Demo: Mathe-CD

ALGEBRA
mit dem
De
mo
: M
ath
e-C
D
CASIO ClassPad 300PLUS
Teil 1
Die Verwendung des ClassPad als Taschenrechner
Noch ohne Verwendung von Variablen.
Auf dem Niveau der Klasse 9 und 10.
Datei Nr. 17011
Demo fürs Internet
Friedrich W. Buckel
Juni 2006
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
www.mathe-cd.de
mo
:
De
D
e-C
Ma
th
INHALT
§1
Grundeinstellungen
1
§2
Einfache Berechnungen – Taschenrechneroperationen
3
Eingaberegeln
Grundrechenarten, Brüche, Wurzeln
Logarithmen
Trigonometrische Berechnungen
3
6
19
24
e-C
D
2.1
2.2
2.3
2.4
Bemerkungen
Ma
th
Dieser Text kann und will nicht das Handbuch des ClassPad 300 ersetzen.
Sinn und Zweck ist es, zusätzliche Rechenbeispiele ausführlich zu erklären.
mo
:
In diesem 1. Teil verzichte ich auf das Rechnen mit Variablen.
Dies folgt in Teil 2.
De
Hier nur einige Seiten aus dem Originaltext !
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
2.2 Grundrechenarten, Brüche, Wurzeln
Wenn man mit dem ClassPad arbeitet, hat man oftmals keinen üblichen
Taschenrechner dabei, den man gewohnt ist, und mit dem in der Regel bisher
gearbeitet hat. Man braucht ihn auch nicht, denn der ClassPad beherrscht auch
diese Funktionen.
Beispiel 1
(25 + 1,3) ⋅ 17 = 447,1
Ma
th
e-C
Der Grund liegt darin, dass es für den ClassPad
kein Dezimalkomma sondern nur den
Dezimalpunkt gibt. Ersetzen wir also das
Komma durch einen Punkt, erhält man das
gewünschte Ergebnis.
D
Gibt man dies so ein, erhält man nach
Betätigung der Taste EXE (execute = ausführen)
eine Fehlermeldung,
ACHTUNG: Dieses Ergebnis setzt die
Dezimal-Einstellung voraus.
Wird in der Statuszeile Standard angezeigt
(siehe Grundeinstellungen),
dann liefert ClassPad ein Bruchergebnis:
mo
:
Also sollte man für den normalen
Rechengebrauch Dezimalzahlen
eingestellt haben !
De
Ist dies einmal nicht geschehen, muss man
nicht die ganze Rechnung noch einmal
machen. ClassPad enthält eine SofortUmrechen-Icon, die allerdings nicht die
Grundeinstellung sondern nur das markierte
Ergebnis umrechnet.
4471
und klicke dann das Icon
10
an. Sofort wird das Ergebnis als Dezimalzahl
dargestellt:
Man markiere also den Bruch
0,5 1
2
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
Beispiel 2
Potenzieren kann man mit der Taste ^ :
234 = 279841 wird so berechnet:
⎛ 1,5 ⎞⎟
und ⎜⎜
so.
⎜⎝ 0,37 ⎠⎟⎟
2
e-C
D
Jetzt allerdings haben wir (weil bei mir absichtlich
noch die Standardeinstellung gewählt war) wieder
das Ergebnis in Bruchform. Markieren wir den
Bruch und Klicken auf das Dezimal-Icon
0,5 1
folgt das Ergebnis in Dezimalform.
2
Die Keyboard – Menüs
Ma
th
Der ClassPad hat ein virtuelles „Keyboard“, das wir
manuell über eine Taste aktivieren können.
Dieses beinhaltet mehrere Menüs, die durch
„Karteireiter“ aufrufbar sind.
mo
:
Die Markierung mth zeigt zunächst das rechts
dargestellte Funktionenmenü. Mit ihm kann man
Logarithmen berechnen, Wurzeln ziehen, Quadrate
berechnen, e-Potenzen und Kehrwerte berechnen
lassen usw.
De
Die Abbildung zeigt: 132 = 169 ; 169 = 13
sowie die Berechnung von e2, wobei 2,71828... die
Eulersche Zahl ist. Das Ergebnis wird nur dann
als Dezimalzahl angezeigt, wenn man den Dezimalmodus
eingestellt hat oder e2 durch Anklicken markiert und
0,5 1
dann auf das Dezimal-Icon klickt
−1
2
Weitere Rechnung: 3 = ≈ 0,33333....
