Klausurvorbereitung 2014 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Klausurvorbereitung 2014 Wahrscheinlichkeitsrechnung
HAM Master M/DFHI M
Prof. Dr. B. Grabowski
Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik
Aufgabe 1)
Sei X die zufällige Anzahl von Würfelversuchen, bis zum ersten mal eine 6 gewürfelt wurde.
a) Welche Verteilung besitzt X?
b) Im wievielten Würfelversuch wird durchschnittlich zum ersten mal eine 6 gewürfelt?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, erst beim
c1) 5. Versuch
c2) 6. Versuch
c3) 7.Versuch
die erste 6 zu würfeln?
Aufgabe 2)
Sei X die zufällige Anzahl von Sechsen beim 6 maligen Würfeln.
a) Welche Verteilung besitzt X?
d) Mit wie viel Sechsen kann man im Schnitt bei einem Wurf mit 6 Würfeln rechnen?
e) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, beim Würfeln mit 6 Würfeln
c1) genau eine Sechs
c2) höchstens eine Sechs
zu würfeln?
Aufgabe 3)
Die Ausschussrate bei der Produktion von Wellen betrage 1 %.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Los von 10 Teilen (Wellen)
mehr als 2 defekte Wellen enthält!
b) Berechnen Sie mit Hilfe der Poissonverteilung die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein
Los von 1000 Teilen (Wellen) mehr als 2 defekte Wellen enthält!
Aufgabe 4)
Sei X eine Zufallsgröße mit der Verteilungsfunktion
FX (x) =
{
0, falls x < 2,
(x 2 / 4 - x + 1), falls 2 ≤ x < 4,
1, falls x  4.
a) Berechnen Sie die Dichtefunktion fX (x)!
b) Zeichnen Sie die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion in ein
Koordinatensystem!
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 2 < X < 3 gilt?
d) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X> 3 , wenn man weiß, dass X > 2 . 5
ist?
e) Berechnen Sie EX.
1
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HAM Master M/DFHI M
Prof. Dr. B. Grabowski
Aufgabe 5)
Die Lebensdauer T von KFZ-Batterien des Typs „Bleinix“ ist exponentialverteilt mit der
erwarteten Lebensdauer ET = 3 Jahre.
a) Wie viel % aller Batterien haben eine Lebensdauer > 3 Jahre?
b) Welche Lebensdauer überschreiten 90% aller Batterien nicht?
Aufgabe 6)
Bei der Produktion von Rohren schwankt der Normwert des Innendurchmessers X wie folgt
normalverteilt um 100 mm: X ~ N(100, (0,1)2). Alle Rohre, deren Innendurchmesser nicht im
Intervall [99,85; 100,15] mm liegen, gelten als Ausschuss!
a) Berechnen Sie die Ausschussrate (Anteil aller Rohre, die Ausschuss sind) der
Produktion!
b) Berechnen Sie den Toleranzbereich um 100 mm herum, d.h. das , so dass genau
1% aller Rohre außerhalb des Toleranzbereiches [100 - ,100 + ] liegen!
Aufgabe 7)
Eine Schaltung besteht in der in der Skizze dargestellten Weise aus 2 Bauelementen.
Das Gerät funktioniert, wenn mindestens eines der beiden
Bauelemente funktioniert.
Die zufällige Zeit Ti bis zum Ausfall eines Bauelements Bi ist
wie folgt gegeben (alle Angaben in Stunden):
Bauelement B1 : T1 N(100, 4)
Bauelement B2 : T2 E(0,01)
Die Elemente B1 und B2 fallen unabhängig voneinander aus, d.h., T1 und T2 sind
stochastisch unabhängig.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Lebensdauer des Gerätes 100 Stunden
nicht überschreitet !
Aufgabe 8)
Es wurden für n=30 Messungen der zufälligen Durchlaufzeit X von Fertigungseinheiten durch
eine Fertigungsstraße (in Stunden) eine Klasseneinteilung durchgeführt. Es ergab sich
folgendes Ergebnis:
a) Passen Sie eine geeignete Verteilung an die Daten an,
d.h. geben Sie eine geeignete Dichtefunktion
Ki
hn(Ki)
inklusive der Schätzung ihrer Parameter (nach o.g.
<1
0,5
Momenten-Methode) an!
1- <2
4/15
2- < 3
2/15
b) Wie groß sind die mittlere Durchlaufzeit und die
3- <4
1/15
Varianz der Durchlaufzeit?
4 -6
1/30
2