Zahlenlehre 01 - BRG Krems Ringstraße

3.1 Ägyptische Zahlen
Bei der Behandlung des dekad~chen Zahlensystems können durch.Vergleich mit der
ägyptischen Zahlenschreibweise
Bedeutung und Vorteile des (de~adischen)
-=
Stellenwertsystems herausgearbeitet werden.
Bereits in der Frühzeit der ä~yptischen
Hochkultur um 3000v.Chr. wurde'fl folgende
,..
Zahlzeichen verwendet:
"'I,:; .
_- J
•
•...•
;
~ Ir
~ooo
';:
T
Die einzelnen natürlichen Zahlen wurden durch Aneinanderreihen dieser Zahlen
dargestellt:
;111
= 3,
nn n n
= 40.
/A @
~
I1l\tJ
IM
111
UI
= 256
Man begann links mit den Vielfachen von 1. schrieb dann rechts davon die
Vielfachen von
10 u.s.w.
In einigen Büchern wird angeordnet.
auch - unserer Gewohnheit
~.entsprechend
- nach
absteigend~nGrößenordnungen
-Aufgabe: Welche Zahlen we;d~ft durch
a)
q. er- @@@
-~!:5.~
ee
(\"
~~~ Oll
111 (
dargesteJlt?
-·-A-ufg-alJe-:.-Scbreib
folgende Zahlen mit ägyptischen Zahlzeichen:
273;
8002;
192478; -
200000
-.
Nenne ~r- und Nachteile der ägyptischen bzw. unserer Schreibweise!
3.7 Das babylonische
Sexagesimalsystem
«
Oie Babyionier verwendeten zur Darstellung von Zahlen zwei Symbole:. 7 fü~ 1 und
für 1 O. (Diese Zeichen wurden durch Eindrücken eines Stabes mit drereckigem
Querschnitt in weiche Tontafeln erzeugt.)
<:
y
VY
1
2
W Yrf
m6
VVy yy
vY
3
45
•
UT'l.~!.
fH Y
YV~,.t .r1V1
7
8
v'ri'n
'Y1V"Y
10
9
11
30
Außerdem verwendeten sie ein Stellenwertsystem mit der Basis 60, das sPäter vor
allem durch das astronomische Werk des ptolemaios Verbreitung fand und auch uns
noch in der Winkelmessung und im Zeitmaß erhalten ist:
••
V
Diese' Darstellung
«
V
t
I'~~I
= 1·00"+' 11
= 71
kann aber auch 1· 602 + 11·60,
bedeuten. Für 1· 602 + 11 schrieb man V
früheren Zeiten durch einen größeren
nLückenzeichen" ~ markiert.
Aufgabe: Welche Zahlen werden durch
mehrere Antworten m6glichf)
~ 1
a)
4..1 V
<{{
H
b)
V
oder auch 1 + 11· -
1
..
60
t
0.A.
4.V ' d.h. die freibleibende Stelle.r'urde in
Abstand angedeutet, später durch ein
folgende
<{ <. V ~ ~
Zeichen
c) V V r;.
dargestellt?
V V~
<!.
(Jeweils
Vi
Wir wollen uns im Folgenden mehr mit dem mathematischen Kern des Sexagesimalsystems be.schäftigen, ohne uns mit den mühsamen Zeichen aufzuhalten, d.h.
wjr1verwenden statt der Keüschriftsymbole
3,17,34
soll bedeuten:
VV~V <(
unsere vertraute Schreibweise, z.B.:
1r~~V<!<{<{
~
t
also
3.602+17.60+34.
Aufgabe: a) Schreib obige Zahl in dezimaler Schreibweise!
,
b-} Übertrage ins Dezimalsystem:
.: ~
43, 8, 27
2, 0, 49
3731
223258
c) Übertrage ins Sexagesimalsystem:
d) Übertrage ins Dezimalsystem (ein Strichpunkt
entsprechen): 21;13
. 1,3;52
2;0,1
31,76
e) Übertrage ins Sexagesimalsystem:
".
f) Stelle
1
a) 3'
b) 5
6'
1
7'
c) -
d) ~
8
soll unserem
Komma
4,007
als Sexagesimalzahlen
dar!
