17. Wechselstrom
17.1 Die elektromagnetische Induktion Induktionsspannung
U
Versuch:
N
S
Ergebnis: Das Hinein- bzw.
Herausziehen der Schleife bewirkt
einen Spannungsstoß.
Die Flächen
sind jeweils
gleich.
t
Versuch 2: Wird die Schleifenebene parallel zu den Kraftlinien
hineingeschoben, wird keine Spannung induziert.
Bei Drehen der Schleife  Spannungsstoß.
Dieser Vorgang heißt elektromagnetische Induktion, die dabei
hervorgerufene Spannung Induktionsspannung. Es fließt ein
Induktionsstrom.
Die Induktion wurde 1831 durch Michael Faraday entdeckt.
Seit 1870 werden nach diesem Prinzip Generatoren gebaut.
Generatoren sind Wandler von Energie: Mechan. Energie in
elektr. Energie
Eine Spannung wird induziert, wenn
• sich ein Leiter in einem Magnetfeld bewegt,
• sich der magnetische Fluss durch die Schleife ändert.
(m = B·A)
Entstehung der Induktionsspannung:
Auf jeden Ladungsträger wirkt eine
Lorentz-Kraft.
S
+
FL = qvB
v
N
-
Es kommt zu einer Verschiebung der
Elektronen im Leiter, bis es zu einem
Gleichgewicht kommt.
Es bildet sich nämlich ein
elektrisches Feld.
Fel = qE
elektrische Kraft
E ... elektrische Feldstärke
q ... el. Ladung
Gleichgewichtszustand:
FL + Fel = 0
qvB + qE = 0
E = -vB
 ·l
El = -vBl
Uind = -vBl
Induzierte Spannung an den Leiterenden.
Berechne:
Hufeisenmagnet: B=0,01T; l=10cm = 0,1m; v = 1m/s.
Ergebnis: Uind = - 1.0,01.0,1 = -0,001V = -1 mV
Der bewegte Leiter wird durch eine Schleife ergänzt.
B
Fm
I
v
ds
Wir verschieben den Leiter um ds,
das bewirkt eine Induktionsspannung, die einen Induktionsstrom zu Folge hat.
l
Deshalb wirkt auf den Leiter eine Lorentzkraft, die die Bewegung
hemmt. Um sie aufrechtzuerhalten müssen wir Arbeit verrichten.
Dies ist in Einklang mit dem Energieprinzip.
Lenzsche Regel: Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet,
dass er seiner Ursache entgegenwirkt.
Bewegen des Leiters um ds:
Dies führt zu einer Änderung des magnetischen Flusses m
dm = B.dA = B.l.ds = B l.v.dt = -Uind.dt
d
U ind  
dt
d
dt
In einer Leiterschleife induzierte
Spannung.
... Änderung des magnetischen Flusses
d
U ind   N 
dt
Induktionsgesetz allgemein
N ... Anzahl der Windungen
Versuch:
V
Öffnen des Schalters in I 
I
II
Das Induktionsgesetz ist allgemein gültig:
dA
UindN  B 
dt
dB
Uind N  A 
dt
d
Uind N 
dt
Bewegung, bzw. Fläche ändert sich
Die magn. Flussdichte ändert sich.
Spannungsstoß in II
Schließen des Schalters in I 
Versuche zur Lenzschen Regel:
Ergebnis:
Beim Einschalten wird der Ring
abgestoßen, beim Ausschalten
wir der angezogen.
Beim Einschalten wirkt das Magnetfeld des Rings schwächend auf
das Magnetfeld der Spule, beim Ausschalten verstärkend. (Der
Zusammenbruch des Magnetfeldes soll verhindert werden.)
Versuchsvariation: Thomsonsche Kanone (Beachte: Verwende
dazu Wechselstrom ca. 60-70V)
17.1.1 Anwendungen der Induktion:
Erarbeite die Anwendungen aus dem Buch (BW 7) S. 54
Magnettonabnehmer
Schreib-Leseköpfe für Magnetspeicher
INDUSI (Induktive Zugsicherung) (Folie)
FI-Schalter (Siehe Abb. 54.3)
FI-Schalter
17.1.2 Wirbelströme
Versuch:
Bei Bewegung eines
massiven leitenden Körpers in
einem Magnetfeld treten
Wirbelströme auf. Nach der
Lenzschen Regel sind sie so
gerichtet, dass die darauf
wirkende Lorentzkraft die
Bewegung hemmt.
Anwendung: Wirbelstrombremse in E-Motoren.
Zusatzbremse bei LKWs
Unangenehme Eigenschaft der Wirbelströme:
Starke Erwärmung. Bei Eisenkernen von Elektromagneten würde
dies zur Schwächung des Magneten führen.
Daher Lamellierung des Eisenkerns.
Weiterer Versuch zu Wirbelstrom: Durch Kupferrohr und durch
Plastikrohr gleicher Länge wird ein Magnet frei fallen gelassen.
Begründe!
17.2 Die Selbstinduktion
Um eine Glimmlampe zum Leuchten zu bringen ist eine
Zündspannung von ca. 170 V erforderlich. (Zeigen!!!)
Versuch:
17.2 Die Selbstinduktion
Um eine Glimmlampe zum Leuchten zu bringen ist eine
Zündspannung von ca. 170 V erforderlich. (Zeigen!!!)
Versuch:
Ergebnis:
Beim Einschalten leuchtet die
Lampe nicht, beim
Ausschalten schon.
Die Änderung des Spulenstroms bewirkt eine Induktionsspannung.
d
Uind N 
dt
in allen N Windungen
Kraftflussdichte im Innern einer Spule:
NI
B   0
l
  B A
Wir setzen ins Induktionsgesetz ein:
UN 
d
NI
(0 A) 
dt
l
A
LN 0
l
2
 N20
A dI