(auch wieder mit dem Dezimal-Icon umgewandelt)
1
3
−1
sowie 0,25−1 = 4 denn ( 41 ) = 4 !
Klickt man auf 2D erscheint ein Fenster mit zusätzlichen
Rechenzeichen für unsere nächsten Aufgaben.
Hier erkannt man Masken zur Eingabe von
Brüchen, Wurzeln, Potenzen, Logarithmen, Beträge
sowie Klammern usw.
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
Beispiel 3
Bruchrechnen
4
7
5
+
− = ? soll berechnet werden.
15 12 8
Man klickt das Bruchsymbol an und schreibt in
den Zähler hinein, dann bewegt man den Cursor
in den Nenner usw. Mein Ergebnis ist jetzt
eine Dezimalzahl, weil meine Einstellung dies
so vorsieht. Will ich das Ergebnis als Bruch,
markiere ich 0,225 und klicke das UmwandlungsIcon an:
e-C
D
Oder ich verwende
für die nächsten
Rechnungen die
Grundeinstellung
Standard.
Beispiele 4
b)
2,5 ⎛⎜ 5 3 ⎞⎟
⋅⎜ − ⎟ = ?
3 ⎜⎝ 2 7 ⎠⎟
3
8
−
2
33
5 ⋅ 114 −
3
4
Ma
th
a)
=?
mo
:
Beide Rechnungen sind rechts dargestellt.
Man sieht, dass man auch Doppelbrüche
erzeugen kann, einfach im Zähler nochmals
das Bruchsymbol anklicken !
Beispiel 5
De
Gemischte Brüche kann der Rechner nicht
der gewohnten Form darstellen.
5 32 versteht der Rechner als 5 ⋅
Also schreibt man
5 32 = 5 + 32 = 5 ⋅ 33+2 =
2
3
=
5⋅2
3
=
10
3
!!!
17
3
Beispiel 6
Dieser Nachteil bereitet Mühe bei Aufgaben wie diesen:
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎜⎜5 7 + 1 5 ⎟⎟ : ⎜⎜4 3 − 2 7 ⎟⎟ = 6 21+ 10 : 2 15 − 56 = 6 31 : 175 − 56
⎝⎜ 8
12 ⎠⎟ ⎝⎜ 16
10 ⎠⎟
24
80
24
80
=25 ⋅ 7
175 119
175
=
:
=
24 80
24 3
10
80
25 ⋅ 10
250
46
=
=
=4
⋅
3 ⋅ 17
51
51
119 =17 ⋅ 7
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
Man kann diese Aufgabe auch als Doppelbruch schreiben:
7
5
5 +1
8
12 =
3
7
4
−2
16
10
Man beachte die Klammer um die Summe
2 + 107 . Statt dessen könne man auch ohne
Klammer den Nenner so eingeben: 4 + 163 − 2 − 107 !
Doch wie erhält man nun das Ergebnis wieder als gemischte Zahl ?
e-C
Dazu benötigen wir einen Befehl aus dem
Menü Aktion
Transformation:
Er heißt propFrac.
D
Beispiel 6
Ma
th
Klickt man ihn an, erscheint er mit geöffneter
Klammer im Display. Jetzt klicken wir den
umzuwandelnden Bruch 250
an und ziehen
51
ihn bei gerückter Maustaste hinter diese Klammer.
Diese sollte man schließen und dann EXE
drücken. (EXE funktioniert auch ohne die
Schluss-Klammer !).
Rechts sieht man das Ergebnis!
mo
:
WICHTIG:
De
Der ClassPad 300 hat eine Systemvariable mit dem Namen ans (answer),
in der er die letzte Antwort, also das letzte Ergebnis speichert.
Hier wird also in diesem Augenblick der Bruch
250
gespeichert.
51
Also geht die Umwandlung in eine gemischte Zahl
schneller, wenn man hinter den Befehl
propFrac( die Variable ans eingibt. Dies
geschieht durch Antippen des Feldes ans
rechts unten im Keyboard Bereich des Displays.