Zahlenlehre:
2, Semester
Mag, Hermine Rögner
Stellenwertsvsteme:
/\
Z.
B.: 10er-System, dekadisches System (gr. deka = zehn)
743
7 ---. Ziffernwert: 7
~
Stellenwert: H
743 = 7'100 + 4'10 + 3
= 7'102 + 4'101 + 3'10°
allgemein:
ai E {0,1,2,3,..... 9} = DlO
an
=t
0
Jede natürliche Zahl p
n
+ an -1
n-l
.P
1 kann Basis eines Stellenwertsystems sein.
Dp = {O, 1,2, .... , p-1}
p-adisches System:
Z = an' P
=t
+
+ a2
2
.P
+ al
1
.P
+ aO . P
0
p = 2: Zweiersystem, Dualsystem, Binärsystem, Dyadisches System
Zehnersystem
Zweiersvstem
o
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
o
1
10
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
= 0·2°
= 1·2°
= 1·2] +0·2°
=l·i +1·2°
= 1.22 +o·i +0·2°
=1·22+0·i+1
usw.
10000
- 1-
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
1101 = 1·23+1·22+0·i+1
1-stellige
2-stellige
3-stellige
4-stellige
I
Binärzahl
Binärzahl
Binärzahl
Binärzahl
~
~
~
~
2 Zahlen = 21 Zahlen
4 Zahlen = 22 Zahlen
8 Zahlen = 23 Zahlen
Zahlen
16 Zahlen = 24
'
,
,.
,
k-stellige Binärzahl ~
Zahlen
2k
ASCII-Code
Umwandlung: Dezimalzahl in Dualzahl
1. Art:
2. Art:
245:
117:
53:
21:
5:
5:
128 = 1
64 = 1
32 = 1
16= 1
8=0
4=1
1:
2=0
1:
1= 1
245 : 2 = 122
122: 2 = 61
61 : 2 = 30
30 : 2 = 15
15 : 2 = 7
7: 2 = 3
3:2= 1
1 :2 = 0
1.27 +1.26 +1.25 +1.24 +0.23 +1.22 +o·i
+1
245(10)= 11110101(2)
Rest
1
o
1
o
1
r
BIT ... Informationseinheit: 0, 1
Werte von 1 Bit
BInary digiT
8 bits = 1 Byte
1 Kilobyte = 210= 1024 Bytes
Große Binärzahlen werden zusammengefasst:
245(10)= [1111][0101Jcl) = F5(16)
Nibbles
Hexadezimalsystem
Hexagesimal
-2 -
Zahlenlehre:
2. Semester
Mag. Hermine Rögner
Rechnen im Dualsystem:
11001
1110
1011
11101
1001111
11
5
1011
101
111
10111
23
1101
13
7
-110
~
111
7
1101" 110
1101
11010
1001110
0·0=0
0·1 = 0
1 ·0 = 0
1.1= 1
100111 0 : 1101 = 110
1101
00
"Einmaleins"
1m
Binärsystem
100111 0 : 110 = 1101
111
110
Umrechnungen:
(xh ~
(X)lO:
1101101(2)= 1-26 +1-25 +0-24 +1-23 +1-22 +0-2+1
= 64 + 32 + 8 + 4 + 1 = 109(10)
=
Men2e der natürlichen Zahlen:
Kronecker (1823/1895): "Die natürliche Zahl hat der liebe Gott gemacht, alles
andere ist Menschenwerk."
früher:
jetzt:
= {I, 2, 3,4,
1N0 = {O, 1, 2, 3,
IN
}
}
IN*=
IN
{O, 1,2,3, .... }
= {I, 2, 3, 4, ...}
-3-
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
Axiomatischer Aufbau der natürlichen Zahlen (PEANO 1891):
•
1 ist eine natürliche Zahl.
• Zu jeder natürlichen Zahl gibt es genau einen Nachfolger, der
wieder eine natürliche Zahl ist.
• Es gibt keine natürliche Zahl, deren Nachfolger 1 ist.