l dt
L ... Induktivität der Spule
dI
UL L 
dt
Selbstinduktionsspannung in einer Spule.
Sie wird durch die Änderung der Stromstärke in einer Spule
hervorgerufen.
Die Einheit der Induktivität heißt 1 Henry (1H)
Ein Henry tritt auf, wenn eine gleichmäßige Änderung
des Stromes um 1 Ampere pro Sekunde eine Spannung
von 1 Volt hervorruft.
Beim Ausschalten tritt eine besonders hohe Selbstinduktionsspannung auf, da dort die Änderung von I besonders stark ist.
Rechenbeispiel: A12 S 67 (BW 3)
1,256  106  6002  0,012  
L
 1,42  103 H
0,1
3
U L   1,42  10  10  0,0142 V
17.2.1 Die magnetische Energie
Im magnetischen Feld kann Energie gespeichert werden.
(vgl. Versuch mit Glimmlampe)
Die Spule mit der Induktivität L wird mit einer
Gleichspannungsquelle U gespeist.
U
dI
UL L 
dt
L
Die Selbstinduktionsspannung ist der Klemmenspannung
entgegengesetzt.
2. KH. R.
U + UL = 0
UL 
dI
dt
→ U = - UL
Die elektrische Arbeit, die zum Aufbau des magnetischen Feldes aus
der Spannungsquelle in der Zeit dt abgegeben wird, entspricht dem
Produkt aus der elektrischen Leistung mal der Zeit dt.
W = P·dt = U·I·dt
Die elektrische Arbeit entspricht dem Energiebetrag dE, um
den sich die magnetische Feldenergie vergrößert.
dE = U·I·dt
dEL 
Wir setzen für U ein:
dI
 I  dt
dt
dEL  I  dI
L  I2
Emagn.  L  I  dI
2
Beweis:
d L  I2
2LI
(
)
 LI
dt 2
2
Vgl. Abb. 68.1
L.I
L I
Emagn. 
2
2

I
I
Die magnetische Feldenergie entspricht der Fläche
unter dem Graphen.
17.3 Der Wechselstromgenerator
Mit Kohlebürsten greift
man an den
Schleifringen die
elektrische Spannung
ab.
B
n

 = B.A.cos = BAcost
 ...  zwischen der Normale auf die
Leiterschleife und den magnetischen
Feldlinien
 = 0  cos = 1
Fluss am größten
d
d
Uind N 
N (BA cos t)NBA  sin t
dt
dt

UindU0 sin t
Spannung beim
Wechselstromgenerator
Bei Anschließen eines Verbrauchers fließt ein sinusförmiger
Wechselstrom.
V
B
W
n
U
I