Übrigens habe ich für den Doppelbruch
im Nenner die oben erwähnte Möglichkeit
verwendet und −2 107 also −2 − 107 eingegeben
und keine Klammern verwendet, wie beim Versuch
zuvor.
MERKE: Mit propFrac( kann man unechte Brüche in gemischte Zahlen
zerlegen
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
Beispiel 9
Fortgeschrittenes Wurzelrechnen
1
wird so umgewandelt, dass man mit ( 2 + 1)
2 −1
erweitert, so dass im Nenner die 3. Binomische Formel
entsteht:
1⋅ ( 2 + 1)
( 2 − 1)( 2 + 1)
=
2 +1
=
2 −1
2 +1
= 2 +1
1
De
mo
: M
ath
e-C
D
Der Versuch, dies mit dem ClassPad zu erzeugen
schlägt zunächst fehl, wenn man denkt, dass er dies alleine
mit EXE bewältigt.
Man benötigt hier den Befehl Simplify:
Aktion
Transformation
simplify
Damit klappt die Umformung (siehe Abbildung) !
Beispiel 10
5 +1
mit simplify führt zunächst
5 −1
auf ein nicht erwünschtes Zwischenergebnis, das eine
wurzelfreie Form dieses Bruches darstellt. Will man
die ausführliche Darstellung, benötigt man den Befehl
expand:
Die Berechnung von
Aktion
Transformation
expand.
Zunächst erscheint auf dem Display nur expand( .
Dann markiert man mit einem Klick den umzuwandelnden Term
(1 +
5)
2
4
und ziehe ihn mit dem Stift hinter die
Klammer, die man dann schließt.
Jetzt folgt das gewünschte Ergebnis.
Ein anderer Weg ist hier wieder die
Verwendung der Systemvariablen ans:
Man klickt ans an, welche das zuvor ermittelte
Ergebnis, also den Bruch
(1+
5)
2
4
enthält.
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
Beispiel 11
Berechne ( 2 + 3 )
Gesucht ist ein äquivalenter Term, keine Dezimalzahl !
2
TIPP:
Das Quadrat (hoch 2) gibt man mit dem Icon
x ein. Man bewegt den Cursor hinter die
Klammer und klickt x an. Dann tippt man 2 ein.
Hier die Lösung:
De
mo
: M
ath
e-C
D
Ohne einen Zusatzbefehl erhält man nur
denselben Term wieder, mit vertauschen
Summanden.
Verwendet man aber den Befehl expand,
dann folgt das gewünschte Ergebnis als Term.
Übrigens bewirkt simplify hier auch nichts.
Beispiel 12
(
6 − 2)
2
wird ohne den expand-Befehl auch nicht
3
berechnet. Es wird nur der Nenner rational
gemacht. Das Ergebnis liefert expand(
Beispiel 13
8
Geschachtelte Wurzeln
wird mittels EXE in eine Potenz umrechnet:
8 = 8
1
2
= (8 )
1
2
1
2
1
= 8 4 und mit 8 = 23
1
folgt dann
8 = ( 23 ) 4 = 2 4 .
3
Der Befehl simplify lässt die 8 stehen
und schreibt lediglich die beiden Wurzeln in
eine Potenz um. Mit expand geschieht
dasselbe! Und mehr ist auch nicht zu tun,
Es sei denn umwandeln in eine Dezimalzahl!
Dazu schreibe ich die Aufgabe in den Bildschirm,
tippe auf EXE, markiere das Ergebnis und klicke
auf das Dezimal-Umwandlungs-Icon.
