Wahrscheinlichkeitsrechnung EF

Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF
1.
2.
3.
4.
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel
Verteilung und Erwartungswert von Zufallsgrößen
(Seite 1)
(Seite 2 )
(Seite 4)
(Seite 6)
1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechung
Definition: Ein Versuch/Experiment, bei dem der Ausgang ungewiss ist, nennt man
Zufallsversuch oder Zufallsexperiment.
Die verschiedenen Ausgänge des Versuchs heißen Ergebnisse,
ein Ereignis besteht aus einem oder mehreren Ergebnissen.
Beispiele:
einstufiger
Zufallsversuch
Zufallsversuch 1
1x Würfeln
{1; 2; 3; 4; 5; 6}
Zufallsversuch 2
1x Münze werfen
{ Z; W}
Zufallsversuch 3
Punkte einer Klausurnote
{0; 1; 2; ...; 15}
A = gerade Zahl
= {2; 4; 6}
A = Zahl
= {Z}
A = Note mindestens 2
= {10, 11, 12, 13, 14, 15}
mehrstufiger
Zufallsversuch
Zufallsversuch 4
2x Würfeln
Zufallsversuch 5
2 Geburten
Menge der
Ergebnisse
{(1|1), (1|2),..., (1|6),
(2|1), …, (2|6), …,
(6|1), …, (6|6)}
A = Pasch würfeln
= {(1|1), (2|2),..., (6|6)}
{JJ, JM,
MJ, MM}
Zufallsversuch 6
3 Teile werden kontrolliert, ob
sie brauchbar sind,
{bbb, bbu, bub, ubb, buu,
ubu, uub, uuu}
Menge der
Ergebnisse
ein mögliches
Ereignis
ein mögliches
Ereignis
Definition:
E = mindestens ein
Mädchen
= {MM, MJ, JM}
A= mindestens ein
brauchbares Teil
= {bbb, bbu, bub, ubb, buu,
ubu, uub, uuu}
_
Ist E ein Ereignis, so bezeichnet man mit E = das Gegenereignis, das genau dann eintritt,
wenn E nicht eintritt.
2. Grundlegende Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
Für jedes Ereignis E gilt 0 ≤ P(E) ≤ 1 [0% ≤ P(E) ≤ 100%]
(Negative Wk oder Wk über 100% gibt es nicht.)
Die Wahrscheinlichkeiten für ein Ereignis und für sein Gegenereignis ergänzen sich zu 1:
_
P(E ) = 1 – P(E)
Beispiel:
Zufallsversuch 6 (s. o.) P(A) = 1– P( A ) = 1 – P(uuu)
Besteht ein Ereignis aus den Ergebnissen e1, e2, ... ek ,
so gilt
P(E) = P(e1) + P(e2) + ...+ P(ek).
Beispiel: (Zufallversuch 6)
D: Unter drei Stücken sind genau 2 brauchbar.
D besteht aus drei Ergebnissen, deren Wahrscheinlichkeiten addiert werden müssen:
D = {(bbu), (bub), (ubb)};
P(D) = P(bbu) + P(bub) + P(ubb) = ...
Sind alle Ergebnisse eines ZV gleich wahrscheinlich (LAPLACE-Experiment), so gilt:
Anzahl der zu E gehörenden (" günstigen") Ergebnisse
P(E) =
Anzahl aller Ergebnisse
Beispiel:
E: Summe 5 beim 2fachen Würfeln;
(Alle 36 Möglichkeiten sind bei einem fairen Würfel gleich wahrscheinlich!)
4 1
E= {(1|4), (2|3), (3|2), (4|1)}; P(E) =
=
36 9
Pfadregeln
Pfadregeln:
1. Die Wahrscheinlichkeit für einen „Pfad“ in einem Baumdiagramm erhält man dadurch, dass man die
Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades multipliziert.
2. Besteht ein Ereignis aus mehreren Pfaden, so muss man die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen
Pfade berechnen und die Ergebnisse addieren.
