Aufgabenblatt 1

Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Prof. Dr. J. Adámek · Dipl.-Math. Dipl.-Inf. H. Urbat
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt 1
Allgemeine Hinweise
• Bitte melden Sie sich für eine Übungsgruppe an, indem Sie sich in die vor Raum IZ 342
(Informatikzentrum, 3. Etage) ausgehängten Listen eintragen.
• Ein neues Aufgabenblatt wird jeden Freitag auf der Webseite zur Vorlesung bereitgestellt.
Sie haben jeweils eine Woche Zeit zur Bearbeitung. Zur Abgabe verwenden Sie bitte die
entsprechend beschrifteten Briefkästen vor Raum IZ 343.
• Die Hausaufgaben sind in Zweiergruppen zu bearbeiten; dabei sollten beide Personen
für dieselbe Übungsgruppe angemeldet sein. Schreiben Sie stets beide Namen und Matrikelnummern sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf die abgegebenen Lösungen.
• Die Theoretische Informatik ist eine mathematische Disziplin – daher wird bei der Bewertung der Hausaufgaben gleichermaßen auf inhaltliche und formale Korrektheit geachtet.
Orientieren Sie sich bei der Formulierung Ihrer Lösungen an der mathematischen Terminologie und Notation der Vorlesung/Übung.
Übungsaufgabe 1
Schreiben Sie ein JAVA-Programm, das seinen eigenen Quellcode auf dem Bildschirm ausgibt.
Übungsaufgabe 2
(a) Ist die Sprache der Aussagenlogik abzählbar?
(b) Ist die Menge aller Formeln der Aussagenlogik abzählbar?
(c) Ist die Menge aller Variablenbelegungen abzählbar?
Übungsaufgabe 3
Stellen Sie die Wahrheitstabelle für die Formel F = A ∨ (¬(B ∧ (C → B))) auf. Ist F erfüllbar?
Ist F allgemeingültig?
Übungsaufgabe 4
Definieren Sie die formale Semantik einer erweiterten Aussagenlogik, bei der Atome neben den
Wahrheitswerten 1 ("wahr") und 0 ("falsch") auch den Wahrheitswert 0.5 ("vielleicht") erhalten
können.
Hausaufgabe 0 [1 PUNKTE]
Lernen Sie die tödlichen Gefahren der logischen Implikation kennen:
https://www.youtube.com/watch?v=k3jt5ibfRzw
Hausaufgabe 1 [11 PUNKTE]
Donald Duck hat seine Neffen Tick, Trick und Track zu Besuch. Da Tick am nächsten Tag
Geburtstag hat, backt er eine Torte und stellt sie in den Kühlschrank. Doch am nächsten
Morgen findet er dort zu seinem Schrecken nur noch ein paar übriggebliebene Krümel eines
nächtlichen Schmauses vor. Weil es wie üblich keiner gewesen sein will, überlegt sich Donald
folgendes:
1. Da er die Haustür abgeschlossen hatte, konnte niemand außer Tick, Trick und Track von
der Torte gegessen haben.
2. Track traut sich nur so etwas anzustellen, falls auch Tick mitmacht.
3. Trick ist zu klein, um an den Kühlschrank heranzukommen und ihn zu öffnen.
(a) [6 PUNKTE] Übersetzen Sie die drei Aussagen in aussagenlogische Formeln. Legen Sie
dazu passende Variablen für atomare Aussagen fest.
(b) [5 PUNKTE] Hat das Geburtstagskind von der Torte gegessen? Argumentieren Sie mit
einer Wahrheitstabelle.
Hausaufgabe 2 [8 PUNKTE]
Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch?
(a) [2 PUNKTE]
Wenn 1 + 1 = 2 ist, dann gibt es ein viereckiges Dreieck.
(b) [2 PUNKTE]
Wenn es ein viereckiges Dreieck gibt, dann ist 1 + 1 = 2.
(c) [2 PUNKTE]
Wenn es ein viereckiges Dreieck gibt, dann ist 1 + 1 = 3.
(d) [2 PUNKTE]
Ein Dreieck hat drei oder vier Ecken.
Hausaufgabe 3 [6 PUNKTE]
Gegeben sei die Formel ¬(A ⇒ B) ⇔ (A ∧ ¬B).
(a) [4 PUNKTE]
Stellen Sie die Wahrheitstabelle auf.
(b) [2 PUNKTE]
Ist die Formel erfüllbar? Ist sie allgemeingültig?
Hausaufgabe 4 [10 PUNKTE]
In dieser Aufgabe betrachten wir Formeln mit vollständiger Klammerung gemäß Definition 2.3
im Vorlesungsskript. Die Länge einer solchen Formel ist die Anzahl ihrer Symbole als Zeichenkette. Beispielsweise hat die Formel ((¬A)∧(B ∨A)) die Länge 12. Für welche Zahlen n ≥ 1 gibt
es eine Formel der Länge n? Argumentieren Sie ausführlich und formal, etwa per Induktion.
Abgabe bis Freitag, 24.4., 14:00 Uhr, in den Briefkästen vor Raum IZ 343