mg + 2mω cos ϕ ˙y

PD Dr. S. Mertens
S. Falkner, S. Mingramm
Theoretische Physik I – Mechanik
Blatt 3
WS 2007/2008
23. 10. 2007
1. Foucault’sches Pendel.
(a) Zeigen Sie, dass die Bewegungsgleichungen für ein einfaches Pendel unter Berück- (2 Pkt.)
sichtigung der langsamen Eigendrehung der Erde um ihre Achse die Form
x
+ 2mω sin ϕ ẏ
l
y
mÿ = − T − 2mω sin ϕ ẋ − 2mω cos ϕ ż
l
l−z
− mg + 2mω cos ϕ ẏ
mz̈ = T
l
m ẍ = − T
hat. Hierbei seien
•
•
•
•
•
•
•
•
•
ϕ: geographische Breite,
x Nord-Süd-Richtung auf dem Geoid,
y Ost-West-Richtung auf dem Geoid,
z Normale auf dem Geoid,
l Pendellänge,
T Fadenpannung,
m Pendelmasse,
g Gravitationsbeschleunigung und
ω Rotationsgeschwindigkeit der Erde.
(b) Vereinfachen Sie die Bewegungsgleichungen des Pendels für den Fall, dass der Pen- (2 Pkt.)
delkörper nur mir sehr kleinen Schwingungsamplituden schwingt.
(c) Lösen Sie die vereinfachten Bewegungsgleichungen mit den Anfangsbedingungen
x(0) = x̂ ,
y ( 0) = 0 ,
ẋ (0) = 0 und
(2 Pkt.)
ẏ(0) = 0 .
(d) Interpretieren Sie die Lösung und zeichnen Sie die Bewegung des Pendels in der x-y- (2 Pkt.)
Ebene.
(insgesamt 8 Pkt.)
2. Flussufer. Ein Fluss der Breite D fließt an einer Stelle der geographischen Breite ϕ in nördliche Richtung. Das Wasser fließt dabei mit der Geschwindigkeit v0 .
(a) Welches Flussufer ist aufgrund der Corioliskraft höher als das andere? Begründen Sie (1 Pkt.)
kurz Ihre Antwort.
(b) Zeigen Sie, dass das Wasser auf dieser Seite um
∆h = q
(2 Pkt.)
2Dωv0 sin ϕ
g2 + 4ω 2 v2 sin2 ϕ
erhöht ist.
(c) Beweisen Sie, dass das Ergebnis für alle praktischen Anwendungsfälle durch
∆h =
(1 Pkt.)
2Dωv0 sin ϕ
g
ersetzt werden kann.
(insgesamt 4 Pkt.)
Seite 1 von 2
Theoretische Physik I: Mechanik
WS 2007/2008
3. Schiefe Ebene. Eine glatte, schiefe Ebene der Länge l ist in einem Punkt der geographischen Breite ϕ = 90◦ − λ unter dem Neigungswinkel α so aufgestellt, dass auf ihr eine
Masse unter dem Einfluss der Gravitation von Norden nach Süden reibungslos herabgleitet. Die Masse starte aus der Ruhe am oberen Ende.
(a) Bestimmen Sie die Zeit, in der die Masse das untere Ende der Ebene erreicht. Welche (2 Pkt.)
Geschwindigkeit hat sie zu diesem Zeitpunkt?
(b) Zeigen Sie, dass die Masse während des Herabgleitens aus der Nord-Süd-Richtung (2 Pkt.)
um den Betrag
s
2lω
2l
cos(α + λ)
∆x =
3
g sin α
am Ende der Ebene von der geraden Bahn abgelenkt ist. Wieso kann die Ablenkung
an einem Ort sowohl in westliche als auch in östliche Richtung erfolgen?
Hinweis: Vernachlässigen bei allen Rechnungen Terme, die proportional zu ω 2 sind.
(insgesamt 4 Pkt.)
4. Zykloidenpendel. Ein Massenpunkt bewegt sich reibungsfrei auf einer sog. Zykloide, die
durch die Parameterdarstellung
ϕ − sin( ϕ)
~r ( ϕ) = r
r > 0, ϕ ∈ [0, 2π ] .
cos( ϕ) − 1
gegeben ist.
(a) Skizzieren Sie die Zykloide. Wie kann man sie geometrisch konstruieren?
(1 Pkt.)
(b) Welche Kraft ~F wirkt auf den Massenpunkt, wenn die Gravitation in negative y-Rich- (1 Pkt.)
tung wirkt. Finden Sie dazu zunächst s( ϕ), die Bogenlänge vom Koordinatenursprung
aus.
(c) Zeigen Sie, dass der Massenpunkt, von jeder Position und aus der Ruhe gestartet, (2 Pkt.)
immer in der gleichen Zeit den Scheitelpunkt der Zykloide erreicht und bestimmen
Sie diese.
(insgesamt 4 Pkt.)
Auf diesem Übungsblatt sind maximal 20 Punkte zu erreichen, Abgabe erfolgt am 30. 10. 2007.
Seite 2 von 2