Korrekturen Buch „Systemanalyse

Korrekturen von sinnstörenden Fehlern im Buch „Systemanalyse“ (3. Druck der 1. Auflage)
Ort
Fehler
Korrektur
S. 83 / Abb. 5.1
JA = Q CA in
JA = Q C in
S. 117 / Abb. 5.12
Zahl in „Ozean-Oberfläche“: 800
900
S. 121 / Formel 5.85
Bei λi fehlen die Betragszeichen
min ( ‫׀‬λi ‫ ≠ ׀‬0)
S.158 / Legende zu Abb. 6.17, 7. Zeile
R = 2.5
r = 2.5
S.171 / 4. Zeile
Klammer am falschen Ort
geschlossen
Zweidimensionale Modelle
83
Abb. 5.1: Lineare
Reaktion in einem
durchflossenen und
vollständig durchmischten
Reaktor.
in
im Reaktor sind:3
dMA
= QCin − kA MA + kB MB − QCA
dt
dMB
= kA MA − kB MB − QCB
(5.4)
dt
Dividieren wir beide Gleichungen durch das konstante Reaktorvolumen V ,
erhalten wir analog zu Gleichung (4.22):
dCA
dt
dCB
dt
=
kw Cin − kA CA + kB CB − kw CA
=
kA CA − kB CB − kw CB
(5.5)
mit kw = Q/V , CA = MA /V und CB = MB /V .
Wir müssen die Gleichungen (5.5) nur noch etwas umschreiben, um sie
mit (5.1) zu vergleichen und die dort eingeführten Parameter zu identifizieren:
dCA
= kw Cin − (kA + kw )CA + kB CB
dt
dCB
(5.6)
= kA CA − (kB + kw )CB
dt
Also:
R1 → kw Cin ,
p1,1 → −(kA + kw ),
p2,1 → kA ,
R2 → 0
p1,2 → kB
p2,2 → −(kB + kw )
Wie wir sehen werden, spielt die Koeffizientenmatrix P eine zentrale
Rolle bei der Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen, dies übrigens nicht nur bei den zweidimensionalen, sondern erst recht bei den höher
3 Streng genommen handelt es sich für Modelle, bei denen chemische Umwandlungsprozesse involviert sind, um eine Atom-Bilanz. Die Konzentrationen sollten daher in
molaren Einheiten ausgedrückt werden.
Mehrdimensionale Modelle
117
Das Modell soll für die Beantwortung der folgenden drei Fragen dienen:
1. Wie verläuft das Kohlenstoffinventar Mi (t) in den vier Boxen?
2. Wo wird langfristig der zusätzliche Kohlenstoff zu finden sein?
3. Wie lange dauert es, bis das System wieder im Gleichgewicht ist, falls
keine weitere (anthropogene oder natürliche) Störung auftritt?
900
Wie kommen wir nun von dem statischen Bild in Abbildung 5.12 zu
einem dynamischen Modell? An diesem Punkt müssen wir eine Annahme
darüber treffen, wie die Flüsse Fi,j zwischen den Boxen auf die Veränderungen der Stoffmenge in den Reservoirs reagieren. In der gewählten
Schreibweise für die Flüsse bezieht sich der erste Index (i) auf die empfangende Box, der zweite Index (j) auf die Ursprungs-Box. Da wir ein lineares
Modell konstruieren wollen, besteht die einfachste Möglichkeit darin, die
Flüsse Fi,j als lineare Funktionen des Inhaltes Mj der Ursprungs-Box zu
beschreiben. Schauen wir uns dazu zuerst die beiden Boxen „Atmosphäre“
und „Land“ an (Abb. 5.14):
Abb. 5.12: Vereinfachtes
globales Kohlenstoff-Modell
mit den wichtigsten
Austauschflüssen. Die
Zahlen in den Boxen geben
das Kohlenstoffinventar an
(Einheiten 1015 g C), die
Zahlen bei den Pfeilen die
jährlichen Flüsse
(Einheiten 1015 g C a−1 ),
die Prozentzahlen den
relativen Anteil der Box
am gesamten
Kohlenstoffinventar des
Modells. Die Situation
entspricht etwa dem
vorindustriellen
Stationärzustand. (Zahlen
vereinfacht nach Moore et
al. (1994)).
Mehrdimensionale Modelle
121
Eigenwert null haben. Das Resultat einer numerischen Eigenwertberechnung bestätigt diese Voraussage. Wir erhalten:
λ1
= −0.443 a−1
λ2
λ3
λ4
= −0.114 a−1
= −0.00971 a−1
= 0
Damit können wir die Anpassungszeit mit Gleichung (5.16) abschätzen:
τ5% ≈
3
3
=
≈ 310 a
min (|λi | 6= 0)
0.00971 a−1
(5.85)
Natürlich ist dieses Kohlenstoff-Modell nicht sehr realistisch. Erstens haben wir die anthropogene Störung als zeitliche Singularität behandelt. Abbildung 5.13 zeigt aber, dass eine exponentiell wachsende Input-Funktion
der Wirklichkeit näher käme. Eine zweite Vereinfachung besteht in der Annahme, die Flüsse seien lineare Funktionen der Reservoir-Massen.
