ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE PROF. DR. CHRISTINA BIRKENHAKE Inhaltsverzeichnis 1. Minimum, Maximum und vollständige Induktion 1.1. Zahlen 2. Teilbarkeit 2.1. Teilbarkeitsrelation 2.2. Eigenschaften 2.3. Teilermengen 2.4. Ordnungsrelation: Teilbarkeit und Hassediagramme 3. Primzahlen 3.1. Einführung der Primzahlen in der Schule 3.2. Wieviele Primzahlen gibt es? 3.3. Sieb des Eratosthenes 3.4. Wie sind die Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen verteilt? 3.5. Primzahlformeln 3.6. Primfaktorzerlegung 3.7. Folgerungen aus dem Hauptsatz 3.8. Hassediagramme verfeinert 3.9. Primzahlkriterium und das Lemma von Euklid 4. Größter gemeinsamer Teiler (ggT ) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV ) 4.1. ggT und Teilermengen 4.2. Euklidischer Algorithmus 4.3. Vielfache des ggT und Linearkombinationen 4.4. Lineare Diophantische Gleichungen 4.5. kgV und Vielfachenmengen 5. Kongruenzen und Restklassen 5.1. Die Kongruenzrelation mod m 5.2. Kongruenz als Äquivalenzrelation 1 3 3 7 7 9 12 14 14 14 16 19 20 22 25 29 30 31 32 32 36 42 44 49 54 54 60 5.3. Algebraische Struktur von Z{mZ - Rechnen im System Z{mZ 5.4. Die Sätze von Euler, Fermat und der Chinesische Restsatz 6. Stellenwertsysteme 6.1. Verschiedene Stellenwertsysteme 6.2. Prinzip des Stellenwertsystems 6.3. Zahlen in verschiedenen Zahlsystemen 6.4. Rechnen in anderen Zahlsystemen 7. Dezimalbrüche 7.1. Gemeine Brüche und Dezimalbrüche 7.2. Kettenbrüche 8. Teilbarkeitsregeln 8.1. Endstellenregeln 8.2. Quersummenregeln 8.3. Weitere Teilbarkeitsregeln für Primzahlen 9. Vollkommene Zahlen 9.1. Beispiele und Definition 10. Fibonaccizahlen, Goldener Schnitt und Irrationalität 10.1. Das regelmäßige 5-Eck - Goldener Schnitt 10.2. Aperiodische Plasterungen 10.3. DIN-Norm für Papier 11. EAN, ISBN, PZN und IBAN 11.1. EAN im Supermarkt 11.2. ISBN 11.3. Die Pharmazentralnummer PZN 11.4. IBAN, Verfahren Modulo 97-10 (ISO 7064) 12. Kryptographie 12.1. Monoalphabetische Substitution 12.2. Polyalphabetische Substitution 13. RSA-Verschlüsselungssystem 2 63 72 79 79 83 85 87 88 88 98 102 102 105 108 110 110 114 116 119 120 122 122 126 128 130 133 133 136 137 Version vom 27. Juli 2016 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 3 1. Minimum, Maximum und vollständige Induktion 1.1. Zahlen. Natürliche Zahlen - Peano - Axiome Giuseppe Peano (1858-1932) (1) 1 ist eine natürliche Zahl. (1 P N) 1 (2) Jeder natürlichen Zahl n ist genau eine natürliche Zahl n zugeordnet, die Nachfolger von n genannt wird. (n1 “ n ` 1) (3) 1 ist kein Nachfolger. (n1 “ 1 ñ ) (4) Sind n und m verschiedene natürliche Zahlen, so sind auch ihre Nachfolger n1 und m1 verschieden. (n ‰ m ñ n ` 1 ‰ m ` 1) (5) Enthält eine Menge M natürlicher Zahlen 1 und folgt aus n P M stets n1 P M , so besteht M aus allen natürlichen Zahlen. (M “ N) Uneinheitliche Notation: natürliche Zahlen mit oder ohne Null? N “ t1, 2, 3, . . .u oder N “ t0, 1, 2, 3, . . .u In mathematischen Abhandlungen je nach Vereinbarung! In der Schule: X Quadrat-Zeichenlegende: N “ Menge der natürlichen Zahlen N0 “ Menge der nat. Zahlen einschließlich Null. bsv, Mathematische Formeln kompakt: Version vom 27. Juli 2016 N “ t0, 1, 2, 3, . . .u und N˚ “ Nzt0u “ t1, 2, 3, . . .u. Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 4 Eine Menge M heißt total geordnet, wenn für alle x, y, z P M gilt: (1) x ď x, (2) aus x ď y und y ď z folgt, daß auch x ď z, (3) aus x ď y und y ď x folgt, daß x “ y. Damit folgt, daß für je zwei Elemente x, y einer total geordneten Menge gilt: xďy oder x ě y Beispiele: Die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen und die reellen Zahlen sind total geordnet. Satz 1.1 (Kleinstes Element - Wohlordnungsprinzip). Jede nicht leere Teilmenge T von N enthält eine kleinste Zahl m. Das heißt, für alle t P T gilt: m ď t. Beweis: Da T nicht leer ist, gibt es ein Element n P T . Das erste Element der geordneten Menge tp0q, 1, 2, . . . , n ´ 1, nu, daß auch in T enthalten ist, ist das gesuchte kleinste Element. Satz 1.2 (Induktion). Ist eine Aussage über eine natürliche Zahl wahr für 1) n “ 0 und wenn 2) die Wahrheit der Aussage für alle a ă n die Wahrheit für n selber zur Folge hat, dann ist die Aussage für alle n P N wahr. Daraus ergibt sich die Beweismethode der Vollständigen Induktion: Es sei Apnq eine Aussage (abhängig von einer natürlichen Zahl n P N). Es ist zu zeigen, daß Apnq für alle natürlichen Zahlen n ab einem gewissen Anfangswert n0 gilt (d.h. für alle n ě n0 ). Dazu zeigt man: (1) Induktionsanfang: Die Aussage Apn0 q ist wahr. (2) Induktionsschritt: Man zeigt, daß aus der Gültigkeit von Apnq für irgendein n P N auch die Gültigkeit der Aussage für den Nachfolger n ` 1 von n folgt. (Aus Apnq ist wahr, folgt Apn ` 1q ist wahr!) Version vom 27. Juli 2016 Beweis: Es sei T die Menge der natürlichen Zahlen, für die die Aussage falsch ist. Nach 1) gilt 0 R T . Wenn T “ H, haben wir nichts zu zeigen. Wenn aber T nicht leer ist, so hat es nach 1.1 ein kleinstes Element n ą 0. Da dann aber die Aussage für alle natürlichen Zahlen p0q, 1, . . . , n ´ 1 (also für alle a ă n) gilt, so ist sie nach Vorraussetzung 2) auch für n, damit würde folgen: n R T . 5 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beispiel: Beweise die Summenformel mit vollständiger Induktion: n ÿ n ¨ pn ` 1q i “ 1 ` 2 ` 3 ` ¨¨¨ ` n “ @ nPN 2 i“1 (1) Beweis: Induktionsanfang: Zu Zeigen: Die Aussage (1) ist für n “ 1 richtig: n“1 n ¨ pn ` 1q Ó 1 ¨ p1 ` 1q “ “1 X 2 2 Induktionsschritt: Zu Zeigen:Aus der Gültigkeit von (1) für n folgt die für n ¨ pn ` 1q n ` 1: Angenommen es gilt 1 ` 2 ` 3 ` ¨ ¨ ¨ ` n “ für ein n P N. 2 loooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooon Induktionsvorraussetzung Dann folgt: ò pn ` 1q ¨ pn ` 2q pn ` 1q ¨ n ` pn ` 1q ¨ 2 rn ` 1s ¨ prn ` 1s ` 1q “ “ 2 2 2 n ¨ pn ` 1q “ ` pn ` 1q (mit Ind. Vorraussetzung) 2 “ 1 ` 2 ` 3 ` ¨ ¨ ¨ ` n ` pn ` 1q Satz 1.3 (Maximumsprinzip). In jeder nicht leeren endlichen Menge reeller Zahlen gibt es eine größte Zahl. (Beachte: hier ist das Wort endlich wichtig! Gegenbeispiel: das offene Intervall s0, 1r hat weder ein kleinstes noch ein größtes Element.) Beweis: Eine nicht leere endliche Menge reeller Zahlen hat notwendiger Weise die Form ta1 , . . . , an u mit einem n P N. Angenommen n P T , das heißt: jede n-elementige Menge (Ă R) besitzt ein Maximum. Ist nun M “ ta1 , . . . , an , an`1 u Ă R, so hat die Teilmenge ta1 , . . . , an u ein größtes Element, OE an ist dieses Element. Da die reellen Zahlen total geordnet sind, gilt entweder an`1 ą an , an`1 “ an oder an`1 ă an . Gleichheit geht nicht, also ist im Fall an`1 ą an die Zahl an`1 das größte Element von M oder im Fall an`1 ă an ist es an . Damit hat M in jedem Fall ein größtes Element und folglich gilt n ` 1 P T . Induktiv folgt, daß T “ N, und damit die Behauptung. Version vom 27. Juli 2016 Sei T die Menge natürlicher Zahlen n ě 1 mit der Eigenschaft: Jede n-elementige Menge reeller Zahlen hat ein größtes Element. Klar: 1 P T , denn jede Menge ta1 u, mit a1 P R, hat ein größtes Element! 6 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Natürliche Zahlen - Addition Den Schülern bewußt machen, daß man die natürlichen Zahlen additiv erzeugen kann: n “ 1looooooomooooooon ` 1 ` ¨¨¨ ` 1. n Summanden Die Addition ordnet stets zwei natürlichen Zahlen eine dritte zu: n, m P N ñ n ` m “ k P N. Subtraktion ist Gegenoperation zur Addition: k ´ m “ n genau dann, wenn n ` m “ k. Insbesondere: pn ` mq ´ m “ n. Subtraktion hebt die Addition auf. Problem , Substraktion geht nicht immer m´n P N falls n ą m ñ Erweiterung auf Z Natürliche Zahlen - Von der Addition zur Multiplikation Wiederholte Addition der gleichen Zahl: n¨m“m ` m ` ¨¨¨ ` m. looooooooomooooooooon n Summanden Formulierung: n mal m Problem Wo ist die Betonung? m ` m ` ¨¨¨ ` m looooooooomooooooooon n mal m oder n ` n ` ¨¨¨ ` n loooooooomoooooooon n Summanden m Summanden Umgangssprache Operatorauffassung : ¨m n ÝÑ n ¨ m Das wegen der Kommutativität der Multiplikation beides gleich ist, hilft den Schülern wenig. Man muss es durch Übung und Beispiele klar machen. z.B. so: Version vom 27. Juli 2016 n mal m 7 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 5·3 3·5 Natürliche Zahlen - Kommutativität der Multiplikation Umkehroperation? ñ neue Relation: Teilerrelation 2. Teilbarkeit 2.1. Teilbarkeitsrelation. Definition 2.1. Eine natürliche Zahl a ist genau dann Teiler der natürlichen Zahl b, wenn eine natürliche Zahl q existiert, so daß a ¨ q “ b. Schreibweise: a | b (a teilt b) sonst a | b (a teilt nicht b) Beispiele: 2¨3“6 ñ 2 | 6 und 3 | 6 10 ¨ 7 “ 70 ñ 10 | 70 und 7 | 70 aber 5 | 21 und denn 4 ¨ 5 “ 20 und 5 ¨ 5 “ 25 20 ă 21 ă 25 Wie kann man das aber beweisen? Das wird mit Korollar 2 möglich sein! Bemerkung 2.1. (1) Null: Vorsicht bei Teilbarkeit: ‚ 0 | b für alle b P Nzt0u, denn q ¨ 0 “ 0 für alle q P N ‚ 0 | b impliziert ñ b “ 0!!!! Null ist nur Teiler von Null! ‚ a | 0 für alle a P N, denn 0 ¨ a “ 0 für alle a P N ‚ 0 | 0, denn q ¨ 0 “ 0 für z.B. q “ 1 (und alle q P N!) Version vom 27. Juli 2016 Die letzte Begründung wird sicherlich von Schülern akzeptiert. 8 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie (2) (3) (4) (5) Um diese Ausnahmen nicht immer gesondert auszuschließen, beschränkt man sich auf N “ t1, 2, 3, . . .u bei Teilbarkeitsuntersuchungen (ohne dies immer zu erwähnen!). 0 | 0 aber !!! 0 : 0 !!! ist nicht definiert! Teilbarkeit wird mittels Multiplikation definiert (nicht via Division wie bei G8) ‚ Vorteilhaft beim Beweisen ‚ Multiplikation (bei Schülern) einfacher als Division. ‚ Zusammenhang Teiler und Vielfache transparenter. ‚ Problem mit Division durch Null entfällt, keine Fallunterscheidungen nötig! Teilen versus Dividieren: ‚ Beim Dividieren können von Null verschiedene Reste auftreten: 3 : 2 “ 1 ` 12 ‚ Bei der Teilerfrage nicht: 2 | 3 aber 2 | 6 weil 2 ¨ 3 “ 6 und damit ñ 6 : 2 “ 3 ‚ ñ Teilen ist eine Spezialfall des Dividierens! ‚ Die gesuchte Information ist verschieden: Teilen: Frage ob eine Zahl (multiplikativ) in einer anderen Zahl enthalten ist. Dividieren: Frage wie oft eine Zahl in einer anderen enthalten ist. Teilbarkeitsbetrachtungen können auch auf die ganzen Zahlen Z “ t. . . , ´3, ´2, ´1, 0, 1, 2, 3, . . .u erweitert werden. Ersetze N durch Z in Definition 1 ( und etwas mit der Null aufpassen). q ¨ a “ b bzw. a|b Bezeichnung: a | b kann auch als b ist Vielfaches von a gelesen werden. Bemerkung 2.2. a ist genau dann Teiler von b, wenn b Vielfaches von a ist. Version vom 27. Juli 2016 Definition 2.2. Die Zahl b P N ist genau dann ein Vielfaches der Zahl a P N, wenn es ein q P N gibt mit 9 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 2.2. Eigenschaften. Satz 2.3 (Teilbarkeitseigenschaften). Für a, b, c, d P Z gilt: (1) a | b und b | c ñ a | c (2) a | b und b | a ñ |a| “ |b| (3) a | b und c | d ñ a ¨ c | b ¨ d Beweis: (Transitivität) ({N : Symmetrie) (1) a | b ñ a ¨ q1 “ b und b | c ñ b ¨ q2 “ c für q1 , q2 P Z ñ c “ b ¨ q2 “ pa ¨ q1 q ¨ q2 “ a ¨ pq1 ¨ q2 q ñ a | c (2) Es gibt q1 , q2 P Z mit 1.) a ¨ q1 “ b und 2.) b ¨ q2 “ a. ! 2.) in 1.): b “ a ¨ q1 “ pb ¨ q2 q ¨ q1 “ b ¨ q2 q1 “ b Fall: b ‰ 0 ñ q2 q1 “ 1 Da q1 , q2 P Z ñ |q1 | “ |q2 | “ 1 ñ a “ ˘b ô |a| “ |b|. Version vom 27. Juli 2016 (3) Fall: b “ 0 ñ a | 0 (sowieso) und 0 | a ñ a “ 0(Bem. 2.1: Null teilt nur Null) a ¨ q1 “ b und c ¨ q2 “ d ñ a ¨ c ¨ pq1 ¨ q2 q “ b ¨ d 10 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Korollar 2.4. Für a, b P Z, a ‰ 0 gilt: (1) a | b (2) a | b a | b ¨ d für alle d P Z a ¨ d | b ¨ d für alle d P Z ñ ñ Beweis: Folgt aus dem Satz 2.3 (3) mit c “ 1 (für 1.) und c “ d (für 2.). Satz 2.3 (3) hat kein additives Analogon, denn 2 | 6 und 3 | 15 aber ñ p2 ` 3q “ 5 | 21 “ p6 ` 15q Satz 2.5 (Teilen von Linearkombinationen). a | b und a|c Für a, b, c P Z gilt: a | prb ` scq ñ für alle r, s P Z. (d.h. a teilt jede ganzzahlige Linearkombination von b und c.) Beweis: Korollar ñ a | r ¨ b und a | s ¨ c für alle r, s P Z. Also a ¨ q1 “ r ¨ b und a ¨ q2 “ s ¨ c für q1 ¨ q2 P Z. ñ a ¨ pq1 ` q2 q “ a ¨ q1 ` a ¨ q2 “ r ¨ b ` s ¨ c ñ Beh. Der Satz ist nicht umkehrbar, denn: 2 | p2 ¨ 3 ` 4 ¨ 5q aber 2 | 3 und 2 | 5 Aber: Korollar 2.6. Für a, b, c P Z gilt: a|b und a | c ñ a|b ˘ c 5 | 21 Version vom 27. Juli 2016 Nachtrag zum Beispiel aus Abschnitt 2.1: Wie beweist man das Nicht Teiler Sein? warum? Beweis: Z.B. durch Widerspruch: Annahme: 5 | 21 Es gilt sicher auch: 5 | 20, denn 5 ¨ 4 “ 20. Korollar 2.6 ñ 5 | p21 ´ 20q “ 1 11 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Satz 2.7. Für a, b P Z gilt: ˇ a | b ô |a| ˇ |b| Beweis: a “ signpaq ¨ |a| und b “ signpbq ¨ |b| a|b ô a ¨ q “ b ô signpaq ¨ |a| ¨ q “ signpbq ¨ |b| (¨signpbq) ô |a| ¨ pq ¨ signpaq ¨ signpbqq “ |b| ˇ ô |a| ˇ |b| ? Anwendung: 2 ist keine rationale Zahl. Beweis: ? Angenommen, 2 ist rational, also ein Bruch. Sei T die Menge der natürlichen ? Zahlen n, so daß n ¨ 2 P N. Nach dem Satz über das kleinste Element (Wohl? ordnungsprinzip Satz 1.1 ) hat T ein kleinstes Element n0 , also n0 ¨ 2 P N. Dann: weil: 1ă2ă4 ? 1ă 2ă2 ? n0 ă n0 ¨ 2 ă 2n0 ? 0ăn 2 ´ n0 ă n0 0¨ loooooomoooooon (Wurzel ziehen) | ¨ n0 | ´ n0 ? |¨ 2 PN ? ? ? ? 0 ă looooooomooooooon pn0 ¨ 2 ´ n0 q ¨ 2 “ looooooomooooooon 2n0 ´ n0 ¨ 2 ă n0 ¨ 2 ăn0 PN Version vom 27. Juli 2016 ? Also ist pn0 ¨ 2 ´ n0 q ă n0 ein weiteres Element von T , das widerspricht der ? Minimalität von n0 . Also ist T “ H und damit 2 irrational! 12 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 2.3. Teilermengen. Definition 2.3. Für eine natürliche Zahl a sei: ˇ Ta “ T paq “ tx P N ˇ x teilt au die Menge aller Teiler von a. Beispiele T15 “ t1, 3, 5, 15u T17 “ t1, 17u Wegen 1 | a und a | a ñ t1, au Ď Ta . Ta hat also immer mindestens 2 Elemente: Bemerkung 2.8. #Ta ě 2. #Ta “ 2 ô a ist Primzahl. (vgl. Definition 3.1) Satz 2.9. a P N, a ‰ 0 ñ #Ta ď a (a hat also höchsten a Teiler!) Beweis: Sei b P Ta , (also b | a). ñ b ¨ q “ a für ein q P N. insbesondere b, q ě 1 (da b, q P Nzt0u) ñ1 ď b “ b ¨ 1 ď b ¨ q “ a Kurz 1ďbďa ñ Beh. Bemerkung 2.10. Für a “ 0 gilt der Satz nicht, denn b ¨ 0 “ 0 für alle b P N #T p0q “ 8 Sei a P N nicht Primzahl. ñ es gibt Teiler: b | a, b ‰ 1 und b ‰ a ñ es gibt q P N mit b ¨ q “ a Erlaubt ist aber: q “ b (q ‰ 1, q ‰ a) Wegen b ¨ q “ a nennt man a auch zusammengesetzte Zahl. Bemerkung 2.11. ‚ Die kleinste zusammengesetzte Zahl: ñ 4 “ 2 ¨ 2 T4 “ t1, 2, 4u. ‚ Die Zahl 1 ist weder Primzahl noch zusammengesetzte Zahl. Version vom 27. Juli 2016 ñ 13 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Wie findet man Teilermengen einer Zahl? Nutze: - Teiler treten in Paaren auf: b ¨ q “ a - Bei Quadratzahlen: b2 “ a Beispiele: Paar: pb, qq Paar: pb, bq a “ 12: b 1 2 3 4 ñ q 12 6 4 3 T12 “ t1, 2, 3, 4, 6, 12u ñ #T12 “ 6 a “ 21: b 1 3 7 ñ q 21 7 3 T21 “ t1, 3, 7, 21u ñ #T21 “ 4 a “ 16: b 1 2 4 ñ q 16 8 4 T16 “ t1, 2, 4, 8, 16u ñ #T16 “ 5 Bemerkung 2.12. Quadratzahlen haben eine ungerade Anzahl von Teilern. Nicht-Quadratzahlen haben eine gerade Anzahl von Teilern. Satz 2.13. Für a, b P N gilt: a | b ô Ta Ď Tb Beweis: ” ñ ” Transitivität der Teilerrelation (Satz 2.3 (1)) ñ c | a und a | b ñ c | b ñ Ta Ď Tb . ”ð” a P Ta Ď Tb ñ a | b. Beispiele: Teiler Bedingung 2 gerade Zahl bzw. letzte Ziffer ist gerade 3 3 | Quersumme 5 letzte Ziffer 0 oder 5 9 9 | Quersumme n 2 Zahl der letzten n Ziffern ist durch 2n teilbar 5n Zahl der letzten n Ziffern ist durch 5n teilbar Das und mehr wird in einem späteren Abschnitt ausführlich behandelt! Version vom 27. Juli 2016 Teilbarkeitsregeln Wann ist eine Zahl durch 2, 3, 4, . . . teilbar? 14 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 2.4. Ordnungsrelation: Teilbarkeit und Hassediagramme. Satz 2.14. Die Teilbarkeitsrelation über N ist eine Ordnungsrelation, d.h. sie ist: reflexiv : a teilt a (a|a) für alle a P N. transitiv : aus a|b und b|c folgt a|c, für a, b, c P N. symmetrisch : aus a|b und b|a folgt a “ b. Beweis: ‚ Reflexivität ist klar ‚ Transitivität war Inhalt von Satz 2.3 (1) ‚ Symmetrie: folgt aus Satz 2.3 (2): a | b und b | a ñ |a| “ |b| mit N statt Z gilt: a “ b Hassediagramme veranschaulichen Teilbarkeitszusammenhänge in Zahlenmengen: Beispiele (2) T8 “ t1, 2, 4, 8u 8 (1) M “ t1, 2, 3, 4, 5u 4 < 2<3 5 1 4 2 1 (3) T21 “ t1, 3, 7, 21u 3 }} AA (4) T25 “ t1, 5, 25u 21 A A 25 7 5 1 (5) M “ t1, 3, 5, 9, 45u (6) T70 “ t1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70u 1 }} 3. Primzahlen Methode: Vervielfachungsmaschinen Michael hat viele Vervielfachungsmaschinen: ¨2 , ¨3 , ¨4 ,. . . Diese Maschinen verdoppeln, verdreifachen, vervierfachen etc.. Aufgabe: Michael soll 100 große Zahlen versechsfachen! Problem: Maschine ¨6 ist defekt. Version vom 27. Juli 2016 3.1. Einführung der Primzahlen in der Schule. 15 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Lösung: Freund Andreas schlägt vor, die Maschinen ¨2 und ¨3 zu benutzen. Frage 1 Warum? Frage 2 Gibt es noch mehr überflüssige Maschinen? Frage 3 Welche Maschinen sind unentbehrlich? Methode: Rechtecke Legen Gegeben 12 gleichgroße quadratische Plättchen. Frage: Wie viele verschiedene Rechtecke können damit gelegt werden? Variationen: Dabei müssen 1) alle Plättchen genutzt werden oder 2) nicht! Wie ist das bei 13, 15 oder 20 Plättchen? Gibt es auch Plättchenmengen, aus denen (wenn alle Teile benutzt werden sollen) keine Rechtecke gebildet werden können? Methode: Gefängniszellen Ein Tyrann hat ein Gefängnis mit 1000 Einzelzellen und 1000 Wärtern. Einmal im Jahr werden im Rahmen einer Amnestie Gefangene entlassen. Dabei werden die Gefangenen nach folgender Methode ausgewählt: Wärter 1 macht an jeder Tür ein Kreuz Wärter 2 macht an jeder 2ten Tür ein Kreuz Wärter 3 macht an jeder 3ten Tür eine Kreuz .. . Die Gefangenen hinter den Türen mit genau 2 Kreuzen werden entlassen. Welche Zelltüren werden geöffnet? Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Kreuze: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ò Ò Ò Ò ˆ Version vom 27. Juli 2016 W Ò 16 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Vergleich der Zugänge: Vervielfachungsmaschinen: Betont die Eigenschaft der Primzahlen, 1) (multiplikative) Bausteine aller natürlicher Zahlen zu sein und 2) Unzerlegbar zu sein. Rechtecke Legen: Darstellung natürlicher Zahlen als Produkt von 2 Zahlen, enaktiv (durch Handlung), Zerlegbarkeit von Zahlen. Gefängnis: Vielfache, Teilbarkeit, Anzahl der Teiler, Ergänzende Frage: Wieviele und welche Wärter machen ein Kreuz an Tür Nummer n? Charakteristika von Primzahlen: ‚ Primzahlen sind unzerlegbar ‚ Primzahlen sind die Bausteine der natürlichen Zahlen ‚ Primzahlen haben genau 2 Teiler Sonderfall: Die Zahl 1 ist keine Primzahl! und natürlich auch nicht zerlegbar!! Definition 3.1. (1) Natürliche Zahlen, die genau 2 Teiler haben, heißen Primzahlen. (2) Natürliche Zahlen, die mindestens 3 Teiler haben, heißen zusammengesetzte Zahlen. Achtung: Die Begriffe Teilbarkeit und Primzahlen betreffen die Verknüpfung: Multiplikation Bzgl. Addition gibt es in N nur ein unzerlegbares Element: die Zahl 1!! Aber es gibt 8-viele unzerlegbare Elemente in N bzgl. der Multiplikation ñ die 8-vielen Primzahlen. Satz 3.1. Der kleinste von 1 verschiedene Teiler einer natürlichen Zahl a ą 1 ist eine Primzahl. Beweis: Fall 1: a ist Primzahl ñ Ta “ t1, au ñ der kleinste Teiler ‰ 1 ist a Fall 2: a ist zerlegbar ñ t1, au Ă Ta ‰ ñ Beh. Version vom 27. Juli 2016 3.2. Wieviele Primzahlen gibt es? 17 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Sei b P Ta zt1, au der kleinste Teiler. Z.z. b ist Primzahl. Klar, wegen der Transitivität der Teilbarkeitsrelation: Wäre b keine Primzahl ñ D t ‰ 1 mit t|b, ñ ñ 1ătăb t|a Version vom 27. Juli 2016 t|b und b|a t‰b 18 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Satz 3.2 (Euklid). Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweis: Annahme es gibt endlich viele Primzahlen: Sei ñ (*) p1 , p2 , p3 , . . . , pn a :“ p1 ¨ p2 ¨ . . . ¨ pn ` 1 pP Nq a ist keine Primzahl, da größer als jede Primzahl, a ą 1 und: pi | a für alle i “ 1, . . . , n (weil Rest 1 ) pi Sei p P Ta der kleinste Teiler ‰ 1 Aus (*) ñ p ‰ pi , i “ 1, . . . , n Aber: Satz 3.1 ñ p ist Primzahl Folgerung Zu jeder großen Primzahl gibt es stets eine noch größere - es gibt keine größte Primzahl. Jagd nach großen Primzahlen: Viele Internetseiten (z.B. www.primzahlen.de), Version vom 27. Juli 2016 Bücher (Ribenboim,...), Strategien, Primzahlen zu erzeugen: z.B. Mersennezahlen: 2n ´ 1 19 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 3.3. Sieb des Eratosthenes. Erathosthenes (* um 273 v. Chr. in Kyrene,† um 194 v. Chr. in Alexandria) Mathematiker, Geograph, Astronom, Historiker, Philosoph, leitete die Bibliothek von Alexandria. Berechnete unter anderem den Erdumfang und die Schiefe der Ekliptik. Siebmethode, 10 Spalten 1 11 21 31 41 .. . (1) (2) (3) (4) .. . 2 12 22 32 42 3 13 23 33 43 4 14 24 34 44 5 15 25 35 45 6 16 26 36 46 7 17 27 37 47 8 18 28 38 48 9 19 29 39 49 10 20 30 40 50 Streiche Zahl 1, da keine Primzahl nächste Zahl ist 2, PZ, streiche alle Vielfachen von 2. nächste Zahl ist 3, PZ, streiche alle Vielfachen. nächste Zahl ist 5, PZ, streiche alle Vielfachen. Siebmethode, 1 ` 6 Spalten Satz 3.3. 2 8 14 20 26 32 38 44 .. . 3 9 15 21 27 33 39 45 4 10 16 22 28 34 40 46 5 11 17 23 29 35 41 47 6 12 18 24 30 36 42 48 7 13 19 25 31 37 43 49 Die Primzahlen ą 3 sind von der Form 6n ˘ 1 mit n P N. Satz 3.4. Beim Sieben der natürlichen Zahlen ď n nach Eratosthenes reicht ? es, die Vielfachen der Primzahlen ď n zu streichen. Version vom 27. Juli 2016 1 20 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 3.4. Wie sind die Primzahlen innerhalb der natürlichen Zahlen verteilt? Primzahlen p und q mit Abstand |p ´ q| “ 2 heißen Primzahlzwillinge. Weitere Beispiele für Primzahlzwillinge: p9929, 9931q , 2007: p156 ¨ 5202 ´ 1, 156 ¨ 5202 ` 1q looooooooooooooooooomooooooooooooooooooon haben 144 Ziffern 195.000 p2.003.663.613 ¨ 2 ˘ 1q loooooooooooooooooomoooooooooooooooooon haben 58.711 Ziffern Sei 2300 Jahren bekannt: Es gibt 8-viele Primzahlen. Offen (nicht bekannt): ob es endlich oder unendlich viele Primzahlzwillinge gibt. Primzahldrillinge: p3, 5, 7q sind die einzigen Primzahlentripel der Form pp, p ` 2, p ` 4q Beweis: Annahme 3 ă p, p ` 2, p ` 4 sind Primzahlen. Da p prim ñ p “ 6m ˘ 1 Wenn p “ 6m ` 1 ñ p ` 2 “ 6m ` 3 ñ 3|p ` 2 Wenn p “ 6m ´ 1 ñ p ` 4 “ 6m ` 3 ñ 3|p ` 4 Primzahlfolgen der Form p, p ` 2, p ` 6 heißen Primzahldrillinge. p41, 43, 47q p107, 109, 113q p10.014.491, 10.014.493, 10.014.497q Es gibt bei großen Zahlen nicht nur immer wieder Primzahlhäufungen (wie die Beispiele zeigen), aber auch beliebig lange Lücken: Satz 3.5. Für alle n P N gibt es eine Primzahllücke der Länge n. Version vom 27. Juli 2016 Beispiele 21 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie (m.a.W.: für jedes n gibt es eine Folge von n aufeinanderfolgenden zusammengesetzten Zahlen.) Beweis: pn ` 1q! ` 2 pn ` 1q! ` 3 .. . “ 2 ¨ 3 ¨ 4 ¨ ¨ ¨ pn ` 1q ` 2 hat Teiler “ 2 ¨ 3 ¨ 4 ¨ ¨ ¨ pn ` 1q ` 3 hat Teiler 2 3 pn ` 1q! ` pn ` 1q “ 2 ¨ ¨ ¨ pn ` 1q ` pn ` 1q hat Teiler pn ` 1q , / / / / . n Zahlen / / / / - Das sind insbesondere n aufeinanderfolgende zusammengesetzte Zahlen ñ Beh. Satz 3.6. Für n ě 3 liegt zwischen n und n! mindestens eine Primzahl. Beweis: Sei n P N, n ě 3 ñ n! ´ 1 ě 3! ´ 1 “ 2 ¨ 3 ´ 1 “ 5 ą 1 ñ kleinster Teiler p ‰ 1 von n! ´ 1 ist eine Primzahl (vgl. Satz 3.1) Dann: p ď n! ´ 1 ă n! Wir haben also eine Primzahl p ă n! gefunden. Es gilt aber auch n ă p, denn: 2, 3, 4, . . . , n P Tn! ñ 2, 3, 4, . . . , n R Tn!´1 ñ p ‰ 2, 3, 4, . . . , n ñ n ă p ñ Beh. Euler (1737): Neuer Beweis für die Unendlichkeit der Primzahlen mittels harmonischer Reihe. Wdh.: Harmonische Reihe/Folge: řn 1 i“1 i divergiert für n Ñ 8. Satz 3.7 (Euler). 1 PZ: pďn p ř lim “1 lnplnpnqq d.h. Zähler- und Nennerfunktion verhalten sich asymptotisch gleich! Folgerung: Satz 3.8 (Euler, um 1740). ÿ 1 p divergiert für n Ñ 8. PZ: pďn Πpxq :“ #tPrimzahlen p ď xu , für x P R z.B. Πp1q “ 0, Πp2q “ 1, Πp3q “ 2, Πp10q “ 4, Πp17,3q “ Πp17q “ 7 Version vom 27. Juli 2016 nÑ8 22 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Legendre(1752-1833) stellte aufgrund empirischer Untersuchungen die Vermutung auf, daß: x Πpxq verhält sich asymptotisch gleich ln x Satz 3.9 (Primzahlsatz). (Hadamard und unabhängig Ch.de la Valleé Poussin, 1896) Πpxq lim x “ 1 xÑ8 ln x 3.5. Primzahlformeln. Das Polynom ppxq “ x2 ´ 79x ` 1601 pp39q “ pp40q “ 41, pp38q “ pp41q “ 43, pp37q “ pp42q “ 47, pp36q “ pp43q “ 53 pp35q “ pp50q “ 151 . . . alles Primzahlen? Satz 3.10. Kein Polynom ppxq “ an xn ` ¨ ¨ ¨ ` a1 x ` a0 vom Grad ě 1, ai P Z, erfüllt ppnq ist Primzahl für alle n P Z. Beweis: Sei ppxq “ an xn `. . . ein Polynom vom Grad n mit ganzzahligen Koeffizienten. Z.z.: D m P Z mit ppmq ist zusammengesetzte Zahl! Wenn a0 zusammengesetzte Zahl ñ pp0q “ a0 zusammengesetzt. X Also Annahme: a0 PZ. ppa0 ¨ mq “ an pa0 ¨ mqn ` an´1 pa0 ¨ mqn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1 pa0 ¨ mq ` a0 ` ˘ n´1 n “ a0 a a m ` ¨ ¨ ¨ ` a m ` 1 n 1 0 loooooooooooooomoooooooooooooon “:Apmq PZ ` ˘ “ a0 Apmq ` 1 Genauer: Apmq “ an an´1 mn ` an´1 a0n´2 mn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` a1 m 0 Apmq ist also ein Polynom vom Grad n in der Variablen m. Version vom 27. Juli 2016 ñ @ m P N gilt: 23 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie ñ Apmq hat höchstens n Nullstellen. Also D m0 P N pbzw.in Zq mit Apm0 q ‰ 0 ñ ` ˘ ppm0 ¨ a0 q “ a0 loooooomoooooon Apm0 q ` 1 ist zusammengesetzte Zahl ‰1 Satz 3.11. Seien a, b P N mit ggT pa, bq ą 1 und a ‰ 0, so kann für x P Z das lineare Polynom ppxq “ a x ` b höchstens einen Primzahlwert annehmen. Bemerkung 3.12. Vorgriff: ggT wird erst im nächsten Abschnitt definiert! Wir haben gesehen, daß alle Primzahlen ą 3 von der Form 6n ˘ 1 sind! Das widerspricht nicht dem Satz, denn ggT p6, 1q “ 1 Beweis: Sei c :“ ggT pa, bq, nach Vorraussetzung: c ‰ 1 ñ a “ c ¨ a1 und b “ c ¨ b1 mit a1 , b1 P N und a1 ě 1. ñ@z P Z ppzq “ az ` b “ ca1 z ` cb1 “ cpa1 z ` b1 q Das ist nur dann eine Primzahl, wenn a1 z ` b1 “ 1 und c eine Primzahl ist. Da bleiben die folgenden Möglichkeiten: (1) b1 “ 0 (2) b1 “ 1 (3) b1 ě 2 b1 ´ 1 ñ a1 ¨ z “ 1 ñ a1 “ z “ 1 und pp1q “ c PZ, ñ b “ c ñ pp0q “ b “ c PZ, ñ 1 ď b1 ´ 1 “ ´a1 z ñ z negativ und a1 | b1 ´ 1. Sei a1 ¨ q “ ñ pp´qq “ cp´a1 q ` b1 q “ c PZ. ‚ ‚ ‚ ‚ ppxq “ 3x (also b “ 0 und a “ c PZ) hat Primzahlwert: pp1q “ 3 ppxq “ 12x ` 4 “ 4 p3x ` 1q hat nie Primzahlwerte ({N), denn c ‰ PZ ppxq “ 12x ` 3 “ 3 p4x ` 1q hat den Primzahlwert: pp0q “ 3 ppxq “ 6x ` 15 “ 3 p2x ` 5q hat den Primzahlwert: pp´2q “ 3 Was ist, wenn ggT pa, bq “ 1? Satz 3.13 (Dirichletscher Primzahlsatz). Zu jeder natürlichen Zahl b gibt es unendlich viele Primzahlen der Form p “ a mod b, mit ggT pa, bq “ 1 Version vom 27. Juli 2016 Die 3 Fälle schliessen sich offensichtlich aus und jeweils gibt es genau den einen angegebenen Primzahlwert. Beispiele 24 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Alternative Formulierung Sind a, b P N mit ggT pa, bq “ 1, so gibt es 8viele Primzahlen der Form a ˘ nb , nPN Zum Beweis benötigt man Begriffe wie Dirchlet-Charakter, Zeta-Funktion und L-Reihen ñ übersteigt Möglichkeiten der Elementaren Zahlentheorie. Spezialfälle: a) a “ 1, b “ 2 ñ D 8 ´ viele Primzahlen: p “ 1 mod 2 ñ D 8 ´ viele Primzahlen: p “ 1 ` 2n Klar: jede Primzahl ‰ 2 ist von dieser Form. b) In Satz 3.3 haben wir gesehen: Jede Primzahl ą 3 ist von der Form: 6n ˘ 1 ñ Fall a “ 1, b “ 6: Aber: mit n P N p “ 1 ` 6n 6n ´ 1 “ 6pn ´ 1q ` 6 ´ 1 “ 6pn ´ 1q ` 5 ñ Satz 3.3 beinhaltet also die beiden Fälle: pa, bq “ p1, 6q und pa, bq “ p5, 6q. Offene Primzahlprobleme Goldbach’sche Vermutung: Jede gerade Zahl ą 2 läßt sich als Summe von zwei Primzahlen darstellen. (Nachgewiesen für alle n ď 4 ¨ 1017 .) Wenn n ą 5 eine ungerade Zahl ist ñ n ´ 3 ą 2 ist eine gerade Zahl und ebenso nach Goldbach Summe von zwei Primzahlen: n ´ 3 “ p1 ` p 2 ñ n “ 3 ` p1 ` p2 X ”Goldbach ð Euler”: Sei n ą 2 gerade. Wenn n “ 4, ñ n “ 4 “ 2 ` 2, also Summe von 2 Primzahlen. Wenn n “ 6, ñ n “ 6 “ 3 ` 3, also Summe von 2 Primzahlen. Wenn n ě 8, nach Euler: n ` 2 “ p1 ` p2 ` p3 mit Primzahlen pi . Version vom 27. Juli 2016 Äquivalent (Euler): Jede natürliche Zahl ą 5 ist Summe von drei Primzahlen. Beweis: ”Goldbach ñ Euler”: Wenn n ą 5 eine gerade Zahl ist ñ n ´ 2 ą 3 ą 2 ebenfalls gerade und nach der Goldbach’schen Vermutung Summe von 2 Primzahlen: n ´ 2 “ p 1 ` p2 ñ n “ 2 ` p1 ` p2 25 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Wären p1 , p2 , p3 ą 2, so wären alle drei Primzahlen ungerade und dann auch ihre Summe. ñ OE p1 “ 2, Primzahlen. ñ n ` 2 “ 2 ` p2 ` p3 ñ n “ p2 ` p3 ist Summe von 2 3.6. Primfaktorzerlegung. Beispiele ‚ Bei sehr hohen Zahlen ist das sehr mühsehlig: z.B. a “ 286.378.465 Finde PFZ, ist diese auch eindeutig? In der Praxis heute ohne Rechnereinsatz kaum denkbar. ‚ Viererwelt: V :“ t1, 4, 8, 12, 16, . . . , 4n, . . .u “ 4N Y t1u V ist abgeschlossen bzgl. Multiplikation ñ Teilbarkeitsuntersuchungen möglich: Def: Für a, b P V, a |4 b (a ist V -Teiler von b) genau dann, wenn a ¨ q “ b für ein q P V . 1o|mo 4 32 lo on, 4loooooooomoooooooon |4 32, 8 |4 32, 1¨32“32 4¨8“32 16 |4 32 , loomoon 16¨2“32, 2RV 32| 4 32 lo omo on 32¨1“32 ñ V ´Primzahlen möglich zu definieren: Def.: Eine Zahl p P V heißt V -Primzahl, wenn sie genau 2 V -Teiler hat: 1 und p. Version vom 27. Juli 2016 Dann 26 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Dann: TN p4q “ tp1, 4q, loomo 2 onu TV p4q “ t1, 4u ñ V ´ P Z RV TV p8q “ t1, 8u ñ V ´ P Z TN p8q “ tp1, 8q, ploo2, 4onqu mo RV (da 4 ¨ 2 “ 8 und 2 R V ist 4 kein V -Teiler von 8) TV p12q “ t1, 12u ñ V ´ P Z 6onqu TN p12q “ tp1, 12q, ploo3, 4onq, ploo2, mo mo RV RV (da 4 ¨ 3 “ 12 ist 4 kein V -Teiler von 12) TN p24q “ tp1, 24q, p2, 12q, p3, 8q, p4, 6qu TV p24q “ t1, 24u ñ V ´ P Z ñ Primfaktorzerlegung in V : Beispiel: a “ 96 eindeutige PFZ in V ?? TN p96q “ tp1, 96q, p2, 48q, p3, 32q, p4, 24q, p6, 16q, p8, 12qu TV p96q “ tp1, 96q, p4, 24q, p8, 12qu 96 “ 8 ¨ 12 “ 4 ¨ 24 ñ Da 4, 8, 12, 24 V-Primzahlen, hat 96 also 2 Primfaktorzerlegungen !!?? Eindeutigkeit??? Satz 3.14 (Existenz). Jede natürliche Zahl a ‰ 1 besitzt eine Primfaktorzerlegung (PFZ): a “ p1 ¨ ¨ ¨ ps Beweis: Fall 1: a ist Primzahl mit Primzahlen pi , i “ 1, . . . , s, sě1 ñ a “ a ist PFZ. X Klar: 1 ă p1 ă a und p1 ¨ n1 “ a mit einem n1 P N, Falls n1 PZ X Falls n1 keine PZ: Sei p2 |n1 kleinster Teiler ‰ 1 ñ p2 PZ und n1 “ p2 ¨ n2 mit n2 P N, ñ 1 ă n1 ă a. 1 ă n2 ă n1 . a “ p1 ¨ n1 “ p1 ¨ p2 ¨ n2 , 1 ă n2 ă n1 ă a Version vom 27. Juli 2016 Fall 2: a zusammengesetzte Zahl: sei p1 |a der kleinste Teiler ‰ 1. Satz 3.1 ñ p1 ist Primzahl. 27 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Nun wieder n2 entweder Primzahl ě 2 (und damit wären wir fertig) oder zusammengesetzt . . . Algorithmus muß abbrechen (d.h. ns´1 ist Primzahl ě 2 für ein s), denn es gibt nur endlich viele natürliche Zahlen zwischen 1 und a. Also a “ p1 ¨ p2 ¨ . . . ¨ ps´1 ¨ lonomo s´1 on PZ Mit ns´1 “: ps ñ a “ p1 ¨ ¨ ¨ ps Satz 3.15 (Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie, Eindeutigkeit). Jede natürliche Zahl a ‰ 1 besitzt genau eine (bis auf die Reihenfolge (b.a.R.) eindeutige) Primfaktorzerlegung. Beweis: Annahme: Es gibt ein n P N mit 2 Primfaktorzerlegungen. Sei n die kleinste natürliche Zahl mit dieser Eigenschaft (vgl. Wohlordnungsprinzip 1.1), dann gilt: Alle natürlichen Zahlen kleiner n haben eine (b.a.R.) eindeutige PFZ . (2) Sei p1 |n kleinster Teiler ‰ 1 Wie im Beweis von Satz 3.14 gibt es zu p1 eine PFZ: n “ p1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨ ps (3) Nach Annahme gibt es noch eine weitere PFZ: (4) Zwischenbehauptung: Die Mengen tp1 , p2 , p3 , . . . , ps u und tq1 , . . . , qt u sind disjunkt: Wäre z.B. pi P tq1 , . . . , qt u, z.B. pi “ qr , dann n q1 ¨ q 2 ¨ ¨ ¨ qt _ _ “ “ looooooooomooooooooon q1 ¨ q2 ¨ ¨ ¨ q r ¨ ¨ ¨ qt ă n p 1 ¨ p2 ¨ ¨ ¨ pi ¨ ¨ ¨ ps “ pi qr hat eindeutige PFZ ñ nach (2) müssten die beiden (äußeren) PFZ’en übereinstimmen ñ _ _ tp1 , p2 , . . . , pi , . . . , ps u “ tq1 , q2 , . . . , q r , . . . , qt u ñ tp1 , p2 , p3 , . . . , ps u “ tq1 , q2 , . . . , qr , . . . , qt u Widerspruch zur Annahme, daß die PFZ’en (3)‰(4). ñ Zwischenbehauptung! (pi “ qr hinzufügen:) Version vom 27. Juli 2016 n “ q1 ¨ q2 ¨ ¨ ¨ qt 28 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie ñ insbesondere gilt: p1 R tq1 , . . . , qt u. Setze n “ p1 ¨ loomoon p2 ¨ ¨ ¨ ps “ p 1 ¨ a “:a n “ q1 ¨ loomoon q2 ¨ ¨ ¨ qt “ q1 ¨ b (dabei gilt b ą 1, denn sonst wäre n “ q1 PZ) “:b ñ z :“ n ´ p1 ¨ b ( ñ z ă n) ñ z “ p1 ¨ a ´ p1 ¨ b “ p1 ¨ pa ´ bq ñ p1 |z (*) z “ q1 ¨ b ´ p1 ¨ b “ pq1 ´ p1 q ¨ b (**) Da p1 ‰ q1 kleinster Teiler von n ñ p1 ă q1 ñ z “ looomooon pq1 ´ p1 q ¨ loomo b on ą 1 ñ 1 ď q1 ´ p1 und es folgt: 1ăzăn ą1 ě1 ñ PFZ von z ist eindeutig! (*) und (**) ñ p1 Teiler von z “ pq1 ´ p1 q ¨ b “ pq1 ´ p1 q ¨ q2 ¨ ¨ ¨ qt Da p1 R tq1 , . . . , qt u (nach der Zwischenbehauptung) Da trivialerweise p1 |p1 ñ (mit Satz 2.5) ñ p1 | pq1 ´ p1 q p1 | pq1 ´ p1 q ` p1 “ q1 Bemerkung 3.16. (1) Warum funktioniert der Satz nicht in der Viererwelt V ? In der letzten Zeile des Beweises, beim Widerspruch: p1 | pq1 ´ p1 q ` p1 “ q1 wird die Summenregel aus Satz 2.5 benutzt: a|b und a|c ñ a|b ` c ! Diese Regel gilt nicht in V , denn z.B.: 4|4 4 aber 4|4 p4 ` 4q “ 8 “ 2 ¨ 4 (2) Die Primzahlen in einer Primfaktorzerlegung sind im Allgemeinen nicht verschieden: 12 “ 2 ¨ 2 ¨ 3 “ 22 ¨ 3 Es ist üblich (wenn möglich), die Primzahlen der Größe nach zu ordnen und Potenzschreibweise zu benutzen: 23 ¨ 32 ¨ 5 ¨ 112 “ 42.560 ñ normierte Primfaktorzerlegung ! Version vom 27. Juli 2016 4|4 4 und 29 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Schreibweise für Primfaktorzerlegungen: 8 ź a“ pni i i“1 meint ein Produkt, das formal über alle Primzahlen pi , mit p1 ă p2 ă p3 ă ¨ ¨ ¨ läuft, beim dem aber nur endlich viele der natürlichen Zahlen ni ‰ 0 sind. Damit handelt es sich also um ein endliches Produkt! z.B.: 8 ź 2 12 “ 2 ¨ 3 “ pni i “ 22 ¨ 31 ¨ 50 ¨ 70 ¨ ¨ ¨ alle ni “ 0 für i ě 3 i“1 Oft schreibt man aber auch direkt: a“ s ź pni i i“1 Ob als obere Grenze 8 oder s geschrieben wird, hängt vom Zusammenhang ab. In beiden Fällen ist das Produkt aber immer endlich! 3.7. Folgerungen aus dem Hauptsatz. Satz 3.17 (Teilbarkeitskriterium). Für natürliche Zahlen a, b mit PFZ: ś8 mi ś ni gilt: a“ 8 i“1 pi i“1 pi und b “ a|b ni ď mi ô @iPN Beweis: ” ñ ”: Es gibt c P N mit a ¨ c “ b. ś ki PFZ: c “ 8 i“1 pi a¨c“ 8 ź pni i ¨ i“1 8 ź pki i “ 8 ź ! pni i `ki “ i“1 i“1 8 ź i pm i “ b i“1 Aus der Eindeutigkeit der PFZ folgt die Gleichheit der Exponenten: ni ď ni ` ki “ mi Ò ki ě0 @i X ”ð” ni ď m i @i ô ki :“ mi ´ ni ě 0 @i Version vom 27. Juli 2016 ñ mit ki ě 0 30 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie dabei sind nur endlich viele ki ‰ 0, weil das für ni und mi gilt. ś ki Sei c :“ 8 i“1 pi a¨c“b ñ ñ a|b Korollar 3.18. Jeder Teiler a von b “ a“ s ź pn1 i mit śs i“1 i pm ist von der Form: i 0 ď ni ď mi @i i“1 ms 1 Satz 3.19. Die Anzahl der Teiler der natürlichen Zahl a “ pm 1 ¨ ¨ ¨ ps lautet: #Ta “ pm1 ` 1q ¨ ¨ ¨ pms ` 1q Beispiel a “ 70 “ 2 ¨ 5 ¨ 7 muß nach Satz 3.19 2 ¨ 2 ¨ 2 “ 8 Teiler haben: T70 “ t1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70 u Ò Ò Ò Ò 2¨5 2¨7 5¨7 2¨5¨7 a “ 108 “ 4 ¨ 27 “ 22 ¨ 33 ñ #T108 “ p2 ` 1q ¨ p3 ` 1q “ 12 T108 “ t1, 2, 3, lo 4,omo 6,o9n , 12, 18, 27, lo 36, 54 moon u looomooon omo on , loo108 2 Faktoren 3 Faktoren 4 Faktoren 5 Faktoren Beweis: Es gibt mi ` 1 Zahlen 0 ď ni ď mi . a “ pm Primzahlpotenz: Hassediagramm als vertikale Teilerkette: ‚ pm ‚ pm´1 ‚ p2 ‚ p1 “ p ‚ 1 a “ pm q n Hassediagramm in Parallelogrammstruktur: Version vom 27. Juli 2016 3.8. Hassediagramme verfeinert. 31 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie ‚p ‚p m qn m ‚q 2 ‚p A AA n pq ‚ A ‚q2 AA kkkk ooo k o k o k kk ooo q kk ‚ ‚p B m BB mmm mmm 1 m ‚ a “ pm q n ru Hassediagramm in Kubusstruktur: pqr ‚ E m EE mmm m EE m mm EE m m m E m mm m pr ‚ A ‚rq mm AA m m AA mmm AA mmm m m A mm mmm ‚r ‚p A ‚q mmm m AA m AA mmm AA mmm m m A m mmm ‚1 Mit mehr als drei Primfaktoren geht es nicht mehr!! 3.9. Primzahlkriterium und das Lemma von Euklid. Satz 3.20 (Primzahlkriterium). Eine natürliche Zahl p ą 1 ist genau dann eine Primzahl, wenn für alle a, b P N gilt: Beweis: PZ ” ñ ” (5): p | a oder p | b (5) Sei p ą 1 Primzahl und es gelte p | a ¨ b ñ p kommt in der PFZ von a ¨ b vor. Wegen der Eindeutigkeit der PFZ kommt p in der PFZ von a oder b oder von beiden vor. ñ p | a oder p | b. Version vom 27. Juli 2016 Aus p | a ¨ b folgt 32 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie (5) ” ñ ” PZ: Es gelte (5) für p, d.h. falls p | a ¨ b für irgendwelche a, b P N, so folgt: p | a oder p | b z.Z.: p ist Primzahl Wäre p zusammengesetzte Zahl (nicht PZ) ñ p “ a ¨ b mit natürlichen Zahlen 1 ă a, b ă p ñ p|a ¨ b (5) ñ p | a oder p | b Widerspruch zu a, b ă p Bemerkung 3.21. Das Primzahlkriterium gilt nicht in der Viererwelt V : Gegenbeispiel: 4 ist V -Primzahl 4|4 96 “ 8omo ¨ 12 lo on Zerlegung in V aber 4 |4 8 und 4 |4 12 Die Implikation ” ñ ” vom Primzahlkriterium hat einen Namen: Satz 3.22 (Lemma von Euklid). p Primzahl und p|a ¨ b ñ p | a oder p|b Bemerkung 3.23. Wir haben das Lemma von Euklid (bzw. das Primzahlkriterium) aus dem Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie gefolgert. Aber es gilt sogar: Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie ô Lemma von Euklid 4. Größter gemeinsamer Teiler (ggT ) und kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV ) Einführung des ggT über Teilermengen: Beispiel T18 “ t1, 2, 3, 6, 9, 18u T24 “ t1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24u T18 X T24 “ t1, 2, 3, 6u “ tgemeinsame Teiler von 18 und 24u ! “ T6 Offenbar ist der Durchschnitt dieser Teilermengen wieder eine Teilermenge. Version vom 27. Juli 2016 4.1. ggT und Teilermengen. 