Mathematische Basistechniken

Mathematische Basistechniken
MBT ‐ Grundlagen
The trick in teaching mathematics is that I do the easy part and you do the hard part.
Hahn Hiang‐Shin, Complex Numbers and Geometry
MBT
Mathematische Basistechniken
Grundlagen
Christian Cenker
CSLearn
Center for Computer Science Didactics and Learning Research
Fachdidaktik‐ und Lernforschungszentrum Informatik
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Grundlagen
• Axiome
• Logik
– Aristotelische Logik (Syllogismen)
– Aussagenlogik
– Prädikatenlogik (erster und zweiter Stufe)
• Mengen
– Naive Mengenlehre
– Elementare Mengenlehre
• Strukturen
– Arithmetik
– Elementare Algebra
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MBT ‐ Grundlagen
Grundlagen – Mengen •
•
•
•
Naive Mengenlehre
Elementare Mengenlehre
Axiomatische Mengenlehre
Klassenlogik
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Grundlagen – Mengen Naive Mengenlehre
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterscheidbarer Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche die Elemente der Menge genannt werden, zu einem Ganzen.
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845‐1918)
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Grundlagen – Mengen Klassenlogik
|
Allklasse, Universum
Cantor „zeigte“
|
ist keine Menge
|
| |
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Grundlagen – Mengen Klassenlogik
„Die Menge aller Mengen, die sich selbst nicht enthalten.“
Russell‘sche Antinomie
| ∉
Russell‐Klasse
ist keine Menge
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Grundlagen – Mengen ZFC – Zermelo‐Fraenkel und Auswahlaxiom
Axiom der Extensionalität (Bestimmtheit): Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn jedes Element C von A auch Element von B ist, und umgekehrt jedes Element von B auch Element von A ist.
∀ , :
⇔∀ :
⇔
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Grundlagen – Mengen ZFC – Zermelo‐Fraenkel und Auswahlaxiom
Axiom der Elementarmengen: Es existiert eine Menge, die keine Elemente hat. ∃ :∀ :
Symbol: ∅
ϕ
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Grundlagen – Mengen ZFC – Zermelo‐Fraenkel und Auswahlaxiom
Axiom der Paarmengen Sind A und B Mengen, so ist {A,B} eine Menge.
Axiom der Vereinigung
Zu jeder Menge gibt es eine Menge, die genau aus den Elementen dieser Menge besteht.
Axiom der Potenzmenge
Es gibt eine Menge, die alle Teilmengen einer Menge A enthält.
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Grundlagen – Mengen ZFC – Zermelo‐Fraenkel und Auswahlaxiom
Axiom des Unendlichen: Es existiert eine Menge, die die leere Menge enthält und mit jeder Menge auch die Menge ∪ . ∃ :
∈
∀ :
∈
⇒
∪
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Grundlagen – Mengen Axiom des Unendlichen – Konstruktion von ist die kleinste Menge, die dieses Axiom erfüllt.
∅, ∅ , ∅, ∅ , ∅, ∅ , ∅, ∅
∅
0, ∅
1, ∅, ∅
,…
2, …
0,1,2,3,4,5,6,...
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Grundlagen – Mengen ZFC – Zermelo‐Fraenkel und Auswahlaxiom
Axiom der Regularität Jede nichtleere Menge A hat ein Element B, das mit A keine Elemente gemeinsam hat.
Axiom der Separation
Zu jeder Eigenschaft E und jeder Menge A gibt es eine Menge B, die genau die Elemente von A enthält, die die Eigenschaft E haben.
(einstelliges Prädikat E)
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Grundlagen – Mengen ZFC – Zermelo‐Fraenkel und Auswahlaxiom
Axiom der Ersetzung
Zu jeder funktionalen Eigenschaft F und jeder Menge A existiert eine Menge B, die genau diejenigen C als Elemente hat, für die ein D in A existiert, sodass F(D,C) wahr ist, F also der Menge D die Menge C zuordnet.
(zweistelliges Prädikat F)
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Grundlagen – Mengen ZFC – Zermelo‐Fraenkel und Auswahlaxiom
Auswahlaxiom: Ist A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jeden Element von A enthält. © CC, 2012
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Grundlagen – Mengen Mengenoperationen
• | |
⊂
⊆
∪
∩
\B
, ̅
•
•
•
•
•
•
•
Mächtigkeit einer Menge
Echte Teilmenge: ∈ ⇒
Teilmenge
Vereinigung
Durchschnitt
Differenzenmenge
Komplement
Symmetrische Differenz
∈
∧
Venn‐Diagramme
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Grundlagen – Logik „Ich lüge!“
„Ich lüge! Das ist die reine Wahrheit!“
Epimenides: „Alle Kreter lügen!“
Ein kretischer Prophet hat gesagt: Kreter sind immer Lügner, böse Tiere und faule Bäuche. Dieses Zeugnis ist wahr.