• Die Nachfolger zweier verschiedener natürlicher Zahlen sind
ebenfalls verschieden.
• Enthält eine Menge M natürlicher Zahlen die Zahl 1 und mit jeder
natürlichen Zahl n auch deren Nachfolger n' , so enthält die Menge
M alle natürlichen Zahlen.
(Prinzip der vollständigen Induktion)
Beispiele zur vollständigen Induktion:
A
Symbol für eine Aussage
n natürliche Zahl
A(n) .... Aussage für die Zahl n
A(3)
A(k)
A(k+1)
,
.\
I
. .\
I
"
Induktionsanfang
Bsp.: 1 + 2 + 3 +
Induktionsschritt
+ 100 = ?
1+ 2 + 3 +
100 + 99 + 98 +
101 + 101 + 101+
+ 50
+ 51
+ 101
101 . 50 = 5050
1 + 2 + 3 + 4 + .... + n = (n + 1)' n2 =~.n.(n+1)
2
Beweis mit vollständiger Induktion:
1. Induktionsanfang:
1
-·1·2
A(l) w. A. : n = 1:
1=
A(2) w. A.: n = 2:
1+2=-·2·3
2
1
2
-4 -
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
2. Induktionsschritt:
a. Induktionsvoraussetzung:
1
A(k) w. A.: 1 + 2 + 3 + ... + k = -.2
k . (k
+ 1)
b. Induktionsbehauptung:
A(k+l) auch w. A.:
1
1 + 2 + 3 + ... + k + (k + 1) = -.2
+ 1)' (k + 2)
(k
c. Induktionsbeweis:
1 + 2 + 3 + ..... + k ~+ (k + 1) =
~
...-
1
= -·k·(k+l)
+ (k+l)=
2
-2-
= (k+lt2k+l
fl]
= (k+l) [k+2]
"LEITERMODELL"
"
,,
,
,,,
,,
,~
\\
,
\
\
w.z.z.w.
= 2(k+l)(k+2)
1
,"
\
\
,
",'> '
"Kommen" von der k-ten Sprosse
auf die k+ I-te Sprosse entspricht
dem Induktionsschritt
,,
,
,
,,
2
Besteigen der 1. Sprosse entspricht dem Induktionsanfang
Bsp.:
•
1
• 0
••
0
•••
0
00
••
0
•••
0
000
•••
0
o 000
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3=4
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ....+ (2n-l) = n2
Beweis mit vollständiger Induktion:
1) Induktionsanfang:
n=1
1 = 12 w.A.
-5-
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
n=2
n=3
1 + 3 = 22 W. A.
1 + 3 + 5 = 32 W. A.
2) Induktionsschritt:
a. Induktionsvoraussetzung:
b. Induktionsbehauptung:
1+3+5+ ...+(2k-1)=k2 ist w. A.
1+ 3+5+ ...+(2k-1 )+(2k+ 1)=
=(k+1)2 ist auch w. A.
1+3+5+ .... +(2k-1)+(2k+1) =
c. Induktionsbeweis:
\...
=
-y---_./
k2 +
= (k + 1)2
(2k+1) =
W.Z.z.W.
Bsp.: Euler Leonard (1707 - 1783)
n2 + n + 41 ist eine Primzahl für n = 1,2, .....
n = 1: 43 E P
n = 2: 47 E P
n = 3: 53 E P
n = 39: 1601 E P
n = 40:
402 + 40 + 41 = 40·(40+1) + 41 = 412 (l P
Bsp.: 2n > n '\j n
Beweis:
1) Induktionsanfang:
1
n=l:
2 >lw.A.
n = 2: 22> 2 w. A.
2) Induktionsschritt:
a. Induktionsvoraussetzung:
2k > k ist w. A.
b. Induktionsbehauptung:
2k+1> k + 1 ist auch w. A.
c. Induktionsbeweis:
2k+l = 2k. 2 = 2k + 2k> k + k ~ k + 1
~1
W. Z.z. w.
2k+l > k + 1
Aufgabe:
1 + 5 +,+
... + (4n - 3) = n·(2n - 1)
Wie groß ist die Summe der Innenwinkel in einem konvexen
(Herleitung der Formel und Beweisführung)
Vieleck?
