Bose-Einstein-Kondensation Blatt 9

UNIVERSITÄT POTSDAM
Institut für Physik und Astronomie
WS 2009/2010
Priv.-Doz. Dr. Axel Pelster
Bose-Einstein-Kondensation
Blatt 9
Aufgabe 13: Schwach gekoppeltes Bose-Gas
(14 Punkte)
Ein System von Bosonen mit Zwei-Teilchen-Wechselwirkung werde in der zweiten Quantisierung im
Schrödinger-Bild durch folgenden Hamilton-Operator beschrieben:
Z
Z
Z
~2
1
3
†
3
(1)
Ĥ = d x âx −
d x d3 x′ â†x â†x′ V (int) (x − x′ ) âx′ âx .
∆ âx +
2M
2
Hierbei genügen die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren den Kommutatorrelationen
i
i
h
h
âx , â†x′ = δ(x − x′ ) .
[âx , âx′ ]− = â†x , â†x′ = 0 ,
(2)
Wie lauten dann die Kommutatorrelationen
i
h
†
†
′
âk , âk′ =? ,
[âk , âk ]− =? ,
(4)
−
−
a) Entwickeln Sie die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren für ein endliches Volumen V nach
ebenen Wellen
1 X ikx †
1 X −ikx
e
âk , â†x = √
e âk .
(3)
âx = √
V k
V k
−
i
h
†
âk , âk′ =? .
−
Zeigen Sie, daß der Hamilton-Operator (1) dadurch übergeht in
Ĥ =
X
Ek â†k âk +
k
1 X X X (int)
V
(q) â†k′ +q â†k−q âk âk′ ,
2 k ′ q
(5)
k
und geben Sie Ek sowie V (int) (q) an. Welche Eigenschaft besitzt V (int) (q), falls V (int) (x − x′ ) =
v (int) (|x − x′ |)? Interpretieren Sie die durch (5) beschriebene Wechselwirkung.
(2 Punkte)
b) Nehmen Sie an, daß die Bosonen kondensiert sind, d.h. daß die Anzahl N0 der Teilchen im
†
Grundzustand k = 0 sehr groß ist. In diesem
√ Fall können Sie die Operatoren â0 und â0 näherungsweise
†
als c-Zahlen betrachten, wobei â0 ≃ â0 ≃ N0 gilt. Zeigen Sie, daß sich dann der Hamilton-Operator
(5) nähern läßt durch
o
X n (1) † †
(2)
†
†
,
(6)
Hk âk â−k + âk â−k + Hk âk âk + â−k â−k
Ĥ = C +
k6=0
(1)
(2)
und geben Sie Hk , Hk sowie C an.
(2 Punkte)
1
ǫk /kB K
40
30
freies Teilchen
20
10
1.0
2.0
3.0
|k|/Å−1
Figure 1: Spektrum der elementaren Anregungen in superflüssigem Helium bei 1.12 K normalem
Dampfdruck, gemessen durch inelastische Streuung mit Neutronen der Wellenlänge λ = 4.04.
c) Bei einem wechselwirkenden Bose-Gas stimmt die Zahl N aller Bosonen nicht mit der Zahl N0 der
kondensierten Bosonen überein. Ersetzen Sie daher in (6) die Zahl N0 der kondensierten Bosonen
durch die Zahl N aller Bosonen gemäß
1 X †
âk âk + â†−k â−k
(7)
N = N0 +
2
k6=0
und berücksichtigen Sie dabei nur die in den Operatoren â†k , âk bilinearen Terme. Zeigen Sie, daß sich
dann wieder ein Hamilton-Operator der Form
o
X n (1) † †
(2)
.
(8)
Ĥ = C̄ +
H̄k âk â−k + âk â−k + H̄k â†k âk + â†−k â−k
k6=0
ergibt.
(1 Punkt)
d) Führen Sie nun eine lineare Transformation
b̂k = Ak âk + Bk â†−k ,
b̂†k = A∗k â†k + Bk∗ â−k ,
(9)
durch, bei der die Ak und Bk den Einschränkungen
Ak = A∗k ,
Ak = A−k ,
Bk = Bk∗ ,
Bk = B−k
(10)
genügen. Wenn Sie fordern, daß die Bose-Operatoren âk , â†k mit (4) wieder in Bose-Operatoren b̂k , b̂†k
mit
h
i
h
i
h
i
b̂k , b̂k′ = b̂†k , b̂†k′ = 0 ,
(11)
b̂k , b̂†k′ = δk,k′
−
−
−
überführt werden, erhalten Sie eine weitere Einschränkung für Ak und Bk . Wie lautet diese und was
ergibt sich für die zu (9) inverse Transformation?
(2 Punkte)
e) Zeigen Sie, daß sich der Hamilton-Operator (8) durch eine lineare Transformation (9) diagonalisieren
läßt:
X
(12)
Ĥ = C ′ +
ǫk b̂†k b̂k .
k6=0
2
Wie lautet die Dispersionsrelation ǫk der Quasiteilchen? Welche Vereinfachung ergibt sich durch die
Wahl V (int) (x − x′ ) = g δ(x − x′ )? Zeigen Sie in diesem Fall, daß die Dispersionsrelation ǫk für k → 0
einem Phonon mit einer Ausbreitungsgeschwindigkeit c entspricht, und geben Sie c an. Wie verhält
sich die Dispersionsrelation ǫk für große k?
