Multiplikation und Division natürlicher Zahlen

VI. Die Multiplikation und Division natürlicher Zahlen
=================================================================
6.1 Die Multiplikation
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3
4
Wir schreiben 4 + 4 + 4 = 3 ⋅ 4 und damit ist 3 ⋅ 4 = 12.
3 ⋅ 4 heißt Produkt
3 heißt 1. Faktor und 4 heißt 2. Faktor
12 heißt Wert des Produkts
Beispiele :
a) 4 ⋅ 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20
b) 3 ⋅ 12 = 12 + 12 + 12 = 36
Einmaleins-Tafel
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
9 10
9 10
18 20
27 30
36 40
45 50
54 60
63 70
72 80
81 90
90 100
11
11
22
33
44
55
66
77
88
99
110
12
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
13
13
26
39
52
65
78
91
104
117
130
14
14
28
42
56
70
84
98
112
126
140
15
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
16
16
32
48
64
80
96
112
128
144
160
17
17
34
51
68
85
102
119
136
153
170
18
18
36
54
72
90
108
126
144
162
180
19
19
38
57
76
95
114
133
142
171
190
20
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
Rechnerische Multiplikation
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Multiplikation mit Stufenzahlen
123 ⋅ 10 = 1230
123 ⋅ 100 = 123000
2. Halbschriftliche Multiplikation
456⋅9 = (400 + 50 + 6)⋅9 = 400⋅9 + 50⋅9 + 6⋅9 = 3600 + 450 + 54 = 4104
413⋅90 = 413⋅(9⋅10) = (413⋅9)⋅10 = (413⋅9)⋅10 = 3717⋅10 = 37170
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Schriftliche Multiplikation
312
294
624
2808
+
1248
91728
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.2 Rechengesetze der Multipliation
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------I. Das Vertauschungsgesetz der Multiplikation
3⋅4 = 4⋅3
Vertauschungsgesetz - Kommutativgesetz - der Multiplikation :
Der Wert eines Produkts ändert sich nicht, wenn man die Faktoren vertauscht.
a⋅b = b⋅a
a, b ∈ N
Beispiel :
a) 7 ⋅ 29 = 29 ⋅ 7 = 203
II. Das Verbindungsgesetz der Multiplikation
5 ⋅ 4 ⋅ 3 = (5 ⋅ 4) ⋅ 3 = 60
5 ⋅ (4 ⋅ 3) = 5 ⋅ 12 = 60
Vereinbarung :
Hat ein Produkt mehr als zwei Faktoren, dann rechnen wir von links nach rechts.
Wollen wir die Rechenreihenfolge ändern, dann setzen wir Klammern. Was in Klammern
steht, wird dann zuerst berechnet.
Verbindungsgesetz - Assoziativgesetz - der Multiplikation :
Der Wert eines Produkts ändert sich nicht, wenn man in dem Produkt Klammern umsetzt
oder weglässt
(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
a, b, c ∈ N
Beispiel :
a) (4 ⋅ 36) ⋅ 25 = 4 ⋅ 36 ⋅ 25 = 4 ⋅ 25 ⋅ 36 = (4 ⋅ 25) ⋅ 36 = 100 ⋅ 36 = 3600
Man darf in einem Produkt die Faktoren beliebig vertauschen und durch Klammern
verbinden
III. Multiplikation mit Eins und Null
1⋅3 = 3⋅1 = 1 + 1 + 1 = 3
a ⋅ 1=1 ⋅ a = a
a∈N
a ⋅ 0=0 ⋅ a = a
a∈N
0⋅3 = 3⋅0 = 0 + 0 + 0 = 0
Festlegung :
0⋅0= 0
IV. Multiplikation von Summen und Differenzen : Das Verteilungsgesetz
4
12 = 10+2
(10 + 2)⋅4 = (10⋅4) + (2⋅4) = 10⋅4 + 2⋅4 = 40 + 8 = 48
Vereinbarung :
Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Die Vereinbarung kann nur durch Klammern
aufgehoben werden.
Verteilungsgesetz - Distributivgesetz - der Multiplikation :
Eine Summe, Differenz oder arithmetische Summe wird mit einer Zahl multipliziert, indem
man jedes Glied der Summe bzw. Differenz multipliziert und anschließend die Produkte
addiert bzw. subtrahiert.
(a + b) ⋅ c = a⋅⋅c + b⋅⋅c
(a - b)⋅⋅c = a⋅⋅c - b⋅⋅c
(a + b − c)⋅⋅d = a⋅⋅d + b⋅⋅d − c⋅⋅d
mit a, b, c, d ∈ N.
Beispiel :
a) (101 + 25) ⋅ 44 = 101⋅44 + 25⋅44 = 4444 + 1100 = 5544
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Umkehrung
98⋅13 + 2⋅13 = (98 + 2)⋅13 = 100⋅13 = 1300
Sind die Glieder eines gemischten Terms Produkte und besitzen alle Produkte einen gemeinsamen Faktor, dann kann dieser Faktor ausgeklammert werden.
a⋅⋅c + b⋅⋅c = (a + b) ⋅ c
a⋅⋅c - b⋅⋅c = (a - b)⋅⋅c
a⋅⋅d + b⋅⋅d − c⋅⋅d = (a + b − c)⋅⋅d
mit a, b, c, d ∈ N.
Beispiele :
a) 23⋅49 + 23⋅51 = 23⋅(49 + 51) = 23⋅100 = 2300
b) 99⋅88 + 88 = 99⋅88 + 1⋅88 = (99 + 1)⋅88 = 100⋅88 = 8800
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Aufgaben
=================================================================
1. Rechne mit Vorteil
a) 125 ⋅ 8 ⋅ 126  b) 135 ⋅ 1000 − 2 c) 16 ⋅ 296 − 16 ⋅ 46 d) 375 ⋅ 32 + 125 ⋅ 104