-6-
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
Rechengesetze in
\;j
a, b E fN
fN:
a + b E fN
~
Die Addition ist in fN unbeschränkt ausführbar.
Die Menge fN ist gegenüber der Addition abgeschlossen.
Die Addition istin
(fN,
fN
eine innere Verknüpfung (algebraische Operation).
+ ) Verknüpfungsgebilde (algebraische Struktur)
Gegenbeispiel:
(lNg,
+) Verknüpfungsgebilde
a E fNg, b E fNg ~ a + b E fNg
(fNu, +) kein Verknüpfungsgebilde
3 + 5 = 8 E fNg
\;j
ASSOZIATIVITÄT:
(a + b) + c = a + (b + c)
NEUTRALES ELEMENT:
n = 0:
a+0=0+a= a
\;j
a, b, c E fN
\;j
a E fN
INVERSE ELEMENTE: zu jedem a E fN
a + a* = a* + a = 0
existieren in fN nicht (Ausnahme 0* = 0=
KOMMUTATIVITÄT:
\;j
a +b =b +a
\;j
a, bE
fN
a, b E fN
a- b E fN ?
Ist nur dann möglich, wenn a ~ b!
kein Verknüpfungsgebilde
Die Überprüfung auf Rechengesetze ist dann nicht sinnvoll!
(fN, - )
\;j
a, b E fN
~
(fN, .)
a . b E fN
Verknüpfungsgebilde
ASS.: (a . b) . c = a· (b . c)
NEUT:. a· 1 = 1 . a = a
n=l
INV.: a· a* = a* .a = 1
existieren nicht, außer 1* = 1
KOMM.: a· b = b . a
-7 -
Zahlen lehre: 2. Semester
'V a, bEIN
~
Mag. Hermine Rögner
a
- EIN?
b
Nur wenn der Zähler ein Vielfaches des Nenners ist.
~ (IN, :) kein Verknüpfungsgebilde
Verknüpfung von Addition und Multiplikation:
(a + b) . c = a' c + b . c
Distributivgesetz
a . b + c = (a + c) . (b + c)
Dieses Distributivgesetz gilt hier nicht!
Erweiterung der Menge
IN:
Die Subtraktion soll unbeschränkt ausführbar sein.
a+x=b
a+(b-a)=b
x=b-a
Ist in IN nur dann sinnvoll, wenn b 2: a ist.
Ist b < a: "Gleichung" nicht lösbar
a+x=O
~ x=O-a
a + (0 - a) = 0 'Va E IN
"-----y---J
- a
a + (-a) = 0
(-a) negative Zahl
(-a) + x = 0 ~ x = 0 - (-a)
(-a) + (0 - (-a)) = 0
(-a) + (-(-a)) = 0
'-y---J
(+a)
positive Zahl
2:- ... Menge der negativen ganzen Zahlen
2: + ••• Menge der positiven ganzen Zahlen
2:+
= IN*
-8-
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Herrnine Rögner
Permanenzprinzip (Hankel 19. Jhdt.)
Bei Erweiterungen von Zahlenmengen sollen die bisherigen Rechengesetze
weiter gelten. Sie können dabei Sonderfälle neuer Rechengesetze sein.
D. h. alle Rechengesetze aus
rN
Zusätzlich gilt bei der Addition:
INV.: a + (-a) = (-a) + a = 0
gelten auch in
'vi
l.
a, b E Z
-a nennt man das inverse Element zu a
-a, a Gegenzahlen
I) ~
(l, +) Verknüpfungsgebilde
ASS., NEUT., INV.
~ So eine Verknüpfungsgebilde nennt man GRUPPE.
(Da außerdem noch das KOMM. Gilt ~ kommutative
Gruppe (ABELsche Gruppe)
11) ~ (Z, . ) Verknüpfungsgebilde
ASS.
111)DISTRIBUTIV GESETZ: a . (b + c) = a . b + a . c
Sind I, 11,111erfüllt, so spricht man von einem RING.