• Bertrand Russell
•
•
•
•
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Grundlagen – Logik • Lehre von den Prinzipien des widerspruchsfreien Schlussfolgerns
• Aristoteles (384‐322 BC), Organon
• Logische Grundprinzipien
– Prinzip vom ausgeschlossenen Widerspruch
– Prinzip vom ausgeschlossenen Dritten • tertium non datur
• Zweiwertige Logik
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Grundlagen – Logik Aristotelische Syllogismen (συλλογισμός)
Regeln für das logische Schließen
Wikipedia Commons
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Grundlagen – Logik Aristoteles •
•
•
•
A a B
A e B
A i B
A o B
Alle B sind A
B⊆A,B Ø
Kein B ist A
B⋂A Ø, B Ø
Einige B sind A
B⋂A Ø,B⊈A
Einige B sind nicht A
B\A Ø
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Grundlagen – Logik Vollkommene Syllogismen Barbara
A a M [Alle M sind A]
M a B [Alle B sind M]
A a B [Alle B sind A]
Darii
A a M [Alle M sind A]
M i B [Einige B sind M]
A i B [Einige B sind A]
Celarent
A e M [Kein M ist A]
M a B [Alle B sind M]
A e B [Kein B ist A]
Ferio
A e M [Kein M ist A]
M i B [Einige B sind M]
A o B [Einige B sind nicht A]
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Grundlagen – Logik Unvollkommene Syllogismen Cesare
M e A
M a B A e B
Camestres
M e A
M e B A e B Festino
M e A
M i B
A o B
Baroco
Darapi
M a A
AaM
M o B
B a M
A o B A i B
Felapton Disamis Datisi Bocardo Ferison
A e M A i M A a M A o M A e M
B a M B a M B i M
B a M
B i M
A o B A i B A i B A o B A o B
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Grundlagen – Logik Alle gültigen Syllogismen 1. Figur
Barbara, Celarent, Darii, Ferio, Barbari, Celaront
2. Figur Baroco, Cesare, Camestres, Festino, Camestrop, Cesaro
3. Figur Bocardo, Darapti, Datisi, Disamis, Felapton, Ferison
4. Figur Bamalip, Calemes, Dimatis, Fesapo, Fresison, Calemop
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Grundlagen – Logik Aristoteles (384‐322)
George Boole (1815‐1864)
The mathematical analysis of logic, 1847
An investigation of the laws of thought, 1853
Augustus DeMorgan (1806‐1871) Elements of Arithmetic, 1830
Formal Logic, 1847
Gottlob Frege (1848‐1925)
Formale Sprache, Grundgesetze der Arithmetik
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Grundlagen – Logik Bertrand Russell (1872‐1970)
Alfred North Whitehead (1861‐1947)
Principia Mathematica (1919)
Kurt Gödel (1906‐1978)
Vollständigkeit der Prädikatenlogik. Unvollständigkeit der Peano‐Arithmetik
Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig. 1931
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Aussagenlogik Die Logik untersucht Sprachen, in denen die Welt beschrieben werden kann.
•
•
•
•
•
•
•
•
Beschreibung von Welten
Überprüfung von Theoremen (allg. Aussagen)
Verifikation von Soft‐ und Hardware
Programmierung: Prolog, Algol, Lisp, CAS
Konsistenz von Datenbanken
Künstliche Intelligenz (AI)
Wissensbasierte Systeme, Knowledge Management
Semantic Web
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Aussagenlogik Die Aussagenlogik beschäftigt sich mit Aussagen.
Eine Aussage ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist
2‐wertige Logik „tertium non datur“
→ true t wahr w 1
→ false f falsch f 0
Eine Aussage ist entscheidbar, wenn sie oder ihre Negation in endlich vielen Schritten verifiziert werden kann.
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Aussagenlogik Aussagen
• 6 ist durch 3 teilbar. • 7 ist durch 5 teilbar.
Wahr
Falsch
• Heute ist es warm.
?????
Aussageformen
• enthalten Individuenvariablen
• sind weder wahr noch falsch
•
•
" istgerade" weder wahr noch falsch
"
"
ist allgemein gültig
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Aussagenlogik Syntax
Alphabet und Grammatik der wohlgeformten Formeln Wohlgeformte Formeln = alle, deren Aussagen entscheidbar sind
Alphabet/Vokabular der terminalen Symbole der Logik
• Abzählbare Menge von Aussagen‐Konstanten
– „Blut ist rot“, „2 ist eine gerade Zahl“
• Abzählbare Menge von Aussagen‐Variablen: A,B,…A1,A2,… – Atome, atomare Formeln, Literale, Elementaraussagen.