--------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Welche der folgenden Zahlen ist am größten ?
a) 2 + 0 + 0 + 3 b) 2⋅0⋅0⋅3 · c) (2 + 0)⋅(0 + 3) · d) 20⋅0⋅3 · ·e) 2⋅0 + 3⋅0
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Berechne 2⋅0 + 0⋅1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Aufgaben
=================================================================
1. Berechne halbschriftlich
a) 247 ⋅ 7
b) 342 ⋅ 12
c) 9052 ⋅ 14
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Berechne in einer Zeile
a) 6928 ⋅ 3
b) 6122 ⋅ 7
c) 7968 ⋅ 5
d) 8091 ⋅ 8
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Berechne in einer Zeile
a) 759 ⋅ 30
b) 538 ⋅ 400
c) 276 ⋅ 2000
d) 6834 ⋅ 70
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Berechne schriftlich
a) 87394 ⋅ 521 b) 94807 ⋅ 184 c) 98009 ⋅ 706 d) 30809 ⋅ 8004
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Bernhard schlägt ein Buch auf und stellt fest, dass die Summe der Seitenzahlen links und
rechts 21 ist.
Was ist das Produkt dieser beiden Zahlen ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Bilde aus den Ziffern 8, 7, 5 und 2 zwei zweistellige Zahlen so, dass ihr Produkt möglichst
groß ist.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. Harald hat 3 Schwestern und 5 Brüder. Seine Schwester Gudrun hat s Schwestern und b
Brüder.
Wie lautet das Produkt s⋅b ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Andreas hat Orangensaftkonzentrat, das man für die Herstellung eines Orangensaftes im
Verhältnis 1 : 3 mit Wasser mischen soll.
Wieviel Liter Saft kann er mit 0,62 l Konzentrat herstellen ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Andreas wird an Claudias drittem Geburtstag geboren (also genau drei Jahre nach ihr !).
Wie alt wird Andreas sein , wenn Claudia doppelt so alt ist wie er ist ?
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.3 Quadrate, Kuben, Potenzen
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------I. Quadrate
Wir schreiben 4 ⋅ 4 = 42 = 16
42 heißt Quadrat
16 heißt Wert des Quadrat und wird als Quadratzahl bezeichnet
Allgemein schreiben wir a ⋅ a = a2
a ∈ N0
Größere Quadratzahlen :
a
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
a2
121
144
169
196
225
256
289
324
361
400 441
22
23
24
25
484
529
576
625
Beispiele :
a) 3 + 42 = 3 + 16 = 19
b) (3 + 4)2 = 72 = 49
d) 3⋅42 = 3⋅16 = 48
e) (3⋅4)2 = 122 = 144 f) 32⋅42 = 9⋅16 = 144
II. Kuben
c) 32 + 42 = 9 + 16 = 25
Wir schreiben 4 ⋅ 4 ⋅ 4 = 43 = 64
43 heißt Kubus
64 heißt Wert des Kubus und wird als Kubikzahl bezeichnet
Allgemein schreiben wir a ⋅ a ⋅ a = a3 , a ∈ N0
Kubikzahlen :
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
a3
1
8
27
64
125
216
343
512
729
11
12
1000 1331 1728
III. Potenzen
Wir schreiben 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 34 = 81
34 heißt Potenz
3 heißt Grundzahl oder Basis
4 heißt Hochzahl oder Exponent
81 heißt Wert der Potenz
Zweierpotenzen
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2n
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
9
10
Dreierpotenzen
n
1
2
3
4
5
6
7
8
3n
3
9
27
81
243
729
2187
6561
19683 59049
Beispiele :
a) 53⋅2 − 5⋅23 = 125⋅2 − 5⋅8 = 250 − 40 = 210

