Jgst. 5 - Ammersee

Ammersee-Gymnasium Dießen
Grundwissen Mathematik
THEMENSTRANG ZAHLEN
Menge der natürlichen Zahlen:
N = {1, 2, 3, 4, …}
Unser Zehnersystem ist ein
Stellenwertsystem.
Primzahlen sind ohne Rest nur durch
sich selbst und durch 1 teilbar.
Alle natürlichen Zahlen besitzen eine
eindeutige Primfaktorzerlegung.
Runden natürlicher Zahlen:
Nächste Ziffer: 0, 1, 2, 3, 4 → Abrunden
Nächste Ziffer: 5, 6, 7, 8, 9 → Aufrunden
Addition, Summe zweier Zahlen
Subtraktion, Differenz zweier Zahlen
Multiplikation, Produkt zweier Zahlen
Division, Quotient zweier Zahlen
Potenz: Der Exponent gibt an, wie oft
die Basis als Faktor vorhanden ist.
Jgst. 5
Die natürlichen Zahlen
Große natürliche Zahlen:
1 000 000 = 1 Million = 106
1 000 000 000 = 1 Milliarde = 109
1 000 000 000 000 = 1 Billion = 1012
1 000 000 000 000 000 = 1 Billiarde = 1015
z.B. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …
z.B. 15 = 3 · 5, 27 = 3 · 9 = 3 · 3 · 3 = 33,
1960 = 196·10 = 14·14·10 = 2·7·2·7·2·5 = 23· 5 · 7
z.B. Runden auf Hundertausender:
→ die Zehntausender-Stelle entscheidet!
949 494 ≈
900 000 =
9 · 105,
123 456 789 ≈ 123 500 000 = 1235 · 105
z.B. 20
+
4
=
24
1.Summand + 2.Summand = Wert der Summe
z.B. 20
Minuend
z.B. 20
1.Faktor
–
4
=
16
– Subtrahend = Wert der Differenz
·
4
=
80
· 2.Faktor = Wert des Produkts
z.B. 20
:
4
=
5
Dividend : Divisor = Wert des Quotienten
z.B. 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
BasisExponent = Wert der Potenz
THEMENSTRANG ZAHLEN
Geld: Einheiten: Cent (ct), Euro (€)
Umrechnungsfaktor 100.
Länge: Einheiten Millimeter (mm),
Zentimeter (cm), Dezimeter (dm),
Meter (m), Kilometer (km)
Umrechnungsfaktor jeweils 10,
außer beim Übergang m → km,
hier gilt: 1000m = 1km.
Masse: Einheiten Milligramm (mg),
Gramm (g), Kilogramm (kg), Tonne (t)
Umrechnungsfaktor jeweils 1000.
Veraltete Einheiten:
1 Pfund = 500g, 1 Zentner = 50kg.
Zeit: Einheiten s, min, h, d, a
Unterschiedliche Umrechnungsfaktoren:
1min = 60s,
1h = 60min = 3600s,
1d = 24h, 1a = 365d.
Größen
Bsp.: 1799ct
ct
Z E
17
9
9
in gemischten Einheiten: 17€ 99ct
in Kommaschreibweise: 17,99€
Bsp.: 1km 42m 15cm
m
km
dm cm
mm
H Z E
1
0 4 2
1
5
in Kommaschreibweise: 1,04215km =
= 1042,15m = 10421,5dm = 104215cm
Bsp.: 3,0075kg
kg
g
mg
t
H Z E H Z E H Z E
3 0 0 7 5
in gemischten Einheiten: 3kg 7g 500mg
3,0075kg = 0,0030075t = 3007,5g = 3007500mg
Bsp.: 10 000s = NR. 10000 : 60 = 166 Rest 40
= 166min 40s =
–60
= 2h 46min 40s.
400
–360
400
–360
40
€
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Grundwissen Mathematik
Jgst. 5
THEMENSTRANG ZAHLEN
Menge der ganzen Zahlen:
ZZ = {…, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
Eine Zahl ist umso kleiner, je weiter links
sie auf der Zahlengeraden steht.