• Unärer Operator Ÿ (nicht) binärer Operator / (oder)
• Klammern: ( )
• Definitionen: zB Junktor - (und): A -B≔ Ÿ(Ÿ A / Ÿ B)
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MBT ‐ Grundlagen
Aussagenlogik
Syntax
Alphabet und Grammatik der wohlgeformten Formeln Grammatik der Logik
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Aussagenlogik
Wohlgeformte Formeln Alle Formeln, deren Aussagen entscheidbar sind
Atome, Literale, Elementaraussagen:
Einfache Aussagen, die wahr oder falsch sind
Diese sind zugleich atomare Formeln F
Sind F und G Formeln, dann auch
Ÿ F, (F / G), (F - G), Ÿ (F / Ÿ G)
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MBT ‐ Grundlagen
Aussagenlogik
Junktoren
Basisoperatoren: Ÿ , /, - ( A -B≔ Ÿ(Ÿ A / Ÿ B) )
NAND … Sheffer‐Funktion NOR … Pierce‐Funktion
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Aussagenlogik
2‐stellige Junktoren
 NAND und NOR‐Gatter (logic gates)
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MBT ‐ Grundlagen
Aussagenlogik
Implikationen
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Aussagenlogik
Logisches Schließen
modus tollens
Zahl durch 3 teilbar ö Quersumme ist durch 3 teilbar
Die Quersumme von 20030056789001 ist nicht durch 3 teilbar
20030056789001 ist nicht durch 3 teilbar
modus pollens
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AussagenlogikPrädikatenlogik
Aussagenkalkül
Die Aussagenlogik ist entscheidbar
Entscheidungen etwa mit Wahrheitstafeln
Die Prädikatenlogik
Es gibt keine Entscheidungsverfahren
Kalkül
Ableitungsregeln für wahre Sätze
Basis ist das Aussagenkalkül
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Prädikatenlogik
Einstelliges Prädikat
„______ ist ein Mensch“
Die Auslassung „______“ wird durch einen „Eigennamen“ ersetzt.
Zweistelliges Prädikat
„______ ist teilbar durch ______ “
Dreistelliges Prädikat
„______ ist teilbar durch ______ und ______“
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Prädikatenlogik
Kalkül
• Formales Regelsystem
• Begriffsnetz
• Deduktionsgerüst
• Axiome
• Schlussregeln
Schlussregeln
Ableitung von Sätzen (Theoremen) aus den Axiomen
Beweis
Eine endliche Folge von Formeln F1,F2,…,Fn
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Prädikatenlogik
Aussagenkalkül von Lukasiewicz
• Replikation
A ö(B öA)
• Selbstdistribution [A ö(B öC)] ö[(A öB) ö(A öC)]
• Kontraposition
(Ÿ B ö Ÿ A) ö(A öB)
Aussagenkalkül von Whitehead‐Russell ( /, Ÿ )
•
•
•
•
•
(A ö B) ú (Ÿ A / B ) (A / A) öA
( A - B ) ú Ÿ( ŸA / ŸB)
B ö(A / B)
(A / B) ö(B / A)
[A / (B / C)] ö[B / (A / C)]
(B öC) ö[(A / B) ö(A / C)]
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Wirklichkeit und Modell
Prädikatenlogik
Interpretation
Abbildung der Sprache auf die Struktur der Welt
Modell
Die Struktur einer richtigen Interpretation der Welt
Semantik
Die Relationen zwischen Sprache, Objekten und Strukturen
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Wirklichkeit und Modell
Prädikatenlogik
Kalkül
⊢F
Die Formel Fist im Kalkül herleitbar
Wirklichkeit
⊨F
Die Formel F ist in der Wirklichkeit gültig
Tautologie
eine immer gültige Formel
Antilogie
immer fasch
⊨( A ö A ) oder ⊨( A / ŸA )
„Jede gerade Zahl ist durch 2 teilbar.“
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Wirklichkeit und Modell
Prädikatenlogik
Kalkül
Korrektheit
⊢ F ⇒ ⊨ F
Vollständigkeit
⊨ F ⇒ ⊢ F
Widerspruchsfreiheit (sound)
⊬ F-ŸF )
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Wirklichkeit und Modell
Prädikatenlogik
Kurt Gödel (1906‐1978)
Vollständigkeit der Prädikatenlogik. Unvollständigkeit der Peano‐Arithmetik
Jedes hinreichend mächtige formale System ist entweder widersprüchlich oder unvollständig. 1931
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MBT ‐ Grundlagen
Prädikatenlogik
Modelle
Belegung W einer Formel F:
W Ist für alle Elementaraussagen von F definiert.
Eine Belegung W heißt Modell für F, wenn W (F 1
W⊨F
(⊨ ist eine Relation zwischen Formeln)
W macht F wahr
F gilt unter der BelegungW
Formel F
erfüllbar, wenn es eine Belegung W gibt mit W (F 1.
unerfüllbar, wenn es kein Modell für F gibt.
