1. Musterloesung

Kommunikationstechnik II – Wintersemester 07/08
Prof. Dr. Stefan Weinzierl
Musterlösung: 1. Aufgabenblatt
Lösung in der Rechenübung am 14.11.2007
1. Aufgabe: Amplitudenstatistik
Darstellung stochastischer Signale1
Die Zufallsvariable X(ω) ordnet die Werte ω der Ergebnismenge Ω = {ω: ω1...ωκ} einer
reellen Zahl zu.
Die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einer bestimmten Amplitude xi in einem Signal
X sei die Wahrscheinlichkeit einer Zufallsvariable P(X). Gibt es nur diskrete Ausprägungen der Zufallsvariable kann die Auftretenswahrscheinlichkeit pi explizit angegeben werden:
pi = P(X = x i )
(1)
Die Verteilungsfunktion, definiert als
!
!
FX (x) = P(X " x) ,
(2)
ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Zahlenwert x nicht überschreitet.
FX(x) ist immer monoton steigend, für diskrete Zufallsvariablen eine Treppenfunktion.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (auch Amplitudendichteverteilung oder Verteilungsdichtefunktion) gibt die Verteilung der Auftretenswahrscheinlichkeiten der Realisierungen der Zufallsvariablen an. Sie ist als Ableitung der Verteilungsfunktion definiert:
dF (x)
(3)
pX (x) = X
dx
Für diskrete X gilt:
N
!
pX (x) = " pk # $ (x % x k )
(4)
k=1
pX(x) hat damit die Form einer Folge Deltapeaks, gewichtet mit den Einzelwahrscheinlichkeiten.
!
Im Falle kontinuierlicher Zufallsvariablen, wie es die Schalldruckamplituden eines
analogen Audiosignals sind, kann dem Auftreten eines bestimmten Amplitudenwertes keine Wahrscheinlichkeit zugeordnet werden.
In Konsequenz beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion jetzt die Amplituden
in der Form:
1
siehe auch: Noll P (2005) Nachrichtenübertragung I. Skript zur Vorlesung. TU Berlin, Institut für Telekommunikationssysteme
b
P(a < X " b) =
#p
X
(x)dx
(5)
a
mit pX (x) als kontinuierliche Funktion
Dabei muss die Gesamtfläche unter der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p x (x)
immer gleich 1 sein:
!
!
#
$ p (x)dx = 1
x
(6)
"#
Beispiele verschiedener WDFs:
!
Abbildung 1: Verteilungsdichtefunktionen: U = Gleich-, L = Laplace-, G = Gauß-/Normal-, Γ = Gammaverteilung (Quelle: Noll (2005))
a)
Geben Sie die Amplituden der ersten 10 samples für den rechten und linken
Kanal aus.
y = wavread('test');
figure
plot (y)
%-------------------------------------------------------------------------%
% Aufgabe a)
% Amplituden der ersten 10 samples des rechten und linken Kanals ausgeben
links_10 = y(1:10,1)
%
-0.0756
%
-0.0211
%
0.1276
%
0.1480
%
0.0361
%
-0.0390
%
-0.0295
%
0.0118
%
0.0314
%
0.0121
rechts_10 = y(1:10,2)
%
-0.0055
%
0.0356
%
0.0905
%
0.0844
%
0.0142
%
-0.0452
%
-0.0218
%
0.0475
%
0.0423
%
-0.0096
b)
Berechnen und plotten Sie eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF) für
die Amplituden beider Kanäle innerhalb der Audiosequenz. Teilen Sie dafür den
Amplitudenbereich in 100 äquidistante Intervalle, berechnen Sie die Anzahl der samples in diesen Intervallen und skalieren sie die Verteilungsdichtefunktion so, dass die
Normierung
!
"
x = #"
p ( x)dx = 1 erfüllt ist.
Die WDF eines kontinuierlichen Signals kann geschätzt werden, indem „künstlich“
eine diskrete WDF erzeugt wird (durch Teilen des Amplitudenbereichs in gleiche Intervalle) und dann eine kontinuierliche Funktion interpoliert wird.
%-------------------------------------------------------------------------%
% Aufgabe b)
% WDFs der Amplituden beider Audiokanäle berechnen
% normiere Fläche der WDF auf 1=100%
% Schätze WDF durch Auszählung der Amplitudenanzahl innerhalb
% diskreter Intervalle -->Histogramm
nbins = 100; % Intervallanzahl
[anzahl,intervallmitten] = hist(y,nbins)
figure
hist(y,nbins),grid on
% --> zeigt Anzahl der Treffer in den 100 äqid. Intervallen
% zwischen Max und Min von y
% normiere Fläche des Histogramms auf 1:
% Dazu dividiere Anzahl pro bin durch Gesamtanzahl der Samples UND (!)
% Intervallbreite der Histogrammbalken
intervallbreite=( max(max(y)) + abs(min(min(y))) ) / 100;
wdf = anzahl / sum(anzahl(:,1)) * (1/intervallbreite);
% Plot
figure
plot(intervallmitten,wdf), title('WDF linker und rechter Kanal'),
xlabel('Signalamplituden'),axis([-1 1 0 4]),ylabel('WDF (Schätzung)')
grid on
c)
Plotten Sie im Vergleich dazu die WDF für die Amplituden eines voll ausgesteuerten Sinussignals und einer voll ausgesteuerten weißen Rauschfolge. Erzeugen
sie hierfür ein Sinussignal von der Dauer einer Periode mit 1000 samples und eine
weiße Rauschfolge von 10 s Dauer. Geben Sie zur Hörkontrolle alle Signale über die
Audiokarte Ihres Rechners aus.