F
Die Kraft, die auf den Leiter wirkt hemmt
die Bewegung. Zur Aufrechterhaltung ist
Arbeit nötig. Diese Arbeit wird vom
Generator in elektr. Energie umgewandelt.
Technische Ausführung:
Innenpolmaschine (Feldmagnet innen) Die
Induktionsspulen sind im Stator
(verlustfreierer Abgriff). An Bürsten würden
sich starke Funken bilden.
17.4 Der Gleichstromgenerator
Anstelle der beiden
Schleifringe verwendet man
einen Kommutator.
Dieser polt nach einer
Umdrehung von 180° die
Stromrichtung um.
17.4 Der Gleichstromgenerator
Der Kommutator polt nach
einer Umdrehung von 180° die
Stromrichtung um.
Damit fließt der Strom immer in
dieselbe Richtung. Wir erhalten
einen pulsierenden
Gleichstrom.
U
pulsierender Gleichstrom
N
S
U ind  U 0  sin t
t
Verwendet man mehrere gegeneinander versetzte Spulen und statt
des Kommutators einen Kollektor, erhält man einen "glätteren"
Gleichstrom.
Dynamoelektrisches Prinzip von Siemens 1867:
Anstelle des Permanentmagneten wird ein Elektromagnet verwendet. Dieser
wird vom Generator selbst
gespeist.
Die Remanenz des Eisenkerns bewirkt bei der ersten
Umdrehung eine kleine
Induktionsspannung, die
einen Induktionsstrom zur
Folge hat. Dieser baut das
Feld weiter auf, ... bis zur
Sättigung.
Gleichstromgeneratoren werden verwendet um die Feldspulen der
Wechselstromgeneratoren zu speisen, als Lichtmaschine in Fahrzeugen
usw.
17.5 Widerstände im Wechselstromkreis
Versuch:
Ergebnis:
Die Glühlampe vor der Induktivität
leuchtet später.
Grund: Selbstinduktion hat einen
Strom, der dem Strom aus der Batterie
entgegengesetzt ist. Erst wenn das
Magnetfeld aufgebaut ist, leuchtet die
Lampe.
Variante: Rasches Aus- und Einschalten:
 Glühlampe hinter L leuchtet überhaupt nicht mehr.
Folgerung: Der induktive Widerstand wird bei höherer
Frequenz größer.
17.5.1 Ohmscher Widerstand im Wechselstromkreis
U
~
I
I und U sind
konphas.
R
U0
I
U( t )  U 0  sin t
U 0  sin t
I( t ) 
 I0  sin t
R
0
t
Leistung im Wechselstromkreis bei rein ohmschem Verbraucher:
Diese wird im ohmschen Widerstand wie beim Gleichstrom in
Wärme umgewandelt.
Leistung im Wechselstromkreis bei rein ohmschem Verbraucher.
Diese wird im ohmschen Widerstand wie beim Gleichstrom in
Wärme umgewandelt.
P(t) = U(t).I(t) = U0.I0.sin2t
Die Leistung schwankt periodisch.
U, I, P
Leistung beim Wechselstrom
4
3
2
1
0
-1 0
-2
-3
1
2
3
4
5
6
Zeit
Spannung
Stromstärke
Leistung
7
Die Momentanleistung ist
nicht interessant.
Wir errechnen den
zeitlichen Mittelwert.
Die Fläche unter der Kurve
ist die Arbeit während einer
Periode.
W
P
T
Es gilt: T = 2
T
T
0
0
T
W  P(t)  dt  U0  I0  sin t  dtU0  I0   sin2 t  dtU0  I0 
2
0
T
2
1
T  1
 T
sin 2T0 
Es gilt nämlich:  sin t  dt  (1  cos 2t)dt  
2  4
2
0
02

T
2
T
0
T
T
0
0
W  P(t)  dt U0  I0  sin2 ωt  dt 
T
U0  I0   sin 2 ωt  dt
0
Fläche unter der Kurve bis T
ist die Arbeit in einer Periode.
2π
T
1
2
2
sin
(
ω
t
)

dt

sin
u  du 

0

ω 0

Bei der Substitution ändern sich auch die Grenzen:
t = 0 u = 0
2π
 T  2π
t = T  u = ω∙T =
T
uωt
du ωdt
2π
2π


1
1
2
π
2
2
sin u  du   cosu  sinu 0   (  cos u)  du 

ω 0
ω
0

partielle Integration:
f  sinu  F   cosu
g  sinu  g  cosu
2π
2π

2
π
1
1
2
2

sin
u

du


cos
u

sin
u

(
1

sin
u)  du


0
ω 0
ω   0
0

2π
2π




2π
1
1
1
2
2
sin
u

du

1

du

sin
u  du



ω 0
ω 0
ω 0
2π
2
1 2π
2
sin
u

du

u0

ω 0
ω

2
ω
2π
2π
0 sin u  du  ω
2
Wir substituieren wieder zurück:
u  ωt
du  ω  dt
Auch die Grenzen: unten 0; oben T
T
2
2π
2
sin
(
ω
t
)

dt

ω

:2

ω0
ω
T
2
sin
 (ωt)  dt 
0
π
π
T



ω 2 π 2π 2
ω
T
T
Wir erhalten also als Arbeit in einer Periode T:
T
T
T
T
W  P(t)  dt  U0  I0  sin t  dtU0  I0   sin t  dtU0  I0 
2
0
0
0
2
2
T
U0  I0 
U0  I0 U0 I0
W
2
P 



Ueff  Ieff
T
T
2
2 
2

Ueff Ieff
Ueff, Ieff sind die Effektivwerte von Spannung und Stromstärke.
Ein Gleichstrom mit den Effektivwerten würde dieselbe Leistung
erbringen.
Bei der Angabe der Spannung einer Wechselstromsteckdose gibt man
stets die Effektivwerte an.
U
Auch mit Messgeräten misst man
meist die Effektivwerte.
325
230
t
Ein Oszillograph kann die
Scheitelwerte messen.
Bei induktiven
und kapazitiven
Widerständen
kommt es zu
einer Phasenverschiebung.
Außerdem sind
diese
Widerstände
frequenzabhängig.
Die Leistung bei verschiedenen Widerständen errechnet sich daher
folgendermaßen:
Wirkleistung:
1
P  U0  I0   cos   Ueff  Ieff  cos 
2
cos ..... Leistungsfaktor
Ueff.Ieff ..... Scheinleistung
Die Wirkleistung wird in Watt (W) angegeben, die Scheinleistung in
VoltAmpere (VA).
In Wechselstromkreisen tritt daher immer ein Blindstrom auf, der zu
Energieverlusten (Erwärmung der Leitungen) führt. Diese Blindströme
belasten das Stromnetz und sind daher unerwünscht.