1. ¨Ubungsblatt Grundz¨uge der stochastischen Analysis

Institut für Mathematik
Prof. P.L. Ferrari / F. Miebach
WS 2009/10
1. Übungsblatt Grundzüge der stochastischen Analysis
1. Hausaufgabe
Sei A eine symmetrisch positiv definite N × N -Matrix und definiere p : R → R durch


N
X
1
1

p(x1 , . . . , xN ) =
exp −
xi A−1
i,j xj
ZN
2
(8 Punkte)
N
(1)
i,j=1
für ZN ∈ (0, ∞). Bezeichne P das Maß auf RN mit Dichte p bezüglich des Lebesgue-Maßes.
i) Zeigen Sie, dass es eine geignete Konstante ZN gibt, so dass P ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf
RN ist. Berechnen Sie die entsprechende Werte ZN .
ii) Zeigen Sie, dass für alle endliche m und (i1 , . . . , im ) ⊂ {1, . . . , N }m , gilt:
!  X
m

E(xiσ(1) xiσ(2) ) · · · E(xiσ(m−1) xiσ(m) ), falls m ∈ 2N,
Y
E
x ik =
σ
 0,
falls m ∈ 2N − 1,
k=1
(2)
wobei E(xi xj ) = Ai,j . Die Summe läuft über alle sogenannte Paarungen von {1, . . . , m} (d.h.
Permutationen σ von {1, . . . , m} mit σ(2i − 1) < σ(2i), σ(2i − 1) < σ(2i + 1)).
Beispiel m = 4:
E(xi xi xi xi ) = E(xi xi )E(xi xi ) + E(xi xi )E(xi xi ) + E(xi xi )E(xi xi ).
1
2
3
4
1
2
3
4
1
3
2
4
1
4
2
3
(3)
Hinweis zu Punkt 1: Diagonalisieren Sie die symmetrische Matrix A.
P
Hinweis zu Punkt 2: Berechnen Sie zuerst E(exp( N
i=1 bi xi )) und schreiben Sie dann den Erwartungswert mit Hilfe von Ableitungen.
1
2. Hausaufgabe
(5 Punkte)
Sei (Bt ) standardisierte Brownsche Bewegung. Zeigen Sie, dass die jeweiligen Prozesse
i) Bt1 := −Xt ,
ii) Bt2 := Xs−t − Xs , s ≥ 0, t ≤ s,
iii) Bt3 := cX t , c ∈ R \ {0},
c2
iv) Bt4 :=
(
tX 1 ,
t>0
t
0,
t=0
ebenfalls standardisierte Brownsche Bewegungen sind.
3. Hausaufgabe
(7 Punkte)
[0, 1] → R wie folgt: Für n ≥ 0 sei I(n) die Menge der
Definiere die Haar-Funktionen
ungeraden ganzen Zahlen zwischen 0 und 2n , also I(0) = {1}, I(1) = {1}, I(2) = {1, 3} und so
(0)
weiter. Setze dann H1 (t) = 1 und für n ≥ 1 und k ∈ I(n)
(n)
Hk :

(n−1)/2

2
(n)
Hk (t) = −2(n−1)/2


0
falls
falls
sonst.
k−1
k
2n ≤ t < 2n
k
k+1
2n ≤ t < 2n
(n)
a) Zeige, dass die Familie der Haarfunktionen {Hk , n ≥ 0, k ∈ I(n)} ein orthonormales System
in L2 [0, 1] bilden, das heißt es gilt
1
Z
0
(n )
(n )
Hk1 1 (t)Hk2 2 (t)dt = δk1 ,k2 δn1 ,n2 .
b) Zeige, dass alle Funktionen der Form
f (t) =
n −1
2X
ξk 1[2−n k,2−n (k+1)[ (t)
k=0
mit ξi ∈ R sich als Linearkombinationen der Hk
(n)
darstellen lassen.
(n)
c) Folgere, dass die Familie {Hk , n ≥ 0, 0 ≤ k ≤ 2n − 1} eine Schauder-Basis von L2 [0, 1]
(n)
ist. (Es bleibt hierfür nur zu zeigen, dass die Hk einen dichten Teilraum aufspannen). Insbesondere gilt also die Parsevalidentität
Z
1
f (t)g(t)dt =
0
∞ X Z
X
n=0 k∈I(n)
1
(n)
f (t)Hk (t)dt
0
Z
0
1
(n)
g(t)Hk (t)dt .
Abgabe: 30.10.2009
2