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
Aufgaben zu Brüchen
(1)
3 3 4 3
⋅ + ⋅
5 8 7 8
(2)
⎛ 24 15 ⎞⎟ 13
⎜⎜
⎜⎝ 35 + 26 ⎠⎟⎟ ⋅ 8
(3)
⎛ 26
9 ⎞⎟ 33
⎜⎜
−
⎜⎝ 15 20 ⎠⎟⎟ : 40
(4)
⎛ 4 ⎛ 3 5 ⎞ 5 ⎞⎟ 115
⎜⎜ ⋅ ⎜⎜ + ⎟⎟ − ⎟ :
⎝⎜ 7 ⎜⎝ 4 2 ⎠⎟ 8 ⎠⎟ 28
(6)
⎛ 3
⎞
⎜⎜5 − 2 3 ⎟⎟ ⋅ 2 7
⎜⎝ 5
4 ⎠⎟ 19
(5)
)
5
⋅ 2 − 21 )
6 (3
3
5
⋅ ( 21 +
3
4
⎛ 7
⎞⎛
⎞
⎜⎜13 − 11 5 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜1 3 + 2 2 ⎟⎟
⎟
⎜⎝ 9
⎜
12 ⎠ ⎝ 17
5 ⎠⎟
(8)
(9)
⎛
⎞⎛
⎞⎛
⎞
⎜⎜5 − 2 3 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜3 1 + 5 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜10 2 − 8 4 ⎟⎟
⎝⎜
4 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 6 ⎠⎟ ⎝⎜ 3
5 ⎠⎟
(10)
Aufgaben zu Wurzeln
4
9
⋅ ( 53 + 3)
− 116 )
4 ⋅ ( 21
4
: M
ath
e-C
D
(7)
3 52 − 2 31
5 21 ⋅ 4 32 − 8 53
Ziehe teilweise die Wurzeln oder mache die Nenner rational
Beweise die Ergebnisse durch eigene Rechnung!
(1)
324
(2)
128
(4)
(5)
8
(7)
(8)
3
2
(6)
8
8
3
32 ⋅ 98
(3)
mo
2
1088
(9)
2
16
8
3 3
12
(10)
(2 +
(13)
(3 4 − 3 2)
(16)
(19)
(22)
3)
2
De
Verwende nun auch die Befehle simplify bzw. expand.
Beweise die Ergebnisse durch eigene Rechnung!
2
3
3
9
4
2+ 2
3
4 ⋅ 2 = 6 32
Beweis !
(11)
(
(14)
(3
(17)
(20)
(23)
8 + 7 )( 8 − 7 )
7 − 7 5 )( 3 7 + 7 5 ) (15)
1
3
(12)
(18)
100
5+2 6
(21)
5−2 6
(
(
3 + 1)
2
3 − 1)
2
(24)
(4 5 − 4 3)
(
54 − 24 )
10
4
40
20
4 5 +5 4
⎛ 5 ⎞
⎜3
⎟
⎝ 25 ⎠
−6
2
2
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
Lösungen zu den Bruchaufgaben
3 3 4 3
123
⋅ + ⋅ =
5 8 7 8
280
(2)
⎛ 24 15 ⎞⎟ 13 1149
29
!
+
=
=2
⎟⎟ ⋅
⎜⎜⎝⎜
⎠
35 26 8
560
560
(3)
⎛ 26
9 ⎞⎟ 33
⎜⎜
⎜⎝ 15 − 20 ⎠⎟⎟ : 40
: M
ath
e-C
D
(1)
De
mo
usw. auf CD
17011
e)
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
Die Anwendung logarithmischer Regeln ist eine beliebte Aufgabe.
Wie kann man mit ClassPad diese Aufgabe bewältigen:
log3 (40) + log3 (15) = log3 ( 40 ⋅ 15) = log3 (600) ?
1. Versuch:
log3 (40) + log3 (15) EXE :
Ergebnis: =
2. Versuch:
simplify( log3 (40) + log3 (15) EXE
exp and( log3 (40) + log3 (15) EXE
Ergebnis: =
4. Versuch:
ln (600)
ln (3)
De
mo
: M
ath
e-C
D
Ergebnis: =
3. Versuch:
ln (5) + 3 ⋅ ln (2) ln (5) + ln (3)
+
ln (3)
ln (3)
ln (600)
ln (3)
combine( log3 (40) + log3 (15) EXE
2 ⋅ ln (5) + ln (3) + 3 ⋅ ln (2)
ln (3)
collect( log3 (40) + log3 (15) EXE
Ergebnis: =
5. Versuch:
Ergebnis: = 1+
3 ⋅ ln (2)
2
+
⋅ ln (5)
ln (3)
ln (3)
Das ist die Zerlegung des Ergebnisses (4) in einzelne Brüche, allerdings
in seltsamer Darstellung. (Verbesserungswürdig !)
Das wiederum sieht schon besser aus, wenn man
das Ergebnis aus (4) mit expand( bearbeitet:
Es gelingt offenbar nicht, das Ergebnis mittels log3
darzustellen. Am nächsten kommt dem allerdings
das Ergebnis (2)
Wenn der Schüler das erklären soll, muss er diese Rechnung beherrschen:
Man schreibt x = log3 (600) , kehrt es in eine Potenz um: 3 x = 600 .
