweis) verwendet die komplexen Zahlen.
10.7. Das Apfelmännchen.
Sei c ∈ C. Wir betrachten die Folge komplexer Zahlen
z0 = c
z1 = c2 + c
z2 = (c2 + c)2 + c
z3 = ((c2 + c)2 + c)2 + c
···
zn+1 = zn 2 + c
···
und fragen, ob dies eine beschränkte Folge ist oder nicht (ob es also eine reelle
Zahl b mit |zn | ≤ b für alle n ∈ N gibt). Die Mandelbrot-Menge M ist gerade die
Menge aller c ∈ C, für die man eine beschränkte Folge erhält, sie ist nach Benoit
Mandelbrot, der sie um 1980 studiert hat; wegen seines Aussehens nennt man M
auch das Apfelmännchen.
Es gibt viele Computer-Graphiken, die diese Menge (oder Ausschnitte davon) zeigen. Üblicherweise wird die Menge M schwarz gefärbt, während die Punkte im Komplement von M farbig dargestellt werden. Dabei verweisen die verschiedenen Farben
darauf, wie schnell die Beträge |zn | wachsen.
Man kann die Mandelbrot-Menge M natürlich auch ohne
expliziten Hinweis auf das Rechnen mit komplexen Zahlen
definieren: M ist die Menge der Punkte c = (x, y) in der
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Funktionen
reellen Ebene R2 für die folgendes gilt: Die induktiv definierte Folge der Punkte (xn , yn ) in der Ebene R2 mit x0 =
x, y0 = y und
xn+1 = x2n − yn2 + x,
und
yn+1 = 2xn yn + y
ist beschränkt (das heißt: sie liegt innerhalb eines Kreises).
Interessant ist: Die Menge M ist zusammenhängend, das heißt zwischen je zwei
Punkten c, c′ ∈ M gibt es einen Weg, der ganz in M verläuft. Das kann hier nicht
gezeigt werden.
(1) Die Mandelbrot-Menge M ist in der Kreisscheibe {c ∈ C | |c| ≤ 2} mit Radius
2 enthalten.
Beweis. Sei c ∈ C mit |c| > 2. Sei q = |c| − 1, es ist also q > 1. Mit Induktion
zeigen wir
|zn | ≥ |c|q n .
Induktionsanfang: Für n = 0 ist |z0 | = |c| = |c|q 0 . Induktionsschritt. Es ist
|zn+1 | = |(zn )2 + c| ≥ |zn |2 − |c| ≥ (|c|q n )2 − |c| = |c| |c|q 2n − 1
dabei ist die letzte Ungleichung die Induktionsannahme. Nun gilt aber
|c|q 2n − 1 = (q + 1)q 2n − 1 = q 2n+1 + q 2n − 1 ≥ q n+1
(denn 2n + 1 ≥ n + 1 und q 2n ≥ 1). Also
|zn+1 | ≥ |c| |c|q 2n − 1 ≥ |c|q n+1 .
Dies zeigt, dass die Folge zn nicht beschränkt ist.
(2) Ist c ∈ M, und ist zn die zugehörige Folge, so ist |zn | ≤ 2 für alle n.
Beweis: Sei c ∈ M. Wegen (1) wissen wir, dass |c| ≤ 2 gilt. Angenommen, es gilt
|zn | > 2 für ein n. Wir setzen d = |zn | − 2, es ist also d > 0. Es ist
|zn+1 | = |(zn )2 + c| ≥ |zn |2 − |c| ≥ 2|zn | − 2 = |zn | + d
(die zweite Ungleichung verwendet |zn | ≥ 2 und |c| ≤ 2). Wir sehen also, dass die Folge
|zn |, |zn+1 |, |zn+2 |, . . . monoton wächst, und zwar in jedem Schritt um mindestens d.
Also ist die Folge nicht beschränkt, also c ∈
/ M. Dieser Widerspruch zeigt, dass |zn | ≤ 2
für alle z gelten muss.
Computer-Programme zum Zeichnen von M verwenden (2) als Abbruchkriterium.
Man gibt sich eine Schranke N (zum Beispiel N = 64) vor. Für genügend viele Bildpunkte c wird die zugehörige Folge zn bis höchstens n = N berechnet. Gilt |zn | ≤ 2
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für alle n mit n ≤ N , so geht man davon aus, dass c (mit großer Wahrscheinlichkeit)
zu M gehört und färbt den Punkt c schwarz. Andernfalls bricht man die Iteration ab,
sobald man ein zn mit |zn | > 2 gefunden hat. Die jeweilige Färbung richtet sich nach
dieser Abbruchzahl n.
(3) Der Kreis {c ∈ C | |c| ≤ 14 } ist in M enthalten.
Beweis: Sei |c| ≤ 14 . Mit Induktion zeigt man: Die zugehörigen Folgenglieder zn
erfüllen die Ungleichung |zn | ≤ 12 .
(4) Das reelle Intervall [−2, 0] ist in M enthalten.
Beweis: Sei c = −r mit 0 ≤ r ≤ 2. Mit Induktion zeigt man: Die zugehörigen
Folgenglieder zn erfüllen die Ungleichung |zn | ≤ r.
Verallgemeinerungen: Zur Definition der Mandelbrot-Menge M hätten wir auch
das Bildungsgesetz z0 = 0, zn+1 = zn 2 + c nehmen können (dabei verschiebt sich nur
der Index n um 1). Man erhält also zn+1 aus zn , indem man iterativ das Polynom
fc (T ) = T 2 + c anwendet: es ist zn = fcn (0).
Statt des Polynoms fc (T ) = T 2 + c kann man auch ein anderes Polynom fc (T )
nehmen, das von einem komplexen Parameter c abhängt. Hier wird also die Menge der
komplexen Zahlen c betrachtet, für die die Folge fcn (0) beschränkt ist. Man erhält auf
diese Weise andere Teilmengen von C, die ebenfalls sehr reizvoll sind . . . .
Variationen. Statt für jede komplexe Zahl ein Polynom fc (T ) vorzugeben, und
zu fragen, ob die Folge fcn (0) beschränkt ist oder nicht, kann man auch mit einem festen
Polynom f (T ) arbeiten und die komplexen Zahlen z betrachten, für die die Folge f n (z)
beschränkt ist. Man erhält auf diese Weise die sogenannten Julia-Mengen (benannt
nach Gaston Maurice Julia, 1893-1978) und, als Komplemente, die Fatou-Mengen
(benannt nach Pierre Fatou, 1878-1929). Auch diese Mengen haben fast immer ein
ganz bizarres Aussehen. Und nimmt man zum Beispiel das Polynom f (z) = z 2 + c mit
c ∈ C, so gibt es interessante Beziehungen zwischen der zugehörigen Julia-Menge und
der Mandelbrot-Menge M.
Nachtrag zu 10.1. und 10.2.
Ist z = x+yi eine komplexe Zahl, so liefert die Multiplikationsabbildung
z ′ 7→ z ·z ′
h
i
x −y
eine lineare Abbildung R2 → R2 , die durch die Matrix y x beschrieben wird. Dabei
handelt es sich für z 6= 0 um eine Drehstreckung. Schreiben wir
x + yi = r(cos φ + i sin φ)
mit
r ∈ R+
und
φ ∈ R,
so handelt es sich gerade um die Drehstreckung mit Drehwinkel φ und Streckfaktor r.
hInsbesonderei entspricht einem Punkt cos φ + i sin φ auf dem Einheitskreis die Matrix
cos φ − sin φ
, die die Drehung um den Winkel φ (mit dem Ursprung als Drehzentrum)
sin φ cos φ
beschreibt.