Hier:
(l, +, . ) Ring
der ganzen Zahlen
BETRAG einer ganzen Zahl:
1. Der Betrag einer positiven Zahl ist die Zahl selbst.
Der Betrag einer negativen Zahl ist ihre Gegenzahl.
1+7\ =7
1-71 =7
2. lai = max (-a, +a)
wenn aa'20
<0
3. lal= {a-a wenn
-9 -
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
4. geometrisch:
a
a
o
Abstand vom Nullpunkt!
Betragsfunktion:
f:
l H l, X H
f: R
H R,
x
lxi
H lxi
x ~ 0: fl(x) = x oder x< 0: f2(x) = -x
- 10 -
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
Signumfunktion: (Vorzeichenfunktion)
sign(x)=
xE R
0
wenn x=O
-1 1 wenn
wenn x>O
x<O
1+
1
1
"Sprungfunktion "
"Treppenfunktion "
Restklassen:
Menge Z wird z. B. durch die Division mit 2 in zwei Mengen (Restklassen)
bezüglich der Restbildung eingeteilt.
/\
Di vision durch 2
Rest 0
(Modul 2)
Rest 1
-
Rest 0: {
, -6, -4, -2, 0, 2,4, 6, 8,
}= 0
Restklasse Null modulo 2
Rest 1: {
, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9,
}= 1
Restklasse 1 modulo 2
-
Einteilung einer Menge M in Klassen:
- 11 -
Zahlenlehre:
2. Semester
Mag. Hermine Rögner
M
Klasseneinteilung
M
KEINE Klasseneinteilung
(2) nicht erfüllt
Einteilung der
(1)
(2)
(3)
Zerlegung von
Menge M in Teilmengen nach folgenden Eigenschaften:
Keine Teilmenge ist leer.
Der Durchschnitt je zweier Teilmengen ist leer.
Die Vereinigung aller Teilmengen liefert die Menge M.
l in Restklassen:
Modul m ~ 2
Durch Division aller Zahlen XE
durch m erhält man die Reste 0, 1,2, ..... ,
rn-I.
Alle Zahlen, die den gleichen Rest
-- haben,--werden zu einer Klasse zusammen
gefasst. Klassenbezeichnungen: O,l,..... ,m-1.
l
Termdarstellung:
0:
XE
llx=k.m
kE l
1:
XE
llx=k.m
+1
llx=k.m
+2
2:
XE
m-1:
Modul 4:
xE llx=k.m
+(m-1)
o ={
, -12, -8, -4, 0, 4, 8, 12, 16,
= {x Ellx=4.k}
}=
kEl
- 12 -
Zahlen lehre: 2. Semester
/
Mag. Hermine Rögner
1 = {..... , -11, -7, -3, 1, 5, 9,13, .... } =
=
{xEZlx=4.k+l}
kEZ
-
2 = {..... , -6, -2, 2, 6,10,14,
= {x
.... } =
EZlx=4.k+2}
kEZ
3 = {..... , -9, -5, -1,3,7,11,15,
.... } =
= {x EZlx=4.k+3}
kEZ
~ insgesamt 4 Restklassen
Jede Zahl der jeweiligen Restklassen kann als Repräsentant dieser Klasse
gewählt werden. Im allgemeinen wählt man die kleinste positive Zahl als
Repräsentant.
Rechnen mit Restklassen:
i82 = 3
4
(4k1 + 1) + (4kz + 2) =
= 4k1 + 4kz + 3 =
= 4(k1 + kz) + 3 =
'------y-----J
kE
Z
= 4k + 3
(4k1 + 1)+(4kz+3)=
= 4k1 + 4kz + 4 =
= 4(k1 + kz + 1) = 4k
'--y--J
kE Z
-0
1
-
4
301
=
2
183
=
2
4
~(±)4
2
- 13 -
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
(4k] + 3) + (4k2 + 3) =
= 4k1 + 4k2 + 6 =
/\
4+2
= 4(k 1 + k2 + 1) + 2 =
'-----v------'
kE
z:
= 4k +2
wl 0
1
1
-
2
\
0\1
-
3
~
Randzeile
301
Verknüpfungstabelle
2
3 01 0~,HauPtdiagOnale"
Randspalte
Aus der Tabelle ist ersichtlich
(1) c±) ist eine innere Verknüpfung
4
(2) zum AG: Restaddition ist assoziativ, da die Addition ganzer Zahlen
assoziativ ist.
