Zahlenmengen und Zahlenfolgen

Zahlenmengen und Zahlenfolgen
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Ganz häufig triffst du im Alltag auf Zahlen, die in irgendeinem
Zusammenhang zueinander stehen. Sei es das 3er-Einmaleins oder
einfach einige Zahlen, die alle die 5 als Ziffer enthalten.
Diese Zahlen mit gemeinsamen Eigenschaften nennt man eine
Zahlenmenge.
I: Alle Zahlen sind durch 7 teilbar.
Du kannst dir selbst unendlich viele Zahlenmengen ausdenken, doch
damit auch andere deine Ideen verstehen, musst du sie richtig aufschreiben. Das ist ganz leicht:
Schreibe zunächst alle Zahlen auf, die zu deiner Menge gehören sollen. Pass dabei auf, dass du
zwischen die einzelnen Zahlen immer einen Strichpunkt ( Semikolon ) setzt, damit man z. B. die
Zahlen 2 und 4 nicht als 24 liest. Danach musst du nur noch geschweifte Klammern { } um deine
Zahlenliste schreiben und schon versteht jeder, was deine Zahlenmenge ist. Die Reihenfolge, in der
du die einzelnen Zahlen aufschreibst, ist dabei egal.
Beispiel: M = { 7; 14; 35; 49; 98; 70; 105 }
Zu deiner Zahlenmenge gehören jetzt genau diese 7 Zahlen und keine Anderen. Man nennt diese
Zahlen jetzt Elemente der Zahlenmenge. In einer Zahlenmenge können beliebig viele Zahlen
enthalten sein, sie kann also unbegrenzt viele Elemente besitzen. Manchmal findet man auch
Zahlenmengen, die gar keine Zahl enthalten { }. Diese leeren Mengen besitzen also auch keine
Elemente, logisch, oder?
Dein Lehrer gibt dir jetzt die Aufgabe hinzuschreiben, ob die Zahl 1 zur deiner Zahlenmenge gehört
oder nicht. Nach einem kurzen Blick auf deine Zahlenliste kannst du das natürlich einfach sagen, aber
das Aufschreiben ist mühselig und lang.
Mathematiker haben sich also ein ganz einfaches Zeichen ausgedacht, das sagt, ob eine Zahl zu deiner
Menge M gehört oder nicht. Das abgerundete E, das , bedeutet so viel wie „ …ist Element von…“ .
Schreibe ich also jetzt 1 M , bedeutet das, dass die Zahl 1 ein Element der Zahlenmenge M ist, also
dazugehört. Wäre sie jedoch nicht in deiner Zahlenmenge dabei, dann streicht man das einfach
einmal gerade durch:
1
1
M → ist in der Menge
M → ist nicht in der Menge
Wir merken uns:
Zahlen mit gemeinsamen Eigenschaften kann man zu Zahlenmengen zusammenfassen.
Die Zahlen, die zu einer Menge gehören, heißen Elemente der Zahlenmenge.
Zahlenmengen und Zahlenfolgen
Kurz zusammengefasst:
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Zahlenmengen und Zahlenfolgen
Du weißt jetzt, dass eine Zahlenmenge unendlich viele Zahlen enthalten kann. Aber wenn du alle
diese Zahlen hinschreiben willst, kann das sehr lange dauern. Oft hast du dann ein System, das
bestimmt, welche Zahlen zu deiner Zahlenmenge gehören, z. B. alle geraden Zahlen. Dann reicht es
in der Regel, wenn du nur einige Zahlen in deine Mengenklammer schreibst und danach mit drei
Punkten ( … ) klarmachst, dass es danach mitdemselben System weitergeht.
Beispiel: M = { 2; 4; 6; 8; … }
Bei Vielfachen und Teilern einer Zahl kann man zusätzlich die Menge noch einfacher ausdrücken.
Mit V(3) gibst du zu verstehen, dass in deiner Menge alle Vielfachen von 3 enthalten sind; mit T(24)
sagst du, dass alle Teiler von 24 Elemente deiner Menge sind.
Soviel zur grauen Theorie. In der Praxis sind es aber vor allem die großen Zahlenmengen, die dich
interessieren. Alle Zahlen, die du kennst, die du zum Zählen, Ordnen und Vergleichen nimmst, bilden
die Zahlenmenge der Natürlichen Zahlen. Dazu gehören also alle Zahlen von 1, 2, 3, ... usw. bis in
die Unendlichkeit. Die Natürlichen Zahlen werden auch mit bezeichnet.
= { 1, 2, 3, 4, 5, … }
Vielleicht ist dir aufgefallen, dass die Null nicht zu den natürlichen Zahlen gehört. Dies hat historische
Gründe. Möchtest du die Null auch in deine Menge aufnehmen, kannst du einfach schreiben
Jetzt
hat sich die Menge um ein Element erweitert, nämlich um die Null.
Eine Menge M, die alle Zahlen von 0 bis unendlich enthält schreibt man also so:
M=
oder M = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; … }
Eine Zahlenmenge mit unendlich vielen Zahlen muss nicht zwangsweise aus aufeinander folgenden
Elementen bestehen. Du kennst sicherlich die Primzahlen. Das sind Zahlen, die nur durch sich
selbst und durch 1 teilbar sind und sonst keine anderen Teiler besitzen (Die 1 ist übrigens selbst
keine Primzahl!).
Beispiel:
1
→
;
4
→
;
7
;
10
; …
→
Wir merken uns:
Die Menge der Natürlichen Zahlen umfasst alle Zahlen zum Zählen und Ordnen ( 1, 2, 3, … ).
In einer Zahlenfolge sind die Zahlen auf bestimmte Weise geordnet.
Zahlenmengen und Zahlenfolgen
Im Gegensatz zu Zahlenmengen, haben Zahlenfolgen eine ganz bestimmte Anordnung. Die Zahlen
sind mit einem System miteinander ‘verbunden‘. Da es sich hier nicht um eine Menge im eigentlichen
Sinn handelt, lässt man hier die Klammern üblicherweise weg.
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