33 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Gilt das auch für die Vereinigung? T18 Y T24 “ t1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24u Das ist offenbar keine Teilermenge, da z. B. 18 | 24. Wir werden im Folgenden sehen, daß das allgemein so gilt. Definition 4.1. Für zwei größte gemeinsame Teiler natürliche Zahlen a und b ist der ggT pa, bq das Maximum der Schnittmenge Ta X Tb . Bemerkung 4.1. (1) Der Name größter gemeinsamer Teiler ist selbsterklärend. (2) Macht diese Definition Sinn? Ja! Mit Ta und Tb ist auch die Schnittmenge Ta X Tb endlich. Außerdem ist Ta XTb ‰ H, da 1 P Ta XTb . Nach dem Maximumsprinzip (Satz 2.5) hat jede endliche, nichtleere Menge ein größtes Element. Es gibt also immer einen ggT . (3) Da 1 P Ta für alle a P N, gilt: Aus #Ta X Tb “ 1 ñ folgt Ta X Tb “ t1u In diesem Fall: ggT pa, bq “ 1 und man sagt: a und b sind teilerfremd. (4) Analog läßt sich der ggT von drei, vier oder mehr natürlichen Zahlen definieren: a1 , a2 , . . . , as P N: ggT pa1 , a2 , . . . , as q :“ größtes Element von Ta1 X Ta2 X ¨ ¨ ¨ X Tas (5) Erweiterung des Begriffs auf die ganzen Zahlen: pa, bq ‰ p0, 0q (nicht beide gleichzeitig gleich 0). Sei ”d” die größte ganze Zahl mit d|a und d|b. Dann heißt/ist d “ ggT pa, bq. Klar: d P N, denn mit d | a auch ´d | a und maxp˘dq P N! Klar: ggT pa, bq “ ggT p|a|, |b|q Insbesondere: ggT ě 1. Version vom 27. Juli 2016 Seien a, b P Z, 34 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Satz 4.2. Für alle a, b P N gilt: (1) ggT p1, aq “ 1 (2) Aus a|b folgt ggT pa, bq “ a Wie findet man den ggT ? Bei nicht zu großen Zahlen (in der Schule) z.B. mittels Venn-Diagrammen: T12 3 1 6 16 2 T16 ñ 8 ggT p12, 16q “ 4 4 12 ggT in Schulbüchern: Hier Aufgabe aus [XQuadrat (5), p.219]: Miriam besucht ihren Onkel, der ist Fliesenleger. Der muß einen großen rechteckigen Saal der Größe 252 dm ˆ98 dm mit quadratischen Fliesen einer Größe auslegen. Zur Wahl stehen die Fliesengrößen 15 ˆ 15 cm2 25 ˆ 25 cm2 35 ˆ 35 cm2 40 ˆ 40 cm2 Wie bestimmt man den ggT ? Hilfe: Primfaktorzerlegung: Beispiel: a “ 120 “ 2 ¨ 60 “ 22 ¨ 30 “ 23 ¨ 15 “ 23 ¨ 3 ¨ 5 b “ 3500 “ 35 ¨ 100 “ 3 ¨ 7 ¨ 102 “ 22 ¨ 53 ¨ 7 ñ ggT pa, bq “ 22 ¨ 5 “ 20 Version vom 27. Juli 2016 Miriam hilft ihrem Onkel bei der Wahl, weil sie gut rechnen kann. Dazu gibt es keine weitere Anleitung. Sie als Lehrer müssen sich selber ausdenken, was Sie daraus machen. Was würden Sie machen? ñ Übung. 35 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie b=3500 5 5 2 2 2 a=120 3 ñ 5 ggT pa, bq “ 2¨2¨5 7 Satz 4.3. Für natürliche Zahlen a und b mit Primfaktorzerlegungen 8 8 ź ź i a“ pm b “ pni i mit mi , ni P N i i“1 i“1 ist der größte gemeinsame Teiler: ggT pa, bq “ 8 ź minpmi ,ni q pi i“1 wobei minpmi , ni q das Minimum der Zahlen mi , ni bezeichnet. Beweis: ś minpmi ,ni q Sei d :“ 8 i“1 pi Satz 3.17 Teilbarkeitskriterium Weil minpmi , ni q ď mi Weil minpmi , ni q ď ni ñ ñ d|a d|b ist also gemeinsamer Teiler von a und b. ś ki gilt umgekehrt: Andererseits: für c P Ta X Tb , c “ 8 i“1 pi d P Ta X Tb ki ď mi ñ und ki ď ni ki ď minpmi , ni q für alle i ñ c | d ñ c ď d ñ d ist größter gemeinsamer Teiler. Folgerung: Für alle a, b, n P N gilt: ggT pn ¨ a, n ¨ bq “ n ¨ ggT pa, bq Spezialfall: Falls a|b ñ ggT pa, bq “ a. Beweis: ś ś8 ni ś8 ki mi Sei a “ 8 p , b “ p und n “ pi . i i i“1 i“1 ś8 ki `m ś8 i“1ki `n 1 Dann gilt n ¨ a “ i“1 pi , n ¨ b “ i“1 pi 1 . (vgl. Satz 4.12) Version vom 27. Juli 2016 ñ 36 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Weil minpki ` mi , ki ` ni q “ ki ` minpmi , ni q folgt: ggT pn ¨ a, n ¨ bq “ 8 ź i“1 8 ź “ minpki `mi ,ki `mi q pi 8 ź “ k `minpmi ,ni q pi i i“1 pki i ¨ i“1 8 ź minpmi ,ni q pi “ n ¨ ggT pa, bq i“1 4.2. Euklidischer Algorithmus. Satz 4.4 (Teilen mit Rest). Für natürliche Zahlen a, b, b ‰ 0 gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q, r P N0 , so daß a“q¨b`r mit 0 ď r ă b Beispiele: (1) Sie brauchen mehrere Kabelstücke der gleichen Länge (z.B. b “ 3). Dazu kaufen Sie eine Kabelrolle mit a “ 20 m Kabel. Wieviele Kabelstücke bekommen Sie daraus und wie lang ist der Rest? 20 “ 6 ¨ 3 ` 2 Ò a Ò q Ò b Ò r (2) Rad abrollen Umfang b b b b b r Wieviele ganze Umdrehungen passen auf eine Strecke der Länge a, wie groß ist das Reststück r? V :“ ts ¨ b | s ¨ b ď a , s P N0 u “ tn P N0 | n ď a , b | nu sei die Menge aller Vielfachen von b kleiner gleich a. 0PV Klar: ñ V ‰H #V ď a ` 1 ă 8 (im Fall b “ 1 ñ V “ t0, 1, 2, . . . , au) da V Ă t0, 1, 2, . . . , au Version vom 27. Juli 2016 Beweis: 37 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Sei q ¨ b P V das größte Element. ñ ñ q¨b ď a ă pq ` 1q ¨ b 0“q¨b´q¨b ď a ´ q ¨ b ă pq ` 1q ¨ b ´ q ¨ b “ b looomooon “:r 0 ď r ă b a “ q¨b`r ñ und Damit ist die Existenz von q und r nachgewiesen. Eindeutigkeit: Angenommen es gibt ein zweites solches Paar pq 1 , r1 q ñ a “ q ¨ b ` r “ q 1 ¨ b ` r1 Falls r “ r1 : q ¨ b “ q1 ¨ b ñ q “ q1 ñ (da b ‰ 0) Falls r ‰ r1 : OE r ă r1 ñ 0 0 0 0 ă r1 ´ r ă r1 ă pa ´ q 1 bq ´ pa ´ qbq ă qb ´ q 1 b “ pq ´ q 1 qb ă q ´ q 1 und q ´ q 1 ă ă ă ă b b b 1 denn q ´ q 1 ist eine ganze Zahl! Teilen mit Rest gilt auch für negative Zahlen a: Korollar 4.5. Für ganze Zahlen a P Z und b ě 1 gibt es eindeutig bestimmte Zahlen q, r P Z, so daß a“q¨b`r mit 0 ď r ă b Für ´a “ |a| ą 0 gilt nach Satz 4.4: ´a “ q 1 ¨ b ` r1 mit 0 ď r1 ă b und q 1 P N (q 1 , r1 eindeutig). Wenn r1 “ 0, dann 1 a “ ´q 1 ¨ b “ lo p´q 0 on X omooqn ¨ b ` loomo “:q “:r Version vom 27. Juli 2016 Beweis: Es reicht, den Fall a ă 0 zu betrachten! 38 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Sonst gilt ´ r1 q a “ ´q 1 ¨ b ´ r1 “ ´q 1 ¨ b ´ b ` b ´ r1 “ loooomoooon p´q 1 ´ 1q ¨ b ` pb loomoon “:r “:q Klar, wegen 0 ď r1 ă b 0 ă b ´ r1 “ r ă b ô Der Satz liefert eine Methode, den ggT und alle anderen gemeinsamen Teiler ohne PFZ zu finden: Beispiel: a “ 564, b “ 80 Division mit Rest: 564 “ 7 ¨ 80 ` 4 Sei t P T564 X T80 ein beliebiger Teiler ñ t|564 und t|80 ñ t|4 ñ ô t| p564 ´ 7 ¨ 80q “ 4 ñ t P T4 T564 X T80 ñ t P T80 X T4 T80 X T4 Ď “ Ò da T4 ĎT80 T4 “ t1, 2, 4u (*) Die Mengen sind sogar gleich: s P T80 X T4 “ T4 aus 564 “ 7 ¨ 80 ` 4 ñ ñ s|564 T80 X T4 Ď T564 klar T80 X T4 Ď T80 ñ aus (*) ñ ñ Satz 4.6. gilt T80 X T4 Ď T564 X T80 T564 X T80 “ T80 X T4 “ T4 “ t1, 2, 4u ggT p564, 80q “ 4 Seien a, b P N und a “ q ¨ b ` r mit q, r P N und 0 ď r ă b. Dann Beweis: ”Ď” Sei t P Ta X Tb Aus a ´ q ¨ b “ r ñ Ò t|a ”Ě” Sei Ò t |b t|r ñ t P Tb X Tr s P Tb X Tr Aus a “ q ¨ b ` r Ò s |b Ò s|r ñ s|a ñ s P Ta X Tb Version vom 27. Juli 2016 Ta X Tb “ Tb X Tr 39 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Folgerung für den ggT : Korollar 4.7. Für natürliche Zahlen a, b mit a “ q ¨ b ` r, 0 ď r ă b gilt: ggT pa, bq “ ggT pb, rq “ ggT pb, a ´ q ¨ bq Beispiel: ggT p582, 72q “ ggT p72, 6q NR: 582 “ 8 ¨ 72 ` 6 “6 72 “ 12 ¨ 6 ñ 6|72 Satz 4.8 (Euklidischer Algorithmus). Seien a, b P N mit a ą b. Induktiv werde die Division mit Rest durchgeführt: Schritt 1 a Schritt 2 b Schritt 3 r1 Schritt k “ eqe1e¨eee b `nn r1 n reeeeee vnnn “eeeeqe2e¨ ee r1 `nn r2 n reee vnnn “ q3 ¨ .. . rn´1 0 ď r1 ă b mit 0 ď r2 ă r1 ` r3 mit 0 ď r3 ă r2 rk´2 “ qk ¨ rk´1 ` rk mit .. . Es gibt einen kleinsten Rest ‰ 0: rn´2 r2 mit 0 ď rk ă rk´1 rn :“ mintr1 , r2 , . . .u, d.h.: qn ¨ gggg rn´1 ` nn rn g n g g g g nnn gg g n g n g g n vnn g s ggg 0 ď rn ă rn´1 “ “ qn`1 ¨ rn 0 ` Der Algorithmus bricht also am Schritt n ` 1 ab prn`1 “ 0q. Insbesondere gilt: und ggT pa, bq “ rn Beweis: Aus Satz 4.4 (Teilen mit Rest) folgt: r1 ą r2 ą r3 ą ¨ ¨ ¨ ą 0 Darum muß irgendwann 0 erreicht werden: Also Sei rn ‰ 0 und rn`1 “ 0 rn´1 “ qn`1 ¨ rn ` rn`1 Ò “0 Version vom 27. Juli 2016 Ta X Tb “ Trn 40 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Satz 4.6 Ta X Tb ñ “ Tb X Tr1 “ Tr1 X Tr2 (a “ q1 b ` r1 ) (b “ q2 r1 ` r2 ) .. . “ Trn X lo Tormo n`1 on “ Trn “T0 “N ñ ggT pa, bq “ maxpTrn q “ rn Beispiele 1) a “ 1008 und b “ 840 1008 “ 1 ¨ 840 ` 168 840 “ 5 ¨ 168 ` 0 (r1 “ 168) (r2 “ 0) ggT p1008, 840q “ 168 2) a “ 2940 und b “ 1617 2940 “ 1 ¨ 1617 ` 1323 (r1 “ 1323) 1617 “ 1 ¨ 1323 ` 294 (r2 “ 294) 1323 “ 4 ¨ 294 ` 147 (r3 “ 147) 294 “ 2 ¨ 147 ggT p lo2940 omoon , lo1617 omoon q “ 147 20¨147 11¨147 3) Kürze und schreibe als gemischte Zahl: hkkggT ikkj 3381821 1333 ¨ 2537 1333 3 “ ... “ “ “ 190 ` 17759 7 ¨ lo2537 7 7 omoon ggT Version vom 27. Juli 2016 ñ ( ñ r4 “ 0) 41 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Nebenrechnung: (TR: 3381821 SHIFT ˜R 17759) 3381821 “ 190 ¨ 17759 ` 7611 17759 “ 2 ¨ 7611 ` 2537 (Ñ 190 ; R “ 7611) “q “r 7611 “ 3 ¨ 2537 ggT “ 2537 ñ sowie 1333 “ 190 ¨ 7 ` 3 (vergleiche TR) Nun werden auch die Teilermengen-Beziehungen klarer: Korollar 4.9. Für natürliche Zahlen a, b gilt: Ta X Tb “ TggT pa,bq Beweis: Konsequenz aus dem Euklidischen Algorithmus: Ta X Tb “ Trn`1 “ Ò ggT pa,bq“rn`1 TggT pa,bq Für Schüler: Korollar 4.10. Jeder Teiler von a und b ist auch Teiler von ggT pa, bq. ggT von mehr als zwei Zahlen: Korollar 4.11. Für a, b, c P N gilt: ggT pa, b, cq “ ggT p ggT pa, bq, cq + t | a) ñ t|ggT pa, bq ñ t | b t|c t | ggT pggT pa, bq, cq Beispiel ggT p3792, 5640, 5274q “ ¨ ¨ ¨ “ ggT p24, 5274q “ ¨ ¨ ¨ “ 6 Version vom 27. Juli 2016 Beweis: Sei t Teiler von a, b und c : 42 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie NR mit TR: , ` 1848/ / / / ` 96 . ñ ` 24 / / / / ` 0 , 5274 “ 219 ¨ 24 ` 18/ . ñ 24 “ 1 ¨ 18 ` 6 / 18 “ 3¨6 ` 0 5640 3792 1848 96 “ 1 ¨ 3792 “ 2 ¨ 1848 “ 19 ¨ 96 “ 4 ¨ 24 ggT p3792, 5640q “ 24 ggT p5274, 24q “ 6 4.3. Vielfache des ggT und Linearkombinationen. Ziel: Den ggT als Linearkombination darstellen, zum Beispiel: ggT p24, 16q “ 8 “ 1 ¨ 24 ´ 1 ¨ 16 ggT p48, 9q “ 3 “ 1 ¨ 48 ´ 5 ¨ 9 ggT p2940, 1617q “ 147 “???? Satz 4.12. Für a, b P N gibt es ganze Zahlen x und y mit: ggT pa, bq “ x ¨ a ` y ¨ b Beweis: Benutze den Euklidischen Algorithmus: falls a ą b: a “ q 1 ¨ b ` r1 ñ r1 “ a ´ qi ¨ b b “ q2 ¨ r1 ` r2 ñ r2 “ b ´ q2 ¨ r1 “ b ´ q2 pa ´ q1 ¨ bq r1 “ q3 ¨ r2 ` r3 ñ r3 “ “ ´q2 ¨ a ` pq1 q2 ` 1qb r1 ´ q3 ¨ r2 Ò Ò LK von a,b ñ LK von a,b looooooooooooooomooooooooooooooon LK von a,b ñ rn “ Ò ggT rn´2 ´ qn ¨ rn´1 Ò Ò LK von a,b ñ LK von a,b looooooooooooooomooooooooooooooon LK von a,b Bemerkung 4.13. (1) Satz 4.12 ist eine reine Existenzaussage bzgl. x und y, so daß ggT pa, bq “ xa ` yb. Diese Z-Linearkombination ist nicht eindeutig: z.B.: ggT p3, 6q “ 3 “ p´1q ¨ 3 ` 1 ¨ 6 “ p´3q ¨ 3 ` 2 ¨ 6 Version vom 27. Juli 2016 rn´2 “ qn ¨ rn´1 ` rn 43 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Klar: a ¨ x ` b ¨ y “ looomooon ggT pa, bq ist eine affine Geradengleichung: jec der Schnittpunkt dieser Geraden mit dem Gitter Z2 ergibt eine ZLinearkombination. (2) Den Satz kann man auf mehr als zwei Zahlen erweitern. (3) Der Beweis des Satzes ist konstruktiv: Beispiel: (vgl. Beispiel oben) ggT p2940, 1617q “ 147 “ 5 ¨ 2940 ´ 9 ¨ 1617 p1q 2940 “ 1 ¨ 1617 ` 1323 p2q 1617 “ 1 ¨ 1323 ` 294 p3q 1323 “ 4 ¨ 294 ` 147 p4q ñ 294 “ 2 ¨ 147 147 “ 1323 ´ 4 ¨ 294 (mit (3)) “ 1323 ´ 4 ¨ p1617 ´ 1323q “ 5 ¨ 1323 ´ 4 ¨ 1617 (mit (2)) “ 5 ¨ p2940 ´ 1617q ´ 4 ¨ 1617 (mit (1)) TR “ 5 ¨ 2940 ´ 9 ¨ 1617 “ 147 Probe Satz 4.14. Jede ganzzahlige Linearkombination von a und b (a, b P N) ist ein Z-Vielfaches von ggT pa, bq, d.h. für alle x, y P Z gibt es ein z P Z, so daß x ¨ a ` y ¨ b “ z ¨ ggT pa, bq Beweis: Betrachte x ¨ a ` y ¨ b mit x, y P Z beliebig. Aus ggT pa, bq | a und ggT pa, bq | b ñ ggT pa, bq | x ¨ a ` y ¨ b. ñ Beh. Version vom 27. Juli 2016 Sei ggT pa, bq “ x ¨ a ` y ¨ b mit a, b P N, x, y P Z Dann gilt für alle z P Z: z ¨ ggT pa, bq “ z ¨ x ¨ a ` z ¨ y ¨ b D.h. alle Vielfachen von ggT pa, bq sind auch Z-Linearkombinationen von a und b. Das gilt auch umgekehrt: 44 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Satz 4.15. Für alle natürlichen Zahlen a, b gibt es ganze Zahlen x, y, so daß ggT pa, bq “ x ¨ a ` y ¨ b Hierbei ist ggT pa, bq die kleinste natürliche Zahl, die sich als ZLinearkombination von a und b darstellen läßt. Eine ganze Zahl c ist genau dann Z-Linearkombination von a und b, wenn c Vielfaches{Z von ggT pa, bq ist. Beispiel: ggT p3792, 5640q “ 24 ñ es gibt x, y P Z mit Aber x ¨ 3792 ` y ¨ 5640 “ x ¨ 3792 ` y ¨ 5640 “ 24 25 oder 26 oder 27... ist über Z nicht lösbar. Spezialfall: a und b sind teilerfremd: Satz 4.16. Aus teilerfremden natürlichen Zahlen a und b (also ggT pa, bq “ 1) läßt sich jede ganze Zahl linearkombinieren, d.h. für alle z P Z gibt es x, y P Z mit x¨a`y¨b“z Beispiel: ggT p5, 3q “ 1 und 2 ¨ 5 ´ 3 ¨ 3 “ 1 für z P Z beliebig: p2zq ¨ 5 ´ p3zq ¨ 3 “ z !! 4.4. Lineare Diophantische Gleichungen. (Diophant von Alexandria, ca 250 n. Chr.) Sorte 1: 13,00 e pro Stk. Sorte 2: 19,00 e pro Stk. Wieviele Geschenke können damit von jeder Sorte gekauft werden? Definition 4.2. Eine Gleichung ax ` by “ c mit a, b P N und c P Z heißt lineare Diophantische Gleichung mit zwei Variablen, falls man als Lösungen nur Elemente px, yq P Z ˆ Z zuläßt. Version vom 27. Juli 2016 Beispiel: Eine Firma will für 1000 e zwei Sorten von Werbegeschenken kaufen: 45 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Allgemeiner: Eine Diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form: F px1 , . . . , xn q “ 0 (6) mit einem Polynom F P Zrx1 , . . . , xn s und der Frage der Lösbarkeit von (6) über Z. Umformulierung von Satz 4.15 : Satz 4.17. Die lineare diophantische Gleichung ax ` by “ c ist genau dann lösbar, wenn ggT pa, bq | c. Beispiel Wegen ggT p13, 19q “ 1 ñ x ¨ 13 ` y ¨ 19 “ 1000 ist lösbar über Z!! Mit Euklidischem Algorithmus: 19 “ 1 ¨ 13 ` 6 ô 6 “ 19 ´ 1 ¨ 13 13 “ 2 ¨ 6 ` 1 ô 1 “ 13 ´ 2 ¨ 6 6“1¨6 “ 13 ´ 2p19 ´ 13q “ 3 ¨ 13´2 ¨ 19 Also px, yq “ p3, ´2q ist Lösung von 13x ` 19y “ 1. ñ p3000, ´2000q ist Lösung von 13x ` 19y “ 1000 ñ Lösung unbrauchbar - weil eine Zahl negativ!!! Gibt es Lösungen über N??? Ein bischen Geometrie: 13x ` 19y “ 1000 Geradengleichung!! Notwendige Vorraussetzung für Lösungen über N: ersten Quadranten laufen. Gerade muß durch den Dazu: wie/wo liegt diese Gerade: Realschule 8te Klasse: Geraden y “ mx ` t Version vom 27. Juli 2016 Wie finden wir Lösungen über N??? 46 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Hier: y“´ 1000 13 ¨x` 19 19 Nullstelle: y “ 0 1000 « 52, 63 19 13 m“´ ñ fallend 19 13x ` 19 ¨ 0 “ 1000 , ñ t“ x“ 1000 « 76, 92 13 Wenn es eine Lösung px, yq P N ˆ N gibt, dann: 0 ď x ă 76, 0 ď y ă 52 Lösungen z.B. empirisch mit Geogebra suchen: 74 ¨ 13 ` 2 ¨ 19 “ 1000 ñ p74, 2q 55 ¨ 13 ` 15 ¨ 19 “ 1000 ñ p55, 15q 36 ¨ 13 ` 28 ¨ 19 “ 1000 ñ p36, 28q Aus einer Lösung auf alle Lösungen schließen: Satz 4.18. Sei px0 , y0 q P Z ˆ Z eine Lösung der diophantischen Gleichung ax`by “ c mit teilerfremden natürlichen Zahlen a und b, dann ist jede weitere Lösung von der Form: px0 ` t ¨ b, y0 ´ t ¨ aq mit t P Z Bemerkung: Was, wenn a, b nicht teilerfremd sind? Also sei ggT pa, bq ‰ 1! ñ a1 :“ a , ggT pa,bq b1 :“ b , ggT pa,bq c1 :“ c ggT pa,bq ggT pa, bq | c. PZ ñ ax ` by “ c ist äquivalent zu a1 x ` b1 y “ c1 (hat damit die gleichen Lösungen) und das ist eine lineare diophantische Gleichung mit a1 , b1 teilerfremd, ñ mit einer Lösung px0 , y0 q sind alle weiteren Lösungen: px0 ` t ¨ b1 , y0 ´ t ¨ a1 q Version vom 27. Juli 2016 4.17 Wenn ax ` by “ c eine Lösung{Z hat, dann ñ 47 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beweis: Geometrisch: ´ ¯ ´ ¯ ax`by “ c ist eine Gerade G und xy00 P Z2 ein Punkt auf G: ñ xy00 P GXZ2 Analytische Geometrie: ´ ¯ ´ ¯ ´ ¯ ´ ¯ x x0 a a ¨ “ c “ y y0 b b ¨ ´ ¯ ”´ ¯ ´ ¯ı x x0 a ô “0 y ´ y0 b ¨ ´ ¯ ´ ¯ a ñ G ist die affine Gerade orthogonal: K zu b und durch den Punkt xy00 looooomooooon ˆ R¨ ˙ b ´a ! ´ ¯ ´ ¯) ! ´ ¯ ´ ¯) b b R ´a ` xy00 X Z ˆ Z “ Z ¨ ´a ` xy00 (da a, b, x0 , y0 P Z) !´ ¯ ˇ ) ˇ t¨b`x0 “ t P Z ˇ ´t¨a`y0 Version vom 27. Juli 2016 Beweis: 48 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Algebraischer Beweis: 1) Z.z.: px0 ` tb, y0 ´ tzq ist für alle t P R eine Lösung! Überprüfen durch Einsetzen: apx0 ` tbq ` bpy0 ´ taq “ ax ´ baq “ c 0 ` by0 ` tpab loooomoooon loooomoooon “c “0 2) Z.z.: Es gibt keine weitere Lösungen ô alle Lösungen sind von der vorgegebenen Form: Sei also px1 , y1 q eine weitere Lösung ñ ax1 ` by1 “ c Weiterhin gilt aber: ax0 ` by0 “ c Subtraktion: apx1 ´ x0 q ` bpy1 ´ y0 q “ 0 apx1 ´ x0 q “ bpy0 ´ y1 q ggT pa, bq “ 1 ñ a |py0 ´ y1 q ñ a ¨ t “ y0 ´ y1 y1 “ y0 ´ at ñ aus (*) folgt außerdem: ô (*) apx1 ´ x0 q “ b ¨ a ¨ t |¨ 1 a x 1 ´ x0 “ b ¨ t ô x1 “ x0 ` b ¨ t Zurück zum Werbegeschenk-Beispiel: Wir hatten die unbrauchbare Lösung: p3000, ´2000q “ px0 , y0 q von 13x ` 19y “ 1000 Jede Lösung ist von der Form: p3000 ` t ¨ 19, ´2000 ´ t ¨ 13q, Damit x, y ě 0 muß gelten: tPZ Version vom 27. Juli 2016 49 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 3000 0 ď 3000 ` t ¨ 19 ô ´3000 ď 19 ¨ t ô lo ´omo ď t ô ´157 ď t 19on «´157,89 2000 0 ď ´2000 ´ t ¨ 13 ô 13 ¨ t ď ´2000 ô t ď lo ´omo ô t ď ´154 13on «´153,85 ñ ´157 ď t ď ´154 ñ t “ ´157, ´156, ´155, ´154 t “ ´157 ñ p3000 ´ 157 ¨ 19, ´2000 ` 157 ¨ 13q “ p17, 41q t “ ´156 ñ p3000 ´ 156 ¨ 19, ´2000 ` 156 ¨ 13q “ p36, 28q t “ ´155 ñ p3000 ´ 155 ¨ 19, ´2000 ` 155 ¨ 13q “ p55, 15q t “ ´154 ñ p3000 ´ 154 ¨ 19, ´2000 ` 154 ¨ 13q “ p74, 2q Nun wissen wir, das das alle Lösungen sind. 4.5. kgV und Vielfachenmengen. Definition 4.3. Für a P Nzt0u ist die Vielfachenmenge von a die Menge: ˇ ( Va “ x P Nzt0u ˇ a | x Beispiel: V1 “ t1, 2, 3, . . .u “ N V2 “ t2, 4, 6, . . .u “ 2N (Menge der Geraden Zahlen) V3 “ t3, 6, 9, . . .u (Vielfache von 3) Bemerkung Vielfachenmengen haben stets 8-viele Elemente: Dagegen sind die Teilermengen Ta stets endlich. Beispiele V2 “ t2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .u ñ V2 X V3 “ V3 “ t3, 6, 9, 12, . . .u t6, 12, 18, . . .u looooooomooooooon gemeinsame Vielfache von 2 und 3 Version vom 27. Juli 2016 #Va “ 8 50 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Definition 4.4. Für a, b P N heißen die Elemente der Schnittmenge ˇ ( Va X Vb “ x P Nzt0u ˇ a | x und b | x gemeinsame Vielfache von a und b. Das kleinste Element von Va X Vb heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches: kgV pa, bq. Bemerkungen (1) Zu a und b P N gibt es immer gemeinsame Vielfache, d.h. Va X Vb ‰ H, denn a ¨ b P Va X Vb Va¨b Ď Va X Vb ñ (7) Es gibt also sogar 8-viele gemeinsame Vielfache. (2) Folgerung (7) folgt aus: Aus v P Va X Vb folgt Vv Ď Va X Vb Denn: wenn v P Va X Vb , gilt 1): a | v und b | v, und 2) gilt für x P Vv , daß v | x. Transitivität der Teilerrelation impliziert, daß auch: a | x und b | x. Damit x P Va X Vb (3) Verallgemeinerung auf drei oder mehr Zahlen: für a, b, c, . . . P N gilt: ` ˘ kgV pa, b, c, . . .q “ min Va X Vb X Vc X . . . Bsp.: a “ 6, b “ 8, c “ 15 V6 “ t6, 12, 18, 24, 30, . . .u V8 “ t8, 16, 24, 32, . . .u V15 “ t15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, . . .u (120 “ 6 ¨ 20 “ 8 ¨ 15) Ò Ò 6 8 (4) Verwendung von Venndiagrammen: V2 8 ..... 2 4 12 6 18 ..... 3 V3 9 15 ..... ñ V2 X V3 “ V6 Version vom 27. Juli 2016 kgV p6, 8q “ 24 und kgV p6, 8, 15q “ 120 51 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie V2 2 4 V6 8 14 6 12 18 ..... 16 10 ñ V6 Ă V2 ..... Satz 4.19. Für a, b P N gilt Va X Vb “ VkgV pa,bq Beweis: Sei k :“ kgV pa, bq. ”Ě”: (Folgt auch aus Bemerkung (2)! Hier noch einmal der Vollständigkeit halber.) Sei y P Vk z.z.: y P Va X Vb ñ k | y, aber weil k “ kgV pa, bq, gilt auch a | k und b | k Transitivität der Teilerrelation ñ a | y und b | y ”Ď”: Es gilt a | k und b | k. also y P Va X Vb (*) Sei x P Va X Vb , also ein gemeinsames Vielfaches von a und b. Klar, dann ist x ě k “ kgV pa, bq. Division mit Rest: Es gibt eindeutig bestimmte Zahlen q, r P N, 0 ď r ă k: x“q¨k`r Mit (*) ñ ñ Aber ñ a | x und b | x a | x ´ qk “ r r P Va X Vb und b | x ´ qk “ r ñ r ist ein gemeinsames Vielfaches von a und b. r ă k “ kgV pa, bq ñ x“q¨k ñ ñ r “ 0! x P VkgV pa,bq Der kgV kann mit Hilfe der Primfaktorzerlegung gefunden werden: Version vom 27. Juli 2016 Aus x P Va X Vb 52 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beispiel: kgV p120, 315q “? 