Dennoch illustriert das Modell wichtige Eigenschaften des KohlenstoffKreislaufs, die auch komplexere Modelle und vor allem Beobachtungen bestätigen. Die an sich im Vergleich zu den natürlichen Flüssen kleine anthropogene Störung hat nur deswegen (vorübergehend) eine große Wirkung in
der Atmosphäre, weil die Störung auf das kleinste Reservoir einwirkt und
dieses systemmäßig weit weg vom Hauptreservoir Tiefsee positioniert ist.
Geübte Systemanalytiker und -analytikerinnen sollten in der Lage sein, ohne explizite Rechnung nur schon aus der Betrachtung von Abbildung 5.12
qualitative Aussagen dieser Art machen zu können.
158
Nichtlineare Modelle
Modell aber — im Gegensatz zum Lotka-Volterra-Modell — strukturell stabil ist. Neben dem trivialen (R = B = 0) und dem halbtrivialen Fixpunkt
(R = 0, B = Bk ), besitzt das Modell den nichttrivialen Fixpunkt(B ∞ , R∞ ),
der sich aus dem Schnittpunkt einer Parabel und einer Geraden ergibt
(Abb. 6.18).15 Die Parabel folgt aus Gleichung (6.46) mit dB/dt = 0:
r
B∞
(1 −
)(B ∞ + KB )
w
Bk
R∞ =
(6.48)
Die Gerade folgt aus Gleichung (6.47) mit dR/dt = 0:
R∞ =
B∞
J
(6.49)
Die Lösungen sind geschlossene Kurven um den Fixpunkt (B ∞ , R∞ ). Im
Gegensatz zum Lotka-Volterra-Modell werden diese Kurven nicht durch den
Anfangspunkt ein für alle Mal festgelegt. Vielmehr bewegen sich die Trajektorien auf eine „Attraktions-Kurve“ zu und folgen ihr dann (Abb. 6.17).
Eine solche Kurve nennt man einen Grenzzyklus. Ein Grenzzyklus ist also
gleichsam ein „Kurven-Attraktor“ , von dem das System angezogen wird.
Abbildung 6.18 zeigt das Einschwingen der periodischen Schwankungen von
B(t) und R(t) auf den Grenzzyklus.
250
∞
250
R
200
200
B(t)
150
150
∞
B
100
R(t)
10
20
∞
30
Zeit t [a]
6.2.4
100
R
50
0
0
∞
B
40
50
Beute B
Räuber R, Beute B
Abb. 6.17: Numerische
Lösung des Holling-Tanner
Modells. Das System
bewegt sich auf den
Grenzzyklus zu.
Verwendete Parameter:
r = 2.5 a−1 , s = 0.225 a−1 ,
w = 5 a−1 , Bk = 300,
KB = 50, J=2.
Anfangsbedingungen:
B 0 = 50, R0 = 60.
50
20
30
40
50
0
60
Räuber R
Das Verhalten von Modellen in der Nähe
von Zentren
Wie wir bereits erwähnt haben, lässt sich das Verhalten eines nichtlinearen
Systems in der Umgebung eines Zentrums mit der Methode der Linearisierung nicht eruieren. Folgendes Beispiel aus Arrowsmith u. Place (1992)
soll diesen Sachverhalt demonstrieren.
15 Die Stabilitätseigenschaften des halbtrivialen Fixpunktes sollen in Aufgabe 6.5 diskutiert werden.
Zeitdiskrete Modelle mit einer Variablen
171
Überprüfen wir, ob unsere Vermutung zutrifft, indem wir, mit V(0) ≡ V0
beginnend, Gleichung (7.8) mehrmals hintereinander anwenden:
V(1)
V(2)
V(3)
= I + a0 V0
= I + a0 V(1) = I + a0 (I + a0 V0 ) = I(1 + a0 ) + a20 V0
= I + a0 V(2) = . . . = I(1 + a0 + a20 ) + a30 V0
Daraus kann man bereits die allgemeine Regel erkennen:
V(n) = I ·
n−1
X
(a0 )i + an0 V0
(7.11)
i=0
Mit der Formel zur Berechnung geometrischer Summen,
n−1
X
(a0 )i =
i=0
an0 − 1
a0 − 1
(a0 6= 1)
(7.12)
folgt schließlich (für a0 6= 1):4
V(n) = I
an0 − 1
I
I
+ an0 V0 = −
+ an0 (
+ V0 )
a0 − 1
a0 − 1
a0 − 1
(7.13)
Falls |a0 | < 1, d.h. −1 < a0 < 1 gilt, verschwindet der zweite Term in
Gleichung (7.13) für n −→ ∞, d.h.
V∞ = lim V(n) = −
n→∞
I
, −1 < a0 < 1
a0 − 1
(7.14)
Die in Gleichung (7.10) formulierte Vermutung stimmt also nur bezüglich
der oberen Grenze von a0 (a0 < 1); tatsächlich darf a0 auch nicht zu klein
werden, sonst oszilliert das System zwischen immer größer werdenden positiven bzw. negativen Werten hin und her. Abbildung 7.1 fasst die verschiedenen Fälle zusammen. Zum Schluss möchten wir darauf hinweisen, dass
man, ähnlich wie im Fall einer inhomogenen linearen Differentialgleichung,
Gleichung (7.8) durch das Einführen einer neuen Variable in eine homogene Differenzengleichung hätte verwandeln können, um sie dann gemäß
Gleichung (7.5) zu lösen (s. Aufgabe 7.1).
4 Für
a0 = 1 ergibt sich direkt aus (7.11): V(n) = nI + V0