7. Ubungsblatt"Wahrscheinlichkeitstheorie 1 - TU Berlin

Technische Universitat Berlin
SS 2011
Fakult
at II { Institut f. Mathematik
Dozent: Prof. Dr. M. Scheutzow
Ausgabe: Mi 25.05.2011
Assistent: M. Wilke Berenguer
Abgabe: Mi 01.06.2011
 bungsblatt Wahrscheinlichkeitstheorie 1\
7. U
"
Erzeugendenfunktionen
Gesamtpunktzahl: 20
1. Hausaufgabe:
Punkte
2 Punkte
Sei X eine diskrete Zufallsgroe mit Werten in N0 und Erzeugendenfunktion GX . Man
deniere dann Y := aX + b (a, b 2 N0) und berechne die Erzeugendenfunktion von Y .
Galton-Watson-Verzweigungsprozess
3 Punkte
Man betrachte das folgende Modell fur Bakterienwachstum. Die erste Generation besteht
genau aus einem Bakterium, das mit Wahrscheinlichkeit pk genau k Nachkommen habe, bevor es stirbt. Es gelte, dass pk = p(1 p)k . Diese Nachkommen vermehren sich
unabhangig voneinander mit der gleichen Wahrscheinlichkeit. Sei Nn die Anzahl der Bakterien der n-ten Generation. Berechnen Sie die Aussterbewahrscheinlichkeit fur die Kultur.
2. Hausaufgabe:
3. Hausaufgabe:
4 Punkte
4. Hausaufgabe:
5 Punkte
Wann ist die Summe von zwei unabhangigen geometrisch mit Parameter p1 2 (0; 1) und
p2 2 (0; 1) verteilten Zufallsvariablen wieder geometrisch verteilt mit Parameter r 2 (0; 1)?
Beweisen Sie ihre Antwort und berechnen Sie gegebenenfalls r.
Betrachte die Zufallsvariablen X Poi() (mit > 0) und Y Poi(X ). Man berechne
die Erzeugendenfunktion von Y (wodurch die Verteilung von Y eindeutig bestimmt wird).
5. Hausaufgabe:
Sei
1 1
X
( )=
s
s
n=1 n
6 Punkte
die Riemannsche Zeta-Funktion. Fur s > 1 fest sei X eine Zufallsvariable auf (
; F; P)
mit
P(X = n) = (1s) n1s ;
d.h. X ist zeta-verteilt mit Parameter s. Weiterhin ist Am := fm teilt X g:
(i) Man zeige P(Am) = 1=ms.
(ii) Man zeige (Ap)p ist Primzahl sind unabhangig.
(iii) Man benutze ii), um die Eulersche Formel zu beweisen:
1 =
1 ):
(1
(s)
ps
p Primzahl
Y
(iv) Man berechne die bedingte Verteilung von X=n gegeben An.
(v) Sei X~ unabhangig von X und mit derselben Verteilung. Man zeige, dass gilt:
P(X; X~ sind teilerfremd) = (21 s) :
(vi) In der Situation von v) zeige man, dass der grote gemeinsame Teiler ggT (X; X~ )
zeta-verteilt ist mit Parameter 2s.
Hinweis: Man benutze iv) und v).