(3) n = 0
(4) 0* = 0
1* = 3
2* = 2
3* = 1
=> GRUPPE
({ 0,1,2:,3}'
®)
4
(5) kommutativ
=> KOMMUTATIVE GRUPPE
- 14 -
Zahlenlehre:
2. Semester
Mag. Hermine Rögner
--3= 3
32 230120120 1:3:Oi
0
=:3
2: 3 = 2 3 : 2 = geht nicht
-
4
2:2=1,3
= 16kIk2 + 12k2 + SkI + 6 =
/\
= 4(4kI
~
k2
+ 3k2
...•••...
kE
4+2
+ 2k1 + 1)
~ +2 =
l
-
= 4k + 2 = 2
Gruppe?
(1)
(2)
(3)
(4)
Innere Verknüpfung
assoz., da Multiplikation in assoziativ ist
n= 1
existieren nicht immer I""~ u-U~ (,-, PfR.,"<~~
~ KEINE GRUPPE
l
3* = 3existieren
n=l
1
4
+1*komm.
=1
~~1 ({11, 33:3},G ) komm. Gruppe
In welcher Restklasse mod S liegt die Zahl 43?
- 15 -
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
In welcher Restklasse
43 : 8 = S
3 Rest
mod 8 liegt die Zahl 43?
=> 43 E 3 (8)
In welcher Restklasse mod S liegt die Zahl -39?
-39:S=-7
-4 R.
-39 E I(S)
-39:S =-8
+S
1 R.
IR
-39 und 21 liegen in derselben Restklasse
modulo S
E I(S)
-2139EJ(S)}
-39 ist kongruent zu 21 modulo S
-39 == 21(S)
21 - (-39) = 21 + 39 = 60 E
/012·S
60 =
O(S)
'"
0(5)
Zwei Zahlen, die in derselben Restklasse liegen, unterscheiden sich durch ein
Vielfaches des Moduls. Ihre Differenz ist ein Vielfaches des Moduls.
a == b(m)
a - b == O(m)
Teilbarkeit
und Teilbarkeitsregeln:
a teiHb :
bl
-EZ
b ist ein Vielfaches
a
z. B.: 6118
von a
18 = 3E Z
6
33E
Z: 18=6·3
- 16 -
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
Triviale Teiler: ± 1
1 la
± aal
(Unechte Teiler):
a
=> Andere Teiler von a heißen echte Teiler.
Es genügt die positiven Teiler zu finden.
Allgemeine
Teilbarkeitsregeln:
(1) (a I b) 1\ (b Ic ) => ( ale)
z. B.: (3112)
Beweis:
transiti v
1\ (12136)=>(3136)
b = a· ql
alb:
bl c : c = b· q2
AG
C = b . q2 = (a . ql)" q2 = a· (ql· q2) = a . q
'-y---J
qE
(2) (cla)
1\
(clb)=>
cl(a'q,
+b'q2)
"Summenregel
(3) alb
(4)(alb)
2:
"
=> c.alcob
1\ (bla)=>
(in IN*)
a=b
(in 2:*)
lal=lbl
(5) (all b] )
1\
(a21
b)=>
(al
0
a21
b1
•
b2)
z. B.: 218 1\ 319 => At 31809 => 6172
Suchen aller Teiler einer Zahl a:
z. B.: a = 168
168
=
1 . 168
2·84
16 Teiler in IN
32 Teiler in 2:
6·28
1~.~~
7·24 r
- 17 -
Zahlenlehre:
2. Semester
Mag. Hermine Rögner
/
Teiler
"
8' 21
12' 14
komplementäre Teiler
Satz: Der Teiler a oder der komplementäre Teiler q = n einer Zahl n E IN*
a
ist :S~
a:S~
oder n:s~
a
Beweis: indirekt
Annahme:
a> ~
/\ n >~
a
a' n>~.~
a
n>n
Widerspruch
Ermittle alle Teiler der Zahl 90!
