3. ¨Ubungsblatt zur ” Mathematik 1 für Maschinenbauer
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Prof. Dr. Christian Fleischhack Tobias Black, Johannes Lankeit Wintersemester 2015/2016 30.10.2015 3. Übungsblatt zur Mathematik 1 für Maschinenbauer“ ” Bitte fertigen Sie Ihre Abgabe handschriftlich und nicht mit Bleistift an. Keine Gruppenabgaben. Jeder Übungszettel soll getackert und mit Deckblatt versehen sein, auf dem Name, Matrikelnummer, Übungsgruppe und Punktetabelle vermerkt sind. Auf ungetackerte Übungszettel wird mit Punktabzug reagiert. Alle Lösungswege sind ausreichend zu erläutern. Verspätete Abgaben können nicht bewertet werden. Abgabe der Hausübungen bis Montag, 09.11.2015, 9:15 Uhr in den orangefarbenen Kästen im ersten Stock des D-Gebäudes. • Kasten Nr. 12: Übungsgruppen MB01, MB02, MB03, MB04 und MB05 • Kasten Nr. 13: Übungsgruppen MB06, MB07, MB08, MB09 und MB10 • Kasten Nr. 14: Übungsgruppen W01, W02, W03, W04 und W05 • Kasten Nr. 15: Übungsgruppen W06, W07, W08, W09, W10 und CIW Webseite zur Vorlesung: http://tinyurl.com/ma1masch-wise1516 Gruppenübungen Aufgabe G 1 Ein Dreieck sei durch die Eckpunkte A = (1, 1), B = (5, 1) und C = (5, 4) gegeben. (a) Skizzieren Sie das Dreieck in einem geeigneten ebenen Koordinatensystem. −−→ −−→ −→ −−→ (b) Bestimmen Sie die Vektoren AB, BC und CA und berechnen Sie den Vektor AB + −−→ −→ BC + CA. (c) Berechnen Sie die Seitenlängen des Dreiecks. Aufgabe G 2 2 3/5 1 → − → − → − → − . Bestimmen Sie v ⊥ und v k zu e = und zu e = 40 4/5 0 → − → − → − → − → − → − π (b) Geben Sie Vektoren w 1 und w 2 an, sodass v ⊥ w 1 und ^( v , w 2 ) = 6 . − (a) Es sei → v = Aufgabe G 3 Gegeben seien die folgenden Punkte in der Ebene: A = (1, 1), B = (2, −2), C = (−4, 0), D = (0, −1), E = (0, −3), F = (−2, 2), L = (1, 3), M = (−0.5, −2). (a) Zeichnen Sie die Punkte A bis F in ein kartesisches Koordinatensystem und lesen Sie ihre Polarkoordinatendarstellungen (r, ϕ) aus der Zeichnung ab. Der Winkel ϕ soll dabei im Intervall [0, 2π) liegen. (b) Berechnen Sie nun die Polarkoordinatendarstellung (r, ϕ) der Punkte L und M gemäß den Gleichungen aus der Vorlesung. Hausübungen Abgabe bis 09.11.2015 Aufgabe H 1 (8 Punkte) Gegeben √ seien die Punkte P = (3, −2), Q = (−1, 5) sowie R mit den Polarkoordinaten rR = 2, ϕR = π4 . (a) Geben Sie die Koordinaten von P , Q als Polarkoordinaten und die von R in kartesischen Koordinaten an. (b) Welchen Radius hat jeder Vollkreis1 um den Ursprung mindestens, der P , Q und R enthält? −−→ −→ −−→ −−→ −−→ (c) Berechnen Sie P Q, P R, QR und geben Sie ^(P Q, QR) an. −−→ − − (d) Bestimmen Sie einen Vektor → v ∈ R2 mit ^(→ v , P Q) = π . 2 (e) Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck zwischen P , Q und R? Aufgabe H 2 (4+4 Punkte) − a) Der Einheitsvektor → e gebe die Richtung einer um den Winkel α gegenüber der xAchse gedrehten Geraden an. Bestimmen Sie jeweils Geraden parallelen √ die zu dieser 1 2 → − → − für α = 0, α = π4 bzw. orthogonalen Anteile der Vektoren v = √ und w = 2 2 und α = − π2 . e → − b) Es seien ex , ey , vx , vy positive Zahlen, sodass e = x ein Einheitsvektor sei. Wir ey v − setzen → v = x . Zeigen Sie, dass vy → −ey → − → − → − − v ⊥ = sin ^( e , v ) | v | ex ist, sofern 1 vy vx ≥ ey ex . (Kann man auf diese Bedingung verzichten?) Der Vollkreis besteht aus der Kreislinie zusammen mit der von der Kreislinie eingeschlossenen Fläche. 2 Aufgabe H 3 (8 Punkte) In der Vorlesung haben Sie den Weg des Stundenzeigers einer Uhr mit Hilfe von Polarkoordinaten beschrieben. Beschreiben Sie die Koordinaten des auf dem Rand des kleinen Kreises eingezeichneten Punktes P , wenn der kleine Kreis im positiven Drehsinn mit gleichmäßiger Geschwindigkeit auf dem großen Kreis abrollt. y P x Dabei seien die Kreisradien 1 m bzw. 20 cm und es mögen, bis der Mittelpunkt des kleinen Kreises nach einer Umrundung des großen wieder an seiner Ausgangsposition angekommen ist, 30 Sekunden vergangen sein. 3
