Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik Blatt 1

Universität Heidelberg / Institut für Informatik
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Dipl.-Math. Martin Monath
27. Oktober 2016
Übungen zur Vorlesung
Mathematische Logik
Blatt 1
Aufgabe 1 (2+2=4 Punkte)
Gegeben sei die aussagenlogische Formel
ϕ ≡ (A0 ∧ ¬A1 ) ∨ (A1 ∧ ¬A2 ) ∨ (A2 ∧ ¬A0 ) ↔ (A0 → (A1 → A2 )).
(a) Schreiben Sie ϕ gemäß den Klammerregeln der Vorlesung aus und zeichnen Sie den
Strukturbaum von ϕ.
(b) Gegeben sei die Belegungen der Variablen Bi : V (ϕ) → {0, 1} (wobei i = 0, 1) mit
(i) B0 (A0 ) = B0 (A1 ) = 0, B0 (A2 ) = 1
(ii) B1 (A0 ) = B1 (A1 ) = 1, B1 (A2 ) = 0.
Bestimmen Sie B̂i (ϕ) für i = 0, 1, indem Sie im Strukturbaum von unten beginnend die
Werte von A0 , A1 , A2 unter Bi eintragen und mit Hilfe der induktiven Definition von B̂i die
Wahrheitswerte für die Teilformeln in die höheren Knoten eintragen.
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Es sei ϕ die aussagenlogische Formel
ϕ ≡ (A0 → ((A1 ∧ ¬A2 ) ∨ (A0 ↔ A1 ))).
Finden Sie Belegungen B0 und B1 , die ϕ wahr bzw. falsch machen. Was kann man mit Hilfe
von B0 und B1 über ϕ aussagen?
Aufgabe 3 (2+2=4 Punkte)
Beweisen Sie für beliebige aussagenlogische Formeln ϕ und ψ:
(a) erfb[ϕ ∨ ψ] ⇔ erfb[ϕ] oder erfb[ψ]
(b) erfb[ϕ ∧ ψ] ⇒ erfb[ϕ] und erfb[ψ]
Zeigen Sie außerdem, dass die Umkehrung von (b) im Allgemeinen falsch ist.
Aufgabe 4 (4 Punkte)
Zeigen Sie, dass das Gesetz der Fallunterscheidung
ϕ ≡ (A ∨ B) ∧ (A → C) ∧ (B → C) → C
eine Tautologie ist. Ordnen Sie hierbei auch den Teilformeln (A∨B), (A → C) und (B → C)
deren Wahrheitswerte der möglichen Belegungen mittels einer Wertetabelle zu (vgl. Folie 63
in Kapitel 1.2).
Anmerkung: Wird nur die Wertetabelle von ϕ angegeben oder kann nicht nachvollzogen
werden, wie sich die Wertetabelle von ϕ aus denen der Teilformeln ergibt, gibt es keine
Punkte!
Abgabe: Bis Donnerstag, den 03. November 2016, 14 Uhr in den Briefkästen im 1.
Obergeschoss des Mathematikon (INF 205) auf der Seite des Haupteingangs. Die aktuellen
Übungsblätter sind als PDF-Dateien im Internet auf der Seite der Vorlesung abrufbar:
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/ws16/mathlogik_ws16.html