¨Ubungen zur Einführung in die Festkörperphysik WS 2014/2015

Übungen zur Einführung in die Festkörperphysik WS 2014/2015
Lehrstuhl für Experimentelle Physik II, TU Dortmund
Prof. Dr. Markus Betz
Blatt 10
Abgabe bis 12.12.2014 12:00 Uhr
(Besprechung am 16./17.12.2014)
Aufgabe 1: Druck und Kompressibilität eines Fermi-Gases (7 Punkte)
Aus der inneren Energie U(S,V,N) eines Systems, welche als Funktion der Entropie S, des Volumens
V und der Teilchenzahl N gegeben ist, lässt sich durch partielles Ableiten nach dem Volumen der
im System herrschende Druck berechnen:
∂U
p=
∂V S,N =const
(a) Zeigen Sie, dass ein Fermi-Gas mit der Fermi-Energie EF auch am absoluten Nullpunkt der
Temperatur einen ”Fermi-Druck“ besitzt, dessen Wert gegeben wird durch p0 = 25 nEF (0).
(b) Das Elektronengas von Alkalimetallen kann in guter Näherung als freies Elektronengas angesehen werden. Berechnen Sie den Fermi-Druck, welchen das Elektronengas von Kalium (kubisch
raumzentriertes Gitter, kubische Gitterkonstante a = 0, 5225 nm) ausübt. Wie lässt es sich erklären, dass ein Metall angesichts des hohen Fermi-Drucks der Elektronen nicht explosionsartig
zerfällt?
(c) Die isotherme Kompressibilität κT = − V1 ∂V
gibt Auskunft über die relative Änderung
∂p
T =const
des Volumens V eines Systems, welche eine infinitesimale Änderung des Drucks p bei konstanter
Temperatur bewirkt. Berechnen Sie die isotherme Kompressibilität von Kalium unter der Annahme, dass diese Grösse allein durch den Fermi-Druck des Elektronengases bestimmt wird, und
vergleichen Sie das Ergebnis mit dem experimentell bestimmten Wert κT = 3.1 × 10−10 m2 /N .
Aufgabe 2: Seebeck-Effekt für ein freies Elektronengas (6 Punkte)
Als Seebeck-Effekt bezeichnet man den experimentellen Befund, dass ein Temperaturgradient in
~ = Q · ∇T
~ , wobei Q die sogeeinem Festkörper mit einem elektrischen Feld einhergeht. Es gilt E
nannte Thermokraft ist.
Zeigen Sie, dass für ein freies Elektronengas in der Relaxationszeitnäherung gilt:
Q=−
π 2 kB kB T
.
6 e EF
Betrachten Sie hierzu einen endlichen Leiter aus isotropem Material, dessen Temperatur an einem
Ende größer ist als am anderen. Überlegen Sie sich klassisch die durch den Temperaturgradienten
hervorgerufene mittlere Diffusionsgeschwindigkeit der Elektronen sowie die Driftgeschwindigkeit
bedingt durch das sich ergebende elektrische Feld. Beachten Sie, dass sich ein Gleichgewicht einstellt, wenn der Temperaturgradient stationär ist und die Ladungen an den Enden des Leiters nicht
abfließen können. Hinweise zum Vorgehen:
• Überlegen Sie sich die mittlere Diffusionsgeschwindigkeit in Richtung des kälteren Endes des
Leiters zunächst in einer Dimension. Betrachten Sie hierzu die mittleren Geschwindigkeiten
der Elektronen, die sich aus einem infinitesimalen Bereich mit größerer bzw. kleinerer Temperatur durch eine Schnittfläche senkrecht zum Temperaturgradienten bewegen. Benutzen
Sie für den Übergang auf drei Dimensionen 31 v 2 = vx2 = vy2 = vz2 (für isotrope Medien).
• Die spezifische Wärme eines freien Elektronengases ist laut Vorlesung cv =
π2
T
2 nkB TF
.