Beispiel 1: Eine Münze wird zweimal geworfen
0,5
0,5
K
0,5
Z
0,5
0,5
K
Z
K
(K,K)
(K,Z)
(Z,K)
Menge der Ergebnisse S = { KK, KZ, ZK, ZZ}
E1: Es fällt keinmal Kopf; E2 = {ZZ}
0,5
Z
(Z,Z)
E2: Es fällt einmal Kopf und einmal Zahl; E2 = { KZ, ZK}
E3: Es fällt mindestens einmal Kopf; E1 = { KK, KZ, ZK}
1 1 1
1 1 1 1 1
3
P(E1) = ⋅ = ; P(E2) = ⋅ + ⋅ = ; P(E3) = 1 – P(E1) =
2 2 4
2 2 2 2 2
4
Beispiel 2 Ein Würfel wird mit den Zahlen 1, 1, 2, 3, 3, 3 beklebt und zweimal geworfen.
1
3
2
3
1
1
3
1
1
2
1
6
2
1
3
3
1
2
1
6
1
6
1
2
3
1
3
1
2
1
6
1
3
2
1
2
3
Summe der beiden Zahlen ist kleiner als 4.
E1: Die
1 1 1 1 1 1 2
⋅ + ⋅ + ⋅ =
3 3 3 6 6 3 9
E2: Die beiden Zahlen sind gleich. E2 = { (1|1), (2|2), (3|3)};
1
1
1 14
7
+ +
+
P(E2) = +
≈ 39%.
9 36 4 36 18
E1 = { (1|1), (1|2), (2|1)}; P(E1) =
Beispiel 3
In einer Urne mit 2 roten und einer schwarzen Kugel werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen.
2
3
1
3
r
1
2
r
s
1
2
1
r
s
E: Es werden zwei Kugeln unterschiedlicher Farbe gezogen; E={rs, sr}
P(E) =
2 1 1
2
⋅ + ⋅1 =
3 2 3
3
Oder über das Gegenereignis: E = {rr}; P( E ) =
2 1 1
1 2
⋅ = ; P(E) = 1– =
3 2 3
3 3
Beachte:
- Alle Pfade, die von demselben Punkt ausgehen, besitzen zusammen eine
Wahrscheinlichkeit von 1.
- Die Unterteilung in Pfade hängt von der Aufgabenstellung ab. Wenn z. B. beim
Würfeln nur nach Sechsen gefragt wird, so unterteilt man in die beiden Pfade 6
und 6 (und nicht in 1, 2, 3, 4, 5, 6).
3. Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel
Definition: Unter PA(E) versteht man die Wahrscheinlichkeit von E unter der Bedingung A.
[Es ist auch die Schreibweise P(E|A) üblich.]
Man fragt sich also, mit welcher Wk E eintritt, falls man die zusätzlich weiß, dass A eingetreten ist.
Beispiel für eine Wk ohne Bedingung: Mit welcher Wk löst ein zufällig ausgesuchter Schüler eine
bestimmte Aufgabe?
Bedingte Wk: Mit welcher Wk löst ein zufällig ausgesuchter Schüler eine bestimmte Aufgabe, falls
dieser Schüler in Mathematik eine 1 hat?
Fragen zur bedingten Wk kann man immer in die Form bringen: „Mit welcher Wk …, falls ….
Beispiel:
Von den zwei Kindern einer Familie ist das eine ein Mädchen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das
andere ein Junge?
Mit welcher Wk ist ein Kind aus einer Zwei-Kind-Familie ein Junge, falls das andere ein Mädchen
ist?
Mit einer Vierfeldertafel lässt sich der Unterschied zwischen bedingter und nicht bedingter Wk gut
darstellen:
Beispiel:
___
Jugendliche wurden nach Rauchverhalten (Raucher R oder Nichtraucher R )
___
und nach ihrer Zufriedenheit mit dem Körpergewicht (Z oder Z befragt.
Z
R
___
R
___
Z
15%
12%
27%
45%
60%
28%
40%
73%
100%
Aus der Tabelle entnimmt man die (unbedingten) Wahrscheinlichkeiten:
• 15% aller Befragten sind Raucher und mit ihrem Gewicht zufrieden.
