Einführung in die Logik

Institut für
Theoretische Informatik
ITI
Prof. Dr. J. Adámek · Dipl.-Math. Dipl.-Inf. H. Urbat
Einführung in die Logik
Aufgabenblatt 2
Übungsaufgabe 1
Zeigen Sie (A ∨ B ∨ C) ∧ (C ∨ ¬A) ≡ (B ∧ ¬A) ∨ C.
(a) mit einer Wahrheitstabelle;
(b) mit Äquivalenzumformungen.
Wichtige aussagenlogische Äquivalenzen:
• Elimination von ⇒ und ⇔:
F ⇒ G ≡ ¬F ∨ G
F ⇔ G ≡ (F ⇒ G) ∧ (G ⇒ F ) ≡ (¬F ∨ G) ∧ (¬G ∨ F )
• Regeln für > und ⊥:
F ∨>≡>
F ∨⊥≡F
F ∧>≡F
F ∧⊥≡⊥
> ≡ F ∨ ¬F
⊥ ≡ F ∧ ¬F
¬> ≡ ⊥
• Assoziativität:
(F ∨ G) ∨ H ≡ F ∨ (G ∨ H)
(F ∧ G) ∧ H ≡ F ∧ (G ∧ H)
• Kommutativität:
F ∨G≡G∨F
F ∧G≡G∧F
• Idempotenz:
F ∨F ≡F
F ∧F ≡F
• Absorption:
F ∨ (F ∧ G) ≡ F
F ∧ (F ∨ G) ≡ F
• Distributivität:
F ∧ (G ∨ H) ≡ (F ∧ G) ∨ (F ∧ H)
F ∨ (G ∧ H) ≡ (F ∨ G) ∧ (F ∨ H)
• De Morgansche Gesetze:
¬(F ∨ G) ≡ ¬F ∧ ¬G
¬(F ∧ G) ≡ ¬F ∨ ¬G
• Doppelte Negation:
¬¬F ≡ F
Übungsaufgabe 2
Gegeben seien Atome A1 , . . . An und Belegungen α1 , . . . , αm : {A1 , . . . , An } → {0, 1}. Beweisen Sie: Es gibt eine Formel F in den Atomen A1 , . . . , An , die genau unter den Belegungen
α1 , . . . , αm wahr ist.
Hausaufgabe 1 [10 PUNKTE]
Zeigen Sie A ⇔ B ≡ (A ∧ B) ∨ (¬A ∧ ¬B)
(a) [5 PUNKTE]
mit einer Wahrheitstabelle;
(b) [5 PUNKTE]
mit Äquivalenzumformungen.
Hausaufgabe 2 [8 PUNKTE]
Ist {∨, ⇔} eine adäquate Menge von Junktoren für die Aussagenlogik? Begründen Sie detailliert!
Hausaufgabe 3 [10 PUNKTE]
Sei F ⇒ G eine allgemeingültige Formel, wobei F und G mindestens ein gemeinsames Atom
haben. Beweisen Sie: Es gibt eine Formel H, für die F ⇒ H und H ⇒ G allgemeingültig sind
und deren Atome sowohl in F als auch in G vorkommen.
Hinweis. Überlegen Sie sich zuerst, unter welchen Belegungen H wahr sein sollte, und verwenden
Sie dann Übungsaufgabe 2.
Hausaufgabe 4 [10 PUNKTE]
Die Bedeutung der Aussagenlogik für die Informatik basiert wesentlich auf der bemerkenswerten
Tatsache, dass viele kombinatorische Berechnungsprobleme aus Theorie und Praxis durch aussagenlogische Erfüllbarkeitsprobleme modellierbar sind. In dieser Aufgabe sollen Sie das anhand
der bekannten Sudoku-Rätsel nachvollziehen:
http://de.wikipedia.org/wiki/Sudoku
Formal ist ein Sudoku eine 9 × 9-Matrix S = (sij )1≤i,j≤9 mit Einträgen sij ∈ {1, 2, . . . , 9, ?}.
Ziel ist es, die ?-Einträge so durch Ziffern aus {1, . . . , 9} zu ersetzen, dass in jeder Zeile, jeder
Spalte und jedem der neun 3 × 3-Blöcke
(sij )
l≤i≤l+2
m≤j≤m+2
mit l, m ∈ {1, 4, 7}
alle Ziffern von 1 bis 9 vorkommen. Hier ein Beispiel-Soduko mit Lösung (die ?-Einträge auf
der linken Seite werden als leere Felder dargestellt):
Konstruieren Sie zu jedem Sodoku S eine aussagenlogische Formel FS , deren erfüllende Belegungen exakt den Lösungen von S entsprechen. Insbesondere soll FS genau dann erfüllbar sein,
wenn S eine Lösung hat.
Hinweis. Die Atome von FS sollten die Information tragen, welche Ziffer in welchem Feld steht.
Da es 9 · 9 Felder und 9 mögliche Ziffern gibt, sollten Sie 9 · 9 · 9 = 729 Atome verwenden.
Abgabe bis Freitag, 1.5., 14:00 Uhr, in den Briefkästen vor Raum IZ 343