Diese Gleichung wird logarithmiert und zwar mit der Funktion ln :
ln (3 x ) = ln (600) , dann wendet man die 3. Logarithmenregel an und zieht
den Exponenten damit vor: ln (3 x ) = x ⋅ ln (3) , also hat man jetzt:
ln (600)
x ⋅ ln (3) = ln (600) ⇒ x =
!
ln (3)
im Ergebnis (1) werden 40 und 15 in Primfaktoren aufgespaltet und dann kommen
die Logarithmusregeln zur Anwendung !
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
3. Trigonometrische Berechnungen
Die Funktionen Sinus, Kosinus und Tangens nehmen
ihre Argumente im Gradmaß und im Bogenmaß entgegen.
Dies gehört zunächst zur Grundeinstellung:
Die vorhandene Einstellung kann man in der
Statusleiste am unteren Rand ablesen.
Diese trigonometrischen Funktionen erhält man
über das Keyboard-Menü mth ⇒ Trig
De
mo
:
Ma
th
e-C
D
Der gebogene Pfeil
führ dann wieder in das
ursprüngliche FunktionenMenü zurück.
(Bild rechts).
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
3.3 Umkehrung der trigonometrischen Funktionen
a)
Die Sinusfunktion umkehren
Welche Winkel haben sin α = 0,4 ?
Dies ist eine trigonometrische Gleichung, die wir hier nicht lösen wollen.
Vielmehr suchen wir im Bereich ⎡⎣−90O ; 90O ⎤⎦ den Winkel, dessen Sinus 0,4 ist.
Die Umkehrfunktion, die dem Wert 0,4 den Winkel aus diesem Intervall
zuordnet heißt arcsin (gelesen Arcussinus). Auf Taschenrechnern ist diese
Funktion meistens durch das Symbol sin−1
dargestellt.
−1
1
!!!
sin x
D
Achtung: Man verwechsle das nicht mit (sin x ) =
(Bei 0,4 gibt man 0.4 oder nur .4 ein !)
Wichtige Punkte zum Beachten:
Ma
th
sin−1 .4 EXE
e-C
Die Lösung unserer Aufgabe erhalten wir aus dem
ClassPad durch diese Eingabe:
Sinuswerte können nur im Intervall [−1; 1] liegen.
Die Aufgabe sin-1(1.2) hat daher keine Lösung.
(2)
Die Winkel, die man zu den möglichen Werten
erhält liegen im Intervall ⎡⎣−90O ; 90O ⎤⎦ .
mo
:
(1)
De
Die Abbildung zeigt das Schaubild der Sinusfunktion.
Weil sie für ⎡⎣−90O ; 90O ⎤⎦
(streng monoton) wächst,
ist die Funktion dort umkehrbar.
Das heißt zu jedem Sinuswert
−90
gibt es einen eindeutigen
Winkel in diesem Intervall.
Würde man als Intervall etwa
⎡0O ; 360O ⎤ wählen, dann gäbe es
⎣
⎦
bei sin α = 0,4 außer α1 = 23,578...O
noch den Winkel α 2 = 180O −α1 = 156,421...O
Man kann natürlich den Winkel auch im
Bogenmaß ausrechnen lassen.
Nebenstehendes Display zeigt dies
in der unteren Berechnung.
Die Winkel liegen dann bei Sinus
im Intervall ⎡⎣− π2 ; π2 ⎤⎦ !
1
O
90
−1
O
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
3.4 Anwendungsaufgaben aus der Dreiecksberechnung
C
Beispiel 1
b
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck durch
a = 8 cm und b = 3 cm .
Berechne die restlichen Stücke.
A
a
α
c
β
Lösung (Etwa so:)
tan α = ba =
8
3
⇒ α = arctan 83 = 69,4o
a
a
⇒ c=
= 8,5 (cm)
c
sin α
Ma
th
Man benötig die mathematische Tastatur für
trigonometrische Funktionen, also
mth ⇒ Trig
e-C
sin α =
D
⇒ β = 90o −α = 20,6o
Beispiel 2
mo
:
Anstelle bei β = 90o −α für α den Zahlenwert
einzutippen verwendet man die Systemvariable ans.