120 “ 10 ¨ 12 “ 2 ¨ 5 ¨ 4 ¨ 3 “ 23 ¨ 3 ¨ 5 315 “ 5 ¨ 63 “ 5 ¨ 3 ¨ 21 “ 5 ¨ 3 ¨ 3 ¨ 7 “ 32 ¨ 5 ¨ 7 ñ kgV “ 23 ¨ 32 ¨ 5 ¨ 7 “ 2520 Satz 4.20. (1) Für a “ ś8 i“1 i pm und b “ i ś8 i“1 pni i gilt: 8 ź kgV pa, bq “ maxpmi .ni q pi i“1 (2) Für a, b, n P N gilt: kgV pn ¨ a, n ¨ bq “ n ¨ kgV pa, bq. Beweis: ś ki (1) Sei k “ 8 i“1 pi ein gemeinsames Vielfaches von a und b. Da dann a und b jeweils Teiler von k sind, folgt nach Satz 3.17: mi ď ki und ni ď ki . Die kleinste Zahl mit dieser Eigenschaft ist offensichtlich (2) Œ: n “ pj eine Primzahl, dann pj ¨ a “ m `1 pj j 8 ź ¨ i pm i und pj ¨ b “ n `1 pj j maxpmi ,ni q ś8 i“1 8 ź ¨ pi . pni i i“1 i‰j i“1 i‰j Da aber maxpmj ` 1, nj ` 1q “ maxpmj , nj q ` 1 folgt kgV ppj ¨ a, pj ¨ bq “ maxpmj `1,nj `1q pj 8 ź ¨ maxpmi .ni q pi “ pj ¨ i“1 i‰j 8 ź maxpmi ,ni q pi i“1 Beispiel: || || 10¨12 5¨63 “ 3 ¨ 5 ¨ kgV p2 ¨ 4, 3 ¨ 7q Ò Ò teilerfremd “ 3 ¨ 5 ¨ 2 ¨ 4 ¨ 3 ¨ 7 “ 23 ¨ 32 ¨ 5 ¨ 7 “ 2520 Beispiel zum Zusammenhang von kgV und ggT : Version vom 27. Juli 2016 kgV p 120 , 315q “ 5 ¨ kgV p2 ¨ 12, 63q “ 5 ¨ kgV p2 ¨ 3 ¨ 4, 3 ¨ 21q 53 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Sei a “ 4 und b “ 12 ñ ñ 4 | 12 + ggT p4, 12q “ 4 kgV p4, 12q “ 12 ñ ggT ¨ kgV “ 4 ¨ 12 “ a ¨ b ggT pa, bq “ a) kgV pa, bq “ b ñ ggT pa, bq ¨ kgV pa, bq “ a ¨ b Allgemeiner: a|b ñ Noch allgemeiner gilt: Satz 4.21. Für a, b P N gilt: ggT pa, bq ¨ kgV pa, bq “ a ¨ b. Beweis: ś ś mi ni Sei a “ 8 und b “ 8 i“1 pi i“1 pi ggT pa, bq “ kgV pa, bq “ 8 ź i“1 8 ź minpmi ,ni q pi maxpmi ,ni q pi i“1 sicher gilt: ñ minpmi , ni q ` maxpmi , ni q “ mi ` ni ggT pa, bq ¨ kgV pa, bq “ 8 ź pmin`max i 8 ź “ i“1 i `ni “a¨b pm i i“1 Korollar 4.22. Für teilerfremde a, b P N gilt: kgV pa, bq “ a ¨ b kgV pa, bq “ Hassediagramm eignen sich zur Beispiele:# 1, 3, 5, 9, a) T225 “ 225, 75, 45, 25, a¨b ggT pa, bq Bestimmung/Darstellung von ggT und kgV : + 15 15 Version vom 27. Juli 2016 Bemerkung 4.23. Mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus’ kann man den ggT bestimmen. Zusammen mit Satz 4.21 so auch das kgV : 54 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 225 45 9 ggT p45, 75q “ 15 75 15 3 T45 X T75 “ t1, 3, 5, 15u 25 kgV p45, 75q “ 225 5 ggT p25, 45, 75q “ 5 1 T25 X T45 X T75 “ t5, 1u b) a “ 18, b “ 24 gesucht ggT und kgV : kgV(18,24) 72 18 9 24 36 6 3 T18 “ t1, 2, 3, 6, 9, 18u und T24 “ t1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24u 8 12 4 2 ggT(18,24) 1 5. Kongruenzen und Restklassen 5.1. Die Kongruenzrelation mod m. Verschiedene Zugänge: (1) (Division mit Rest) Bei der Division mit Rest (z.B. durch 6) können 2 Fälle auftreten: gleiche oder ungleiche Reste: + ´40 “ ´7 ¨ 6 ` 2 ´16 “ ´3 ¨ 6 ` 2 14 “ 2 ¨ 6 ` 2 , / . 33 ” 21 # 33 ” 3 21 ” 3 ñ Rest 3 ñ ñ $ ’ & ´40 ” 2 Rest 2 ñ ´16 ” 2 ’ % 14 ” 2 / - mod 6 und ´ 40”16 ” 14 mod 6 mod 6 mod 6 mod 6 mod 6 mod 6 oder ungleiche Reste: 34 “ 5 ¨ 6 ` 4 27 “ 4 ¨ 6 ` 3 ñ ´41 “ ´7 ¨ 6 ` 1 ´16 “ ´3 ¨ 6 ` 2 34 ı 27 und + ñ verschiedene Reste ´ 41 ı ´16 mod 6 Version vom 27. Juli 2016 ñ 33 “ 5 ¨ 6 ` 3 21 “ 3 ¨ 6 ` 3 55 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie (2) Unterschied? 21 ` 2 ¨ 6 “ 33 21 und 33 unterscheiden sich also um ein Vielfaches von 6: 21 ” 33 ñ Analog, aus: mod 6 ´ 16 ` 4 ¨ 6 “ 8 folgt ´ 16 ” 8 mod 6 (3) Differenz: 33 ´ 21 “ 12 “ 2 ¨ 6 # 33 ” 21 33 ” 21 # ´40 ” ´16 mod 4 ´40 ” ´16 mod 6 ñ ´40 ´ p´16q “ 16 ´ 40 “ ´24 “ ´4 ¨ 6 ñ mod 2 mod 6 Vergleich der Zugänge: (1) Betonung auf Division mit Rest (Euklidischem Algorithmus), insbesondere Betonung auf den Rest: gleiche oder ungleiche Reste, Frage nach: Was ist der Rest: ´40 ”? mod 6 (2) Zahlen sind kongruent mod 6, wenn sie sich um eine ganzzahliges Vielfaches von 6 unterscheiden. Aufgabe: Finde viele Zahlen, die zu ´40 kongruent sind: ´40, ´40 ` 6 “ ´34, ´40 ` 2 ¨ 6 “ ´28, . . . Also die Fragestellung: mod 6 (3) Betonung auf die Differenz der Zahlen und deren Vielfachen-Eigenschaft. Nahe liegende Frage: bezüglich welcher Zahlen sind 33 und 21 kongruent: 33 ” 21 mod ? Definition 5.1. Seien a und b ganze Zahlen und m P N. Man sagt a ist kongruent b modulo m (a ” b mod m) genau dann, wenn m | a ´ b. Ist a nicht kongruent b modulo m, so sagt man auch a ist inkongruent b modulo m (a ı b mod m). Die Zahl m heißt Modul, der Ausdruck a ” b mod m heißt Kongruenz. Version vom 27. Juli 2016 ?” 2 56 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Bemerkung 5.1. (1) Die Definition folgt dem Zugang (3). (2) Die Bedingung m P N ist keine Einschränkung, denn m|a ´ b ô ´m | a ´ b Die folgenden Sätze zeigen die Äquivalenz der drei Zugänge. Satz 5.2. Für a, b P Z und m P N gilt: a ” b mod m ô a und b haben bei Division durch m denselben Rest. Beweis: ” ñ ”: Es gelte also: a ” b mod m nach Definition ñ m|a ´ b Division (durch m) mit Rest auf a und b anwenden: Wegen Korollar 4.5 gilt das, egal ob a, b positiv oder negativ!! a “ q 1 ¨ m ` r1 0 ď r1 ă m b “ q 2 ¨ m ` r2 0 ď r2 ă m mit eindeutigen Zahlen ri , qi . Subtrahiere die beiden Gleichungen: aomo ´ obn “ loooooomoooooon pq1 ´ q2 q ¨ m ` r1 ´ r2 lo | m ñ | m m | looooooooooooomooooooooooooon pa ´ bq ´ pq1 ´ q2 q ¨ m ñ m | r1 ´ r2 ñ 0 ď |r1 ´ r2 | ă m (*) “r1 ´r2 aber 0 ď ri ă m (**) (*) und (**) ñ r1 ´ r2 “ 0 ô r1 “ r2 a “ q1 m ` r b “ q2 m ` r ñ mit qi P Z und 0 ď r ă m a ´ b “ pq1 ´ q2 q ¨ m ñ m|a ´ b Satz 5.3. Für a, b P Z und m P N gilt: a ” b mod m genau dann, wenn sich a und b um ein ganzzahliges Vielfaches von m unterscheiden (d.h. es gibt ein q P Z mit a “ b ` q ¨ m). Version vom 27. Juli 2016 ”ð”: 57 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beweis: a ” b mod m ô m | pa ´ bq (Def. von Kongruenz) ô es gibt ein q P Z mit m ¨ q “ a ´ b ô a“b`m¨q (Def. von Teiler) für ein q P Z Bemerkung 5.4. Die in den drei Zugängen dargestellten Wege zur Kongruenz sind damit äquivalent. Das heißt auch für uns, wir können uns im Unterricht für den Weg entscheiden, der am besten in unser Konzept passt! Wie rechnet man mit Kongruenzen? Satz 5.5. Seien a ” b mod m und c ” d mod m. Dann gilt: (1) a ˘ c ” b ˘ d mod m (2) a ¨ c ” b ¨ d mod m Beweis: Nach Vorraussetzung: m | pa ´ bq und m | pc ´ dq (1) m | looooooooomooooooooon pa ´ bq ˘ pc ´ dq “ pa ˘ cq ´ pb ˘ dq “a´b˘c¯d ñ pa ˘ cq ” pb ˘ dq mod m (2) m | pa ´ bq ñ m | pa ´ bq ¨ c ñ m | pa´bq¨c`pc´dq¨b “ ac´bc`cb´db “ ac´db m | pc ´ dq ñ m | pc ´ dq ¨ b ac ” bd mod m Version vom 27. Juli 2016 ñ 58 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beispiele 37 ” 17 12 ” 2 mod 5 mod 5 49 ” 19 ñ Ò 37`12 25 ” 15 ñ Ò 37´12 Ò 37¨12 über Kreuz: (”`”) mod 5 (”´”) Ò 17´2 444 ” 34 ñ mod 5 Ò 17`2 mod 5 (” ¨ ”) Ò 17¨2 74 ” 204 Ò 37¨2 mod 5 (” ¨ ”) Ò 17¨12 Spezialfälle für d “ c: Korollar 5.6. Sei a ” b mod m. Dann gilt für alle c P Z: (1) (2) Beispiel: a ˘ c ” b ˘ c mod m a ¨ c ” b ¨ c mod m 86 ” 60 mod 13 `100 ñ 186 ” 160 mod 13 ¨3 558 ” 480 mod 13 ñ Korollar 5.7. Aus a ” b mod m (denn 60 ` 2 ¨ 13 “ 60 ` 26 “ 86) folgt an ” bn mod m für alle n P N. Hier gilt auch n “ 0, denn trivialerweise: a0 “ 1 mod m ” 1 “ b0 . ! a ” b mod 0 ô 0 | a ´ b ô a ´ b “ 0 ô a “ b Konsequenz für das Rechnen mit Kongruenzen: Kongruenzen lassen Äquivalenzumformungen (analog zu den Äquivalenzumformungen von Gleichungen) bzgl. der Verknüpfungen 2 `2 , ,2 ´2 und 2 2 zu. Vorsicht ist nur bei der Division ˜ geboten: ¨ Version vom 27. Juli 2016 Bemerkung 5.8. Kongruenzen verhalten sich anscheinend ähnlich wie Gleichungen. Gleichungen sind ein Spezialfall von Kongruenzen: die Kongruenz modulo 0: 59 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Satz 5.9. z ¨ a ” z ¨ b mod m a ” b mod ñ m ggT pz, mq Beispiel 88 ” 52 mod 12 4 ¨ 22 ” 4 ¨ 13 mod 12 22 ” 13 12 4 ñ ” aber: 22 13 mod (denn 88 ´ 52 “ 36 “ 3 ¨ 12) ˇ (ˇ ˜ 4, ggT p4, 12q “ 4) “3 mod 12 Beweis: z ¨ a ” z ¨ b mod m ô m | pz ¨ a ´ z ¨ bq “ z ¨ pa ´ bq ô m ¨ q “ z ¨ pa ´ bq ô m d on loomo ˇ (für ein q P Z ˇ ˜ ggT pz, mq) loooomoooon “d ¨q “ z d on loomo PZ PZ ñ ˇ m ˇ z ¨ pa ´ bq d ˇ d ˇ mˇ pa ´ bq dˇ ô a ” b mod ô ¨ pa ´ bq (da ggT p md , dz q “ 1) m d Wenn ggT pz, mq “ 1, dann: z ¨ a ” z ¨ b mod m ô a”b mod m Beispiele (1) 180 “ 5 ¨ 36 ” lo 5omo ¨ 24 on mod 12 “120 ñ 36 ” 24 mod 12 (und ggT p5, 12q “ 1) Version vom 27. Juli 2016 Korollar 5.10. 60 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie (2) Aber: 24 ” 6 ggT p3, 6q “ 3 Satz 5.9 ñ mod 6 3¨8”3¨2 mod 6 8”2 6 3 mod aber es gilt auch: 8 ” 2 “2 mod 6 5.2. Kongruenz als Äquivalenzrelation. Satz 5.11. Die Kongruenzrelation modulo m ist für jeden Modul m P N eine Äquivalenzrelation in Z, d.h. für alle a, b, c P Z gilt: (1) a ” a mod m (Reflexivität) (2) Aus a ” b mod m folgt b ” a mod m (Symmetrie) (3) Aus a ” b mod m und b ” c mod m folgt a ” c mod m (Transitivität) Beweis: (1) a ´ a “ 0 “ m ¨ 0 (2) m | pa ´ bq ô ñ m | pa ´ aq m¨q “a´b ô m ¨ p´qq “ b ´ a ô m | pb ´ aq ô b ” a mod m (3) m | pa ´ bq und m | pb ´ cq ñ m teilt auch die Summe: ñ m | pa ´ bq ` pb ´ cq “ pa ´ cq ô a ” c mod m Sei m P N fest gewählt. Für ` ˘ ā :“ Rm paq :“ t z P Z Restklassen(einteilung) Restklassen Z{mZ p“: Rm q a P Z sei: ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ z ” a mod m u “ tz “ a ` n ¨ m ˇ n P Z u die Restklasse von a modulo m. Die Zahl a heißt Repräsentant der Restklasse. Der Repräsentant ist nicht eindeutig, es gibt 8-viele Repräsentanten einer Restklasse. Version vom 27. Juli 2016 Äquivalenzrelation ñ Allgemein: Speziell: Kongruenzrelation modulo m ñ 61 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beispiel: m “ 3 ˇ a “ 0 ñ 0̄ “ tz P Z ˇ z ˇ a “ 1 ñ 1̄ “ tz P Z ˇ z ˇ a “ 2 ñ 2̄ “ tz P Z ˇ z ˇ a “ 3 ñ 3̄ “ tz P Z ˇ z Insbesondere gilt: Satz 5.12. ”0 mod 3u “ t. . . , ´6, ´3, 0, 3, 6, . . .u “ 3Z ”1 mod 3u “ t. . . , ´5, ´2, 1, 4, 7, . . .u “ 1 ` 3Z ”2 mod 3u “ t. . . , ´4, ´1, 2, 5, 8, . . .u “ 2 ` 3Z ”3 mod 3u “ t. . . , ´9, ´6, ´3, 0, 3, 6, . . .u “ 0̄ a P ā “ Rm paq Sei m P N. Für a, b P Z gilt: ´ ¯ ā “ b̄ bzw. Rm paq “ Rm pbq ô Beweis: ” ñ ”: Es gelte ā “ b̄ Aus a P ā “ b̄ folgt a P b̄ a ” b mod m ñ a ” b mod m. ”ð”: Sei a ” b mod m. Z.z.: ā “ b̄ (als Mengen!) Fall: ā Ď b̄: Sei z P ā ñ z ” a mod m (nach Def.) Wegen a ” b mod m und der Transitivität folgt: z ” b mod m ñ z P b̄ ñ ā Ď b̄ Fall: ā Ě b̄: Wie oben bei Fall: ā Ď b̄ mit Symmetrie: a ” b mod m ô b ” a mod m (1) Für alle a P Z gilt: ā “ Rm paq ‰ H (2) Für alle a, b P Z gilt entweder: ā “ b̄ oder ā X b̄ “ H (3) Für alle z P Z gibt es ein a P Z mit z P ā Beweis: (1) Da a P ā “ Rm paq für alle a P Z folgt ñ ā ‰ H @ a P Z. (2) Seien a, b P Z: Zwei Fälle: a ” b mod m oder a ı b mod m Falls a ” b mod m Satz 5.12 ô ā “ b̄ Falls a ı b mod m: z.z.: ā X b̄ “ H (als Menge) Version vom 27. Juli 2016 Satz 5.13. 62 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Durch Widerspruch ñ Annahme: ā X b̄ ‰ H ñ es gibt ein z P ā X b̄ Wegen z P ā ñ z ” a mod m Wegen z P b̄ ñ z ” b mod m Transitivität ñ Symmetrie ô a ” z mod m a ” z ” b mod m Also ā und b̄ disjunkt. (3) Klar, wähle z.B. z selber: z P z̄ Folgerung: Die Menge Z der ganzen Zahlen wird bei gegebenen Modul m in disjunkte Teilmengen ā “ Rm paq zerlegt. Beispiel: m “ 3 Start Z: ... ´5 ´2 ... ´4 ´1 ... ´3 0 4 G 2 5 7 10 ... o 1̄ 8 ... ... o 2̄ 3 9 ... ... o 0̄ 1 6 p“ ´1q Die 3 Streifen entsprechen den Restklassen 0̄, 1̄ und 2̄, dabei sind 0, 1 und 2 Repräsentanten. Wieviel Restklassen modulo m gibt es? Satz 5.14. Sei m P N. Es gibt genau m verschiedene Restklassen modulo m: 0̄ , 1̄ , . . . , m´1 Bemerkung 5.15. (1) Es müssen nicht die Repäsentanten 0, 1, 2, . . . , m ´ 1 sein, diese werden aber gerne genommen. (2) Aus Sätzen 5.13 und 5.14 folgt: 0̄ Ÿ 1̄ Ÿ 2̄ Ÿ ¨ ¨ ¨ Ÿm´1 “ Z Beweis: Von Satz 5.14: Es reicht zu zeigen, daß jede Restklasse modulo m einen Repräsentanten zwischen 0 und m ´ 1 hat: Sei a P Z ñ Restklasse ā “ Rm paq Version vom 27. Juli 2016 p“m̄q 63 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Euklidischer Algorithmus: es gibt eindeutig bestimmte Zahlen q P Z und r mit 0 ď r ă m, so daß: a“q¨m`r ñ a”r mod m ô ā “ r̄ mit r P t0, 1, 2, . . . , m ´ 1u Die Restklassen modulo m bilden die Menge: ` ˘ Z{mZ :“ Rm “ t0̄, 1̄, 2̄, . . . , m´1u ‚ Z{mZ ist eine Menge von Mengen! ‚ Z{mZ wird als Menge der m ”Symbole”: 0̄, 1̄, . . . , m´1 aufgefasst. Dabei ”vergisst” man, daß 0̄, 1̄, . . . , m´1 Mengen sind, aber nicht ihre Eigenschaften. ‚ Z{mZ wird Restsystem modulo m (oder auch Restklassenmenge) genannt. Beispiele: Z{3Z “ R3 “ t0̄, 1̄, 2̄u und Z{4Z “ R4 “ t0̄, 1̄, 2̄, 3̄u 5.3. Algebraische Struktur von Z{mZ - Rechnen im System Z{mZ. Wir führen eine Addition ‘ und eine Multiplikation d in Z{mZ ein: Für ā, b̄ P Z{mZ sei: ā ‘ b̄ :“ a`b ā d b̄ :“ a¨b Restklassenaddition Restklassenmultiplikation Satz 5.16. Die Restklassenverknüpfungen ‘ und d in Z{mZ sind wohldefiniert. Beweis: 1) ā, b̄ P Z{mZ bedeutet, daß a, b P Z. Hier sind Addition a ` b P Z und Multiplikation a ¨ b P Z definiert. Damit gilt für die Restklassen: a`b, a ¨ b P Z{mZ. 2) Unabhängigkeit von der Wahl des Repräsentanten: Seien: ā “ ā1 (also a, a1 P Z mit a ” a1 mod m) und Version vom 27. Juli 2016 Warum ist das vernünftig? 64 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie b̄ “ b̄1 Z.z.: (also b, b1 P Z mit b ” b1 mod m). (i) ā ‘ b̄ “ ā1 ‘ b̄1 und (ii) Aber: m | a ´ a1 ñ ā d b̄ “ ā1 d b̄1 und m | b ´ b1 m | loooooooooomoooooooooon pa ´ a1 q ` pb ´ b1 q (*) a ` b ” a1 ` b 1 ñ mod m “pa`bq´pa1 ´b1 q ô ā ‘ b̄ “ ā1 ‘ b̄1 ñ piq Aus (*) folgt: a “ a1 ` m ¨ q1 und b “ b1 ` m ¨ q2 ñ a ¨ b “ pa1 ` m ¨ q1 q ¨ pb1 ` m ¨ q2 q “ a1 ¨ b1 ` m ¨ q1 b1 ` mq2 a1 ` m2 q1 q2 “ a1 ¨ b1 ` m ¨ p˚q ñ ô a ¨ b ” a1 ¨ b 1 ā d b̄ “ ā1 d b̄1 mod m ñ piiq Beispiele in R5 “ Z{5Z gilt: 3̄ ‘ 4̄ “ 7̄ “ 2̄ 3̄ d 4̄ “ 12 “ 2̄ in R7 “ Z{7Z gilt: 3̄ ‘ 4̄ “ 7̄ “ 0̄ 3̄ d 4̄ “ 12 “ 5̄ Z{5Z : 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ d und 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ Version vom 27. Juli 2016 Verknüpfungstafeln: ‘ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 65 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Die algebraische Struktur der Restklassenmengen: ˘ ` Satz 5.17. lo Z{mZ omoon, ‘, d ist ein kommutativer Ring (mit Einselement). Rm ` ˘ Gruppe: M, ` ist eine Gruppe, wenn gilt: (1) es gibt ein neutrales Element e “ 0 : (”Nichts” der Addition) Ò bei ` m`e“e`m“m für alle mPM (2) Inverses Element: für alle m P M gibt es ein Inverses m1 , d.h.: m ` m1 “ m1 ` m “ e (3) Assoziativität: für alle m, n, p P M gilt pm ` nq ` p “ m ` pn ` pq. (macht erst die Schreibweise: m ` n ` p möglich!) Wenn auch noch Gruppe hkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkj Wiederholung/Exkurs: Sei M eine Menge und ` : M ˆ M Ñ M und ¨ : M ˆ M Ñ M Verknüpfungen. (4) Kommutativität: für alle n, m P M gilt: n ` m “ m ` n ` ˘ gilt, dann heißt M, ` kommutative oder abelsche Gruppe. ` ˘ ` ˘ Beispiel: Z, ` ist eine kommutative Gruppe, N nein, Z, ¨ auch nein, weil ` ˘ Inverse fehlen, aber Q, ¨ ist eine abelsche Gruppe. Rotationsgruppen: endliche abelsche Gruppen, Dieedergruppen: endliche nicht abelsche Gruppen. und zusätzlich gilt: (5) Distributivität: für alle m, n, p P M gilt: pm ` nq ¨ p “ m ¨ p ` n ¨ p und p ¨ pm ` nq “ p ¨ m ` p ¨ n Wenn zusätzlich gilt: (6) Kommutativität der Multiplikation: für alle n, m P M gilt: n¨m“m¨n Version vom 27. Juli 2016 Ring: Ein Ring ist eine Menge M mit 2 Verknüpfungen (meist ` und ¨ be` ˘ zeichnet), also M, `, ¨ , wenn gilt: ` ˘ ‚ M, ` ist eine kommutative Gruppe, es gilt also (1). . . (4). ` ˘ ‚ M, ¨ hat ein neutrales Element (vgl. (1), bei Multiplikation Einselement 1 genannt) und erfüllt die Assoziativität (3) 66 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie ` ˘ dann heißt M, `, ¨ kommutativer Ring (mit Eins). ` ˘ Bemerkung: Es gibt auch Ringe ohne Eins, dann ist M, ¨ eine Halbgruppe, kommt selten vor!! Beweis: (Von Satz 5.17) (1) Neutrales Element bzgl. ‘: 0̄ tuts, denn für alle ā P Z{mZ gilt: ā ‘ 0̄ “ a ` 0 “ ā “ 0 ` a “ 0̄ ‘ ā (2) Inverses Element: Sei ā P Z{mZ. Beh: ā1 “ ´a ā ‘ ā1 “ a ‘ ´a “ a ` p´aq “ 0̄ ā1 ‘ ā “ . . . “ 0̄ (3) Assoziativität: ā, b̄, c̄ P Z{mZ, also a, b, c P Z: ` ˘ ` ˘ ā‘b̄ ‘c̄ “ a ` b‘c̄ “ pa ` bq ` c “ a ` pb ` cq “ ā‘b ` c “ ā‘ b̄‘c̄ Ò Assoziativität von Z (4) Kommutatives Element: folgt aus der Kommutativität von Z: ā ‘ b̄ “ a ` b “ b ` a “ b̄ ‘ ā ` ˘ Damit ist Z{mZ, ‘ eine kommutative Gruppe. Nun zur Multiplikation d : Einselement: Beh.: 1̄ ist ein Einselement: Für alle ā P Z{mZ gilt: 1̄ d ā “ 1 ¨ a “ a ¨ 1 “ ā d 1̄ (5) Distributivität: ā, b̄, c̄ P Z{mZ: ` ˘ ` ˘ ā ‘ b̄ d c̄ “ a ` b d c̄ “ pa ` bq ¨ c “ a ¨ c ` b ¨ c “ ā d c̄ ‘ b̄ d c̄ (6) Kommutativität von d: ā d b̄ “ a ¨ b “ b ¨ a “ b̄ d ā Beispiel ( (1) Z{5Z “ 0̄, 1̄, 2̄, 3̄, 4̄ neutrales Element der Addition: 0̄ (vgl. Verkn. Tafel) neutrales Element der Multiplikation: 1̄ Kommutativität von ‘ und d sehen wir an der Symmetrie der Verknüpfungstafel. Version vom 27. Juli 2016 õ 67 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Inverse Elemente der Addition: 0̄1 “ 0̄ ´1̄ “ 1̄1 “ ´1 “ 4̄ denn 1̄ ‘ 4̄ “ 5̄ “ 0̄ ´2̄ “ 2̄1 “ ´2 “ 3̄ 3̄1 “ ´3 “ 2̄ 4̄1 “ ´4 “ 1̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 0̄ Wo sieht man das in der Verknüpfungstafel? Suche Paa1̄ re, die die 0̄ erzeugen! 2̄ 3̄ 4̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ Inverse der Multiplikation? Ja, Paare die in der Tafel d eine 1̄ erzeugen. 