4
b) 1 + 23 = (1 + 8)4 = 94 = 6561


Mathematischer Ausflug : Mersenne-Zahlen und Mersennesche Primzahlen
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Eine natürliche Zahl z heißt eine Mersenne-Zahl, wenn es eine natürliche Zahl n gibt, so dass
z = 2n − 1
Unter den Mersenne-Zahlen befinden sich viele Primzahlen.
Damit eine Mersenne-Zahl 2n − 1 prim ist, muss auf jeden Fall auch n prim sein.
Mersenne Zahlen
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Mn
2 −1 = 3
23 − 1 = 7
24 − 1 = 15
25 − 1 = 31
26 − 1 = 63
27 − 1 = 127
28 − 1 = 255
29 − 1 = 511
210 − 1 = 1023
211 − 1 = 2047
212 − 1 = 4095
213 − 1 = 8191
214 − 1 = 16383
215 − 1 = 32767
216 − 1 = 65535
217 − 1 = 131071
218 − 1 = 262143
219 − 1 = 524287
2
prim
prim
3⋅ 5
prim
3⋅ 3⋅ 7 = 32⋅ 7
prim
3⋅ 5⋅ 17
7⋅ 73
3⋅ 11⋅ 31
23⋅89
3⋅ 3 ⋅ 5⋅ 7⋅ 13 = 32⋅ 5⋅ 7⋅ 13
prim
3⋅ 43⋅ 127
7⋅ 31⋅ 151
3⋅ 5⋅ 17⋅ 257
prim
zusammengesetzt
prim
Größte zur Zeit bekannte Primzahl : 2225964951 − 1
Mathematischer Ausflug : Fermatsche Zahlen
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------n
Die Zahlen Fn = 22 + 1 mit n ∈ N heißen Fermatsche Zahlen.
n
1
2
3
4
5
Fn
5
17
257
65537
4294967297
prim
prim
prim
prim
641⋅ 6700417
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Aufgaben
=================================================================
1. Berechne
a) 3 ⋅ (2 ⋅ 3)3 − 6 ⋅ 34  ⋅ (53 + 4)




