Komplexe Zahlen - Fakultät für Mathematik, TU Dortmund

Vorkurs Mathematik B
Dr. Thorsten Camps
Fakultät für Mathematik
TU Dortmund
22. September 2011
Komplexe Zahlen
Erweiterung der Zahlbereiche — Lösung von Polynomgleichungen:
N: Lösung einiger Polynomgleichungen
Z: Lösung aller Gleichungen der Form x + a = 0 mit a ∈ N
Nicht lösbar: Gleichungen der Form ax + b = 0, a, b ∈ Z.
Q: Lösung aller Gleichungen der Form ax + b = 0 mit a, b ∈ Q.
Nicht lösbar: Gleichungen der Form x 2 + a = 0, a ∈ Q.
R: Lösung aller Gleichungen der Form x 2 − a = 0 mit a ∈ R,
a ≥ 0.
Nicht lösbar: Gleichungen der Form x 2 + a = 0 mit a ∈ R,
a > 0.
Um jede quadratische Gleichung zu lösen, führt man nach den negativen
Zahlen, den Brüchen und den irrationalen Zahlen nun neue Zahlen ein, die
die Lösbarkeit sicher stellen sollen. Dabei möchte man erreichen, dass wie
vorher die bisher bekannten Zahlen Teilmenge der neuen sind.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
22. September 2011
2 / 11
Komplexe Zahlen
Wir benötigen also Zahlen, deren Quadrat negativ ist.
Definition (Komplexe Zahlen)
Es sei
C := {x + iy | x, y ∈ R}.
C heißt die Menge der komplexen Zahlen. Für eine komplexe Zahl
z = x + iy heißt x der Realteil und y der Imaginärteil von z.
In Formeln:
x = Re z = Re (x + iy )
und
y = Im z = Im (x + iy ).
i heißt imaginäre Einheit.
Wir definieren: i 2 := −1.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
22. September 2011
3 / 11
Komplexe Zahlen
Bemerkung:
1
Man schreibt meist x + iy , aber 2 + 8i.
2
Die reellen Zahlen kann man als Teil der komplexen Zahlen auffassen.
Dazu identifiziert man x ∈ R mit x + 0i ∈ C.
3
Zwei komplexe Zahlen sind genau dann gleich, wenn sie in Real- und
Imaginärteil übereinstimmen.
4
Auf C gibt es keine Ordnung.
Für z, w ∈ C sind Ausdrücke wie z ≤ w“ nicht sinnvoll definierbar.
”
Bei den Rechenoperationen, die im folgenden definiert werden, wird
mit i wie mit einer Variable gerechnet. Wann immer möglich, ersetzt
man i 2 durch −1.
5
6
Bei allen Rechenoperationen bleiben die Eigenschaften der
entsprechenden Operationen in R erhalten.
7
Komplexe Zahlen sollen (am Ende) immer in der Form x + iy
angegeben werden.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
22. September 2011
4 / 11
Komplexe Zahlen
Definition (Rechenoperationen in C)
Seien z = x + iy und w = u + iv komplexe Zahlen. Wir definieren:
1
Addition: z + w = (x + u) + i(y + v ).
2
Subtraktion: z − w = (x − u) + i(y − v ).
3
Multiplikation: zw = (xu − yv ) + i(xv + yu).
4
Division:
5
Potenzen: Für ganzzahlige Exponenten genau wie für die reellen
Zahlen.
z
w
=
xu+yv
u 2 +v 2
+ i yu−xv
.
u 2 +v 2
Bemerkung:
Für das Rechnen mit komplexen Zahlen gelten die gleichen Regeln wie für
die reellen Zahlen:
Assoziativgesetze, Kommutativgesetze, Distributivgesetze, binomische
Formeln, usw. Dies kann man durch Nachrechnen zeigen.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
22. September 2011
5 / 11
Komplexe Zahlen
Bei der Division haben wir mit u − iv erweitert. Dadurch fällt im Nenner
das i weg und wir erhalten eine reelle Zahl, durch die ganz normal dividiert
wird.
Zu gegebenem w = u + iv spielt die Zahl u − iv eine wichtige Rolle. Sie
hat daher einen Namen:
Definition (Konjugation)
Sei z = x + iy ∈ C gegeben. Die komplexe Zahl
z := x − iy
heißt die zu z konjugiert komplexe Zahl.
Manchmal ist statt z auch die Schreibweise z ∗ üblich.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
22. September 2011
6 / 11
Komplexe Zahlen
Satz (Rechenregeln für die Konjugation)
Für z, w ∈ C gilt:
1
z = z.
2
z + w = z + w und z − w = z − w .
3
zw = z w .
z
z
w = w.
4
5
z = z ⇐⇒ z ∈ R.
6
Re z = 12 (z + z) und Im z =
1
2i (z
− z).
Auch für komplexe Zahlen lässt sich ein Betrag definieren. Wir werden ihn
später (=morgen) noch geometrisch motivieren.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
22. September 2011
7 / 11
Komplexe Zahlen
Definition (Betrag komplexer Zahlen)
Sei z = x + iy ∈ C. Wir definieren den Betrag von z als
p
|z| := x 2 + y 2 .
Satz (Eigenschaften des Betrages)
√
1 |z| =
zz, also auch |z|2 = zz.
2
|z| = 0 ⇔ z = 0.
3
Dreiecksungleichung: |z + w | ≤ |z| + |w |.
4
|zw | = |z||w |.
5
| − z| = |z| = |z|.
1
= 1.
6
z
|z|
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
22. September 2011
8 / 11
Komplexe Zahlen
Bemerkung:
1 Der Betrag in C ist verträglich mit dem Betrag in R. D.h. für x ∈ R
gilt:
|x|
= |x + 0i| .
|{z}
| {z }
Betrag in R
Betrag in C
2
Wir können die Division auch mit komplex konjugierten Zahlen
formulieren. Es gilt:
z
zw
=
.
w
|w |2
3
| Re z| ≤ |z| und | Im z| ≤ |z|.
4
|i| = 1.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
22. September 2011
9 / 11
Komplexe Zahlen
Satz
Sei x 2 + px + q = 0, p, q ∈ R, eine quadratische Gleichung.
p 2
Sei weiter D =
− q die Diskriminante, dann besitzt die Gleichung
2
die folgenden Lösungen:
p
x1 = x2 = − ∈ R, falls D = 0,
2
p √
x1,2 = − ± D ∈ R, falls D > 0,
2
√
p
x1,2 = − ± i −D ∈ C, falls D < 0.
2
Im dritten Fall gibt es also zwei konjugiert komplexe Lösungen.
Die Lösungen für Gleichungen der Form z 2 = a + ib bestimmt man, indem
man z = x + iy einsetzt, ausrechnet und dann mit a + ib vergleicht.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
22. September 2011
10 / 11
Komplexe Zahlen
Wir haben gesehen, dass man Polynome zerlegen kann in Faktoren der
Form x − a und x 2 + bx + c, wobei x 2 + bx + c keine reellen Nullstellen hat.
In C können wir nun komplexe Nullstellen für die Polynome x 2 + bx + c
finden und diese so ebenfalls in Linearfaktoren zerlegen.
Dies liefert:
Satz (Fundamentalsatz der Algebra)
Jedes Polynom mit reellen oder komplexen Koeffizienten lässt sich über C
vollständig in Linearfaktoren zerlegen.
(TU Dortmund)
Vorkurs Mathematik B
22. September 2011
11 / 11