(3 Punkte)
f) Das schwach gekoppelte Bose-Gas kann als Modell für die Superfluidität verwendet werden. Vergleichen Sie die Dispersionsrelation ǫk aus Aufgabenteil e) mit dem experimentellen Spektrum der
elementaren Anregungen in superflüssigem Helium in Abbildung 1. Welche Gemeinsamkeiten und
welche Unterschiede treten auf? Lesen Sie aus Abbildung 1 den Wert für die Schallgeschwindigkeit c
ab.
(2 Punkte)
g) Betrachten Sie einen Körper der Masse m und der Geschwindigkeit v, der sich in superflüssigem
Helium bewegt. Stellen Sie Energie- und Impulserhaltungssatz für den Fall auf, daß der Körper eine
elementare Anregung erzeugt. Leiten Sie daraus ab, daß der Körper eine minimale Geschwindigkeit
haben muß, um kinetische Energie an das superflüssige Helium abgeben zu können. Diskutieren Sie
im Grenzübergang m → ∞ den Zusammenhang mit dem in Abbildung 1 gezeigten experimentellen
Spektrum der elementaren Anregungen. Wann liegt demnach Superfluidität vor?
(2 Punkte)
Aufgabe 14: Bilanzgleichungen
(10 Punkte)
Ein System von Bosonen bzw. Fermionen mit Zwei-Teilchen-Wechselwirkung werde in der zweiten
Quantisierung im Schrödinger-Bild durch den Hamilton-Operator (5) beschrieben.
a) Transformieren Sie die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung im Schrödinger-Bild
i~
∂
|ψS (t)i = Ĥ |ψS (t)i
∂t
(13)
durch die unitäre Transformation
|ψS (t)i = exp
(
)
iX
−
Ek â†k âk t |ψI (t)i
~
(14)
k
in das Wechselwirkungsbild
i~
∂
(int)
|ψI (t)i = ĤI (t) |ψI (t)i .
∂t
(15)
(int)
Wie lautet der Wechselwirkungsoperator ĤI (t) im Wechselwirkungsbild?
Hinweis: Berechnen Sie zunächst
(
)
(
)
X
iX
i
(âk )I (t) = exp
Ek′ â†k′ âk′ t âk exp −
Ek′ â†k′ âk′ t
~ ′
~ ′
k
(16)
k
unter Berücksichtigung der Relationen
i
h
[âk , âk′ ]−ξ = â†k , â†k′
−ξ
= 0,
i
h
âk , â†k′
wobei ξ = +1 für Bosonen und ξ = −1 für Fermionen gilt.
3
−ξ
= δk,k′ ,
(17)
(3 Punkte)
b) Berechnen Sie |ψI (t)i durch Lösung von (15) in Störungstheorie erster Ordnung mit der Anfangsbedingung |ψI (0)i = |ψ (i) i. Wie lautet dann die Amplitude hψ (f) |ψI (t)i für einen Übergang von |ψ (i) i
nach |ψ (f) i zur Zeit t?
(1 Punkt)
c) Durch die Wechselwirkung zwischen Teilchen des Bose- bzw. Fermi-Gases kommt es zu einer
zeitlichen Änderung der Anzahl N(k) der Teilchen im Zustand k. Die Prozeße k − q, k′ + q → k, k′
erzeugen Teilchen im Zustand k, während die Prozeße k, k′ → k − q, k′ + q Teilchen im Zustand k
vernichten. Die Bilanzgleichung für N(k) lautet demnach:
X
X
∂
N(k) =
w (k, k′ ; k − q, k′ + q) −
w (k′ + q, k − q; k, k′ ) .
∂t
′
′
q,k
(18)
q,k
Berechnen Sie die in (18) auftretenden Übergangsraten w in Störungstheorie erster Ordnung mit Hilfe
der Aufgabenteile a) und b) gemäß
w = lim
t→∞
d
|hψ (f) |ψI (t)i|2
dt
(19)
unter Verwendung der folgenden Darstellung der Deltafunktion:
δ(α) = lim
t→∞
sin2 αt
.
πα2 t
(20)
Hinweis: Die Wirkung der Bose- bzw. Fermi-Operatoren âk , â†k auf einen Zustand in der Besetzungszahldarstellung lautet:
p
N(k)| . . . , ξ {N(k) − 1} , . . .i ,
(21)
âk | . . . , N(k), . . .i =
p
â†k | . . . , N(k), . . .i =
1 + ξN(k)| . . . , 1 + ξN(k), . . .i ,
(22)
wobei wieder ξ = +1 für Bosonen und ξ = −1 für Fermionen gilt.
(4 Punkte)
d) Zeigen Sie, daß eine stationäre Lösung von (18) die Form
N(k) =
1
C
eβEk
hat. Wie können Sie (23) physikalisch interpretieren?
4
−ξ
(23)
(2 Punkte)