Zahlen, die sich nur im Vorzeichen
unterscheiden, heißen Gegenzahlen.
Der Betrag einer ganzen Zahl ist ihr Abstand auf der Zahlengeraden von der 0.
Subtraktion positiver Zahlen: Ist der
Subtrahend größer als der Minuend, so
erhält man einen negativen Wert.
Addition ganzer Zahlen:
1.Fall: Summanden mit gleichem Vorzeichen:
– Beträge addieren
– Vorzeichen übernehmen
2.Fall: Summanden mit unterschiedlichem VZ:
– Kleineren vom größeren Betrag subtrahieren
– VZ des größeren Betrags übernehmen
Subtraktion ganzer Zahlen:
Subtraktion einer Zahl bedeutet Addition
ihrer Gegenzahl.
Jede Differenz kann als Summe
aufgefasst werden.
Multiplikation/Division ganzer Zahlen:
1. Fall: Zahlen mit gleichem Vorzeichen
– Beträge multiplizieren / dividieren
– Wert des Produkts / Quotienten ist positiv
2. Fall: Zahlen mit unterschiedlichem VZ
– Beträge multiplizieren / dividieren
– Wert des Produkts / Quotienten ist negativ
Rechengesetze der Addition:
Kommutativgesetz: a + b = b + a
Assoziativgesetz: (a+b) + c = a + (b+c)
Rechenvorteil: „Summe der Plusglieder
minus Summe der Minusglieder“
Rechengesetze der Multiplikation:
Kommutativgesetz: a · b = b · a
Assoziativgesetz: (a · b) · c = a · (b · c)
Distributivgesetz der Multiplikation:
(a + b) · c = a · c + b · c = c · (a + b)
Distributivgesetz der Division:
(a + b) : c = a : c + b : c
Regel für zusammengesetzte Terme:
„Punkt vor Strich“, außer bei Klammern.
Die ganzen Zahlen
Zahlen können positiv sein (Vorzeichen +) oder
negativ (Vorzeichen –). Die negativen Zahlen
liegen auf der Zahlengeraden links von der Null:
–3
–2
–1
0
+1
+2
+3
Bsp.: Gegenzahl von +3 ist –3, kurz: –(+3) = –3
Gegenzahl von –2 ist +2, kurz: –(–2) = +2
Bsp.: der Betrag von +3 ist 3, kurz: |+3| = 3
der Betrag von –2 ist 2, kurz: |–2| = 2
Bsp.: 20 – 4 = 16, aber 4 – 20 = –16
42 – 27 = 15, aber 27 – 42 = –15
18 – 0 = 18, aber 0 – 18 = –18
Bsp.: (+20) + (+4) = +24
(–20) + (–4) = –24
Bsp.: (+20) + (–4) = +16
(–20) + (+4) = –16
(-3) + (+3) = 0
Spezialfall: Summe zweier Gegenzahlen ist Null.
Bsp.: (+20) – (–4) = (+20) + (+4) = +24
(–20) – (+4) = (–20) + (–4) = –24
(–20) – (–4) = (–20) + (+4) = –16
und (+20) – (+4) = 20 – 4 = 16
Bsp.: 75 – 33 + 25 – 7 = 75 +(– 33) + 25 + (–7)
Diese Sichtweise erleichtert oft die Anwendung
von Rechengesetzen.
Bsp.: (+20) · (+4) = +80, (+20) : (+4) = +5
(–20) · (–4) = +80, (–20) : (–4) = +5
Bsp.: (+20) · (–4) = –80, (+20) : (–4) = –5
(–20) · (+4) = –80, (–20) : (+4) = –5
Spezialfälle: 20 · 0 = 0, –20 · 0 = 0
0 : 20 = 0, 0 : (–20) = 0, 20 : 0 nicht definiert
Bsp.: -22 + 17 + 22 = 17 + (-22) + 22 = 17
(76 + 49) + 51 = 76 + (49 + 51) = 76 + 100 = 176
Bsp.: 75 – 33 + 25 – 7 = 75 +(– 33) + 25 + (–7) =
= (75+25) – (33 + 7) = 100 – 40 = 60.