0̄ ´1 1̄ d 1̄ “ 1̄ ñ 1̄ “ 1̄ 1̄ ´1 2̄ d 3̄ “ 1̄ ñ 2̄ “ 3̄ 2̄ ... ... ñ 3̄´1 “ 2̄ 3̄ ´1 4̄ d 4̄ “ 1̄ ñ 4̄ “ 4̄ 4̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 0̄ 0̄ 0̄ 0̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 0̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 2̄ 3̄ 4̄ 0̄ 1̄ 0̄ 2̄ 4̄ 1̄ 3̄ 3̄ 4̄ 0̄ 1̄ 2̄ 0̄ 3̄ 1̄ 4̄ 2̄ 4̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 0̄ 4̄ 3̄ 2̄ 1̄ Version vom 27. Juli 2016 ‘ 68 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie (2) Z{6Z ñ 0̄ neutrales Element der Addition, 1̄ Einselement. ‘ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄ d 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄ 0̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄ 1̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄ 0̄ und 2̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄ 0̄ 1̄ 3̄ 3̄ 4̄ 5̄ 0̄ 1̄ 2̄ 4̄ 4̄ 5̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 5̄ 5̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ Inverse der Addition: z.B.: ´5̄ “ 1̄, denn 5̄ ‘ 1̄ “ 0̄ 0̄ 0̄ 0̄ 0̄ 0̄ 0̄ 0̄ 1̄ 0̄ 1̄ 2̄ 3̄ 4̄ 5̄ 2̄ 0̄ 2̄ 4̄ 0̄ 2̄ 4̄ 3̄ 0̄ 3̄ 0̄ 3̄ 0̄ 3̄ 4̄ 0̄ 4̄ 2̄ 0̄ 4̄ 2̄ 5̄ 0̄ 5̄ 4̄ 3̄ 2̄ 1̄ Inverse der Multiplikation: 1̄´1 “ 1̄, 5̄´1 “ 5̄ Neu: Nullteiler: 3̄ d 2̄ “ 0̄ und 4̄ d 3̄ “ 0̄ ` ˘ Satz 5.18. Z{mZ, d enthält genau dann Nullteiler, wenn m eine zusammengesetzte Zahl ist. Beweis: ”ð”: Sei m “ a ¨ b mit 1 ă a ă m also auch 1 ă b ă m ñ ā d b̄ “ a ¨ b “ m̄ “ 0̄ P Z{mZ ` ˘ ” ñ ”: Umgekehrt: Z{mZ, d enthalte Nullteiler, d.h. D ā, b̄ P Z{mZzt0̄u mit ā d b̄ “ 0̄ ô a ¨ b “ 0̄ ô m | loooomoooon pa ¨ b ´ 0q ô m|a ¨ b a¨b ñ a ” 0 mod 1 ñ 0̄ “ R1 p0q “ Z für alle a P Z und R1 “ Z{1Z “ t0̄u trivialer Fall!!! Ein Ring ohne Nullteiler heißt Integritätsring. Korollar 5.19. Für m ą 1 gilt: Rm “ Z{mZ ist Integritätsring ô m ist Primzahl Gibt es auch Inverse der Multiplikation? Version vom 27. Juli 2016 Da ā ‰ 0̄ ñ m | a ´ 0 ñ m | a Analog m|b Also m | a ¨ b, aber m | a und m|b. Aus dem Primzahlkriterium 3.20 folgt ñ m ist keine Primzahl sondern zusammengesetzte Zahl! (oder m “ 1!!) Fall m “ 1: Für alle a P Z gilt a ¨ 1 “ a ¨ m “ 0 ` a ¨ m 69 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Satz 5.20. ā P Z{mZ hat genau dann ein multiplikativ Inverses (ā´1 exisiert), wenn ggT pa, mq “ 1. Beweis: ā´1 P Z{mZ existiert ô ā´1 “ s̄ mit s P Z, OE : ô s̄ ¨ ā “ 1̄ ô s¨a”1 1ďsăm (mit s̄ P Z{mZ) mod m (mit s P Z) ô s¨a“1`t¨m (mit s, t P Z) ô s¨a´t¨m“1 (mit s, t P Z) ô die lineare diophantische Gleichung s ¨ a ´ t ¨ m “ 1 ist lösbar in Z ô ggT pa, mq | 1 (vgl. Satz 4.17) ô ggT pa, mq “ 1 Korollar 5.21. Seien a, b P N mit ggT pa, bq “ 1. Dann ist die Kongruenz a ¨ x ” 1 mod b lösbar. Ring Ñ Körper??? Wdh. zu Körpern: Q, R, C sind Körper (mit ` und ¨). Was brauchen wir noch, um aus einem Ring einen Körper zu machen? ñ Wir brauchen noch Inverse der Multiplikation: ` ˘ Sei wie zuvor: M, `, ¨ eine kommutativer Ring. Es gelte ferner: (7) Inverses Element der Multiplikation: für alle a P M zt0u gibt es ein Inverses a´1 , so daß: (Wegen der Kommutativität gilt auch a´1 ¨ a “ 1) Ein kommutativer Ring, der auch (7) erfüllt, heißt Körper. Intergriätsring ô Körper?? Klar, ein Körper ist immer auch ein Integritätsring, da er keine Nullteiler außer Null selber haben kann. Umgekehrt ist die Eigenschaft, ein Intergritätsring zu sein, also keine Nullteiler zu haben, eine notwendige Vorraussetzung dafür, ein Körper zu sein. Aber diese Eigenschaft ist nicht hinreichend. Gegenbeispiel: Die Version vom 27. Juli 2016 a ¨ a´1 “ 1 Ð Einselement=neutrales Element der Multiplikation 70 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie ganzen Zahlen Z bilden mit Addition und Multiplikation einen Integritätsring, aber kein Element ‰ 0 oder ˘1 ist invertierbar in Z. Bei den Restklassen modulo m passiert das aber nicht, sobald keine Nullteiler, dann auch sogleich Körper! Das folgt aus der allgemeineren Tatsache, daß Integritätsringe mit endlich vielen Elementen immer auch Körper sind. ` ˘ Satz 5.22. Z{pZ, ‘, d ist genau dann ein Körper, wenn p eine Primzahl ist. Beweis: ”ð”: Sei p Primzahl. ` ˘ Korollar 5.19 ñ Z{pZ, ‘, d ist Integritätsring. Z.z.: (7) jedes von Null verschiedene Element hat ein multiplikativ Inverses! Sei ā P Z{pZzt0̄u, also a P Z, OE: 0 ă a ă p Wir suchen das Inverse: ā´1 Da p Primzahl a|p ñ ñ ggT pa, pq “ 1 ñ Es gibt x, y P Z mit ! x ¨ a ` y ¨ p “ ggT pa, pq “ 1 ô x¨a“1´y¨p ñ x¨a”1 ô x̄ ¨ ā “ 1 ô mod p (in Z{pZ) x̄ “ ā´1 (das gesuchte Inverse) ” ñ ”: Z{pZ sei ein Körper. Z.Z.: p ist Primzahl Satz 5.20: die Zahlen (Repräsentanten der Elemente von Z{mZ) 1, 2, 3, . . . p´1 sind zu p teilerfremd: ggT pa, pq “ 1 @ a “ 1, 2, . . . , p ´ 1 ñ Tp “ t1, pu ñ p ist Primzahl. Bemerkung 5.23. Das Inverse eines Elementes ā P Z{mZ findet man mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus’ bzw. durch Lösen der linearen diophantischen Gleichung: x¨a`y¨m“1 ñ ā´1 “ x̄ Version vom 27. Juli 2016 Z{pZ Körper ñ jedes Element ā ‰ 0̄ hat ein Inverses. 71 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beispiel: Bestimme 7̄´1 P Z{12Z: 7¨x”1 mod 12 ô 7x ` 12y “ 1 12 “ 1 ¨ 7 ` 5 (5 “ 12 ´ 7) 7“1¨5`2 (2 “ 7 ´ 5) 5“2¨2`1 ñ 1“5´2¨2 “ 5 ´ 2 ¨ p7 ´ 5q “ 3 ¨ 5 ´ 2 ¨ 7 “ 3 ¨ p12 ´ 7q ´ 2 ¨ 7 “ 3 ¨ 12 ´ 5 ¨ 7 ô 7 ¨ p´5q “ 1 ´ 3 ¨ 12 ô 7 ¨ p´5q ” 1 ô mod 12 7̄ d p´5q “ 1̄ (in Z{12Z) ñ 7̄´1 “ ´5 “ 7̄ P Z{12Z Klar: 7 ¨ 7 “ 72 “ 49 “ 1 ` 48 “ 1 ` 4 ¨ 12 ” 1 mod 12 Bemerkungen: Version vom 27. Juli 2016 (1) in Z{pZ, mit einer Primzahl p, haben alle Elemente ‰ 0 ein multiplikatives Inverses ñ ā P Z{pZ, ā ‰ 0 dann existiert ā´1 P Z{pZ. (2) in Z{mZ, m beliebig, haben genau die Elemente ā ‰ 0 mit ggT pa, mq “ 1 ein Inverses ā´1 . (vgl. Multiplikationstafel von R6 “ Z{6Z: nur 5 ist zu 6 teilerfremd! ñ nur 5̄´1 “ 5̄ existiert, sogar selbstinvers!) 72 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 5.4. Die Sätze von Euler, Fermat und der Chinesische Restsatz. ˇ ( Eulersche ϕ-Funktion: ϕpmq :“ # x P t1, 2, . . . , mu ˇ ggT px, mq “ 1 loϕp1q omoon “ 1, loϕp2q omoon “ 1, loϕp3q omoon “ 2, loϕp4q omoon “ 2, loϕp5q omoon “ 4, t1u t1u t1,2u t1,3u t1,2,3,4u ϕp10q loϕp6q omoon “ 2, loϕp7q omoon “ 6, loϕp8q omoon “ 4, loϕp9q omoon “ 6, lo omoon “ 4 t1,5u t1,2,3,4,5,6u t1,3,5,7u t1,2,4,5,7,8u t1,3,7,9u ñ Offensichtlich gilt für Primzahlen p: ϕppq “ p ´ 1 (denn t1, 2, . . . , p ´ 1u sind zu p teilerfremd!) ñ ϕpmq hat was mit der Anzahl der invertierbare Elemente in Z{mZ zu tun, was? Klar, ϕpmq ist genau die Anzahl der invertierbaren Elemente in Z{mZ (vgl. Satz 5.20) Satz 5.24 (Eulerscher Satz). Für alle teilerfremden Zahlen a, m P N gilt: aϕpmq ” 1 mod m Das ist äquivalent ausgedrückt: āϕpmq “ 1̄ in Z{mZ Beispiele (1) m “ 7, (also ϕp7q “ 6) ñ für alle a P N mit ggT pa, mq “ 1 gilt a6 ” 1 mod 7 ô 7 | a6 ´ 1 Insbesondere: 7 | lo 26omo ´o1n, “0 7| “63 6 5 omo ´o1n lo 7 | lo 36omo ´o1n , , 7 | lo 46omo ´o1n , “728“7¨104 6 7 | 6 ´ 1, “4095“7¨585 6 7 | 8 ´ 1, . . . “15.624“7¨2232 ñ unendlichviele Teilbarkeitsaussagen! (2) Frage nach dem Rest: z.B. Was ist der Rest von 281 bei der Division durch 5? Umformulierung der Frage: 281 ”? mod 5 ??? Version vom 27. Juli 2016 7 | lo 16omo ´o1n, 73 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Aber ` ˘4 ` ˘ϕp5q 280 “ 24¨20 “ 220 “ 220 Satz 5.24 ” 1 ñ Beweis: Sei m P N mod 5 da ggT p220 , 5q “ 1 281 “ 2 ¨ 280 ” 2 ¨ 1 ” 2 mod 5 ñ nach Definition gibt es genau ϕpmq zu m teilerfremde Zahlen: 1 ď r1 ă r2 ă r3 ă ¨ ¨ ¨ ă rϕpmq ă m Ihre Restklassen: r1 , r2 , . . . , rϕpmq P Z{mZ sind genau die invertierbaren Elemente von Z{mZ. ˇ ˇ 1 ď ˇri ´ rj ˇ ă m Da 1 ď ri ă m ñ für alle i ‰ j gilt: ñ ñ m|ri ´ rj ñ ri ı rj mod m @i ‰ j ñ r1 , r2 , . . . , rϕpmq paarweise verschieden ) ! ˚ r1 , r2 , . . . , rϕpmq “ Rm “ pZ{mZq˚ = Gruppe der invertierbaren Elemente. Sei nun a P N teilerfremd zu m. Dann gilt (1) (2) ari ist teilerfremd zu m für alle i “ 1, . . . , ϕpmq ˚ für alle i ‰ j, ari ‰ arj in Rm (denn sonst würde m die Differenz teilen: m | ari ´ arj “ a pr i ´ rj q looomooon Ò ggT pa,mq“1 Ò m| pri ´rj q ñ ˚ ari P Rm q ñ ñ ˚ in Rm ar1 ¨ ar2 ¨ . . . ¨ arϕpmq “ r1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmq par1 q ¨ par2 q ¨ . . . ¨ parϕpmq q ” r1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmq mod m aϕpmq ¨ pr1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmq q ” pr1 ¨ r2 ¨ . . . ¨ rϕpmq q mod m ñ aϕpmq ” 1 mod m da r1 ¨ . . . ¨ rϕpmq teilerfremd zu m, dürfen wir dadurch teilen, vgl. Korollar 5.10 Version vom 27. Juli 2016 ñ ar1 , ar2 , . . . , arϕpmq sind paarweise verschiedene invertierbare Elemente ˚ von Rm ! ) ! ) ñ ar1 , ar2 , . . . , arϕpmq “ r1 , r2 , . . . , rϕpmq 74 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Satz 5.25 (Kleiner Satz von Fermat). Ist a P N und p eine Primzahl die a nicht teilt (p|a oder ggT pp, aq “ 1), so gilt ap´1 ” 1 mod p Beweis: Direkte Folgerung aus ϕppq “ p ´ 1. Korollar 5.26. Für jede Primzahl p und a P N gilt: ap ” a mod p Beweis: Wenn ggT pa, pq “ 1 ist das eine Folgerung aus dem Kleinen Fermat’schen Satz. Wenn ggT pa, pq ‰ 1, also ggT pa, pq “ p ñ a ” 0 mod p ñp|a und damit auch an ” 0 mod p Also ist in diesem Fall die Aussage trivial! Satz 5.27. Für alle natürlichen Zahlen n P N gilt ř d|n ϕpdq “ n. Beweis Für jeden Teiler d P Tn definiere die Menge Cd :“ t x P t1, 2, . . . , nu | ggT px, nq “ du. Damit gilt: wenn x P t1, . . . , nu, dann x P Cd mit d :“ ggT px, nq,. D.h. jedes x P t1, . . . , nu ist eindeutig in einem Cd enthalten. ď Cd “ t1, 2, 3, . . . , nu d|n Zahlenbeispiel: n “ 12 “ 22 ¨ 3, dann T12 “ t1, 2, 3, 4, 6, 12u und ϕp12q “ 4 C2 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 2u “ t2, 10 “ 2 ¨ 5u ϕp 12 “ 6q “ 2 2 C3 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 3u “ t3, 9u ϕp 12 “ 4q “ 2 3 C4 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 4u “ t4, 8 “ 2 ¨ 4u ϕp 12 “ 3q “ 3 ´ 1 “ 2 4 C6 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 6u “ t6u “ 2q “ 2 ´ 1 “ 1 ϕp 12 6 C12 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 12u “ t12u Sicherlich sind die Mengen Cd für verschiedene Teiler d von n disjunkt: ď ¨ Cd “ t1, 2, 3, . . . , nu d|n ϕp1q “ 1 Version vom 27. Juli 2016 C1 “ t1 ď x ď 12 | ggT px, 12q “ 1u “ t1, 5, 7, 11u 75 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Ausserdem gilt #Cd “ #t x P t1, 2, . . . , nu | ggT px, nq “ du (somit d | x bzw. x “ d ¨ y) n “ #t y P t1, 2, . . . , u | looooooooomooooooooon ggT pd ¨ y, nq “ du (da d | n) d q“1 ggT py, n d “ϕ ´n¯ d Schließlich folgt: ď ÿ ÿ ´n¯ n “ #t1, 2, 3, . . . , nu “ # ¨ Cd “ #Cd “ ϕ d d|n d|n d|n ÿ “ ϕpdq Ò d|n durch Umsummieren Satz 5.28. Für jede Primzahl p und jedes n P N gilt: ˆ ˙ 1 n n ϕ pp q “ p ¨ 1 ´ “ pn´1 ¨ pp ´ 1q p Beweis Nach Satz 5.27 gilt ÿ pn “ ϕpdq “ ϕp1q ` ϕppq ` ϕpp2 q ` ¨ ¨ ¨ ` ϕppn q d | pn pn´1 “ ϕp1q ` ϕppq ` ϕpp2 q ` ¨ ¨ ¨ ` ϕppn´1 q pn ´ pn´1 “ ϕppn q Version vom 27. Juli 2016 ñ 76 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Handbuch der Arithmetik des Chinesen Sun-Tzu, vor ca. 2000 Jahren: Es soll eine Anzahl von Dingen gezählt werden. Zählt man sie zu je drei, dann bleiben zwei übrig. Zählt man sie zu je fünf, dann bleiben drei übrig. Zählt man sie zu je sieben, dann bleiben zwei übrig. Wie viele sind es?? Was ist gemeint? x”2 mod 3 x”3 mod 5 x”2 mod 7 Zur Lösung: x”2 mod 3 ñ x P t. . . , ´1, 2, 5, 8, . . .u x”3 mod 5 ñ x P t. . . , ´2, 3, 8, 13 . . .u x”2 mod 7 ñ x P t. . . , ´5, 2, 9, 16, . . .u Satz 5.29 (Chinesischer Restsatz). Seien m1 , m2 , . . . , mk paarweise teilerfremde natürliche Zahlen und a1 , a2 , . . . , ak P Z. Das System linearer Kongruenzen: x ” a1 mod m1 .. . x ” ak mod mk Beweis (der Beweis ist konstruktiv!) Lösbarkeit: Setze: m :“ m1 ¨ m2 ¨ ¨ ¨ mk m _ qi :“ “ m1 ¨ ¨ ¨ mi ¨ ¨ ¨ mk mi mi paarweise teilerfremd ñ ggT pmi , qi q “ 1 ô q¯i P Z{mi Z invertierbar Version vom 27. Juli 2016 ist lösbar. Alle Lösungen sind kongruent modulo m :“ m1 ¨ m2 ¨ ¨ ¨ mk , d.h. die Restklasse x̄ der Lösung x ist in Z{mZ eindeutig. 77 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie ñ qi ¨ z ” 1 mod mi ist lösbar (vgl. Korollar 5.21) 1 1 Sei qi eine Lösung, d.h. qi ist eine Repräsentant von q¯i ´1 P Z{mi Z qi ¨ qi1 ” 1 mod mi für i “ 1, 2, . . . , k Sei x :“ a1 ¨ q1 ¨ q11 ` a2 ¨ q2 ¨ q21 ` ¨ ¨ ¨ ` ak ¨ qk ¨ qk1 Modulo mi gilt: x “ a1 ¨ q1 ¨ q11 ` a2 ¨ q2 ¨ q21 ` ¨ ¨ ¨ ` ai ¨ qi ¨ qi1 ` ¨ ¨ ¨ ` ak ¨ qk ¨ qk1 | mi | mi ” ai ¨ qi ¨ qi1 Ò ggT pqi ,mi q“1 | mi mod mi da qi ¨ qi1 ” 1 ” ai Das geht für alle i “ 1, . . . , k, damit ist x eine Lösung. Eindeutigkeit: Sei y eine weitere Lösung: ñ ñ x ” ai mod mi x”y mod mi und y ” ai mod mi (für i=1,. . . ,k) (für i=1,. . . ,k) ñ mi | px ´ yq (für i=1,. . . ,k) ñ m | px ´ yq da die mi paarweise teilerfremd ñ x”y ô x̄ “ ȳ mod m in Z{mZ x”1 mod 3 (i=1) x”3 mod 7 (i=2) x”5 mod 11 (i=3) ñ m “ 3 ¨ 7 ¨ 11 “ 231 ñ q1 “ 3 ¨ 7 ¨ 11 “ 77, _ _ q2 “ 3 ¨ 7 ¨ 11 “ 33, q3 “ 3 ¨ 7 “ 21 Version vom 27. Juli 2016 Beispiel: Sei 78 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Finde Repräsentanten qi1 von q¯i ´1 (modulo mi ): i “ 1 : in Z{3Z : q¯1 “ 77 “ 3 ¨ 25 ` 2 “ 2̄, selbstinvers ñ q11 “ 2 i “ 2 : in Z{7Z : q¯2 “ 33 “ 7 ¨ 4 ` 5 “ 5̄, 5̄ ¨ 3̄ “ 15 “ 1̄ ñ q21 “ 3 i “ 3 : in Z{11Z : 10 ¨ 10 “ 99 ` 1 “ 1̄ ñ q31 “ 10 q¯3 “ 21 “ 10, x “ a1 ¨ q1 ¨ q11 ` ¨ ¨ ¨ “ 1 ¨ 77, nicht 2 Ó 77 ¨2 ` 3 ¨ 33 ¨ 3 ` 5 ¨ 21 ¨ 10 “ 1501 “ 6 ¨ 231 ` 115 (in der Formel sind die qi ’s nicht unabhängig vom Repräsentanten, denn es wird benutzt, daß z. B. m2 “ 7 die Zahl q1 “ 77 teilt, aber 7|2! ) ñ Probe: x̄ “ 115 in R231 “ Rm “ Z{231Z 115 “ 38 ¨ 3 ` 1 ” 1 mod 3 X 115 “ 16 ¨ 7 ` 3 ” 3 mod 7 X 115 “ 10 ¨ 11 ` 5 ” 5 mod 11 X Zurück zur Euler-ϕ-Funktion: Satz 5.30. Für teilerfremde Zahlen n und m gilt: ϕpmq ¨ ϕpnq “ ϕpm ¨ nq (1) (2) (3) (4) Merkur und Venus, Merkur und Erde, Venus und Erde Merkur, Venus und Erde irgendwann gleichzeitig auf dem Radius R befinden? Wenn ja, wann ist das? Vgl. Geogebra: Bahnschleifen Zur Lösung dieses Problems: Merkur befindet sich immer nach 15 ` nM ¨ 88 Tagen auf R, endsprechend befindet sich Venus immer nach 43 ` nV ¨ 225 und die Erde nach 100 ` nE ¨ Version vom 27. Juli 2016 Beweis: Noch ohne Beweis, bei Beweis wird der Chinesische Restsatz benutzt! Beispiel aus der Astronomie Die drei inneren Planeten unseres Sonnensystems: Merkur, Venus und Erde haben Umlaufzeiten von (gerundet) 88, 225 und 365 Tagen um die Sonne. Angenommen, ein Bahnradius R wird von Merkur in 15, von der Venus in 43 und von der Erde in 100 Tagen erreicht. Kann es sein, daß sich 79 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 356 Tagen auf R. Also müsen zur Lösung von (1)-(4) Systeme von Linearen Kongruenzen gelöst werden: (1) (2) (3) (4) Merkur und Venus: x ” 15 mod 88 und x ” 43 mod 225 Merkur und Erde: x ” 15 mod 88 und x ” 100 mod 365 Venus und Erde: x ” 43 mod 225 und x ” 100 mod 365 Merkur, Venus und Erde: x ” 15 mod 88, x ” 43 mod 225 und x ” 100 mod 365 Da 88 “ 23 ¨ 11, 225 “ 32 ¨ 552 und 365 paarweise teilerfremd. Zu (1): und 365 “ 5 ¨ 73 sind die Moduln 88, 225 x ” 15 mod 88 (i=1) x ” 43 mod 225 (i=2) ñ m “ 88 ¨ 225 “ 19800 ñ q1 “ 88 ¨ 225 “ 225, _ _ q2 “ 88 ¨ 225 “ 88, Repräsentanten qi1 von q¯i ´1 (modulo mi )? 9 ¨ 225 ´ 23 ¨ 88 “ 1 i “ 1 : in Z{88Z : q¯1 “ 225, 9 ¨ 225 “ 1 ñ q11 “ 9 i “ 2 : in Z{225Z : q¯2 “ 88, 202 ¨ 88 “ 1̄ ñ q21 “ 202 x “ a1 ¨ q1 ¨ q11 ` ¨ ¨ ¨ “ 15 ¨ 225 ¨ 9 ` 43 ¨ 88 ¨ 202 “ 794 743 “ 40 ¨ 19800 ` 2743 Probe: 2743 “ 31 ¨ 88 ` 15 Also in 2743 Tagen (« 7, 5 Jahre) sind Merkur und Venus auf einem Bahnradius! 6. Stellenwertsysteme 6.1. Verschiedene Stellenwertsysteme. Sumerer im 3ten Jt v.Chr., Baylon im 2ten Jt. v.Chr., Sexagesimalsystem: Stellenwertsystem (Positionssystem) mit Basis 60, die Zahlensymbole in Keilschrift: Version vom 27. Juli 2016 2743 “ 12 ¨ 225 ` 43 80 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 0 1 5 10 20 Bemerkenswert und innovativ: ein Zeichen für Null! (seit Ptolemaius 150 n.Chr.) Das sexagesimale Postionssystem war außerordentlich leistungsfähig und allen späteren Zahlensystemen der Antike überlegen. Daher wurde es u.a. von den griechisch-hellenistischen Mathematikern dort verwendet, wo viele ausgiebige Rechnungen durchgeführt werden mussten, insbesondere in der Astronomie [Wußing, 6000 Jahre Mathematik, Eine kulturgeschichtliche Zeitreise, Berlin/Heidelberg, (2008), p. 130] Die babylonische Schreibweise hatte auch Nachteile. Daß man zwischen 1 und 60 in der Schreibweise keinen Unterschied machen kann, ist für den täglichen Gebrauch nicht allzu schlimm, weil die Grössenordnung meistens sowieso bekannt ist (wir wissen ja auch, wenn im Schaufenster die Zahl 30 auf einer Bluse steht, dass es sich nicht um 30 Pfennig handelt); aber bei rein theoretischen Aufgaben kann es doch unangenehm sein. Noch unangenehmer ist es, wenn man in der Schreibweise zwischen 1, 0, 30 und 1,30 nicht unterscheiden konnte, weil die Null nicht existierte. Um diese Schwierigkeit zu beheben, hat man später ein eigenes Zeichen für den leeren Platz zwischen zwei Ziffern eingeführt, zum Beispiel: ⏟ ⏟ 33 30 → 33∙60 + 30 = 2010 Der Griechische Astronom Ptolemaios (150 n. Chr.), der immer sexagesimal rechnete, braucht das Zeichen 0 für Null, auch am Ende einer Zahl. Das gab dem sexagesimalen Postionssystem den letzten Schliff: dadurch wurde es fast gleichwertig mit unserem dezimalen Positionssystem. Ptolemaios schreibt zwar die ganzen Zahlen dezimal und nur die Brüche sexagesimal, aber das spielt keine große Rolle, da er fast nie große ganze Zahlen braucht. Die starke Überlegenheit der sexagesimalen Bruchrechnung war der Grund, dass die Astronomen Version vom 27. Juli 2016 = 1, 0, 4 (60- iger Syst.)= 3604 (10-er Syst.) . 81 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie immer mit Sexagesimalbrüchen rechneten: daher stammen auch unsere Minuten und Sekunden. [van der Waerden, Erwachende Wissenschaft II, p. 62-63] 02 ; 10 ; 0 ; 5 10 33 ;20 20 Zahlenbeispiele: 2 ; 0 ; 15 ⏟ ⏟ 33 30 2 ; →0 ;33∙60 0 ; + 30 = 2010 33 33 2 ; ; 0 ; ; 20 32 15 ; 0 ;0 ; ; 20 . . .2haben babylonische33Einflüsse mit Langzeitwirkung auf Kulturtraditionen Europas gewirkt. Etliche unserer Maßeinheiten zur Messung der Zeit u.ä. leiten ; Positionssystem 32 sich vom33 babylonischen ab: 2 ; 0 ; 15 ‚ Sexagesimale Zeitmaße: Die Sexagesimal-Zählung strukturiert die Einteilung das Tagesrhythmus in kleinere Zeiteinheiten: Tag + Nacht (24 “ 2 ˆ 6 bzw. 2 ˆ 12 Stunden), 1 Stunde (60 “ 6 ˆ 10 Minuten), 1 Minute 33 ; 32 (60 “ ˆ10 Sekunden). ‚ Sexagesimale Bogen und Winkelmaße: z.B. Gradeinteilung (360˝ “ 6 ˆ 60 Gradeinheiten). Vigesimalsystem: Zahlsystem mit Basis 20, in der Sprache enthalten z.B. in Asien (Chepang, Ainu, Tschuktschisch), Ozeanien (Drehu, Daga, MangapMbula), Amerika (Zoque, Yukatekisch, Warao, Caribe), Afrika (Igbo, Yoruba, Kana, und die Niger-Kongo-Sprache Diola-Fogny). Duales- bzw. Binäres System: Computer! Dezimalsysteme: Zum erstem mal in Indien im 6. Jhd. n. Chr. nachgewiesen. Auch in Mittelamerika (Bibri, Nahuatl) Version vom 27. Juli 2016 [H. Haarmann, Weltgeschichte der Zahlen, C.H.Beck-Wissen (2008), auch für weiteres:] Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 82 8 Jhd. n. Chr.:dezimales System + arabische Ziffern wurde nach Europa eingeführt, es dauerte aber noch einige Jahrhunderte, bi es sich in Europa durchsetzte. Einen wichtige Beitrag dazu lieferte Adam Ries (1492-1559) mit seinen Rechenbüchern. Vigesimal-dezimales Mischsystem In vielen Sprachen, deren Zahlwortsysteme Vigesimal- und Dezimalsystem erkennen lassen, z.B. in Französischen: im Bereich 80 ´ 99 gilt die 20-er Ordung, z.B. quatre-vingt-dix-huit: 4 ˆ 20 ` 10 ` 8 “ 98 . Version vom 27. Juli 2016 Fünfer-Zwanziger Mischsystem Mittelamerika: Aztekisch: Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 83 6.2. Prinzip des Stellenwertsystems. Stellenwertsystem der Basis b: ‚ b Symbole/Ziffern nötig ‚ Wert einer Ziffer gibt Anzahl der Bündel der betreffenden Mächtigkeit an. ‚ Stellung/Position der Ziffer gibt an, um welche Mächtigkeit es sich handelt. Beispiel: Analyse des Dezimalsystems: ‚ Zehn Ziffern: 0, 1, 2, . . . , 9 ‚ Mächtigkeiten: Zehnerpotenzen 10n ‚ Wert einer Ziffer gibt Anzahl der Bündel der betreffenden Mächtigkeit an. ‚ Stellung/Position der Ziffer gibt an, um welche Mächtigkeit es sich handelt. Beispiele (1) 51037 “ 5 ¨ 104 ` 1 ¨ 103 ` 0 ¨ 102 ` 3 ¨ 101 ` 7 ¨ 100 (2) 5555 hier bedeutet die Ziffer 5 je nach Position Einer, Zehner, Hunderter oder Tausender! Hat man das Prinzip verstanden, so läßt es sich leicht auf andere Basen übertragen: Basis 2: Dezimalsystem Dualsystem Algorithmus: suche größte 2er-Potenz, die ď 25, hier: 16 “ 24 ă 25 ă 32 “ 25 . da 25 “ 1 ¨ 16 ` 9 mache nun mit 9 so weiter: 9 “ 8 ` 1 “ 23 ` 1. etc. Beachte: im Dualsystem gibt es nur die Ziffern 0 und 1! Allgemein: ‚ Ist die Basis b ă 10 ñ die Ziffern 0, 1, . . . , b ´ 1 reichen für die Darstellung der Zahlen aus. Natürlich können auch neue Ziffern erfunden werden. Version vom 27. Juli 2016 Ì 2510 “ 1 ¨ 24 ` 1 ¨ 23 ` 0 ¨ 22 ` 0 ¨ 21 ` 1 ¨ 20 “ 11001Ì 2 84 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie ‚ Ist die Basis b ą 10, so brauchen wir neue Symbole, z.B.: im Duodezimalsystem ô Basis b “ 12, setzte z :“ 10 und e “ 11: Ì “ 11 ¨ 124 ` 4 ¨ 123 ` 10 ¨ 122 ` 0 ¨ 121 ` 11 ¨ 120 e 4 z 0 e 12 | | | | | 4 3 2 1 0 “ 11 ¨ 124 ` 4 ¨ 123 ` 10 ¨ 122 ` 11 “ Ì “ 236459 “ 23645910 Ohne die neuen Ziffern z und e ließe sich die Zahl nicht eindeutig schreiben: besser Ì Ì “ 11 4 12 0 1112 “ p11q 4 p12q 0 p11q e 4 z 0 e12 Die Zahl 25 im Duodezimalsystem: Ì 25 “ 2 ¨ 12 ` 1 “ 2112 Fragen: ‚ Warum findet man sehr häufig auf der Welt das Dezimalsystem? Schon immer haben Menschen ihr Zehn Finger als ”Taschenrechner” benutzt. ‚ Kann man jede natürliche Zahl als Basis für ein Stellenwertsystem benutzen? Ja, vgl. nächsten Satz. Satz 6.1. Sei b P