S- Multiplikation und Einheitsvektoren

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
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17.11.2010
S- Multiplikation und Einheitsvektoren
Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl
Ein algebraischer Term der Form 4a bedeutet: 4a = a + a + a + a.
3
3
Unter a versteht man entsprechend
von a.
4
4
Diese Schreibweise, mit ihrer Bedeutung, kann man auch für Vektoren übernehmen.
G G G G G
Unter 4a = a + a + a + a
verstehen wir einen Vektor
G
mit der Richtung und Orientierung
von a
G
und der 4- fachen Länge von a.
a
a
a
a
a
4a
3G
a verstehen wir einen Vektor
4
G
mit der Richtung und Orientierung von a
G
3
und
der Länge von a.
4
a
Unter
Definition:
3
a
4
G
Es sei k eine
positive
reelle Zahl und a ein Vektor.
G
G
Unter k ⋅ a = k a ist derGVektor zu verstehen, der dieselbe Richtung
G
und Orientierung wie a hat
G Gund der k- mal so lang ist wie a.
Weiterhin soll gelten: 0 a = 0 (Nullvektor )
G
G
G
G
und − k a = ( −k ) a = − k a Gegenvektor von k a
( )(
)
Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl nennt man auch S- Multiplikation.
Für die S- Multiplikation gelten folgende Rechenregeln:
G G
Satz:
Für jede Zahl k, k 1 ,k 2 und a,b als Vektoren gilt:
G
G
k1 k 2 a = k 1 ⋅ k 2 a
assoziatives Gesetz
G
G
G
(k1 + k 2 ) a = k1 a + k 2 a 1. Distributivgesetz
G G
G
G
k a + b = ka + kb
2. Distributivgesetz
G G
1a = a
( )
(
)
Einheitsvektoren
Definition:
Wir nennen zwei Vektoren (zueinander) parallel (oder kollinear), wenn
einer von beiden ein Vielfaches des anderen ist.
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Definition:
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Verwendet man zur Darstellung aller kollinearen (parallelen) Vektoren
G
G
einen Grundvektor a mit der Länge 1 ( also a = 1),
JJG
so bezeichnet man diesen als Einheitsvektor e a
G
in der Richtung des Vektors a.
Die Länge eines Vektors wird auch Betrag des Vektors genannt.
Alle Vektoren mit der Länge 1 werden als Einheitsvektoren bezeichnet.
G G JJG
JJG 1 G
a = a ea mit ea = G a
a
Jeder beliebige Vektor lässt sich als
Vielfaches seines Einheitsvektors
darstellen.
Beispiel:
Zeichnung:
Gegeben sind die Vektoren
G
JJG
G
JJG
G G
a = 4e a und b = 3e b ; ) a;b = 600
b
( )
Zeichnen
G
G Sie die Vektoren
a
JJGundJJGb ,
JJG JJG
e a + e b sowie e a − e b
eb
und berechnen Sie
JJG JJG
JJG JJG
e a + e b sowie e a − e b
A
a
-
eb
(
b = 12 + 12 − 2 ⋅ 1⋅ 1⋅ cos 120 0
a=1
a=1
B
600
c=1
b=?
eb
b = a2 + b2 − 2ac ⋅ cos ( β )
120
c=1 B
C
eb
Die Berechnung der Seite b erfolgt mit dem Cosinussatz.
JJG JJG
Dabei bedeutet b = ea + eb
b=?
0
+
ea
ea - eb
C
e
a
)
b = 1 + 1 − 2 ⋅ ( −0,5 ) = 3 ≈ 1,734
JJG JJG
⇒ ea + eb = 3 ≈ 1,734
Die Berechnung der Seite b erfolgt mit dem Cosinussatz.
JJG JJG
Dabei bedeutet b = ea − eb
A
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b = a2 + b2 − 2ac ⋅ cos ( β )
(
b = 12 + 12 − 2 ⋅ 1⋅ 1⋅ cos 60 0
)
b = 1 + 1 − 2 ⋅ 0,5 = 1 = 1
JJG JJG
⇒ ea − eb = 1 = 1
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Der Vektorraum
Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, deren Elemente
Vektoren heißen. Diese können addiert oder mit Zahlen (Skalaren) multipliziert
werden. Das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraums.
In einem reellen Vektorraum V, das ist ein solcher, in dem die Skalare reelle Zahlen
sind, gelten folgende Gesetze:
G G G
Für jede Zahl k; k 1 ;k 2 ∈ \ und a;b;c ∈ V als Vektoren gilt:
G G
G G G G
a+b +c = a+ b+c
Assoziativgesetz der Addition
G G G
a+0 = a
Nullelement bezüglich der Addition in V
G
G
G
Inverses Element bezüglich der Addition
a + −a = 0
G G G G
a+b = b+a
Kommutativgesetz der Addition
G
G
k 1 k 2 a = k1 ⋅ k 2 a
Assoziativgesetz der Multiplikation
G
G
G
Distributivgesetz bei der Addition von Skalaren
( k1 + k 2 ) a = k1 a + k 2 a
G
G
G G
Distributivgesetz bei der Addition von Vektoren
k a + b = ka + kb
G G
1a = a
Unitäres Gesetz
{
(
)
}
(
)
{
}
( )
( )
(
)
Obige Definition ist auf den reellen Vektorraum beschränkt, da im Folgenden nur in
solchen Strukturen gearbeitet wird.
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