3


b) 43 − 3⋅24 



4
c)5 ⋅ 34 − 5002 : 63 : 24 − 4


---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.4 Die Primfaktorzerlegung
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------600 = 2⋅300 = 2⋅2⋅150 = 2⋅2⋅2⋅75 = 2⋅2⋅2⋅3⋅25 = 2⋅2⋅2⋅3⋅5⋅5 = 23⋅3⋅52
Jede Zahl, die keine Primzahl ist, lässt sich bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig
als
in ein Produkt von Primzahlen zerlegen. Man nennt dies die Primfaktorzerlegung der Zahl.
Folgerung :
Eine Zahl, die durch
2 und 3 teilbar ist, ist auch durch
4 und 3
3 und 5
9 und 2
6 teilbar.
12
15
18
Beispiel :
7350 = 2⋅3675 = 2 ⋅ 3 ⋅ 1225 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 245 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 49 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 49 =
= 2⋅3⋅5⋅5⋅7⋅7
7350
3625
1225
245
49
7
1
2
3
5
5
7
7
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Aufgaben
=================================================================
1. Zerlege in Primfaktoren
a) 630
b) 836
c) 975
d) 1488
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------2. Bestimme die Primfaktorzerlegung von 504 und begründe ohne Rechnung, dass 504 durch
28 teilbar ist.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Das Produkt der Alter der Kinder einer Familie ist 1664. Der Jüngste ist halb so alt wie
der Älteste.
Wie viele Kinder hat die Familie ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Die Zahl 2000 kann man durch mehrfaches Multiplizieren der Zahlen 2 und 5 erhalten.
Wie viele davon benötigt man jeweils ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. Im Schulhof sind 19 Mädchen und 12 Buben. Wie viele müssen mindestens noch dazukommen, damit sie 6 gleich große Mannschaften bilden können, in denen alle mitspielen ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.5 Praktische Anwendung der Multiplikation
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Beispiel :
1 Liter j 120 Cent
1 Liter Benzin kostet 1 € 20 Cent
42 Liter kosten 42 ⋅ 1 € 20 Cent = 42 € 840 Cent = 50 € 40 Cent 42 Liter j 5040 Cent
Das Doppelt einer Ware kostet den doppelten Geldbetrag, das Dreifache der Ware den dreifachen Geldbetrag usw.
Liter
Geldbetrag
1
120 Cent
2
240 Cent
3
360 Cent
4
480 Cent
5
600 Cent
6
720 Cent
1€
1
2
3
4
5
6
Liter
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Aufgaben
=================================================================
1, Vier Äpfel kosten um 60 Cent weniger als fünf Bananen, sieben Äpfel kosten um 30 Cent
mehr als fünf Bananen. Wie hoch ist der Preis einer Banane ?
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.6 Division
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Die Division ist die Umkehrung der Multiplikation.
Ist 3 ⋅ 4 = 12, dann schreibt man 12 : 3 = 4
12 : 3 heißt Quotient
12 heißt Dividend
3 heißt Divisor
4 heißt Wert des Quotienten
Sonderfälle .
a) Divisor 1
5 : 1 = 5 , weil 1 ⋅ 5 = 5
17 : 1 = 17 , weil 1 ⋅ 17 = 17
n:1 = n ,n∈N
b) Dividend 0
0 : 3 = 0 , weil 3 ⋅ 0 = 0
0 : 13 = 0 , weil 13 ⋅ 0 = 0
0:n = 0
n∈N
c) Die Division durch 0 hat keinen Sinn.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Rechnerische Division
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------608 : 2 = (600 + 8) : 2 = 600 : 2 + 8 : 2 = 300 + 4 = 304
490 : 5 = (500 − 10) : 5 = 500 : 5 − 10 : 5 = 100 + 2 = 102
804 : 6 = (600 + 180 + 24) : 6 = 600 : 6 + 180 : 6 + 24 : 6 = 100 + 30 + 4 = 134
Ein gemischter Term kann durch eine Zahl dividiert werden, indem man jedes Glied dividiert und den gemischten Term der Quotienten bildet.
(a + b − c) : d = a : d + b : d − c : d
1. Halbschriftliche Division
372 : 3 = (300 + 60 + 12) : 3 = 300 : 3 + 60 : 3 + 12 : 3 = 100 + 20 + 4 = 124
21654 : 9 = 2406
2. Vollschriftliche Division
6981 : 13 = 537
65
48
39
91
91
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Division mit Rest
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------1. Der Rest
7 = 2+2+2+1
Man schreibt
7 : 3 = 2 R 1 , wobei1 der Rest ist, der beim Teilen durch 3 bleibt
2. Das Runden von Resten
60 : 7 = 8 R 4 ≈ 9
Beträgt der Rest mindestens die Hälfte des Divisors, dann rundet man auf, andernfalls ab.
Teilung und Messung
Herr Huber hat 12 Bonbons.
a) Er verteilt die Bonbon an 3 Kinder. Wie viele Bonbons erhält jedes Kind ?
b) Er vetteilt sie an Kinder und gibt jedem Kind 3 Bonbons. Wie viele Kinder beschenkt er ?
Veranschaulichung :
a) Teilung
:3=
b) Messung (Aufteilen)
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Aufgaben
=================================================================
1. Berechne

 

d) 6 ⋅ 108 : 4 ⋅ 103

 

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------a) 7200 : 90
b) 4800000 : 60000
c) 500000 : 800
2. Berechne
a) 1813 : 49
b) 13608 : 42
c) 20503 : 29
d) 13961 : 607
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. Teile 68079 durch 46, 78 und 39.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------4. Berechne
(2003 + 2003 + 2003 + 2003 + 2003 + 2003) : (2003 + 2003)
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------5. In den Ferien haben August, Birgit und Chris zusammen 280 Euro verdient. August hat
doppelt so lang wie Birgit und vier mal so lang wie Chris gearbeitet. Sie wollen ihr Geld
gerecht aufteilen.
Wie viel bekommt Chris ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. Vor drei Jahren waren die Drillinge Paul, Luis und Alfonso zusammen mit ihrer um vier
Jahre älteren Schwester Anja genau 24 Jahre alt. Wie alt ist Anja jetzt ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. In einer Schulklasse mit 29 Schülern befinden sich um 3 Mädchen mehr als Burschen.
Wie viele Mädchen sind in der Klasse ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. In einem Flugzeug sind 108 Sitze. Bei einem Flug bleibt jeder dritte Platz frei.
Wie viele Passagiere sind im Flugzeug ?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. Die Summe von 5 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist 2000.
Wie lautet die größte dieser Zahlen ?
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------10. Eine natürliche Zahl wird durch 11 und durch 14 dividiert.
Welche der folgenden Zahlen kann nicht die Summe der verbleibenden Reste sein ?
a) 0 b) 3 c) 11 d) 19 e) 15
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
6.7 Anwendungen der Division
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------6 j 99 Cent
6 Eier kosten 99 Cent.
1 Ei kostet 99 Cent : 6 = 13
1
Cent
2
1 j 99 Cent : 6 = 13
1
Cent
2
Das Hälfte einer Ware kostet den halben Geldbetrag, ein Drittel der Ware den dritten Teil
des Geldes usw.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------