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Logik: Die Wissenschaft vom Schließen
Allgemeingültigkeit von Ausdrücken
Wir beweisen die erste Äquivalenz: a ⊆ b ≡ a ∪ b = b ∪ b, indem wir zwei Richtungen betrachten:
Gilt α ⊆ β , so sind alle Element von α auch Elemente von β und alle Elemente von
b auch Elemente von a. Also enthält a ∪ b auch alle Elemente von b ∪ b – es enthält
sogar alle Elemente des betrachteten Individuenbereichs.
Ist umgekehrt a ∪ b = b ∪ b richtig, ist also a ∪ b die Allklasse, so ist jedes Element
des Individuenbereichs in a oder in β enthalten. Ein Element von α muß also, da es
nicht in a enthalten ist, in β enthalten sein.
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Allgemeingültigkeit von Ausdrücken
Erläuterung zum Vorgehen: Mit den Ausdrücken des Klassenkalküls können wir
mengenalgebraische Aussagen auf ihre Gültigkeit untersuchen. Doch zunächst
müssen wir untersuchen, wann Ausdrücke des Klassenkalküls allgemeingültig sind.
Hierzu führen wir die Frage der Allgemeingültigkeit auf Fragen nach der 1Gültigkeit zurück. Wir zeigen zunächst, wie jede mögliche Form von Disjunktionen
von einfachen Ausdrücken und negierten einfachen Ausdrücken auf Gültigkeit untersucht werden kann – und dann sind wir auch bereits fertig, denn wir können jeden
beliebigen Ausdruck des Klassenkalküls in eine konjunktive Normalform bringen, in
der jedes Konjunktionsglied eine Disjunktionen einfacher Ausdrücke (die auch negiert auftreten können) ist. Die Gültigkeit dieser Konjunktion ergibt sich natürlich
genau dann, wenn jede Disjunktion (also jedes Konjunktionsglied) gültig ist. Genaueres hierzu s. Punkt 7 weiter unten.
Es werden folgende Formen untersucht: einfache (positive) Ausdrücke; negierte einfache Ausdrücke; eine Disjunktion negierter einfacher Ausdrücke; Disjunktionen mit
keinem, einem oder mehreren negierten einfachen Ausdrücken und einem positiven
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einfachen Ausdruck; und zuletzt Ausdrücke mit keinem, einem, oder mehreren negierten einfachen Ausdrücken und mehr als einem positiven Ausdruck. Nur die Gültigkeit dieser letzten Form läßt sich nicht durch Ersetzung (zur Ersetzung s. Punkt 1
unten) direkt auf 1-Gültigkeit zurückführen. Achten Sie auf die Analogie zu Hornformeln, nur die letzte (problematische) Disjunktionsform ist nicht “horn” und erfordert
mehr Aufwand!
1. Ein (einfacher positiver) Ausdruck der Form a = b oder a ⊆ b ist allgemeingültig
genau dann, wenn er 1-gültig ist.
Dies werden wir nun beweisen, indem wir einige der oben genannten Äquivalenzen verwenden:
a ⊆ b ist äquivalent zu a ∪ b = b ∪ b , a = b zu (a ⊂ b) ∧ (b ⊂ a und damit zu
a ∪ b = b ∪ b ∧ b ∪ a = a ∪ a . Dies entspricht (a ∪ b) ∩ (b ∪ a) = a ∪ a .
In beiden Fällen liegt ein Ausdruck der Form c = d ∪ d vor. Diesen Ausdruck
können wir durch einen äquivalenten Ausdruck der Form e = d ∪ d ersetzen, bei
dem e eine besondere Gestalt hat:
In e sollen allen Negationen nach innen gezogen sein (also kein Operator ∪,∩
oder eine andere Negation negiert werden). Zudem soll kein ∪ auf ein ∩ angewendet werden. Wir erzeugen e durch eine Umformung völlig analog zu der
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Erzeugung einer KNF in der Logik, indem wir die oben stehenden Äquivalenzen
anwenden. Der resultierende Term e hat die Form e1 ∩ e2 ∩ . . . en und dort hat
jedes ei die Form f1 ∪ f2 ∪ · · · ∪ fk , wobei die fi jeweils Klassenvariablen oder
negierte Klassenvariablen sind.