Nzt1u. Jede Zahl a P N läßt sich eindeutig in der Form a “ kn bn ` kn´1 bn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` k1 b ` k0 mit ki P N0 , kn ‰ 0 und 0 ď ki ă b für i “ 0, 1, . . . , n darstellen. a “ q0 ¨ b ` k0 , 0 ď k0 ă b, q0 P N q0 “ q1 ¨ b ` k1 , 0 ď k1 ă b, q1 P N q1 “ q2 ¨ b ` k2 .. . .. .. . . ñ a ą q 0 ą q1 ą q2 ¨ ¨ ¨ ą 0 ñ der Algorithmus muss abbrechen, d.h. es gibt ein n P N mit qn “ 0. Version vom 27. Juli 2016 Beweis Eindeutigkeit der Division mit Rest impliziert: 85 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Die letzten Schritte lauten somit: qn´2 “ qn´1 ¨ b ` kn´1 , 0 ď kn´1 ă b, qn´1 P N qn´1 “ qn ¨ b ` kn “ kn || 0 Sukzessives Einsetzen: a “ q0 ¨ b ` k0 “ pq1 ¨ b ` k1 q ¨ b ` k0 “ q1 b2 ` k1 b ` k0 “ pq2 b ` k2 qb2 ` k1 b ` k0 “ q2 b3 ` k2 b2 ` k1 ` k0 .. . “ qn´1 bn ` kn´1 bn´1 ` ¨ ¨ ¨ ` k1 b ` k0 || kn Warum Stellenwertsysteme behandeln? ‚ Unterscheidung Zahl und Zahlwort wird thematisiert. Z.B. Bedeutung vermeindlich besonderer Zahlen (z.B. Geburtstage) wird relativiert: ‚ Computer arbeiten im Dualsystem: Basis 2 ‚ Verständnis des Babylonischen Sexagezimalsystems und der daraus abgeleiteten Zeit- und Winkelmaße. ‚ Das Verständnis des Stellenwertsystems fördert auch das Verständnis von Dezimalbrüchen und Teilbarkeitsregeln. ‚ Polynome mit Koeffizienten aus N. 6.3. Zahlen in verschiedenen Zahlsystemen. Vorgänger und Nachfolger: Beispiel: Basis 3: N “ Neuner, D “ Dreier, E “ Einser Version vom 27. Juli 2016 Ì Ì 20 “ 2010 “ 2 ¨ 9 ` 2 “ 22Ì 9 “ 1 ¨ 11 ` 9 “ 1911 86 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Nachfolger: d.h. N D E N D E ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ÝÑ ˆ ˆ ˆ ˆ `1 ˆ 2 1 2 2 1 2`1 Umbündeln « N D E ˆ ˆ ˆ ˆ 2 2 0 Ì 212Ì 3 hat den Nachfolger 220 3 Vorgänger: N D E N D E ist keine ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ hier ÝÑ Umbündelung nötig. ˆ ˆ ´1 ˆ 2 1 2 2 1 1 Aber beim folgenden Beispiel: Vorgänger mit : Umbündelung N D E ˆ ˆ ˆ 2 1 0 Umbündeln « N D ˆ ˆ 2 0 E N D E ˆ ˆ ˆ ˆ ÝÑ ´1 ˆ ˆ ˆ 2 0 2 2`1 Basis 2: 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, ... Basis 3: 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, 101,. . . Basis 4: 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22,. . . Basis 5: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20,. . . Basis 10: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,. . . Folgerung: Man muß zwischen einer Zahl und ihrem Zahlwort bzw. Zahlzeichen unterscheiden. Z.B. Anzahl der Finger einer Hand ist Fünf als Zahlwort und hat viele Zahlzeichen, beispielsweise: Ì 510 “ 10Ì5 “ 11Ì4 “ 12Ì3 “ 101Ì2 Wie übersetzt man die Zahlzeichen eines Systems in ein anderes? Dezimalsystem ñ b-System: Division mit Rest b. Version vom 27. Juli 2016 Durch fortgesetzte Nachfolgerbildung, beginnend mit der Zahl 1, erhält man die Zählreihen bezüglich beliebiger Basen: 87 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beispiel b “ 12: (TR: 8924 ˜ R 12 = ) Ì 8924 “ 892410 “ 743 ¨ 12 ` 8 k0 “ 8 743 “ 61 ¨ 12 ` 11 k1 “ 11 “ e 61 “ 5 ¨ 12 ` 1 k2 “ 1 5 “ 0 ¨ 12 ` 5 k3 “ 5 ó Algorithmus bricht ab 61 ` hkkkkikkkkj ˘ ñ 8924 “ p5 ¨ 12 ` 1q ¨ 12 ` 11 ¨ 12 ` 8 “ 5 ¨ 123 ` 1 ¨ 122 ` 11 ¨ 12 ` 8 Ì “ 5 1 p11q 812 “ 51e8 Alternativ die intuitive Methode: Suche größte 12-er Potenz kleiner-gleich 8924 durch ausprobieren: 123 “ 1728 ă 8924 ă 20736 “ 124 8924 “ 5 ¨ 123 ` 284 8924 ˜ 123 “ 5, . . . ñ 8924 ´ 5 ¨ 123 “ 284 284 “ 1 ¨ 122 ` 140 284 ˜ 122 “ 1, . . . etc. 140 “ 11 ¨ 12 ` 8 8 “ 8 ¨ 120 “ 8 ¨ 1 b-System ñ Dezimalsystem (an Polynome denken) 6.4. Rechnen in anderen Zahlsystemen. Addition: Dazu ist eine Additionstabelle der Zahlen 0 bis b ´ 1 hilfreich. Vergleich mit Addition im Dezimalsystem: Version vom 27. Juli 2016 3 2 1 0 Ì 3714Ì 8 “ 3 ¨ 8 ` 7 ¨ 8 ` 1 ¨ 8 ` 4 ¨ 8 “ 199610 88 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 9128 e ` 1072 “ ? “ 9 ¨ 103 `1 ¨ 102 `2 ¨ 10 `8 ¨ 100 `1 ¨ 103 `0 ¨ 102 `7 ¨ 101 `2 ¨ 100 spaltenweise addieren “ 10 ¨ 103 `1 ¨ 103 `9 ¨ 10i 1 `10 ¨ 100 umbündeln `10 ¨ 101 `1¨104 `1¨101 “ 1 ¨ 104 `0 ¨ 103 `1 ¨ 10h 2 “ 1 ¨ 104 `0 ¨ 103 `2 ¨ 102 `0 ¨ 101 `0 ¨ 100 “1 0 2 0 0 Basis 4: `1¨103 Ì 232Ì 4 ` 223 4 “? ‘4 `0 ¨ 100 umbündeln 0 1 2 3 0 1 2 3 Additionstabelle: 7. Dezimalbrüche 7.1. Gemeine Brüche und Dezimalbrüche. Bezeichungen: 7 8 gemeiner Bruch 0,875 Dezimalbruch (1) Rechnen mit Verhältnissen. (2) Bekannt aus dem Sprachgebrauch: Ein Viertel Pfund ..., ein halbes Kilo..., Halb/ Viertel-Finale, dreiviertel 2 Uhr, etc.. (3) Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten, (4) Äquivalentsumformungen, Algebra, Einfache Rechenoperationen bei Multiplikation und Division, Ableitungen! (5) (Anschauliche) Grundlage für Dezimalbrüche. Vorteile der Dezimalbrüche: Version vom 27. Juli 2016 Vorteile gemeiner Brüche: Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 89 Version vom 27. Juli 2016 (1) Starke Verbreitung im täglichen Leben, z.B. im Umgang mit Geld. (2) Enger Zusammenhang der Schreibweise mit den ganzen Zahlen. (3) Einfache Rechenoperationen bei Addition, Subtraktion und Größenvergleich. (4) Eindeutigkeit der Schreibweise: 7 35 0,875 “ “ “ ... 8 40 Problem: 0,88 ‰ 0,875 (5) Einfache Schreibweise bei gewöhnlicher Textverarbeitung. 90 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Umformung gemeiner Brüche in Dezimalbrüche: Brüche mit Zehnerpotenz im Nenner: 3 “ 0,3 ; 10 Divisionsalgorithmus: 53 “ 0,53 100 5 ˜ 11 “ 0, 4 5 4 5 . . . “ 0,45 50 44 6 0 5 5 5 0 4 4 6 0 5 5 .. . 5 ˜ 8 “ 0, 6 2 5 50 48 20 16 40 40 0 5 ñ “ 0,625 8 5 ñ “ 0,45 11 Stellenwerttafeln: E=Einer, z=Zehntel, h=Hundertstel, etc. Hintergrund: Division E 5 “ z 50 “ 10 ¨ 5 “ h 20 “ 10 ¨ 2 “ t 40 “ 10 ¨ 4 “ mit Rest 0 ¨ 8 6 ¨ 8 2 ¨ 8 5 ¨ 8 Ò In der grauen Spalte kann man die ` ` ` ` 5 2 4 0 Dezimalbruchentwicklung ablesen. Version vom 27. Juli 2016 E z h t E z h t 5 ˜ 8 “ 0 6 2 5 5 0 4 8 2 0 1 6 4 0 4 0 0 91 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Weitere Verallgemeinerung dieser Rechnung m n sei ein vollständig gekürzter (also ggT pm, nq “ 1) echter (also 1 ď m ă n) Bruch. Wiederholte Division mit Rest: E z h t m 10 ¨ r0 10 ¨ r1 10 ¨ r2 r0 r1 r2 r3 0 ď r0 “ m ă n 0 ď r1 ă n 0 ď r2 ă n 0 ď r3 ă n qk ¨ n ` rk Ò 0 ď qi ă 10 für alle i. 0 ď rk ă n “ “ “ “ .. . 0 q1 q2 q3 n n n n ¨ ¨ ¨ ¨ ` ` ` ` 10 ¨ rk´1 “ Behauptung: Beweis: Annahme qi ě 10 für ein i 10 ¨ ri´1 “ qi ¨ n ` ri ô 0 “ qi ¨ n ´ 10 ¨ ri´1 ` ri ô 0 ě 10 ¨ n ´ 10 ¨ ri´1 ` ri (weil qi ¨ n ě 10 ¨ n) “ 10 ¨ pn ´ ri´1 q ` loomo ri on ą 0 loooomoooon ą0 ě0 m “ 0 ¨ n ` r0 q1 “0¨n` ¨n` 10 q1 ¨n` “0¨n` 10 .. . “0¨n` r1 10 q2 r2 ¨ n ` 102 102 (r0 “ q1 10 ¨n` r1 ) 10 (r1 “ q2 10 ¨n` r2 ) 10 (r2 “ q3 10 ¨n` r3 ) 10 q2 q3 qk rk q1 ¨ n ` 2 ¨ n ` 3 ¨ n ` ¨¨¨ ` k ¨ n ` k 10 10 10 10 10 ô m q1 q2 q3 qk rk “ ` 2 ` 3 ` ¨¨¨ ` k ` k n 10 10 10 10 10 ¨ n ! “ 0,q1 q2 q3 ¨ ¨ ¨ qk ¨ ¨ ¨ Wegen der Eindeutigkeit der Division mit Rest, ist diese Schreibweise bzw. dieser Dezimalbruch ebenfalls eindeutig! Version vom 27. Juli 2016 Dezimalbruchentwicklung: 92 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Die Dezimalbruchentwicklung des echten, vollständig gekürzten Bruches heißt m n ‚ endlich, wenn qi “ 0 für alle i ě i0 für ein i0 P N. ‚ periodisch, wenn es p und i0 P N gibt, so daß für alle i ě i0 gilt: qi`p “ qi . Wenn dabei i0 “ 1 ñ reinperiodische Dezimalbruchentwicklung Wenn dabei i0 ą 1 ñ gemischtperiodische Dezimalbruchentwicklung Im Folgenden entwickeln wir Kriterien dafür, das Dezimalbruchzerlegungen endlich, reinperiodisch oder gemischtperiodisch sind. Satz 7.1. Der vollständig gekürzte, echte Bruch liche Dezimalbruchentwicklung, wenn m n hat genau dann eine end- n “ 2a ¨ 5b In diesem Fall hat die Dezimalbruchentwicklung genau s “ maxpa, bq Stellen. m n Kurz: Beweis: ”ð”: endlich ô n hat nur Primfaktoren aus t2, 5u “:z hkkkkkkkikkkkkkkj m m 2s´a ¨ 5s´b ¨ m z 2s´a ¨ 5s´b ¨ m “ a b “ s´a s´b a b “ “ n 2 ¨5 2 ¨5 ¨2 ¨5 2s ¨ 5s 10s z Da z P N, hat 10s eine endliche Dezimalbruchentwicklung. Diese hat genau s “ Exponent von 10s Dezimalstellen, denn nach Vorraussetzung und Konstruktion gilt entweder: s ´ a “ 0 oder s ´ b “ 0 und somit 10|z. ” ñ ”: m habe eine endliche Dezimalbruchentwicklung der Länge s: n ñ 0 ,q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs 0 ď qi ă 10 , qs ‰ 0 Ò da măn Version vom 27. Juli 2016 m “ n m ¨ 10s s s´1 “ q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs “ qloooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooon ` ¨ ¨ ¨ ` qs´1 ¨ 10 ` qs 1 ¨ 10 ` q2 10 n PN da ggT pm, nq “ 1) ñ s und 10n¨m P N n | 10s 93 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beispiel: 1 1 “ 10 1024 2 “ 0,0009765625 1 1 “ 3 125 5 “ 0,008 endlicher Dezimalbr. mit 10 Stellen endlicher Dezimalbr. mit 3 Stellen 37 37 “ 3 “ 0,296 125 5 Bemerkung Die Aussage: hat endliche Dezimalbruchentwicklung. ô Der Nenner hat nur Primfaktoren aus t2, 5u. gilt auch für ungekürzte Brüche. Allerdings kann man dann aus n “ 2a 5b nicht die Anzahl der Dezimalstellen ablesen. Satz 7.2. Sei m ein vollständig gekürzter, echter Bruch. Die Dezimalbruchn m entwicklung von n ist genau dann reinperiodisch, wenn ggT pn, 10q “ 1. Beweis: Wiederholte Division führt: m “ 0 ¨ 10 ¨ r0 “ q1 ¨ 10 ¨ r1 “ q2 ¨ .. . mit Rest, die wie oben zur Dezimalbruchentwicklung n ` r0 n ` r1 n ` r2 0 ď r0 “ m ă n 0 ď r1 ă n 0 ď r2 ă n 10 ¨ rk´1 “ qk ¨ n ` rk Annahme: m nicht endlich! n 0 ď rk ă n Kann es dann sein, daß ri0 “ 0 für einen Index i0 ? Wäre ri0 “ 0, so folgte : 10 ¨ ri0 ´1 “ qi0 ¨ n ` loormo i0 on “0 10 ¨ 0 “ 10 ¨ ri0 “ qi0 `1 ¨ n ` ri0 `1 “ 0 ¨ n ` 0 ñ qi0 `1 “ 0 Version vom 27. Juli 2016 m n dito 94 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie damit sind alle folgenden Schritte auch “ 0 und die Dezimalbruchentwicklung ist endlich! Also gilt: 0 ă ri ă n @ i Also, m.a.W.: ri P t1, 2, . . . , n´1u @i, also gibt es nur endlich viele Möglichkeiten. ñ irgendwann muss eine Zahl ein zweites Mal vorkommen: z.B.: ri0 “ rp`i0 für Indices 1 ď i0 , p Dabei sei i0 der kleinste Index mit dieser Eigenschaft! ~ Dann sieht der Algorithmus folgendermaßen aus: .. . 10 ¨ ri0 ´1 “ qi0 ¨ n ` ri0 10 ¨ ri0 “ .. . qi0 `1 ¨ n ` ri0 `1 10 ¨ rp`i0 ´1 “ qp`i0 ¨ n ` rp`i0 p˚q “ qp`i0 ¨ n ` ri0 p˚˚q 10 ¨ ri0 “ qp`i0 `1 ¨ n ` rp`i0 `1 “ qi0 `1 ¨ n ` ri0 `1 Ò qi0 `1 Ò ri0 `1 .. . Nach p Schritten wiederholt sich also alles! Insbesondere wiederholen sich auch die qi1 s: qp`i0 `1 “ qi0 `1 qp`i0 `2 “ qi0 `2 . . . etc. Es bleibt z.z.: Dezimalbruchzerlegung rein periodisch ô ggT pn, 10q “ 1 2 ð2 : Dazu betrachte die Differenz der Gleichungen (*) und (**): 10 ¨ pri0 ´1 ´ rp`i0 ´1 q “ pqi0 ´ qp`i0 q ¨ n ` loooomoooon ri0 ´ rp`i0 “0 aus: ggT pn, 10q “ 1 mit: 0 ă ri0 ´1 , rp`i0 ´1 ă n ñ n | pri0 ´1 ´ rp`i0 ´1 q ñ ri0 ´1 ´ rp`i0 ´1 “ 0 ô ri0 ´1 “ rp`i0 ´1 Nach Voraussetzung ~ war aber i0 der kleinste Index, der sich wiederholt. Also muss i0 “ 0 gelten und schon der erste Rest (und alle folgenden) wiederholt sich, m.a.W.: die Dezimalbruchenrwicklung ist reinperiodisch! Version vom 27. Juli 2016 n | 10 ¨ pri0 ´1 ´ rp`i0 ´1 q ñ 95 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie ” ñ ”: Sei m n reinperiodisch: m “ 0,q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs n m ¨ 10s “ qloooomoooon 1 q2 ¨ ¨ ¨ qs ,q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs n | ´z “:z m ! m ¨ 10s ´ z “ 0,q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs “ n´ n ¯ m ¨ 10s ´ 1 “ z n ´ ¯ ô m ¨ 10s ´ 1 “ z ¨ n ´ ¯ s ñ n | m ¨ 10 ´ 1 ´ ¯ weil ggT pm, nq “ 1 ñ n | 10s ´ 1 ô (*) 10s ´ 1 ist ungerade ñ 2|10s ´ 1 ebenfalls gilt sicherlich auch: 5|10s ´ 1 ñ ggT p10s ´ 1, 10q “ 1 p˚q ñ ggT pn, 10q “ 1 Bemerkung 7.3. Sobald die ri ’s sich im Algorithmus wiederholen, endet die, bzw. beginnt eine neue Periode, die qi ’s können sich natürlich zuvor schon wiederholen. Beispiele: “ 0,3 denn: 101 ´ 1 “ 9 “ 3 ¨ 3 Periodenlänge 1 1 333 “ 0,003 denn: 103 ´ 1 “ 999 “ 333 ¨ 3 Aber 333|102 ´ 1 “ 99 Periodenlänge 3 1 “ 10 ¨ 1 “ 1 10 ¨ 1 10 ¨ 10 10 ¨ 100 0 3 “ “ “ “ ¨ 3 ` ¨ 3 ` 0 0 0 3 ¨ ¨ ¨ ¨ 333 333 333 333 1 1 ` 1 ` 10 ` 100 ` 1 Version vom 27. Juli 2016 1 3 96 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 1 7 “ 0,142857 denn: 106 ´ 1 “ 142857 ¨ 7 Aber 7|105 ´ 1 Periodenlänge 6 5 7 “ 0,714285 1 10 ¨ 1 10 ¨ 3 10 ¨ 2 10 ¨ 6 10 ¨ 4 10 ¨ 5 “ “ “ “ “ “ “ 0 1 4 2 8 5 7 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 7 7 7 7 7 7 7 ` ` ` ` ` ` ` 1 3 2 6 4 5 1 5 10 ¨ 5 10 ¨ 1 10 ¨ 3 10 ¨ 2 10 ¨ 6 10 ¨ 4 “ “ “ “ “ “ “ 0 7 1 4 2 8 5 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ 7 7 7 7 7 7 7 ` ` ` ` ` ` ` 5 1 3 2 6 4 5 denn: ebenfalls Periodenlänge 6 Satz 7.4. Die kleinste Zahl s P N mit n | p10s ´ 1q ist die Periodenlänge des . gekürzten, echten, und reinperiodischen Bruchs m n Bemerkung 7.5. Die Periodenlänge hängt nur vom Nenner, nicht vom Zähler des gekürzten Bruches ab! n | p10s ´ 1q. Dann gilt m ¨ p10s ´ 1q “ n ¨ z m ¨ p10s ´ 1q “ z n m m ¨ 10s “ z ` n n Mit m n (für ein z P N) “ 0, q1 q2 ¨ ¨ ¨ , ist das äquivalent zu: q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs , qs`1 qs`2 . . . “ z, q1 q2 ¨ ¨ ¨ ñ q1 q 2 ¨ ¨ ¨ qs “ z und qs`i “ qi (für i ě 1) Version vom 27. Juli 2016 Beweis: m sei reinperiodisch und s P N die kleinste Zahl mit n auch n | m ¨ p10s ´ 1q und damit: 97 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beispiele: Konstruiere einen Bruch zu vorgegebener Periode und Periodenlänge: (1) Periode: z “ 173 und damit Periodenlänge s “ 3. Nun wie im Beweis: m 3 p10 ´ 1q “ z “ 173 n m 173 173 ô “ 3 “ “ 0,173 n 10 ´ 1 999 (2) Periode: z “ 173 aber nun mit Periodenlänge s “ 4. 173 173 m “ “ 4 “ 0,0173 n 10 ´ 1 9999 ô (3) Ziffernfolge 3712: Periodenlänge: s “ 4 ñ 3712 104 ´1 “ 3712 9999 Periodenlänge: s “ 6 ñ 3712 106 ´1 “ 3712 999999 Aber wenn: s “ 2 ñ 3712 102 ´1 “ 3712 99 “ 0,3712 “ 0,003712 “ 37,46 Wiederholung: m echter, vollständig gekürzter Bruch (also ggT pm, nq “ 1 und m ă n). n alle Primteiler von n aus t2, 5u ggT pn, 10q “ 1 Welcher Fall bleibt übrig? Wenn: m n m n endlich reinperiodisch n hat Teiler aus t2, 5u und noch zusätzlich andere Primteiler: Die Periodenlänge von m n ist gleich der von 1 . n2 Beispiel: n “ 15 “ 5 ¨ 3 Ò n1 m“8 Ò n2 n1 “ 5 | 10 “ 101 n2 “ 3 | 101 ´ 1 “ 9 t “ 1 Vorziffer ñ s “ 1 Periodenlänge Version vom 27. Juli 2016 Satz 7.6. Der vollständig gekürzte echte Bruch m besitzt genau dann ein ne gemischt-periodische Dezimalbruchentwicklung (mit t Vorziffern), wenn n “ n1 ¨ n2 mit n1 | 10t (dabei ist t minimal mit dieser Eigenschaft) und ggT pn2 , 10q “ 1. 98 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Dezimalbruchentwicklung: 8 “ 0 ¨ 15 ` 8 10 ¨ 8 “ 5 ¨ 15 ` 5 10 ¨ 5 “ 3 ¨ 15 ` 5 ñ 8 “ 0,53 15 Beweis: Aus n1 | 10t folgt: n1 ¨ q “ 10t für einen Teiler q P N von 10t . m m m¨q 1 m¨q “ “ t “ t¨ n n1 ¨ n2 10 ¨ n2 10 n2 Aus q P T10t und ggT pn2 , 10q “ 1 folgt ggT pn2 , qq “ 1 ist vollst. gekürzt und hat eine reinperiodische Dezimalbruchentwickñ m¨q n2 lung. ñ m¨q “ q0 , q1 q 2 ¨ ¨ ¨ qs n2 Daraus folgt: (q0 P N kann aus mehreren Ziffern bestehen) 1 m¨q ¨ “ 0, 0loomoon ¨ ¨ ¨ q0 q1 q2 ¨ ¨ ¨ qs 10t n2 t Stellen Umkehrung ohne Beweis! 7.2. Kettenbrüche. Beispiel 3 “2` und weiter? “2` 1 4` 1 “2` 3 2 1 2 1 4 ` 1`1 1 1 1` 12 1 “2` 4 ` 1`1 1 1 nichts passiert weiter, weil 2 3 2 1 4` 1 4` 2 ein Stammbruch ist. Der Algorithmus bricht ab, sobald man einen Stammbruch erhält! Version vom 27. Juli 2016 31 3 “2` 14 14 1 “ 2 ` 14 “ 2 ` 99 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Die Kettenbruchdarstellung von 31 wird zum Teil auch durch die Folge r2, 4, 1, 2s 14 abgekürzt, man kann also abkürzen: 31 1 statt “2` “ r2, 4, 1, 2s 14 4 ` 1`1 1 2 Den Kettenbruch kann auch mittels des Euklidischen Algorithmus’ berechnet werden: 31 ( 14 “2` 31 “ 2 ¨ 14 ` 3 3 ( 14 “ 14 “ 4 ¨ 3 ` 2 1 14 3 1 3 ) 14 “ 1 4` 23 ) “ 1 1` 12 ) 3“ 1 ¨2`1 ( 32 “ 2“ 2 ¨1`0 (bei Rest 0 bricht es ab) 3 2 Bemerkung 7.7. Dieser Algorithmus läßt sich auf jede positive rationale Zahl anwenden und bricht immer ab. (wg. Euklidischem Algorithmus) Bedeutung: Die Kettenbruchdarstellung approximiert den gegebenen Bruch 31 (hier im Beispiel 14 ) schrittweise immer besser: Approximation Kettenbruch 31 14 2 31 14 1-te von 31 14 2` 1 4 2-te von 31 14 2` 1 4` 11 3-te von 31 14 2` 31 14 1 4` 1 1` 1 2 ´2“ 3 14 « 0,214 1 ´ p2 ` 41 q “ ´ 28 « ´0,0357 31 14 ´ p2 ` 1 4` 11 31 14 q“ ´ p2 ` 1 70 « 0,0143 1 4` 1 1` 1 2 q“0 Version vom 27. Juli 2016 0-te von Differenz/Ungenauigkeit 100 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Anwendung: Kalender 1 tropisches Jahr: 365d 5h 48min 45,8s Der ”Teil-Tag” soll durch einen Bruch approximiert werden: ˆ ˙ 1 48 45,8 h min s 5 48 45,8 “ 5` ` 2 24 60 60 ˆ ˙ 48 45 ` 45 1 5` ` “ 24 60 602 “ (”Tage”) 104629 52 ¨ 602 ` 48 ¨ 60 ¨ 5 ` 45 ¨ 5 ` 4 “ 2 24 ¨ 60 ¨ 5 432000 Kettenbruchentwicklung via Euklidischem Algorithmus: Division mit Rest Approximation 0-te 104629 “ 0 ¨ 432000 ` 104629 0 0` 1 4 1-te 432000 “ 4 ¨ 104629 ` 13484 2-te 104629 “ 7 ¨ 13484 ` 10241 3-te 13484 “ 1 ¨ 10241 ` 3243 4-te 10241 “ 3 ¨ 3243 ` 512 .. . 5-te 3243 “ 6 ¨ 512 ` 171 .. . 6-te 512 “ 2 ¨ 171 ` 170 .. . 7-te 171 “ 1 ¨ 170 ` 1 0` 1 0` 4` Interpretation: 1 7` 1 1 1 4` 7` 1 .. . ...` Es folgt: 104629 “ 432000 4` 1 4` 17 1 1 1` 170 1 1 7` 1 1` 1 3` 6` 2` 1 1 1 1 1` 170 Version vom 27. Juli 2016 Nr. 101 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 104629 432000 1-te Approx.: 104629 432000 2-te Approx.: « .. . 5-te Approx 1 4` 17 « “ 1 4 Julianischer Kalender mit einem Schalttag alle 4 Jahre 7 29 .. . 104629 432000 « 1 4` “ 1 7` 1 194 801 « 0,2422 ñ gregorianischer Kalender 1` 1 1 3` 6 Version vom 27. Juli 2016 In 400 Jahren summiert sich dieser Bruchteil eines Tages auf: 194 ¨ 400 « 96,8789 « 97 Tage 801 Sinnvollerweise muss es also in 400 Jahren mit je 365 Tagen zusätzlich 97 Schalttage geben um bestmöglich 400 tropische Jahre auszumachen. Das wird im Gregorianischen Kalender realisiert: jedes vierte Jahr einen Schalttag machen 100 Schalttage in 400 Jahren, aber die Jahrhundertregel (nur die Jahrhunderte ” 0 mod 4 sind Schaltjahre) bewirkt, daß unter den vier JahrhundertJahren innerhalb 400 Jahren nur ein Jahrhundert-Jahr Schaltjahr ist, drei Schaltjahre/Tage fallen also weg, also gibt es im Gregorianischen Kalender innerhalb 400 Jahren nur 97 Schaltjahre/Tage. 102 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 8. Teilbarkeitsregeln WDH. Für a, b, c, d P Z und t P N gilt: , / / / . a ” b mod t/ Addition von Kongruenzen: ñ a ` c ” b ` d mod t c ¨ a ” c ¨ b mod t / / / c ” d mod t/ Multiplikation von Kongruenzen a ” b mod t ñ Potenzieren von Kongruenzen a ” b mod t ñ an ” bn mod t @n P N Zusätzlich gilt $ &a “ q ¨ t ` r 1 a ” b mod t ô %b “ q2 ¨ t ` r das heißt, sind a und b kongruent modulo t, so haben sie bei Division durch t denselben Rest r. Für Teilbarkeitsuntersuchungen bezüglich einer Zahl t gilt damit: a ” b mod t ô a und b haben dieselben Teilbarkeitseigenschaften bzgl. t Anders formuliert: Wenn a ” b mod t, so gilt: a ist genau dann durch t teilbar, wenn auch b durch t teilbar ist. 8.1. Endstellenregeln. Schreibweise: analog: m n´1 zn zn´1 . . . z1 z0 “ zn ¨ 10 ` zn´1 ¨ 10 0 ¨ ¨ ¨ z1 ¨ 10 ` z0 ¨ 10 “ n ÿ i“0 für Ziffern 0 ď zi ď 9, i “ 0, . . . , n, zn ‰ 0. Satz 8.1. zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0 ” zo mod t für alle Teiler t von 10. zi ¨ 10i Version vom 27. Juli 2016 65 432 “ 6 ¨ 104 ` 5 ¨ 103 ` 4 ¨ 102 ` 3 ¨ 10 ` 2 103 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Folgerung Eine natürliche Zahl z (Basis 10) ist genau dann durch 2 (bzw. 5, bzw. 10) teilbar, wenn ihre Endziffer z0 durch 2 (bzw.5, bzw. 10) teilbar ist. Beweis: Es gilt 10 ” 0 mod t ô t | p10 ´ 0q “ 10 ô t P t1, 2, 5, 10u “ T10 ñ ñ n ÿ ñ ñ zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0 “ i“1 n ÿ 10i ” 0 mod t für t P T10 und i ě 1 zi ¨ 10i ” 0 mod t für t P T10 und i ě 1 zi ¨ 10i ” 0 mod t für t P T10 und i ě 1 i zi ¨ 10 “ i“0 n ÿ z1 ¨ 10i ` z0 ” z0 mod t i“1 Geht das auch in anderen Stellenwertsystemen? Sei b ą 1 eine Basis eines Stellenwertsystems. ñ b”0 mod t @ t P Tb Eine Zahl im b-System: zÌb “ n ÿ zi bi “ zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0 mit 0 ď zi ă b i“0 ñ zÌb “ n ÿ zi bi ` z0 ” z0 mod t für t P Tb Korollar 8.2. Eine natürliche Zahl zÌ b (dargestellt mittels der Basis b ą 1) ist genau dann durch einen Teiler t von b teilbar, wenn ihre Endziffer z0 durch t teilbar ist. Beispiel: b “ 8 Untersuche ob 4 die Zahl 152Ì 8 teilt! 