• 12% aller Befragten sind Raucher und mit ihrem Gewicht nicht zufrieden.
• 45% aller Befragten sind Nichtraucher und mit ihrem Gewicht zufrieden.
• 28% aller Befragten sind Nichtraucher und mit ihrem Gewicht nicht zufrieden.
• 27% aller Befragten sind Raucher.
• 73% aller Befragten sind Nichtraucher.
• 60% aller Befragten sind mit ihrem Gewicht zufrieden.
• 40% aller Befragten sind mit ihrem Gewicht nicht zufrieden.
Wie erhält man nun z. B. die Wk, dass ein Befragter mit seinem Gewicht zufrieden ist, falls dieser
Befragte Raucher ist?
Die zufriedenen Raucher werden jetzt nur noch auf die Raucher bezogen, da Nichtraucher in diesem
Falle ausgeschlossen sind, d.h. man muss berechnen, wie hoch der Anteil der zufriedenen Raucher
an allen Rauchern (und nicht an allen Befragten) ist. PR(Z) = 15% von 27 % =
Man trifft eine Person, die nicht mit ihrem Gewicht zufrieden ist.
Mit welcher Wk raucht die Person?
___
P Z (R) =12% von 40% = 0,3 = 30%
Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit:
PA(E) = P(E∩A)
P(A)
5
.
9
Zusammenhang zwischen Baumdiagramm und Vierfeldertafel
___
F
___
F
S
S
40%
30%
70%
20%
60%
10%
40%
30%
100%
Die vier inneren Wahrscheinlichkeiten der
Vierfeldertafel sind die Wahrscheinlichkeiten für
die 4 Pfade.
Die beiden Wahrscheinlichkeiten auf der ersten Stufe
findet man am rechten oder unteren Rand, je nachdem
welches Merkmal auf der ersten Stufe unterschieden wird.
0,7
F
Die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe des
Baumdiagramms sind bedingte Wahrscheinlichkeiten,
2
(oberes Baumdiagramm)
3
4
= (unteres Baumdiagramm)
7
1
3
z. B. PS(F) =
oder PF(S)
0,3
S
S
0,4
0,3
0,2
0,1
Mit der Vierfeldertafel müsste man
diese folgendermaßen berechnen:
2
3
4
= .
7
PS(F) = 40% von 60% = .
PF(S) = 40% von 70%
Wenn im Baumdiagramm die bedingten Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe fehlen, könnte man
sie mit Hilfe der ersten Pfadregel ermitteln.
2
(oberes Baumdiagramm)
3
4
0,7 · PF(S) = 0,4 ⇔ PF(S) = 0,4 : 0,7 =
(oberes Baumdiagramm)
7
0,6 · PS(F) = 0,4 ⇔ PS(F) = 0,4 : 0,6 =
4. Verteilung und Erwartungswert einer Zufallsgröße
Bei vielen Zufallsexperimenten ist nicht so sehr an den eigentlichen Ergebnissen sondern an den
Konsequenzen, z.B. Gewinn oder Verlust, Anzahl der brauchbaren Stücke, Anzahl der Jungen,
interessiert.
Die Ergebnisse werden also unter einem bestimmten Aspekt zusammengefasst.
Definition: Eine Zufallsgröße X ist eine Funktion, die jedem Ergebnis eines Zufallsversuches (unter
einem bestimmten Aspekt) eine reelle Zahl zuordnet.
Beispiele:
Zufallsexperiment
a) 3 Geburten
b) Qualitätskontrolle bei 4
ausgewählten Teilen
c)
Münze 3mal werfen
d)
Würfel 2mal werfen
Zufallsgröße X
Anzahl der Jungen
Anzahl der brauchbaren Teile
Wertemenge von X
W(X) = {0;1;2;3}
W(X) ={0; 1; 2; 3; 4}
Nettogewinn von Spieler A
nach Gewinnplan (*)
W(X) = {6; 4; 0; -6}
Summe der beiden
W(X) = {2; 3; 4; ...; 12}
Augenzahlen
(*) Zwei Spieler A und B werfen drei Münzen und vereinbaren folgenden Gewinnplan: der
Spieler A erhält vom Spieler B 6 €, wenn dreimal Wappen fällt, und 4 €, wenn zweimal Wappen
fällt. Der Spieler A zahlt an Spieler B 6 €, wenn einmal Wappen fällt. Erscheint dreimal Zahl, so
braucht keiner der Spieler zu zahlen.