(allgemein) gültig, falls jede Belegung W von F ein Modell kontingent, wenn erfüllbar aber nicht allgemein gültig
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Prädikatenlogik
Modelle
Folgerbarkeit
, , … , ⊨ G
G folgt logisch aus den Formeln , , … , ,
wenn jedes Modell W für alle auch Modell für G ist.
W⊨ ,
1, … , ⇒ W ⊨ G
X ⊨ /Ÿ Tautologie ist aus jeder Formelmenge folgerbar
-Ÿ ⊨
ex falso quodlibet
Eine Formel mit Atomen hat 2 Belegungen.
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Mathematische Basistechniken
MBT ‐ Grundlagen
Modelle – Folgerbarkeit
Prädikatenlogik
Indirekter Beweis – reductio ad absurdum
⊨ ⇔ -Ÿ ist unerfüllbar öŸ
ö -Ÿ
Theorem: ∙
0 ⇔ 0 0
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Modelle – Folgerbarkeit
Prädikatenlogik
Kontraposition
⇒ ⇔ Ÿ ⇒ Ÿ Theorem: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis: Annahme: Es gibt nur endlich viele Primzahlen , … ,
.
Sei ∙∙∙∙
1.
Dann muss ein die Zahl teilen.
Damit teilt dieses auch die Zahl 1 teilt. Widerspruch!
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MBT ‐ Grundlagen
Modelle – Folgerbarkeit
Prädikatenlogik
Äquivalenz
Formeln und heißen äquivalent ≡ ,
falls ⊨ und ⊨ © CC, 2012
Modelle – Folgerbarkeit
Prädikatenlogik
Äquivalenzen
Alle Äquivalenzen sind Tautologien, wenn ≡ durch ⇔ ersetzt wird.
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MBT ‐ Grundlagen
Modelle – Folgerbarkeit
Prädikatenlogik
Äquivalenzen
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Normalformen
Prädikatenlogik
Literal: Eine atomare Formel oder ihre Negation.
Komplemente: Positives und negatives Literal.
Klausel: Eine Disjunktion (/) von Literalen.
Eine Klausel ist genau dann allgemein gültig,
d.h., eine Tautologie, wenn sie mindestens ein Paar komplementärer Literale enthält.
Horn‐Klausel: /Ÿ /Ÿ
Interpretation:
⇐ Ÿ /Ÿ
/ ∙∙∙ /Ÿ
/ ∙∙∙ /Ÿ
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Mathematische Basistechniken
Normalformen
MBT ‐ Grundlagen
Prädikatenlogik
KNF – Konjunktive Normalform
KNF ist Konjunktion von Disjunktionen von Literalen
DNF – Disjunktive Normalform
KNF ist Disjunktion von Konjunktionen von Literalen
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Normalformen
Prädikatenlogik
KNF – Algorithmus
1. Ersetze alle 2‐stelligen Junktoren durch Ÿ, / und 2. Ersetze ŸŸ durch 3. DeMorgan: Ÿ durch Ÿ /Ÿ
Ÿ /
durch Ÿ -Ÿ
4. Distributivgesetz: / durch - / - / durch / - /
5. Reduziere überflüssige Literale, Disjunktionen, Klammern
Benutze Regeln für: Tautologie, Idempotenz, Assoziativität, Kommutativität
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Mathematische Basistechniken
Normalformen
MBT ‐ Grundlagen
Prädikatenlogik
KNF – Algorithmus (Beispiel)
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Normalformen
Prädikatenlogik
Normalformen aus Wahrheitstafel zu erstellen
KNF: Sie ist eine Konjunktion aus den Disjunktionen jener Zeilen, in denen die Formel F die Belegung falsch (0) hat, wobei jeweils die negierten Werte der wahren Atome (1) in die Disjunktion aufgenommen werden:
Hat das Atom A den Wert 1 so nimm ŸA in die Disjunktion auf, sonst A.
DNF: Sie ist eine Disjunktion aus den Konjunktionen jener Zeilen, in denen die Formel F die Belegung wahr (1) hat.
Hat das Atom A den Wert 1 so nimm A in die Konjunktion auf, sonst ŸA.
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Mathematische Basistechniken
MBT ‐ Grundlagen
Normalformen
Prädikatenlogik
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Logisch!
• Ich weiß, dass Sie glauben, Sie verstehen,
was Sie denken, das ich gesagt habe;
aber ich bin mir nicht sicher, ob Sie begreifen, dass das, was Sie gehört haben, nicht das ist, was ich meinte.
• Es ist ein Unterschied zwischen dem was ich denke, was ich sage, was ich schreibe und was ich wirklich meine.
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