Von den Ausdrücken der Form e1 ∩ e2 ∩ . . . en = d ∪ d sind nun diejenigen sicher
allgemeingültig (und damit auch 1-gültig), bei denen jedes Glied, abgesehen von
der Reihenfolge der Glieder, die Form g ∪ g ∪ f1 ∪ f2 ∪ · · · ∪ fk hat. Dann stellt
jedes ei die Allklasse dar, und damit insgesamt auch e .
Hat aber nur ein ei nicht diese Form, so ist der Ausdruck nicht allgemeingültig –
und auch nícht 1-gültig: Sei ei dieses Glied, so ersetzen wir eine Klassenvariable,
die in ei unnegiert vorkommt, durch 0, und negiert vorkommende durch 1. ei erhält
dann die Form 0 ∪ 0 ∪ · · · ∪ 0, d.h, wird 0. Da der Schnitt einer beliebigen Klasse
mit der Nullklasse die Nullklasse ergibt, wird auch e1 ∩e2 ∩. . . en gleich 0, während
d ∪ d gleich 1 wird. Der Ausdruck ist also, wenn er nicht allgemeingültig ist, auch
nicht 1-gültig, womit der Satz bewiesen ist.
Wichtiger Hinweis: Die 1-Gültigkeit eines Ausdrucks im Klassenkalkül kann man
überprüfen, indem man folgende Ersetzungen vornimmt:
∪ durch ∨, ∩ durch ∧, ¯ durch ¬, ⊆ durch →, und = durch ↔.
und dann die Gültigkeit der resultierenden aussagenlogischen Formel überprüft
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(man kann wahr und falsch mit 1 und 0, also wie oben mit der Allklasse und der
Nullklasse identifizieren, und jeweils zeigen, dass die Ersetzungen den Wahrheitsgehalt nicht ändern).
Ein (einfacher negativer) Ausdruck der Form ¬(a = b) oder ¬(a ⊆ b) ist allgemeingültig genau dann, wenn er 1-gültig ist.
Ein Ausdruck der Form ¬A1 ∨ · · · ∨ ¬An, wobei jedes Ai die Form a = b oder
a ⊆ b hat, ist genau dann allgemeingültig, wenn er 1-gültig ist.
Ein Ausdruck der Form ¬A ∨ B, wobei A und B die Form a = b oder a ⊆ b
haben, ist genau dann allgemeingültig, wenn er 1-gültig ist.
Ein Ausdruck der Form ¬A1 ∨ · · · ∨ ¬An ∨B, wobei jedes Ai und B die Form
a = b oder a ⊆ b hat, ist genau dann allgemeingültig, wenn er 1-gültig ist.
Ein Ausdruck der Form ¬B1 ∨ · · · ∨ ¬Bm ∨A1 ∨ · · · ∨ An , n ≥ 2, wobei jedes
Bi und jedes Aj die Form a = b oder a ⊆ b hat, ist dann und nur dann allgemeingültig, wenn wenigstens einer der Ausdrücke ¬B1 ∨ · · · ∨ ¬Bm ∨A1, . . . ,
¬B1 ∨ · · · ∨ ¬Bm ∨An allgemeingültig ist (also 1-gültig, s. den Fall unmittelbar
oben).
Hinweis: Dies ist der einzige Fall, in dem wir nicht direkt von der Nicht-1Gültigkeit (also der Nichtgültigkeit der aussagenlogischen Umschreibung) auf die
Nichtgültigkeit des Ausdrucks im Klassenkalkül schließen können.
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7. Gegeben sei nun ein beliebiger Ausdruck des Klassenkalküls. Jeder Ausdruck
besteht aus einfachen Ausdrücken der Form a = b oder a ⊆ b , die durch die
Aussagenverknüpfungen verbunden bzw. negiert sind. Um die konjunktive Normalform bzgl. der einfachen Ausdrücke zu erhalten, ersetzen wir zunächst die
Verbindungen der Form →, ↔ zwischen den einfachen Ausdrücken in der bekannten Weise und bilden dann mit dem bekannten Umformungsverfahren eine
konjunktive Normalform (hierbei betrachten wir die einfachen Ausdrücke als unveränderliche, atomare Bestandteile der zusammengesetzten Ausdrücke).
Es entsteht ein Ausdruck der Form C1 ∧ · · · ∧ Cn. Jedes Ci ist von einer der
Formen, die unter 1.-6. behandelt wurde. Der gesamte Ausdruck ist dann und
nur dann allgemeingültig, wenn jedes Ci allgemeingültig ist. Wann das der Fall
ist, haben wir bereits unter 1.-6. untersucht.
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