Zu jedem Wert k einer ZG kann man nun die zugehörige Wahrscheinlichkeit berechnen.
Definition: Die Tabelle mit den Wahrscheinlichkeiten P(X=k) für alle möglichen Werte k heißt
Verteilung der Zufallsgröße X.
Beispiele: (Definition der Zufallsgrößen siehe oben.)
a) Annahme: P(J)=P(M)=0,5
k
0
1
2
3
P(X=k)
1
3
3
1
8
8
8
8
b) Annahme: P(b) = 0,9
k
P(X=k)
0
1
2
3
4
0,0001 0,0036 0,0486 0,2916 0,6561
c) Annahme: Laplace-Münze
k
6
4
0
-6
P(X=k)
1
3
1
3
8
8
8
8
d) Annahme: Laplace-Würfel
k
P(X=k)
2
2
36
3
3
36
4
4
36
5 6 7 8 9 10 11 12
5 6 7 6 5 4 3 2
36 36 36 36 36 36 36 36
Häufig ist man bei Zufallsgrößen daran interessiert, womit man im Durchschnitt rechnen kann
(Gewinnspiele, Ausschussstücke,...). Dies führt zu der
Definition: Sind k1, k2,..., kn die Werte einer Zufallsgröße X, so heißt
k1P(X=k1)+ k2P(X=k2)+...+knP(X=kn)
der Erwartungswert der Zufallsgröße X und wird mit E(X) bezeichnet.
In der Verteilungstabelle braucht man also nur alle Werte mit ihrer zugehörigen Wahrscheinichkeiten zu
multiplizieren (zu gewichten) und die Ergebnisse zu addieren.
Beispiele: (Zufallsgrößen siehe oben)
a) E(X) = 1,5 b) E(X) = 3,6
c) E(X) =
1
(6•1+4•3+0•1+(-4)•3) = 0,75
8
d) E(X) = 7
In Aufg. c) bedeutet das Ergebnis, dass Spieler A pro Spiel im Schnitt mit 75 Cent Gewinn rechnen
kann, was umgekehrt einen Verlust von 75 Cent pro Spiel für Spieler B bedeutet. Das Spiel ist nicht
fair.
Definition: Ein Spiel ist fair, wenn der Erwartungswert des Nettogewinns (=Auszahlung
minus Einzahlung) gleich 0 ist
(oder: wenn der Erwartungswert der Auszahlung gleich dem Einsatz ist.)
3 unterscheidbare Münzen werden geworfen. Der Spieler erhält für dreimal Wappen
3 €, für zweimal Wappen 2 €; er muss für einmal Wappen 1 € und keinmal Wappen 5 € bezahlen.
X = Gewinn bei einer Spieldurchführung in €.
Verteilung:
k
3
2
P(X=k)
3
1
8
8
-1
3
8
-5
1
8
Summe
1
1
3
1
Erwartungswert: E(X) = 3 ⋅ + 2 ⋅ − 5 ⋅ = 0,125 €
8
8
8
Bei diesem Spiel kann man mit 12,5 Ct Gewinn pro Spiel rechnen.
Beachte, dass die bekannte Berechnung der Durchschnittsnote bei einer Klassenarbeit auch die obige
Formel verwendet:
Note
Anzahl
P(X=k)
1
3
3
20
2
3
4
2
7
5
2
7
5
20
20
20
3
2
7
5
3
E(X) = (1·3+2·2+3·7+4·5+5·3):20 = 1· 20 +2· 20 +3· 20 +4· 20 +5· 20
5
3
3
20
= 3,15
6
0
0