-J96
= 9,.... => Teiler :S 9
T(90) = {I, 2, 3, 5, 6,~, , 1.0,
' 15, 18,30,45,
"-
"V
..J
<----_~
90}
..."
n
Teiler a
I
T(36) = {l, 2, 3,4,6,9,
I
komplementäre Teiler a
12, 18, 36}
Spezielle Teilbarkeitsregeln:
z = an'10n + an_l'10n-1 + an_2'10n-2+
+ a3'103 + a2'102 + a]'10] + aü
an :t 0, aj E {O, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
10 = 2 ' 5 => 2110 => 10
==
=> 5 110 => 10
==
Folgerung:
0(2)
0(5)
102 == 0(2), (5)
103 == 0(2), (5)
IOn == 0(2), (5)
Z
= an'IOn + an-]'10n-] + an-2'10n-2+
==
==
0(2)
0(5)
-
+ a3'103 + a2'102 + a] '10] + aü
==
==
==
0 + aü (2) (5)
aü (2) (5)
- 18 -
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
Regel: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Einerziffer durch 2 teilbar ist.
D. h., wenn die Einerziffer 0, 2,4, 6, 8 ist. (d. h. gerade Zahlen)
Regel: Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die Einerziffer durch 5 teilbar ist,
d. h. wenn die Einerziffer 0 oder 5 ist.
100 = 4 25 => 100
=> 100
==
==
0(4)
0(25)
z = an·10n+ an-I·10n-1+ an_2·10n-2
+
+ a3·103+ a2·102+ al·101 + ao ==
"--.:------------..,,---- -----------'
==
0(4)
==
==
0(25)
==
al·10 + ao (4)
al·10 + ao (25)
Zahl, die aus Zehner- u. Einerziffern gebildet wird
= "zweiziffriges Ende"
Regel: Eine Zahl ist durch 4 (25) teilbar, wenn ihr zweiziffriges Ende durch 4
(25) teilbar ist.
Bei 25: zweiziffriges Ende: 00,25, 50, 75
4 152 => 4 \752
1365~
=> 4{136531
1000 = 8 ·125
Regel wie vorher: nur dreiziffriges Ende
Teilbarkeit durch 9:
1(9)
102 == 1(9)
10
IOn
==
==
1(9)
+ a3.103 + a2.102 + al .101 + ao ==
z = an·10n + an-l·10n-1 + an-2·10n-2+
== an + an-l +
+ a3 + a2 + al + ao (9)
"Ziffern summe" (Quersumme)
Regel: Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Ziffernsumme durch 9 teilbar ist.
z. B.: 243782 ~ 2 + 4 + 3 + ....+ 2 = 26
9 Y26 => 9 j/243782 => 10
==
1(3) => analoge Regel für 3!
- 19 -
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
Ist eine Zahl durch 9 teilbar, dann ist sie auch durch 3 teilbar.
10 = -1(11)
100 = 1(11)
1000 = -1(11 )
104 = 1(11)
Z
= an'10n + an-1'10n-1+ an-2'10n-2+
+ a3'103 + a2'102 + a1'101 + ao =
= (_1)n. an + (-lt-1. an-1 +
- a3 + a2- a1+ ao (11)
"Wechselquersumme"
Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre Wechselquersumme
ist.
durch 11 teilbar
+- +
121 = 1 - 2 + 1 = 0(11)
~
11 1121
+-+-+
17058=
1-7-5+8
= -3(11) = 8(11) ~
11{17058
Neunerprobe bzw. Elferprobe:
358'4037
= 7' 5 = 8(9)
= 6' 0 = 0(11)
1445246
= 8(9)
= 0(11)
Teilbarkeitsregel für 7, 11, 13:
n sei eine natürliche Zahl, a sei die Anzahl der Tausender und b der Rest der
Zahl bei Division durch 1000.
n ist durch 7, 11, 13 teilbar, wenn
5623 = 5 . 1000 + 623
1623- 51 = 618
Ib -
al durch 7, 11, 13 teilbar ist.