Bsp.: 25 · 7 · (–4) = 25 · (–4) · 7 = –100·7 = –700
(–17 · 5) · (–2) = –17 · [5 · (–2)] = –17·(–10) = 170
Bsp.: (100 – 3) · 7 = 100·7 – 3·7 = 700 – 21 = 679
–27 · 32 + 7 · 32 = (–27 + 7) · 32 = –20·32 = –640
(20 + 32) : 2 = 20 : 2 + 32 : 2 = 10 + 16 = 26
aber Vorsicht: 12 : (2 + 4) ≠ 12 : 2 + 12 : 4
Bsp.: [33 + 7 · (–5)] · 3 = [33 + (–35)] · 3 =
= (–2) · 3 = –6
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Grundwissen Mathematik
Jgst. 5
THEMENSTRANG GEOMETRIE
Grundbegriffe
Punkt, z.B. P
Strecke als kürzeste Verbindung zweier
Punkte, z.B. s = [AB]
Gerade als beidseitig unbegrenzte Verlängerung einer Strecke, z.B. g = CD
Halbgerade als einseitig unbegrenzte
Verlängerung einer Strecke, h = [EF
Geraden ohne Schnittpunkt sind
parallel, z.B. g || h.
Geraden, die sich rechtwinklig (im 90°Winkel) schneiden, stehen (aufeinander)
senkrecht, z.B. g ⊥ k.
Man sagt auch: k ist ein Lot auf g.
Drehungen legen Winkel fest.
α < 90°:
α = 90°:
90° < α < 180°:
α = 180°:
180° < α < 360°:
α = 360°:
spitzer Winkel
rechter Winkel
stumpfer Winkel
gestreckter Winkel
überstumpfer Winkel
Vollwinkel (volle Umdrehung)
P
B
s
A
C
g
D
F
h
E
h
g
k
h
2.Schenkel B
S
α
Scheitel
Winkelfeld
g
1.Schenkel
A
Bezeichnungen: α = ∠ASB = ∠ (g,h)
Bsp.: Winkel, den der Stundenzeiger von 3 Uhr
bis 8 Uhr überstreicht: (360°: 12) · 5 = 150°.
Ebene Grundfiguren: Dreieck, Quadrat,
Rechteck, Parallelogramm, Kreis
Räumliche Grundfiguren: Würfel,
Quader, (4-seitige) Pyramide,
(3-seitiges) Prisma, Zylinder, Kugel
Bsp.: Rechteck mit Länge l und Breite b
Der Umfang einer ebenen Figur ist die
→ Umfang u = 2 · (l + b)
Summe der Längen seiner BegrenzungsQuadrat mit Seitenlänge s → u = 4 · s
linien.
r : Radius
Der Kreis um M mit Radius r ist die
r
2
·
r
: Durchmesser
Menge aller Punkte, die von M den
M
Abstand r besitzen.
Das Koordinatensystem ist eine
y
II. Quadrant
I. Quadrant
2
rechtwinklige Anordnung zweier
z.B. A ( 3 | 1)
B (–2 | 1)
B
A
1
Zahlengeraden.
C (–1 | –2)
Es besteht aus vier Quadranten.
O
-3
Ein Punkt P(x | y) wird durch seine
x- und seine y-Koordinate angegeben.
Zerlegt eine Gerade eine Figur so in zwei
Teile, dass beim Falten längs dieser
Gerade beide Teile deckungsgleich
aufeinander liegen, so ist die Gerade
eine Symmetrieachse der Figur.
Die Figur ist dann achsensymmetrisch.