%-------------------------------------------------------------------------%
% Aufgabe c)
% Plotte WDFs von Sinuston(1 Periode/1000 samples) und weißem Rauschen(10
sec)
%Sinus: eine Periode mit 1000 samples
f = 1;
% 1-Hz-Sinus
fs1 = 1000;
% mit 1kHz abgetastet (1000 samples)
t = [0:1/fs1:1-1/fs1];
sinus = sin(2*pi*f*t);
%Rauschen: 10 sec
fs2 = 44100;
noise = (rand(10*44100,1)-0.5)*2;
skaliert
%Rauschen auf den Wertebereich [-1;1]
%errechne WDFs beider Signale (analog zu Aufgabe b))
nbins = 100;
[anzahl_sinus,sinus_mitten] = hist(sinus,nbins);
[anzahl_noise,noise_mitten] = hist(noise,nbins);
% Normierung:
intervallbreite_sinus = ( max(sinus) + abs(min(sinus)) ) / 100;
intervallbreite_noise = ( max(noise) + abs(min(noise)) ) / 100;
wdf_sinus =anzahl_sinus/sum(anzahl_sinus) * (1/intervallbreite_sinus);
wdf_noise =anzahl_noise/sum(anzahl_noise) * (1/intervallbreite_noise);
%Plots
figure
subplot(2,1,1),plot(sinus_mitten,wdf_sinus),
title('WDF einer Sinusperiode'),xlabel('Signalamplituden'),
axis([-1 1 0 4]),ylabel('wdf')
subplot(2,1,2),plot(noise_mitten,wdf_noise),
title('WDF 10 Sek. weissem Rauschen'),xlabel('Signalamplituden'),
axis([-1 1 0 1]),ylabel('wdf')
%Audiowiedergabe
sound(sinus,fs1);
pause (1)
sound(noise,fs2);
2. Aufgabe: Autokorrelation und Leistungsdichtespektrum
Erwartungswerte
Die WDF eines Audiosignals gibt Informationen über die Verteilung der Amplituden,
liefert aber keine Hinweise über ihren Verlauf. Mit Hilfe von Mittelungen wird der so
genannte Erwartungswert gebildet:
#
E{ X} =
$ xp
"#
X
(x)dx = µX
(7)
Es wird also gemittelt über die (unendlichen) Signalamplituden gewichtet mit Ihrer
WDF, was dem linearen Mittelwert entspricht.
!
Die Autokorrelationsfunktion eines Signals ist definiert als der Erwartungswert des
Produktes zweier Amplitudenwerte desselben Zufallssignals zu unterschiedlichen
Zeitpunkten und hängt bei stationären Signalen nur von der Verschiebung dieser
Zeitpunkte zueinander ab:
(8)
" xx (# ) = E { x(t)x(t $ # )}
Ihre Fouriertransformierte, das Leistungsdichtespektrum, liefert Informationen über
die spektrale Verteilung der Leistung eines Signals.
!
a)
Gegeben sei ein bandbegrenztes, weißes Rauschsignal
Leistungsdichtspektrum. Berechnen Sie die Leistung des Rauschsignals.
$S , " # " 0
Sxx (" ) = % 0
&0, sonst
!
1
P=
2"
Allgemein gilt:
%
&S
xx
(# )d#
$%
#
!
Hier:
1 0
S
2# S # S
#
P=
S0 d# = 0 # $#0 = 0 0 = 0 0
%
0
2!" $# 0
2"
2"
"
b)
Berechnen Sie die Autokorrelationsfunktion φxx(τ) des Signals.
Allgemein ist
1
" xx (# ) = F {Sxx (% )} =
2&
$1
&
&
(
) S(% ) ' e
$ j%t
d%
$(
&
0
S 0
S 0
Hier ist also: " xx (# ) = 0 ' e% j&t d& = 0 ' cos&td& % j ' sin &td&
2$ %& 0
2$ %& 0
%& 0
!
1
4243
=0
#
S 0
S
sin(# 0 t) $ sin($# 0 t)
#
= 0 % cos#td# = 0 sin(#t) $#0 = S0 &
0
2" $# 0
2"t
2"t
!
mit sin(x)=-sin(-x)
!
mit
dem
$
(
(
t %
t %
t'
2 sin && 2! ##
2 sin && 2! ##
sin& 2# )
1
2 sin(" 0 t )
' T0 $ = S ) T0 )
' T0 $ = 2S0 " % T0 ( = 2S0 si * t
= S0 )
= S0 )
( 0)
0
2#t
1
T0
T0
2!t
2!t
2!t
T0
T0
c)
Bestimmen Sie aus der AKF die Leistung des Signals und vergleichen Sie das
Ergebnis mit dem Wert aus a).
!
P = # xx (0) =
2 S 0 2!S 0 " 0 S 0
=
=
T0
T0!
!
Für ! = 0 ergibt sich die Signalleistung P als identisch mit der im Frequenzbereichbereich in Aufgabe a) bestimmten.
d)
Berechnen Sie die AKF desselben Signals, diesmal für " < # . Wie interpretieren Sie das Ergebnis im Vergleich zu Aufgabe b)?
S
" xx (# ) = 0
2$
!
'
(e
%'
% j&t
*S
S0 ' , 0 ) ', & = 0
d& = & %' + 2$
2$
,-0, sonst
!
" xx (# ) = S0$ (# ) ,
Mit ω = 2πf entspricht dies der Funktion
also einem theoretisch unendlich hohen und schmalen Impuls. Die si-Funktion aus Aufgabe b) ist im
Vergleich dazu eine Annäherung an den Delta-Impuls, wie sie in der Realität vorkommt.
!