Aufgabe 3: Vollständige Energielücke für fast freie Elektronen (7 Punkte)
Im Bild fast freier Elektronen nimmt man an, dass die Elektronen in einem so schwachen Kristallpotential gebunden sind, dass man das Problem ausgehend von ebenen Wellen (entprechend der
Lösung für freie Elektronen) in erster Ordnung Störungstheorie beschreiben kann. Das Kristallpotential lässt sich dann durch einen Fourierkoeffizienten VG darstellen, siehe Vorlesung.
(a) Geben Sie für einen fcc-Kristall in [100]-, [110]- sowie in [111]-Richtung jeweils den Betrag des
maximalen Wellenvektors kmax am Rand der ersten Brillouin-Zone an. Die entsprechenden Durchstosspunkte durch den Rand der 1. Brillouin-Zone werden mit X, K und L bezeichnet.
(b) Berechnen Sie die Werte der Energiedispersion an diesen Punkten im ~k-Raum (E100 , E110 und
E111 ) zunächst in der Näherung des leeren Gitters.
(c) Wie groß muss in der Näherung fast freier Elektronen der Fourierkoeffizient VG im Vergleich
zu E100 mindestens sein, damit sich also eine vollständige Energielücke ergibt, d.h., Energiewerte
existieren, die an keinem Punkt der 1. Brillouin-Zone einem Energieeigenwert entsprechen? Hierfür
genügt es, zu zeigen, dass es Energien gibt, die am X-, K- und L-Punkt gleichzeitig in der jeweils
dort entstehenden Energielücke sind.
Nicht abzugebende Zusatzaufgabe: Das Kronig-Penney Modell
In dem Modell eines Kristallgitters, das Kronig und Penney 1931 einführten, werden die Atompotentiale durch rechteckige Potentialbarrieren, oder vereinfachend, durch Dirac’sche δ-Funktionen
modeliert. Das Potential lautet dann (mit Gitterkonstante a):
V (x) = V0
∞
X
δ(x − an) ,
n=−∞
(a) Nun soll für dieses Potential die Schrödingergleichung zunächst im Bereich 0 < x < a gelöst
werden. Setzen Sie eine Funktion ψ = AeiKx +Be−iKx an und bestimmen Sie die Energieeigenwerte.
ψ(x) e-ika
-a
ψ(x) eika
ψ(x)
0
a
2a
(b) Um eine vollständige Lösung zu erhalten, muss die Lösung aus 0 < x < a periodisch in die
anderen Bereiche fortgesetzt werden. Dabei sind die Lösungen für die Bereiche na < x < (n + 1)a
aufgrund des Blochtheorems durch ψeikna gegeben (siehe Abbildung). Beachten Sie, dass es sich
bei den Wellenvektoren K nicht um die Wellenvektoren k der Blochfunktion handelt.
Überlegen Sie sich die Stetigkeitsbedingungen für ψ und dψ
dx an der Stelle x = 0. Die Bedingung
für die Ableitung erhalten Sie, indem Sie die Schrödinger-Gleichung von − bis integrieren.
(c) Zeigen Sie, dass diese beiden Gleichungen genau dann Lösungen besitzen, wenn
cos(ka) = cos(Ka) +
mV0 a sin(Ka)
.
~2
Ka
(1)
Da cos(ka) nur Werte zwischen −1 und 1 annehmen kann, gibt es Werte von K, die nicht erlaubt
sind. Am besten macht man sich das graphisch klar, indem man die rechte Seite von Gleichung 1
zeichnet und Bereiche findet, in denen der Wert der Funktion außerhalb des Intervalls [−1, 1] liegt.
Was bedeutet das für die möglichen Energiewerte?
(d) Skizzieren Sie, wie sich die so erhaltene Dispersionsrelation E(k) von der Dispersion freier
Elektronen unterscheidet.