-2
-1
1
2
3 x
-1
C -2
III. Quadrant
IV. Quadrant
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Grundwissen Mathematik
Der Maßstab einer Skizze oder Karte
gibt das Verhältnis zwischen
Streckenlängen in der Skizze und
Streckenlängen in Wirklichkeit an.
Jgst. 5
Bsp.: Karte mit Maßstab 1 : 5000.
3cm in der Karte entsprechen 3cm· 5000 = 150m
in Wirklichkeit. Umgekehrt entsprechen 250m in
Wirklichkeit 250m : 5000 = 5cm in der Skizze.
THEMENSTRANG GEOMETRIE
Flächenmessung
Den Flächeninhalt einer ebenen Figur
bestimmt man durch Auslegen mit
kleineren Flächen bestimmter Größe
(z.B. Quadraten).
Kann man zwei Figuren mit denselben
Flächenstücken auslegen, dann besitzen
sie den gleichen Flächeninhalt.
Hat ein Quadrat
die Seitenlänge…
1mm
1cm
1dm
1m
10m
100m
1km
Der Umrechnungsfaktor benachbarter
Flächeneinheiten ist jeweils 100.
km2
Bsp.: 125ha 3a 50m2 = 1,25035km2 = 125,035ha
= 1250350m2
Der Flächeninhalt AR eines Rechtecks
mit Länge l und Breite b ist AR = l · b.
Der Flächeninhalt AQ eines Quadrats mit
Seitenlänge s ist AQ = s · s = s2.
Der Flächeninhalt anderer Figuren lässt
sich oft bestimmen, indem man sie
– in Rechtecke zerlegt,
– zu Rechtecken ergänzt, oder sie
– zerlegt und neu zusammensetzt.
Der Oberflächeninhalt eines Quaders mit
Länge l, Breite b und Höhe h ist:
OQuader = 2 · (l · b + l · h + b · h)
1
ha
a
m2
dm2
cm2 mm2
Z E Z E Z E Z E Z E Z E
2 5 0 3 5 0
Bsp.: Für ein Rechteck mit l=120m und b=0,5km
gilt: AR = 120m · 500m = 60000m2 = 6ha.
Für ein Quadrat mit Seitenlänge 1,5cm gilt:
AQ = 15mm · 15mm = 225mm2 = 2,25cm2
Bsp.: l = 10cm, b = 5cm, h = 5cm.
O = 2 · (50cm2 + 50cm2 + 25cm2)
= 250cm2 = 2,5dm2
THEMENSTRANG FUNKTIONEN
Durch Diagramme (hier ein Balkendiagramm) lassen sich Anzahlen
veranschaulichen.
Weitere Diagrammtypen:
Strichdiagramm, Figurendiagramm
THEMENSTRANG STOCHASTIK
Fragestellungen, bei denen man in
mehreren Stufen unter verschiedenen
Möglichkeiten auswählen kann, lassen
sich übersichtlich in einem Baumdiagramm darstellen.
Zählprinzip: Die Gesamtzahl aller
Möglichkeiten erhält man, indem man die
Anzahlen der Wahlmöglichkeiten aller
Stufen miteinander multipliziert.
…so heißt sein
Flächeninhalt…
1mm2 (Quadratmillimeter)
1cm2 (Quadratzentimeter)
1dm2 (Quadratdezimeter)
1m2 (Quadratmeter)
1a (Ar)
1ha (Hektar)
1km2 (Quadratkilometer)
DIAGRAMME
15
10
5
0
Dießen
Utting
Riederau Sonstige
Baumdiagramm, Zählprinzip
Bsp.: 1.Stufe: schwarze oder weiße Hose
2.Stufe: rotes, gelbes
rot
oder blaues T-Shirt
schwarz
gelb
blau
rot
weiß
gelb
blau
Bsp. oben: 2 · 3 = 6 Möglichkeiten
Bsp.: „Wörter“ aus den Buchstaben E, I, N, S
4 · 3 · 2 · 1 = 24 Möglichkeiten
Bsp.: fünfmaliger Würfelwurf
6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 65 = 7776 Möglichkeiten