Sie speichert das letzte Ergebnis. Leider klappt dies bei der dritten Berechnung
nicht mehr. Dort wird α nochmals verwendet, aber ans enthält jetzt den zuvor
berechneten Winkel β !. Daher habe ich das α - Ergebnis 20,5… angeklickt und
dadurch markiert und hinter sin( hineinkopiert (mit dem Stift ziehen oder mit den
Pfeiltasten Kopieren und Einfügen!).
Lösung (z. B. so)
sin α =
De
Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck durch
c = 10 cm und α = 53O . Berechne die restlichen Stücke.
a
⇒ a = c ⋅ sin α = 8,0 cm
c
b
⇒ b = c ⋅ cos α = 6,0 cm
c
β = 90o −α = 37,0o
cos α =
B
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
Beispiel 5: Inhalt eines Kreisabschnitts
Gegeben sei r = 4 cm , α = 150o
A
x
h
AAbschnitt = AAusschnitt - ADreieck
r
Berechnung des Kreisausschnittes:
D
150
15
⋅ πr 2 =
⋅ πr 2
360
36
e-C
Berechnung des Dreiecksinhaltes:
Das Teildreieck AMD ist rechtwinklig, daher gilt:
sin α2 =
cos α2 =
x
r
h
r
⇒ x = r ⋅ sin α2
⇒ h = r ⋅ cos α2
Ma
th
A = 21 ⋅ AB ⋅ h = 21 ⋅ 2x ⋅ h = x ⋅ h = r 2 ⋅ sin α2 ⋅ cos α2
Berechnung des Kreisabschnittes:
A=
α
α
15 2 2
πr − r ⋅ sin ⋅ cos
36
2
2
mo
:
α
α⎞
⎛ 15
A =⎜
π − ⋅ sin ⋅ cos ⎟ ⋅ r 2 (1)
2
2⎠
⎝ 36
De
Wenn wir nun hier die gegebenen Größen
einsetzen, also r = 4 cm und α = 150o ,
folgt A = 16,9 cm2 .
α
M
Herleitung der Berechnungsformel (1):
A aus =
D
B
17011
Algebra 1 mit dem CASIO ClassPad 300
Beispiel 6:
Sinussatz
Gegeben sind zwei Seiten a = 6 cm, b = 7 cm
und der Gegenwinkel β = 70O zu b.
sin α a
a
O
=
⇒ sin α = ⋅ sin β ⇒ α ≈ 53,7
sin β b
b
Ich habe diese Rechnung zweimal gemacht:
Einmal nur den Bruch berechnet und dann daraus den
Winkel α , das zweie Mal gleich mit sin-1 usw.
Beispiel 7:
b ⋅ sin γ
= 6,2 cm
sin β
Man beachte in diesen 3 Beispielen die
Verwendung der Systemvariablen ans !
Kosinussatz
Gegeben sind die Größen
a = 7,5 cm, c = 8,2 cm, β = 85O
(SWS) !
b2 = a2 + c 2 − 2ac ⋅ cos β
mo
:
b = a2 + c 2 − 2ac ⋅ cos β = 10,6 cm
Rest mit Sinussatz:
e-C
⇒ c=
Ma
th
c
sin γ
=
b
sin β
D
γ = 180O −α − β = 56,3O
Beispiel 8:
De
sin α sin β
a ⋅ sin β
−1 a ⋅ sin β
O
=
⇒ sin α =
⇒ α = sin
= 44,8
a
b
b
b
O
O
und γ = 180 − α − β = 50,2
Kosinussatz
Gegeben sei a = 7,2 cm, b = 4,1 cm und c = 6,5 cm.
Aus a2 = b2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α folgt
2
2
2
⎛ b2 + c 2 − a2 ⎞
b +c −a
O
cos α =
⇒ α = arccos ⎜
⎟ ≈ 82,2
2bc
2bc
⎝
⎠
Nun etwa β mittels Sinussatz:
sin β
b
b ⋅ sin α
=
⇒ sin β =
sin α
a
a
⎛ b ⋅ sin α ⎞⎟
⇒ β = arcsin ⎜⎜⎜
⎟
⎝ a ⎠⎟
also β = 34,3O und daraus γ = 180O −α − β = 63,4O
x cos(85