7+
ggT : größter gemeinsamer Teiler
ggT(a, b) ist gemeinsamer Teiler, und zwar der größte davon
- 20 -
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
ggT(a, b) = d :
(1) dia
/\dlb
/\tlb
(2) tla
=>tld
T(12) = {I, 2, 3, 4, 6, 12}
T(54) = {I, 2, 3, 6, 9, 18,27,54}
gT(12, 54) = {I, 2, 3, 6}
ggT(12, 54) = 6
ggT(247, 221) = ?
Verfahren:
247,221)
EUKLIDISCHER Algorithmus
221,26
~
195,26
ggT(a,b) = ggT(a - b, b), wenn b < a
169,26
143,26
117,26
91,26
65,26
39,26
26, 13
13,13 => ggT( 247, 221) = 13
Überlegung:
1) Wenn a = b, dann ist ggT(a, b) = a= b
2) Wenn a b, dann wählt man die größere Zahl (sei a) und betrachte a-b und
=I-
b
Jeder gemeinsame Teiler von a und b ist auch gemeinsamer Teiler von a-b
und b, denn:
t I a /\ t I b => a
I
qj . t
b
I
qj .
t => a - b = ql .t - q2 .t = (ql - q2}t = qt
=>tla-b
daher ggT(a,b) = ggT(a-b,b)
Andere Verfahren, um den ggT zu ermitteln:
Primfaktorenzerlegung:
Dazu benötigt man die Teilbarkeitsregeln.
ggT(84,45) = 3
- 21 -
32753
Zahlen lehre: 2. Semester
45
515
Mag. Herntine Rögner
84
84 = 2'2'3'7 = 22'3'7
45 = 3'3'5 = 32'5
2,3,5,7,11,13,
..... PRIMZAHLEN
Def:: Eine natürliche Zahl P > 1 heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler hat.
T(p) = {1, p}
1, P .... Triviale Teiler
Andere Zahlen nennt man "zusammengesetzte Zahlen".
Wie viele Primzahlen gibt es?
EUKLID: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis: indirekt
Angenommen, es gäbe endlich viele Primzahlen, z. B. PI, P2, P3, .... , pr.
Bilde die zusammengesetzte Zahl PI ' P2 ' P3 '.... ' Pr + 1.
Ist das eine Primzahl?
= rN
a) Ja: => Widerspruch zur Annahme!
b) Nein: => rN ist größer als 1 und durch eine der Primzahlen PI, P2,
P3, .... , Prteilbar.
Sei P diese Primzahl, die rN teilt.
Wegen P rN und pipI, P2, P3, .... , Pr => P 11 (auf Grund des
Summensatzes )
1
=> Widerspruch zur Annahme.
Der Beweis lieferte Möglichkeiten, Primzahlen zu finden:
2+1=3
2'3+1=7
2' 3 '7 +1 = 43
- 22 -
Zahlen lehre: 2. Semester
Mag. Hermine Rögner
2·3·5+1=31
2 . 3 ·5 ·7+ 1 = 211
2 . 3 . 5 .7 . 11 + 1 = 2311
2 . 3 . 5 7 . 11 . 13 + 1 = 30031 = 59 . 509
ERATOST/HENES:
~ keine Primzahl! !
(3. Jhdt. v. ehr.): "Sieb"
Fundamentalsatz der Zahlentheorie:
Jede natürliche Zahl n lässt sich bis auf die Reihenfolge in eindeutiger Weise
als Produkt von Primzahlen darstellen.
n = PI
. P2 . P3
Ps
z. B. : 105 = 3 ·5 ·7
150
75
25
5
1
2
3
5
5
150 = 2·3S5 = 2"3"52 kanonische Darstellung
Ordnung der Größe nach mit Potenzen.
Def.: Ein Paar (p,q) von Primzahlen heißt PRIMZAHLZWILLING,
wenn
q=p~
z. B.: (2,3)
(17, 19)
(5,7)
(3,5)
(11, 13)
- 23 -