Grundlagen der Verifikation

Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Prof. Dr. J. Adámek · Dipl.-Math. Dipl.-Inf. H. Urbat
Grundlagen der Verifikation
Aufgabenblatt 6
Definition. Ein Graph (W, R) erfüllt die K-Formel F , wenn für alle Bewertungen L : W →
P(At) und alle Zustände w ∈ W gilt:
(W, R, L), w |= F
Übungsaufgabe 1
Charakterisieren Sie die Graphen, in denen die Formel A → ♦A erfüllt ist.
Übungsaufgabe 2
Betrachten Sie das folgende Modell M für die Logik des Wissens:
x1 /q
R1
R1 ,R3
x4 , q
x2 /p, q
R1 ,R2
x5 /−
R3
x6 /p
R1 ,R2
x3 /p
Gilt M, x6 |= [C]¬q?
Hausaufgabe 1
Charakterisieren Sie die Graphen, in denen die Formel ♦A → A erfüllt ist.
Hausaufgabe 2
Welche der folgenden Formeln gelten im Modell aus Übungsaufgabe 2?
M, x3 |= [E](p ∨ q),
M, x1 |= [C]q
Hausaufgabe 3
Seien M = (W, R, L) und M0 = (W 0 , R0 , L0 ) Kripkestrukturen. Eine Relation B ⊆ W × W 0
heißt Bisimulation, wenn für alle (x, x0 ) ∈ B gilt:
(i) L(x) = L0 (x0 ).
(ii) Für alle y ∈ W mit R(x, y) gibt es ein y 0 ∈ W 0 mit R(x0 , y 0 ) und (y, y 0 ) ∈ B.
(iii) Für alle y 0 ∈ W 0 mit R0 (x0 , y 0 ) gibt es ein y ∈ W mit R(x, y) und (y, y 0 ) ∈ B.
Beweisen Sie, dass für alle (x, x0 ) ∈ B und alle Formeln F gilt:
M, x |= F
⇔
M0 , x0 |= F.
Hinweis. Strukturinduktion nach dem Formelaufbau von F .