2 1 152Ì 8 “ 1¨8 `5¨8 `2 ” 2 mod 4 aber 4|2 !! Neue Frage: Welche Zahlen sind durch 4 teilbar? da 4|8 Version vom 27. Juli 2016 i“1 104 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Dazu z0 P V4 Y t0u, z0 ă 8 ñ z0 P t0, 4u Also alle Zahlen mit den Endziffern 0 oder 4 sind durch 4 teilbar. und 4 | 154Ì 4 | 150Ì b 8 z.B.: Translation ins Dezimalsystem: 2 150Ì 8 “ 8 ` 5 ¨ 8 ` 0 “ 104 “ 4 ¨ 26 X Beispiel: b “ 6, t “ 3 Endziffern z0 ă 6 mit 3 | z0 ñ z0 P t0, 3u 3 | 570Ì 6, ñ 3 | 573Ì 6 aber 3|571Ì 6, 3|572Ì 6, 3|574Ì 6, 3|575Ì 6 Endstellenregeln 2ter Ordnung Es geht um die Teilbarkeit von Teilern von 100 “ 102 bzw. t P Tb2 im b-System. Dazu: 100 “ 102 ” 0 mod t @t P T102 bzw. b2 ” 0 mod t @t P Tb2 Satz 8.3 (Basis 10). zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0 “ n ÿ zi 10i ” z1 ¨ 10 ` z0 “ z1 z0 mod t @t P T102 i“0 Damit gilt: Eine Zahl z P N ist genau dann durch einen Teiler t von 100 teilbar, wenn ihre aus den letzten beiden Ziffern gebildete zweistellige Zahl (im Dezimalsystem!!) durch t teilbar ist: ô t | z1 z0 Insbesondere folgen daraus die bekannten Teilbarkeitsregeln für 4 “ 22 und 25 “ 52 ! Satz 8.3 hat auch wieder ein Analogon für die beliebige Basis b! Umformulierung für t “ 22 “ 4: ř Eine natürliche Zahl z “ ni“0 zi 10i ist genau dann durch 4 teilbar, wenn 2z1 ` z0 durch 4 teilbar ist. Version vom 27. Juli 2016 t | zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0 105 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beweis: nach Satz 8.3 gilt: 4 | z ô 4 | z1 ¨ 10 ` z0 ô z1 ¨ 10 ` z0 ” 0 ô z1 ¨ 2 ` z0 ” 0 mod 4 mod 4 (da 10 ” 2 mod 4) Endstellenregeln 3ter Ordnung Aus 1000 “ 103 ” 0 mod t für alls t P T103 folgt analog: t|z “ n ÿ zi 10i “ zn zn´1 ¨ ¨ ¨ z1 z0 ô t | z2 z1 z0 “ z2 ¨100`z1 ¨10`z0 @t P T103 i“0 Analoges kann man auch wieder im Stellenwertsystem zur Basis b ą 1 formulieren! 8.2. Quersummenregeln. Schritt 1 Gebe Deinem Mitspieler eine Streichholzschachtel mit mindestens 10 Hölzern. Schritt 2 Lasse den Mitspieler die Hölzer zählen (er soll die Anzahl geheimhalten!) die Anzahl ist eine Zahl n zwischen 10 und 38. Dann gilt n “ z1 ¨ 10 ` z0 mit z1 P t1, 2, 3u und z0 P t0, 1, . . . , 9u Schritt 3 Fordere den Mitspieler auf: Bilde die Quersumme Qpnq (nicht verraten) Qpnq “ z1 ` z0 Schritt 4 Fordere den Mitspieler auf: Entferne Qpnq Hölzer aus der Schachtel Schritt 5 Behauptung: Du kannst nun (ohne abzuzählen) abschätzen, wieviele Hölzer noch in der Schachtel sind! Die Anzahl ist n´Qpnq “ pz1 ¨10`z0 q´pz1 `z0 q “ z1 ¨10´z1 “ z1 ¨9, Da z1 P t1, 2, 3u, können es nur 9, 18 odet 27 Hölzer sein. Teilbarkeit durch 3 und 9: ř Satz 8.4. Eine natürliche Zahl z “ ni“0 zi ¨ 10i ist genau dann durch einen ř Teiler t von 9 teilbar, wenn ihre Quersumme ni“0 z i durch t teilbar ist. Version vom 27. Juli 2016 Streichholzspiel: 106 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beweis t P T9 “ t1, 3, 9u, also t “ 3 oder 9, da 1 uninteressant. Aus 10 ” 9 ` 1 p“ 3 ¨ 3 ` 1q 10 ” 1 mod t 10i ” 1 mod t für i P N0 zi ¨ 10i ” zi mod t für i P N0 ñ ñ ñ z“ folgt n ÿ zi 10i ” i“0 n ÿ zi mod t i“0 Läßt sich die Idee des Beweises verallgemeinern? Ja, benutze: 102 “ 99 ` 1 ” 1 mod t für t P T99 und schreibe: z“ n ÿ zi 10i “ . . . ` pz2j`1 ¨ 10 ` z2j q ¨ 102j ` ¨ ¨ ¨ ` pz3 ¨ 10 ` z2 q ¨ 102 ` pz1 ¨ 10 ` z0 q i“0 ” . . . ` pz2j`1 ¨ 10 ` z2j q ` ¨ ¨ ¨ ` pz3 ¨ 10 ` z2 q ` pz1 ¨ 10 ` z0 q mod t für t P T99 “ .loooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooon . . pz2j`1 z2j q ` ¨ ¨ ¨ ` pz3 z2 q ` pz1 z2 q Quersumme 2ter Ordnung 738514 ” 73 ` 85 ` 14 “ 172 ” 1 ` 72 “ 73 Aber t|73 ñ t|738514 mod t mod t Version vom 27. Juli 2016 Korollar 8.5. Eine natürliche Zahl ist genau dann durch einen Teiler t von 99 teilbar, wenn ihre Quersumme 2-ter Ordnung durch t teilbar ist. Da T99 “ t1, 3, 9, 11u erhalten wir damit insbesondere eine Teilbarkeitsregel für 11!! Beispiel: Sei t P t1, 3, 9, 11u 107 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Weitere Verallgemeinerungen: 1000 “ 103 “ 999 ` 1 ñ Teilbarkeitsregeln für Teiler von 999 mittels Quersumme 3-ter Ordnung. Da 999 “ 33 ¨ 37 liefet das z.B. Teilbarkeitsregel für 37. .. . Alternierende Quersummenregeln: z“ n ÿ i zi 10 alternierende Quersumme ñ 1 Q pzq :“ i“0 Beispiel: n ÿ p´1qi zi i“0 Q1 p3712q “ ´3 ` 7 ´ 1 ` 2 “ 5 Satz 8.6. 11 teilt z ô 11 teilt Q1 pzq Beweis 10 “ 11 ´ 1 ” ´1 mod 11 .. .. . . z“ n ÿ i“0 zi 10i ” n ÿ zi p´1qi “ Q1 pzq mod 11 i“0 11 13846173 ” ´1 ` 3 ´ 8 ` 4 ´ 6 ` 1 ´ 7 ` 3 “ ´11 ” 0 ñ Verallgemeinerungen Idee: 100 “ 102 “ 101 ´ 1 ” ´1 mod 101 Da 101 PZ, liefert das nur Teilbarkeitsregeln für 101. mod 11 11 | 13846173 Version vom 27. Juli 2016 Beispiel: 108 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Aber 1001 “ 7 ¨ 11 ¨ 13 liefert Teilbarkeitsregeln für 7 und 13 und eine weitere für 11: 103 “ 1001 ´ 1 ” ´1 mod t (für t P T1001 ) .. . z “ ¨ ¨ ¨ ` pz5 102 ` z4 10 ` z3 q ¨ p103 q1 ` pz2 102 ` z1 10 ` z0 q ¨ p103 q0 ” ¨ ¨ ¨ ` pz5 102 ` z4 10 ` z3 q ¨ p´1q1 ` pz2 102 ` z1 10 ` z0 q ¨ p´1q0 mod t “ loooooooooooooooooooooooooooooomoooooooooooooooooooooooooooooon ¨ ¨ ¨ ´ pz5 102 ` z4 10 ` z3 q ` pz2 102 ` z1 10 ` z0 q alternierende Quersumme 3-ter Ordnung Korollar 8.7. Für t P T1001 gilt: t teilt z ô t teilt die alternierende Quersumme 3-ter Ordnung von z Beispiel: t “ 7 loo681 moon loo359 moon loo126 moon ” `681 ´ 359 ` 126 mod 7 “ 448 “ 64 ¨ 7 ” 0 mod 7 ñ 7 | 681 359 126 Bemerkung: Auch hier gibt es Verallgemeinerungen auf andere Stellenwertsysteme. Teilbarkeit durch 7: Beispiel: Frage: ist 65 625 durch 7 teilbar? 6 5 6 2 5 ´ 1 0 10 “ 2 ¨ 5 6 5 5 2 ´ 4 4 “ 2¨2 6 5 1 ´ 2 2 “ 2¨1 6 3 “9 ¨ 7 Also auch 7 | 65 625 Beschreibung: (1) Streiche letzte Ziffer ñ Stellen verschieben sich nach rechts! (2) Subtrahiere (von der neuen Zahl) das Doppelte der gestrichenen Ziffer. (3) Wenn nötig beginne mit Algorithmus von neuem. Version vom 27. Juli 2016 8.3. Weitere Teilbarkeitsregeln für Primzahlen. 109 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Warum, was passiert hier?? Benutzt werden folgende Aussagen: 20 ` 1 “ 21 ” 0 z ¨ 10 ” 0 mod 7 ô mod 7 z”0 (8) mod 7 (9) (9) in Worten: z ¨ 10 ist genau dann durch 7 teilbar, wenn z durch 7 teilbar ist. 65 625 “ 6 ¨ 104 ` 5 ¨ 103 ` 6 ¨ 102 ` 2 ¨ 10 ` 5 hkkkikkkj “ 6 ¨ 104 ` 5 ¨ 103 ` 6looooooooomooooooooon ¨ 102 ´ 2 ¨ 5 ¨ 10 ` 2 ¨ 10 ` “5¨102 (Schritt 1) hkkkikkkj ploooooomoooooon 2 ¨ 5 ¨ 10 `5q p20`1q¨5“21¨5”0 mod 7 ” 6 ¨ 104 ` 5 ¨ 103 ` 5 ¨ 102 ` 2 ¨ 10 mod 7 ´ ¯ “ 6looooooooooooooooomooooooooooooooooon ¨ 103 ` 5 ¨ 102 ` 5 ¨ 101 ` 2 ¨ 10 “ z1 ¨ 10 “ 6 552 ¨ 10 “:z1 “6 552 mit (9) 65 625 ” 0 mod 7 z1 ” 0 mod 7 hkkkikkkj hkkkikkkj z1 “ 6 552 “ 6 ¨ 103 ` 5 ¨ 102 ` 5loooooooomoooooooon ¨ 10 ´ 2 ¨ 2 ¨ 10 ` ploooooomoooooon 2 ¨ 2 ¨ 10 `2q ô 1¨10 3 21¨2”0 (Schritt 2) mod 7 2 ” 6 ¨ 10 ` 5 ¨ 10 ` 1 ¨ 10 mod 7 ´ ¯ 2 1 “ loooooooooomoooooooooon 6 ¨ 10 ` 5 ¨ 10 ` 1 ¨ 10 “ z2 ¨ 10 “:z2 “651 mit (9) z1 ” z2 ¨ 10 ” 0 mod 7 ô z ” 0 hkkikkj hkkikkj 2 z2 “ 6 ¨ 102 ` 5 ¨ 10 ´ 2 ¨ 10 `plooooomooooon 2 ¨ 10 `1q “21”0 mod 7 (Schritt 3) mod 7 2 ” 6 ¨ 10 ` 3 ¨ 10 mod 7 ` ˘ “ 6loooomoooon ¨ 10 ` 3 ¨ 10 “ 63 ¨ 10 “ 9 ¨ 7 ¨ 10 ” 0 mod 7 (oder:) z3 “ loooooooomoooooooon 6 ¨ 10 ´ 3 ¨ 2 ¨ 10 ` 3loooooomoooooon ¨ 2 ¨ 10 ` 3 “0 ”0 “3¨21”0 mod 7 mod 7 Teilbarkeit durch 11 Beispiele: Untersuche ob 11 ein Teiler von 4785 bzw. 4766 ist: Version vom 27. Juli 2016 “:z3 110 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 4 7 8 5 ´ 5 ˇ 4 7 3 ñ ja! ˇˇ ´ 3 ˇ 11 | 4785 ˇ 4 4 ´ 4 0 Warum, was passiert hier?? Benutze z ¨ 10 ” 0 4 7 ´ 4 7 ´ 0 4 7 6 6 6 0 Aus 11|47 ñ nein! 11|4766 wie oben: mod 11 ô z”0 mod 11 (10) 4785 ” p4785 ´ 5 ¨ 11q mod 11 “ 4730 “ 473 ¨ 10 473 ” 473 ´ 3 ¨ 11 mod 11 “ 44 “ 4 ¨ 11 ” 0 ( wegen (10) genügt es 473 zu untersuchen) mod 11 Weitere Verallgemeinerungen möglich!! (vgl. [P], p. 181) 9. Vollkommene Zahlen 9.1. Beispiele und Definition. T6 “ t1, 2, 3, 6u Summe der Teiler ř iPT6 i “ 1 ` 2 ` 3 ` 6 “ 12 “ 2 ¨ 6 Weitere Zahlen mit dieser Eigenschaft: ř 28 : iPT28 i “ 1 ` 2 ` 4 ` 7 ` 14 ` 28 “ 4 ¨ 14 “ 2 ¨ 28 Aber das gilt nicht immer: Version vom 27. Juli 2016 Beispiel Zahl 6 : 111 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 3: ř 4: ř 5: ř 7: ř 8: .. . ř iPT3 iPT4 iPT5 iPT7 iPT8 ř 12 : iPT12 i “1`3“4 ă 2¨3 i “1`2`4“7 ă 2¨4 i “1`5“6 ă 2¨5 i “1`7“8 ă 2¨7 i “ 1 ` 2 ` 4 ` 8 “ 15 ă 2¨8 i “ 1 ` 2 ` 3 ` 4 ` 6 ` 12 “ 28 ą 2 ¨ 12 Eine Zahl n P N heißt vollkommen, wenn die Summe ihrer positiver Teiler gleich 2 ¨ n ist, d.h. ÿ i“2¨n iPTn ř n heißt defizient, wenn iPTn i ă 2 ¨ n ř n heißt abundant, wenn iPTn i ą 2 ¨ n Satz 9.1 (Satz von Euklid (ca 300 v.Chr.)). ist 2p´1 p2p ´ 1q eine vollkommene Zahl. Beweis: Sei n “ 2p´1 p2p ´ 1q mit 2p ´ 1 PZ. , / p T2p ´1 “ t1, 2 ´ 1u weil PZ . 1 2 p´1 T2p´1 “ t1, 2 , 2 , . . . , 2 ñ ñ Ist 2p ´ 1 eine Primzahl, dann 2p´1 und 2p ´ 1 sind teilerfremd / u - Tn “ T2p´1 p2p ´1q “ t1, 2, 22 , . . . , 2p´1 , 1p2p ´ 1q, 2p2p ´ 1q, 22 p2p ´ 1q, . . . , 2p´1 p2p ´ 1qu iPTn ( (((( 1` 2` 22(`(¨ ¨ ¨ ` 2p´1 q ` p1 ` 2 ` 22 ` ¨ ¨ ¨ ` 2p´1 qp2p ´1q i “ p( (( (( “ p1 ` 2 ` 22 ` ¨ ¨ ¨ ` 2p´1 q2p p´1 ÿ “ k“0 p 2i ¨ 2p 2 ´1 p ¨ 2 “ p2p ´ 1q ¨ 2p 2´1 “ 2 ¨ 2p´1 p2p ´ 1q “ 2 ¨ n “ (geometrische Reihe řp´1 k“0 ř i ( s´1 k“0 q “ 2i ) q s ´1 ) q´1 Version vom 27. Juli 2016 ÿ ñ 112 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Ist 2 ´ 1 eine p p Satz 9.2 (Notwendige Bedingung für 2 ´ 1 “ Primzahl). Primzahl, so auch p. Beweis: Beweis durch Widerspruch: z.z.: Ist p zusammengesetzte Zahl, so auch 2p ´ 1. Schreibe die zusammengesetzte Zahl p als nichttriviales Produkt: p “ a ¨ b mit 1 ă a, b ă p. Wir wollen folgendes benutzen: s´1 ÿ qk “ k“1 qs ´ 1 q´1 ô pq ´ 1q s´1 ÿ qk “ qs ´ 1 k“0 a Mit q “ 2 und s “ b: ˜ ¸ b´1 ÿ p2a ´ 1q ¨ p2a qk “ p2a qb ´ 1 “ 2a¨b ´ 1 “ 2p ´ 1 k“0 loooooooooooomoooooooooooon zusammengesetzt! Die linke Seite ist eine zusammengesetzte Zahl, also auch die rechte Seite der Gleichung! M.a.W.: p zusammengesetzt ñ 2p ´ 1 zusammengesetzt! Umkehrung von Euklid: Ist n eine gerade vollkommene Zahl, so gilt n “ 2p´1 p2p ´ 1q und Beweis: n gerade ñ n “ 2p´1 ¨ u, Dann gilt sicherlich p ą 1. Wäre u “ 1 ñ 2p ´ 1 ist Primzahl. mit u P N ungerade, also ggT pn, 2q “ 1 n “ 2p´1 ñ Tn “ T2p´1 “ t1, 2, 22 , 23 , . . . , 2p´1 u ÿ ñ tPTn t“ p´1 ÿ 2i “ i“0 Widerspruch zu n vollkommen!!! Also u ‰ 1. 2p ´ 1 “ 2p ´ 1 ă 2p “ 2 ¨ 2p´1 “ 2n ‰ 2´1 Version vom 27. Juli 2016 Satz 9.3 (Euler, 18 Jd.). 113 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Sei t P Tn “ T2p´1 u t “ 2i ¨ d ˜ ¸ ÿ ÿ t“ d ¨ p1 ` 2 ` ¨ ¨ ¨ ` 2p´1 q (mit d | u und i ď p ´ 1) ñ ñ tPTn dPTu ˜ ¸ ÿ ¨ p2p ´ 1q d “ (wieder geometrische Reihe benutzt) dPTu “ 2 ¨ n “ 2p ¨ u Also (da n vollkommen) ˜ ¸ ÿ d ¨ p2p ´ 1q “ 2p ¨ u (11) dPTu Aber: ÿ d “ loomoon 1 ` ¨¨¨ ` u “ s ` u ą u dPTu für ein s ě 1 “:s Aus Gleichung (11) wird dann: pu ` sq ¨ p2p ´ 1q “ 2p ¨ u u ¨ 2p ´ u ` s ¨ p2p ô ´ 1q “ 2p¨ u u “ p2p ´ 1q ¨ s ô ñ wäre s ‰ 1 ñ s | u und s ă u (denn 2p ´ 1 ą 21 ´ 1 “ 1) ÿ u`s“ d “ 1 ` ¨¨¨ ` s ` ¨¨¨ ` u ą s ` u dPTu ñ s“1 ÿ ñ d“u`1 ñ u Primzahl dPTu ñ u “ p2p ´ 1q ¨ s “ 2p ´ 1 Primzahl Zusammenfassung: Satz 9.4 (Euler-Euklid). Eine gerade Zahl n ist genau dann vollkommen, wenn sie von der folgenden Form ist: n “ 2p´1 p2p ´ 1q mit einer Primzahl 2p ´ 1 Version vom 27. Juli 2016 114 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 10. Fibonaccizahlen, Goldener Schnitt und Irrationalität Die Sache mit den Kaninchen: Ein neu geborenens Kaninchenpaar wirft von Ende des zweiten Lebensmonats an jeden Monat ein Paar Junge Satz 10.1 (Rekursionsformel der Fibonacci-Zahlen). f1 “ 1 f2 “ 2 fn “ fn´2 ` fn´1 Die Folge beginnt mit: r1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, . . .s / 1 1 nnn nnn 1 1 rrr r r r nnn rrr nnn 2 1 1 rr rr r r r r rr rr nnn rrr rrr nnn 3 3 1 1 rr rr rr r r r r r r rr rr rr nnn rrr rrr rrr nnn 6 4 1 r1 r4 rrr rrrrr rr rr r r r r r r r r r r rr rr rrr rrr 5 10 r 10 5 1 rrr rrrr rr r r r r r rr rrr rr rrr 20 15 6 15 6 1 rr rr r r r r rr rr rrr rr 7 21 35 35 21 || f1 “ 1 f2 “ 1 / f3 “ 2 / f4 “ 3 / f5 “ 5 / f6 “ 8 / f7 “ 13 / f8 “ 21 / f9 “ 34 / 1 1 7 1 ϕ ist der unendliche Kettenbruch: ϕ :“ 1 ` 1 1` 1` ? 1 5 “ r1, 1, . . .s “ ` « 1,62 . . . 2 2 Beh. 1 1 1`¨¨¨ Satz 10.2. qn “ fn`2 fn`1 Version vom 27. Juli 2016 Fibonaccizahlen und ϕ 115 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beweis: Durch Induktion: n“0: f2 f1 “ 1 1 “ 1 “ q0 n“1: f3 f2 “ 2 1 “ 2 “ q1 n ´ 1 ñ n : Vor.: qn´1 “ qn fn`1 fn “ 1` 1 Ind.Vor. “ qn´1 1` fn fn`1 “ fn`1 `fn RF fn`2 “ fn`1 fn`1 Satz 10.3. ϕ “ lim qn “ nÑ8 ? ¯ 1´ 1 ` 5 “ Goldener Schnitt 2 Beweis: Wegen der Kettenbruchdarstellung von ϕ gilt: 1` ñ ô 1 “ϕ ϕ | ¨ϕ ϕ ` 1 “ ϕ2 ϕ2 ´ ϕ ´ 1 “ 0 x1{2 Da ϕ ą 0 folgt ϕ “ x1 “ 1 2 ` 1 “ ˘ 2 c 1 “ ˘ 2 c 1` 1 `1 4 (Lösung mit pq-Formel) ? ¯ 5 1´ “ 1˘ 5 4 2 ? ˘ 5 . Korollar 10.4. Der Goldene Schnitt ϕ ist die positive Lösung der quadratischen algebraischen Gleichung: Insbesondere ist ϕ ist eine algebraische Zahl. Satz 10.5. ϕn “ fn´1 ` fn ϕ Beweis: Beweis durch vollständige Induktion: n“2 ϕ2 “ 1 ` ϕ “ f1 ` f2 ϕ. für ně2 Version vom 27. Juli 2016 ϕ2 “ ϕ ` 1 116 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Der Induktionsschritt n ´ 1 Ñ n: ϕn “ ϕn´1 ¨ ϕ “ pfn´2 ` fn´1 ϕqϕ (nach Induktionsvoraussetzung) “ fn´2 ϕ ` fn´1 ϕ2 “ fn´2 ϕ ` fn´1 p1 ` ϕq “ fn´1 ` pfn´1 ` fn´2 qϕ “ fn´1 ` fn ϕ Ebenso gibt es eine Rekursionsformel für die negativen ϕ-Potenzen Satz 10.6. 1 “ p´1qn pfn`1 ´ fn ϕq für n ě 1. n ϕ 10.1. Das regelmäßige 5-Eck - Goldener Schnitt. Es gibt kein gemeinsames Maß für die Diagonale und Seite des regelmäßigen Fünfecks. D.h. Die Diagonale und die Seite sind inkommensurabel! d₁ d₁ a a ñ Folge pdn , an qnPN Annahme: d“n¨e Beweis: Hintereinander Einsetzen : “ a1 ` d 1 d1 “ a1 ` d2 a1 ą “ a2 ` d2 .. .. . . a₁ a “ a ` d1 a“m¨e mit n, m P N. Version vom 27. Juli 2016 d d 117 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie d1 “ d ´ a “ n1 ¨ e a1 “ a ´ d1 “ m1 ¨ e d2 “ d1 ´ a1 “ n2 ¨ e a2 “ a1 ´ d2 “ m2 ¨ e .. . .. . mit ni , mi P N. Aber: Die Zahlen dn und an werden bei jedem Schritt mehr als die Hälfte kleiner: dn an dn`1 ă an`1 ă . 2 2 ñ Irgendwann gilt: dn ă e an ă e für ein n P N. Goldener Schnitt: Was hat das mit dem Goldenen Schnitt zu tun? Der Goldene Schnitt ist ein Streckenverhältnis: ~ x 1 | | # | Drei Längen: Lang L “ 1 ` x, Mittel M “ x, Kurz S “ 1 Mit der folgendermaßen vorgeschriebenen Relation der Verhältnisse: L M “ M S x2 ´ x ´ 1 “ 0 x1{2 “ 1˘ ? ? 1`4 1˘ 5 “ 2 2 es muss ` heißen, da negative Lösungen für Strecken keinen Sinn machen ? 1` 5 Lösung: M “ L ´ K “ x “ “: ϕ » 1, 618 . . . . 2 Version vom 27. Juli 2016 1`x x “ x 1 1 ` x “ x2 118 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Für 0 ă M ă L gilt: M teilt L im goldenen Schnitt, wenn: ` ˘ L M L“ϕ¨M ô “ϕ ô M “ ϕ ¨ pL ´ Mq ô “ϕ looomooon M L´M K M=a Zusammenhang zum Fünfeck: K “ d1 “ d ´ a “ L ´ M Strahlensatz: K=d₁ L M “ M K L d dn “ “ “ϕ M a an L=d M=a Annahme: ϕ “ p P Q, also q ñ ϕ“ ñ d p “ϕ“ a q ñ d a “ p q Sei e :“ ? 1` 5 2 ? 1` 5 2 a d “ p q irrational???? wäre rational! Version vom 27. Juli 2016 Warum ist ϕ “ 119 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Dann gilt: a“p¨e und d“q¨e Also muss ϕ und damit auch ñ d, e sind kommensurabel ? 5 irrational sein! 10.2. Aperiodische Plasterungen. Penrose (1973): 2 Fliesen: Kite und Dart Seitenverhältnisse: Goldener Schnitt ϕ Verlegevorschrift: Lege Punkte aneinander Penrose Pflaster (1) Mit elementaren Argumenten läßt sich zeigen, daß diese Penrosepflaster immer aperiodisch sind (2) Es gibt 8-viele verschiedene Penrose Pflaster, von einem kleinen Ausschnitt aus lässt sich aber nicht feststellen, welches man hat 1966: Robert Berger erfindet ein nichtperiodische Parkett mit 20 426 Grundbausteinen. Diese kann er darauf noch auf 104 Elemente reduzieren. 1971: Raphael Robinson: Nichtperiodisches Parkett mit 6 Grundbausteinen. 1973: Unabhängig von Robinson erfindet Roger Penrose ebenfalls ein nicht-periodische Parkett mit 6 Grundbausteinen, diesen kann er sogar auf 2 Bausteine Kite und Dart reduzieren. 1982: Dany Shechtman und Kollegen entdecken nicht-periodische Kristallformationen in einer Aluminium-Mangan-Legierung Quasikristalle . ñ Nobelpreis 2011 Version vom 27. Juli 2016 Nichtperiodische Parkette 120 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 10.3. DIN-Norm für Papier. Die DIN-Papier Norm Kravatte falten ñ Was sagt uns das? ñ die kange Seite ist so lang wie die Diagonale des Quadrates über der kurzen Seite: ? ñ l “ 2¨k Genauere Untersuchung der DIN-Norm: k₀ DIN A0 DIN A0 DIN A1 DIN A2 DIN A3 DIN A1 DIN A4 l₀ DIN A2 DIN A4 DIN A3 Die Seiten ln und kn sind ein weiteres Beispiel inkommensurabler Zahlenpaare. li 0 l0 1 l1 “ k0 .. . ki Fi “ F pAiq “ li ¨ ki ` k0 k1 “ l0 2 .. . n ` 1 ln`1 “ kn kn`1 “ 1 “ 20 pm2 q später 1 F 2 0 “ 2´1 F0 .. . ln 2 2´pn`1q F0 ˘ Version vom 27. Juli 2016 i 121 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Darüberhinaus: Seitenverhältnisse konstant: ln ln`1 kn 2kn “ “ ` ln ˘ “ kn kn`1 ln 2 ln2 “ 2kn2 ln “ ñ ? 2 ¨ kn Warum sind l0 und k0 inkommensurabel? Annahmen sie wären kommensurabel: Dann gibt es eine Einheitslänge e und natürliche Zahlen n0 , m0 P N mit: l0 “ m0 ¨ e, k0 “ n0 ¨ e. Aber l2n “ k2n´1 “ 2´1 l2n´2 “ ¨ ¨ ¨ “ 2´n l0 “ l0 2n 1 k0 k2n “ l2n´1 “ 2´1 k2n´2 “ ¨ ¨ ¨ “ 2´n k0 “ n 2 2 mit ungeraden Indices geht das natürlich analog: k0 2n l0 1 k2n`1 “ l2n “ 2´1 k2n´1 “ ¨ ¨ ¨ “ 2´n k1 “ 2´pn`1q l0 “ n`1 2 2 Kann man die Größen ln und kn auch explizit angeben? Dazu müssen wir l0 und k0 kennen. Erst hier brauchen wir die Information/Definition: F0 :“ 1 m2 . Version vom 27. Juli 2016 l2n`1 “ k2n “ 2´1 l2n´1 “ ¨ ¨ ¨ “ 2´n l0 “ 2´n k0 “ 122 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Zusammen mit ln “ ? 2 ¨ kn folgt: l0 ¨ k0 “ 1 m2 1 1 “? l0 2 ¨ k0 1 1 k02 “ ? “ 2´ 2 2 1 1 k0 “ 2´ 4 “ ? 4 2 ? ? 1 1 2 4 ´ 14 2 4 “ l0 “ ? “ 2 “ 2 2 4 2 k0 “ ñ Ein bisschen Einsetzen und Rechnerei liefert: ? 4 1´2n 2n`1 2 1 ? ñ ln “ ? m“2 4 m kn “ ? m “ 2´ 4 m 2 n 4 2 n 2 2¨ 2 Probe: DIN A4: l4 “ 2 1´2¨4 4 7 m “ 2´ 4 m “ 0, 2973 m “ 29, 73 cm 9 und k4 “ 2´ 4 m “ 0, 2102 m “ 21, 02 cm Die Irrationalität von zeigen! ? 2 läßt sich nun analog wie beim goldenen Schnitt 11. EAN, ISBN, PZN und IBAN 11.1. EAN im Supermarkt. Bad Brückenauer Mineralwasser 4 001784 015309 Seitenbacher Müsli 4 008391 041721 Appel Heringsfilet 4 020500 966015 Gemeinsamkeiten: ‚ 13 Ziffern ‚ Anfangsziffer 4 oder bzw. 40 Version vom 27. Juli 2016 EAN = Europäische Artikelnummer Beispiele 123 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Bedeutung der Ziffern z.B. Iglo Schlemmerfilet: 405 6100 04221 7 Ò Ò Ò Ò Ländernr. Betriebsnummer Artikelnummer Prüfziffer Bemerkung: Es gibt einige besondere Produkte mit nur 8 Ziffern! EAN wurde in den 1970-ger Jahren eingeführt. In USA: 12-ziffriger UPC-Code. Beide Codes sind kompatibel: 0 ` UPC “ EAN Was ist die EAN-Prüfziffer? Beim Schreiben einer Zahlenfolge passieren, wie beim Schreiben eines Textes, verschiedene Fehler: ‚ ‚ ‚ ‚ falsche Ziffer - falscher Buchstabe Zahlendreher eine Ziffer zuviel oder zuwenig Beschädigung des Codes Bei Worten/Texten läßt sich der richtige Text meistens erraten, bei Zahlenfolgen aber nicht ñ Problem!! Zur Fehlerentdeckung dient die Prüfziffer. Die EAN hat 13 Ziffern: z1 z2 z3 . . . z12 z13 : z1 z2 z3 loomoon z4 . . . z7 loomoon zlooomooon 8 . . . z12 Ländernr. Betriebsnr. Artikelnr. z13 ” ´pz1 ` z3 ` z5 ` z7 ` z9 ` z11 ` 3 ¨ pz2 ` z4 ` z6 ` z8 ` z10 ` z12 qq mod 10 Für die Vollständige EAN gilt dann: Prüfsumme S :“ z1 ` z3 ` z5 ` z7 ` z9 ` z11 ` 3 ¨ pz2 ` z4 ` z6 ` z8 ` z10 ` z12 q ` z13 ”0 mod 10 Version vom 27. Juli 2016 Definiere dann die Prüfziffer 0 ď z13 ă 10 mit: 124 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Überprüfung einer vollständigen EAN auf ihre Korrektheit: Code wird akzeptiert, falls: S ” 0 mod 10 Beispiele (1) 4 0 5 6 1 0 0 0 4 2 2 1 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 Ó ˆ1 Ó ˆ3 4` 0` 5` 18` 1` 0` Prüfsumme : 0` 50 ” 0 0` 4` 6` 2` `3 7 Ó ˆ1 `7 “ 50 mod 10 X (2) 4 0 2 Ó 1 3 7 Ó ˆ3 4` 5 0 0 1 Ó ˆ3 2` 3` 3` 21` 7 Ó ˆ3 5` 3` “ 60 ” 0 0 Ó ˆ3 Ó 7` 12` S` ÿ 4 0 “ 60 z13 “ 60 mod 10 ñ X ñ Prüfgerät akzeptiert die Nummer! Häufigkeit der verschiedenen Fehlertypen: Z.B. beim Eintippen der Ziffer: 4711 (1) eine Ziffer falsch Beispiel Häufigkeit 4712 60% 471 oder 47111 25% (3) zwei oder mehr Ziffern falsch 4822 8% (4) Zahlendreher 7411 5% (5) Vertauschen von Blöcken 1147 1% (2) zuviel/zuwenig Ziffern Hilft die Prüfziffer, diese Fehler zu entdecken? Satz 11.1. Die Eingabe genau einer falschen Ziffer wird durch die Prüfziffer stets erkannt. Beweis: Wenn genau eine Ziffer falsch ist ñ drei Möglichkeiten: Version vom 27. Juli 2016 Fehlertyp 125 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie (1) Die falsche Ziffer ist unter den Zahlen mit ungeraden Indices: tz1 , z3 , z5 , z7 , z9 , z11 u (2) Die falsche Ziffer ist unter den Zahlen mit geraden Indices: tz2 , z4 , z6 , z8 , z10 , z12 u (3) Die Prüfziffer z13 ist falsch. Fall (1): Sei ẑi mit 1 ď i ď 11 ungerade, die falsche Ziffer. Also ẑi ‰ zi und da beide Zahlen zwischen 0 und 9 liegen gilt: ẑi ı zi mod 10 Damit wird eine falsche Prüfsumme Ŝ berechnet: Ŝ :“ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` ẑi ` ¨ ¨ ¨ ` z11 ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` z4 ` z6 ` z8 ` z10 ` z12 q “ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` zi ` ¨ ¨ ¨ ` z11 ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` z4 ` z6 ` z8 ` z10 ` z12 q ` pẑi ´ zi q ” 0 ` pẑi ´ zi q ı 0 mod 10 ñ Fehler wird entdeckt! Fall (2): Sei ẑi mit 2 ď i ď 12 gerade, die falsche Ziffer. Also ẑi ‰ zi und da beide Zahlen zwischen 0 und 9 liegen gilt: ẑi ´ zi ı 0 mod 10 ñ 3pẑi ´ zi q ı 0 mod 10 Damit wird eine falsche Prüfsumme Ŝ berechnet: Ŝ :“ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` z11 ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` ¨ ¨ ¨ ` ẑi ` ¨ ¨ ¨ ` z12 q ” 3pẑi ´ zi q ı 0 mod 10 ñ Fehler wird entdeckt! Fall (3): Prüfziffer falsch, klar wird erkannt! Diese Fehler werden nicht notwendigerweise erkannt: Beispiel: richtige EAN: 4 008391 041721 falsche EAN: 4 018291 041721 Prüfsummen: Ŝ ´ S “ 4 ` 1 ` 2 ` 1 ` 4 ` 7 ` 3p0 ` 8 ` 9 ` 0 ` 1 ` 2q ´ p4 ` 0 ` 3 ` 1 ` 4 ` 7 ` 3p0 ` 8 ` 9 ` 0 ` 1 ` 2qq “1`2´0´3“0 Version vom 27. Juli 2016 Werden auch Fehler mit zwei falschen Ziffern erkannt? 126 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie ñ Fehler wird nicht entdeckt! Drehfehler Satz 11.2. Die einzigen Drehfehler benachbarter Ziffern zi , zi`1 , die nicht entdeckt werden, sind diejenigen mit: zi ” zi`1 mod 5 Beweis: EANfalsch : z1 z2 z3 . . . lo zoi`1 mozoni . . . z12 z13 Drehfehler Wenn i gerade: SEANfalsch “ z1 ` ¨ ¨ ¨ ` zi ` . . . ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` ¨ ¨ ¨ ` zi`1 ` . . . ` z12 q “ zlooooooooooooooooooooooooooooooooooooomooooooooooooooooooooooooooooooooooooon 1 ` ¨ ¨ ¨ ` zi`1 ` . . . ` z13 ` 3 ¨ pz2 ` ¨ ¨ ¨ ` zi ` . . . ` z12 q S von korrekter EAN ”0 mod 10 ` zi ` 3zi`1 ´ zi`1 ´ 3zi ” `zi ` 3zi`1 ´ zi`1 ´ 3zi “ 2pzi`1 ´ zi q mod 10 Fehler wird genau dann nicht entdeckt, wenn: ô mod 10 2pzi`1 ´ zi q ” 0 mod 10 zi`1 ´ zi ” 0 mod 5 (durch 2 teilen) (weil 10 ggT p2,10q “ 10 2 “ 5) Wenn i ungerader Index ist, analoge Rechnung. Das läßt sich natürlich auf andere nicht benachbarte Drehfehler erweitern, dann aber viele Fallunterscheidungen. Aber, Drehfehler sind eigentlich immer benachbart! 11.2. ISBN. Version vom 27. Juli 2016 ô SEANfalsch ” 0 127 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Quelle: Sakurambo, English Wikipedia Vor 2007 ISBN-10 : 10 Ziffern Nach 2007 ISBN-10 : 13 Ziffern Beispiel: Ende 2006 erschien: Franke, M., Didaktik der Geometrie in der Grundschule, mit den 2 ISBN Nummern: ISBN-10: 3-8274-1511-X ISBN-13: 978-3-8274-1511-0 ISBN-13 funktioniert analog EAN! Gruppennr Verlagsnr. Titelnummer Prüfziffer Ó Ó Ó Ó 3 - 8274 - 1511 - X Gruppennummer 3: deutschprachiger Raum (Deutschland, Österreich, Schweiz) (Die Gruppennummer kann auch mehrere Stellen haben, z.B. 82-Norwegen, 84Spanien, 88-Italien, 956-Chile. . . . Entsprechend hat die Verlagsnummer dann weniger Stellen.) Prüfziffer: römisch X “ 10 ř Prüfsumme : Version vom 27. Juli 2016 Bedeutung der Ziffern bei ISBN-10: 128 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie ÿ :“ 3 ¨ 10 ` 8 ¨ 9 ` 2 ¨ 8 ` 7 ¨ 7 ` 4 ¨ 6 ` 1 ¨ 5 ` 5 ¨ 4 ` 1 ¨ 3 ` 1 ¨ 2 ` X ¨ 1 “ 30 ` 72 ` 16 ` 49 ` 24 ` 5 ` 20 ` 3 ` 2 ` 10 “ 231 “ 21 ¨ 11 ” 0 mod 11 ř Wenn ” 0 mod 11 wird die ISBN akzeptiert! Allgemeine Beschreibung ISBN-10: z10 ´ z9 z8 z7 z6 ´ z5 z4 z3 z2 ´ z1 Prüfziffer: z1 :” ´ pz10 ¨ 10 ` z9 ¨ 9 ` . . . ` z2 ¨ 2q mod 11 ist also eine Ziffer 0 ď z1 ď 10 und statt 10 schreibt man römisch X ř Prüfsumme: :“ z10 ¨ 10 ` z9 ¨ 9 ` . . . ` z2 ¨ 2 ` z1 ¨ 1 Die ISBN wird akzeptiert, wenn die Prüfzumme kongruent 0 modulo 11 ist, denn dann: ÿ ” 0 mod 11 ô ô 0 ” z10 ¨ 10 ` z9 ¨ 9 ` . . . ` z2 ¨ 2 ` z1 ¨ 1 z1 ” ´ pz10 ¨ 10 ` z9 ¨ 9 ` . . . ` z2 ¨ 2q mod 11 mod 11 (wie es sein soll!) Satz 11.3. ‚ Das ISBN Prüfverfahren deckt alle Fehler auf, bei denen genau eine Ziffer falsch ist. ‚ Fehler mit genau 2 falschen Ziffern werden nicht immer entdeckt. ‚ Alle Drehfehler (benachbart oder nicht) werden entdeckt. ‚ Vertauschungen benachbarter 2-er Blöcke werden häufig entdeckt. Die Pharmazentralnummer PZN ist eine siebenstellige Ziffernfolge: 6 Ziffern + Prüfziffer: a1 a2 a3 a4 a5 a6 p Prüfsumme: S :“ 2 ¨ a1 ` 3 ¨ a2 ` 4 ¨ a3 ` 5 ¨ a4 ` 6 ¨ a5 ` 7 ¨ a6 Prüfziffer: p :” S mod 11 oder äquivalent: Die Prüfnummer ist der Rest beim Teilen der Prüfsumme mit Rest durch 11 ñ S “ b ¨ 11 ` p mit 0 ď p ď 10 Version vom 27. Juli 2016 11.3. Die Pharmazentralnummer PZN. Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 129 Beispiel: PZN - 3414966 Auf Korrektheit überprüfen: 2 ¨ 3 ` 3 ¨ 4 ` 4 ¨ 1 ` 5 ¨ 4 ` 6 ¨ 9 ` 6 ¨ 6 “ 138 “ 12 ¨ 11 ` 7 ” 6 mod 11 X Version vom 27. Juli 2016 da p “ 6!! 130 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 11.4. IBAN, Verfahren Modulo 97-10 (ISO 7064). IBAN (=International Bank Account Number) zusammen mit BIC (= Bank Identifier Code) bilden die international einheitlichen Daten zur Identifizierung eines Kontos, die im Rahmen von SEPA (Single Euro Payments Area) zum nationalen und internationalen Zahlungsverkehr benötigt werden. IBAN-Pflicht: 1. Februar 2016 (letzte Frist) Format der BIC: XXXX XXX loomoon looXX moon looXX moon lo omoon Bankcode Ländercode Ortscode Filiale Beispiel: VR Bank Nürnberg: BIC: GENO DE F1 N02 BLZ: 760 60 618 Format der IBAN: maximal 34 Alphanummerische Zeichen: αo1mo αo2n lopo1mo po2n lo Land k 1 k2 ¨ ¨ ¨ k30 looooomooooon Prüfzahl Kontoidentifikation Für Deutschland gilt: DE lopo1mo po2n loooomoooon b1 b2 ¨ ¨ ¨ b8 looooomooooon k1 k2 ¨ ¨ ¨ k10 Prüfzahl Bankleitzahl Kontonummer Berechnung einer IBAN bzw. der Prüfziffer(n) Verfahren Modulo 97-10 (ISO 7064) Beispiel: BLZ: 760 60 618 Kontonummer: 218561 (ist eine zulässige Kn.) Kontonummer hat 6 Stellen, mit Nullen zu 10 Stellen ergänzen ñ IBAN: DE p1 p2 7606 0618 0000 2185 61 DE 00 7606 0618 0000 2185 61 Umstellen 7606 0618 0000 2185 61 DE 00 Ersetze Buchstaben durch Zahlen: A=10, B=11, C=12, D=13. . . 7606 0618 0000 2185 6113 1400 Version vom 27. Juli 2016 Zur Berechnung der Prüfziffern setzt man diese zunächst gleich 00 131 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Teilen mit Rest modulo 97 7606 0618 0000 2185 6113 1400 ” 31 mod 97 98 ´ 31 “ 67 “: p1 p2 Problem Mein Taschenrechner macht Folgendes: 7606 0618 0000 2185 6113 1400 ˜R ñ 7,8413 ¨ 1021 Hilfsmethode 9 Ziffern hkkkkkikkkkkj 7606 0618 0000 2185 6113 1400 “ 760606180 looooomooooon 000 2185 6113 1400 ”80 mod 97 ” 80 000 2185 6313 1400 mod 97 7 Ziffern hkkkkikkkkj “ 8000021 loooomoooon 85 6113 1400 ”43 mod 97 ” 43 85 6112 1300 mod 97 7 Ziffern hkkkkikkkkj “ 4385611 loooomoooon 3 1400 ”47 mod 97 ” 47 2 1300 mod 97 7 Ziffern hkkkkikkkkj “ 4731400 loooomoooon ”31 ” 31 mod 97 mod 97 Prüfzahl: 98 ´ 31 “ 67 (1) (2) (3) (4) (5) Prüfziffern auf 00 setzen α1 α2 p1 p2 nach hinten umstellen Buchstaben durch Zahlen ersetzen: A=10, B=11, C=12, D=13. . . R = Rest modulo 97 berechnen Prüfzahl p1 p2 “ 98 ´ R Version vom 27. Juli 2016 IBAN: DE 67 7606 0618 0000 2185 61 132 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Prüfung einer IBAN auf Korrektheit IBAN: DE 67 7606 0618 0000 2185 61 Umstellen und Buchstaben ersetzen: 7606 0618 0000 2185 6113 1467 ” 1 mod 97 ñ korrekt Klar, denn ñ mod 97 7606 0618 0000 2185 6113 1467 ” 31 ` 67 “ 98 ” 1 mod 97 Version vom 27. Juli 2016 7606 0618 0000 2185 6113 1400 ” 31 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 133 12. Kryptographie 12.1. Monoalphabetische Substitution. Hierbei werden den Buchstaben des Alphabets A (Klartextalphabet) eindeutig die Buchstaben eines Geheimtextalphabets G zugeordnet (angeblich schon von Julius Cäsar angewandt). Der Code bzw. die Codierung oder Verschlüsselung ist die Abbildung: κ : A ÝÑ G Der Schlüssel ist die Umkehrabbildung: κ´1 : G ÝÑ A In diesem Abschnitt gilt: G“A Methode 1: Zyklische Vertauschung A “ tα1 , α2 , . . . , αd u und κn pαi q “ αi`n wobei der Index modulo d zu verstehen ist, also eigentlich αi “ αī Beispiel: A “ unser Alphabet, n “ 3: Klartextalphabet A B C D ... W X Y Z Geheimtextalphabet D E F G . . . Z A B C Hat das Alphabet A genau d (hier d “ 26) Elemente, so gibt es nur d ´ 1 (bzw. 25) Verschlüsselungen dieser Art. Methode 2: Multiplikation statt Addition im Index: A “ tα1 , α2 , . . . , αd u und κm pαi q “ αi¨m Beispiel: m “ 2 und A “ tA, B, . . . Zu, also d “ 26 A ABCDEFGH I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z G BDFH J LNPR T V X Z B D F H J L N P R T V X Z Problem: die Abbildung ist nicht injektiv!! Verallgemeinerung: Wenn ggT pm, dq ‰ 1, dann ist κm nicht injektiv und hat keine Umkehrabbildung, kommt also nicht in Frage. Version vom 27. Juli 2016 Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 134 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Wenn ggT pm, dq “ 1, dann ist κm injektiv, aber es gibt nicht allzu viele neue Verschlüsselungen, nämlich ϕpdq ´ 1 (bzw. ϕp26q ´ 1 “ ϕp13q ¨ ϕp2q ´ 1 “ 12 ¨ 1 ´ 1 “ 11q (ϕpdq ´ 1, weil ϕpdq die Anzahl der Möglichkeiten für m mit ggT pm, dq “ 1, aber m “ 1 bedeutet die Identität, fällt also heraus.) Die Methode ist also auch ziemlich unsicher, weil die wenigen Möglichkeiten einfach und schnell durchgeprüft werden können. Methode 3: Multiplikation und Addition kombinieren: G “ A “ tα1 , α2 , . . . , αd u und κm,n pαi q “ αi¨m`n Davon gibt es nach dem oben gesagten ϕpdq Möglichkeiten für m, so daß ggT pm, dq “ 1, sowie d Möglichkeiten für n, aber κ1,1 “ id fällt heraus, also insgeamt gibt es ϕpdqd ´ 1 Möglichkeiten (bzw. ϕp26q ¨ 26 ´ 1 “ 12 ¨ 26 ´ 1 “ 311). Entschlüsselung von einem mit κm,n codiertem Text Beispiel: d “ 26 (also A “ tA, B, . . . Zu) und pm, nq “ p3, 17q, also κ3,17 . Behauptung: κ´1 3,17 “ κ9,3 . 9 ¨ p3 ¨ i ` 17q ` 3 “ 27 ¨ i ` 9 ¨ 17 ` 33 “ 27 ¨ i ` 156 ” i Ò 1 mod 26 κ9,3 ˝ κ3,17 pαi q “ α9¨p3¨i`17q`3 “ αi mod 26 Ò 6¨26 (für alle i) m1 ¨ pi ¨ m ` nq ` n1 ” i mod d Dann gilt sicher κm1 ,n1 ˝ κm,n “ id Satz 12.1. κm,n ist genau dann invertierbar, wenn ggT pm, dq “ 1. Dann gilt ferner κ´1 m,n “ κm1 ,n1 mit m1 , n1 P Z, so daß m1 “ m´1 in Z{dZ und n1 ” ´m1 ¨ n mod d. Version vom 27. Juli 2016 Allgemein: Angenommen es gibt m1 , n1 , so daß für alle Indices i P t1, . . . , du gilt: 135 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Beweis: κm,n ist genau dann invertierbar, wenn es m1 , n1 gibt mit: m1 ¨ pi ¨ m ` nq ` n1 ” i mod d @i (*) Aber m1 ¨ pi ¨ m ` nq ` n1 “ m1 m ¨ i ` pm1 n ` n1 q also (*) gilt genau dann, wenn: m1 m ” 1 und m1 n ` n1 ” 0 mod d Damit m1 bzw. m´1 P Z{dZ existiert, muss ggT pm, dq “ 1 gelten! Beispiel d “ 26 und pm, nq “ p3, 2q, also κ3,2 : Da ggT p3, 26q “ 1 ist κ3,2 invertierbar. Aber: κ3,2 pα12 q “ α3¨12`2 “ α38 “ α12 Also hat κ3,2 Fixpunkte und ist damit ungeeignet für eine Verschlüsselung! Wann hat κm,n Fixpunkte? Offenbar gilt: κm,n pαi q “ αi ô m¨i`n”i mod d ô d | pmi ` n ´ iq “ pm ´ 1qi ` n (für ein spezielles i) (für dieses i) Das läßt sich nur in Spezialfällen weiter untersuchen: Beispiel d “ 26 und ggT pm, 26q “ 1 Aus ggT pm, 26q “ 1 folgt, daß m ungerade ist, somit sind pm ´ 1q und pm ´ 1qi für alle i gerade. Wenn nun n ungerade wäre, dann wäre pm ´ 1qi ` n ungerade und damit kein Vielfaches der geraden Zahl 26. Folgerung: Wenn d “ 26, ggT pm, 26q “ 1 und n ungerade ist, dann ist κm,n invertierbar und fixpunktfrei! Je mehr Codes zur Verfügung stehen, desto schwieriger bzw. langsamer wird es, alle Möglichkeiten durchzuprobieren, um den richtigen Schlüssel zu finden. Mit den obigen Methoden gibt es aber nicht viele Codes, weniger als 311 im Fall d “ 26. Version vom 27. Juli 2016 26 | pmi ` n ´ iq “ pm ´ 1qi ` n Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 136 Weitere Verallgemeinerung: man permutiert die Buchstaben des Alphabets nicht nur linear, wie oben beschrieben, sondern läßt alle denkbaren Permutationen der d Buchstaben zu. Dann erhöht sich die Anzahl der Möglichkeiten auf d! Codes! Aber auch diese vielen Codes lassen sich relativ einfach (mit Rechnereinsatz) entschlüsseln (d.h. den richtigen Schlüssel finden), wenn man zusätzliche Eigenschaften eines Textes, wie zum Beispiel Buchstabenhäufigkeiten (z.B. e, n, i,. . . ) und Häufigkeiten von Buchstaben-Kombinationen ( z.B. qu, sch, st, ch . . . ) in Abhängigkeit von der Sprache natürlich, berücksichtigt. Denn diese Buchstaben- und Kombinationen findet man dann auch im Geheimtext und kann so auf gewisse Buchstaben zurüchschließen. 12.2. Polyalphabetische Substitution. Hierbei werden in Folge n verschiedene Codes κ1 , . . . , κn auf die Buchstaben des Klartextes angewandt: Wenn z.B. wieder A “ tA, B, . . . , Zu, erfolgt die Verschlüsselung von einem Klartext folgendermaßen: Klartext: dies ist ein code . . . er kann sicher entschluesselt werden . . . Version vom 27. Juli 2016 Geheimtext: κ1 (d) κ2 (i) κ3 (e) κ4 (s) κ5 ( i) κ6 (s) κ7 (t) κ8 ( e) κ9 (i) κ10 (n) κ11 (c) κ12 (o) κ13 (d) κ14 (e) κ15 . . . κn´3 (e) κn´2 (r) κn´1 ( k) κn (a) κ1 (n) κ2 (n) κ3 ( s) κ4 (i) κ5 (c) κ6 (h) κ7 (e) κ8 (r) κ9 (e) κ10 (n) κ11 (t) κ12 (s) κ13 (c) κ14 (h) κ15 (l) κ16 (u) κ17 (e) κ18 (s) κ19 (s) κ20 (e) κ21 (l) κ22 (t). . . Die Anzahl n der Codes κi heißt Periodenlänge. Die Anzahl der möglichen Codes bzw. Schlüssel ist damit p26!qn . Kennt man die Periodenlänge, so ist eine Entschlüßelung einfacher. Darauf bemüht man Methoden wie bei der monoalphabethischen Substitution. 137 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie 13. RSA-Verschlüsselungssystem Das RSA-Verschlüsselungssystem ist ein 1978 entwickeltes Verfahren. Benannt nach seinen Autoren R. Rivest, A. Shamir und L.Adleman. Vorgehensweise: Eine Sender A will dem Empfänger B eine verschlüsselte Nachricht übermitteln. (1) Der Empfänger B bestimmt zwei mindestens 100-ziffrige Primzahlen p und q. (2) n :“ p ¨ q (3) Die Anzahl der zu n teilerfremden natürlichen Zahlen ist (vgl. Satz 5.30 in Abschnitt 5.4): ϕpnq “ ϕpp ¨ qq “ ϕppq ¨ ϕpqq “ pp ´ 1q ¨ pq ´ 1q (4) Sei 1 ă s ă ϕpnq eine zu ϕpnq teilerfremde Zahl (also ggT ps, ϕpnqq “ 1). Z.B. tuts eine Primzahl s ą maxpp, qq, denn diese teilt weder pp ´ 1q noch q ´ 1 ! (5) Bestimme die natürliche Zahl 1 ă t ă ϕpnq mit: s¨t”1 mod ϕpnq ô t̄ “ s̄´1 Verwende dazu den Euklidischen Algorithmus wie in Kapitel 5. (6) Zur folgenden Ver- und Entschlüsselung werden nur die Zahlen s, t und n benutzt. B veröffentlicht die Zahlen s und n. Die Zahl t wird geheimgehalten!! Üblich ist z.B. der ASCII-Code (American Standard Code for Information Interchange), eine 7 oder 8 Bit Zeichencodierung (27 “ 128 Zeichen können so kodiert werden, die deutschen Umlaute gibt es nicht, aber diverse Sonderzeichen, so gilt z.B. A “ 1000001, B “ 1000010 und C “ 1000011). Man zerlegt die Ziffernfolge Z in gleichlange Ziffernblöcke Z “ Z1 , Z2 , . . . , Zk Version vom 27. Juli 2016 Die Zahlen p, q und ϕpnq werden nicht mehr gebraucht und sinnvollerweise vernichtet. (7) Der Sender A verwandelt den Klartext samt Satzzeichen in eine Ziffernfolge Z. 138 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie Die Länge dieser Ziffernblöcke sei ď 100. Damit alle Ziffernblöcke gleich lang sind muss des letzte Block Zk unter Umständen geeignet aufgefüllt werden. (8) Verschlüsselung: A kennt die zur Verschlüsselung notwendigen Zahlen s und n von B (da öffentlich). Nun werden die Zi durch Ci für i “ 1, 2, . . . , k ersetzt, wobei: Zis ” Ci mod n mit 1 ă Ci ă n A übermittelt die Ziffernfolge C1 , C2 , . . . , Ck an B. (9) B kann mit Hilfe der Zahl t den Code entschlüsseln, also die Ziffernblöcke Zi zurückgewinnen, denn: ? Cit ” pZis qt “ Zis¨t ” Zi mod n Beweis von Zis¨t ”Zi mod n Nach Vorraussetzung haben p und q mindestens 100 Stellen, aber alle Zi haben weniger als 100 Stellen. Somit gilt Zi R tp, qu. Da p und q Primzahlen sind gilt: Tn “ Tp¨q “ t1, p, q, p¨q u ñ Zi R Tn ñ ggT pZi , nq “ 1 || n Nach dem Eulerschen Satz (Abschnitt 5.4) gilt somit: ϕpnq Zi ”1 mod n Andererseits gilt nach Wahl von s, t und n: ô ñ mod ϕpnq s ¨ t “ 1 ` b ¨ ϕpnq Zis¨t “ Z 1`b¨ϕpnq (für ein b P N) ´ ¯b ϕpnq “ Zi ¨ Zi ” Zi mod n ||| 1 Fazit: B muss einfach die Blöcke Ci mit t potenzieren um so die Zi zurückzugewinnen. Die Sicherheit des RSA-Verfahrens beruht auf dem immensen Zeitaufwand, große Zahlen in ihre Primfaktoren zu zerlegen. Denn zur Bestimmung des Version vom 27. Juli 2016 s¨t”1 139 Prof. Dr. Birkenhake, Elementare Zahlentheorie geheimen Decodierschlüssels t muß die Kongruenz s¨t”1 mod ϕpnq Version vom 27. Juli 2016 gelöst werden. Weil aber p, q, ϕpnq “ pp ´ 1q ¨ pq ´ 1q und zudem t geheim gehalten wurde, ist die Zerlegung n “ p ¨ q der bekannten Zahl n in ihre beiden Primfaktoren p und q nötig. Aber das ist auch für leistungsstarke Rechner sehr zeitaufwendig.