Scheinklausur Hm-1 Ws 2016/17 14.01.2017

Scheinklausur Hm-1
Ws 2016/17
14.01.2017
– Es gibt 9 Aufgaben. Die jeweilige Punktzahl steht am linken Rand.
– Die Maximalpunktzahl ist 33 . Zum Bestehen der Klausur sind 14 Punkte
hinreichend.
– Die Bearbeitungszeit beträgt 120 Minuten.
– Es sind keine Hilfsmittel zugelassen.
– Abgaben in Bleistift oder Rotstift sind ebenfalls nicht zugelassen.
– Aufgaben 1–3 können direkt auf dem Blatt gelöst werden. In Aufgaben 4–8
ist eine vollständige Begründung verlangt, jeweils auf einem separaten Blatt
pro Aufgabe.
– Tragen Sie bitte Namen, Matrikelnummer sowie Gruppennummer ein.
– Und nun – viel Erfolg!
Name
1
Matr-Nr
2
3
4
5
6
7
8
G-Nr
9
P
Hm-1
Ws 2016/7
h3i
SK.2
Scheinklausur
14.01.17
∑ Aufgabe 1
Vervollständigen Sie die folgende Wahrheitstafel. Dabei steht 1 für ›wahr‹ und 0
für ›falsch‹.
h2i
a
b
1
1
1
0
0
1
0
0
a_b
¬a
¬a ^ (a _ b)
.
∑ Aufgabe 2
Zeichnen Sie jeweils ein Beispiel einer Funktion f von einer fünf- in eine
vierelementige Menge mit den angegebenen Eigenschaften
f ist surjektiv, aber nicht injektiv
h2i
f ist injektiv, aber nicht surjektiv
∑ Aufgabe 3
Vervollständigen Sie die Funktionsdefinition so, dass
injektiv, aber nicht
surjektiv ist.
: N ! N,
h4i
n,
(n) =
.
∑ Aufgabe 4
Zeigen Sie für zwei positive Elemente a, b eines angeordneten Körpers, dass
a < b a a2 < b2 .
Dabei dürfen alle in der Vorlesung oder Vortragsübung bewiesenen
Rechenregeln verwendet werden.
Hm-1 Ws 16/17 Pöschel
Blatt SK vom 14.01.17
Seite 2 von 4
Hm-1
Ws 2016/7
h4i
Scheinklausur
Zeigen Sie mithilfe vollständiger Induktion die Identität
(2i
i=1
1) = n2 ,
n · 1.
∑ Aufgabe 6
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.
a.
4n3 n2
n!1 8n3 + n + 1
c.
lim n
lim
n!1
⇣p
h6i
∑ Aufgabe 7
h4i
∑ Aufgabe 8
n2 + 1
( 1)n
p
n!1
n
b.
lim
⌘
n
d.
lim
n!1
p
n
3n
2
Untersuchen sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
p
X
X ( 9)2n
X
n
np n
a.
( 1)
b.
c.
n
2
n
n
+
3
n +9
n·1
n·1
n·1
Beweisen sie für beliebiges q 2 R und alle n · 1 die Identität
n ⇣ ⌘
X
n
k=1
h4i
14.01.17
∑ Aufgabe 5
n
X
h4i
SK.3
k
(1
q)k qn
k
=1
qn .
∑ Aufgabe 9
Im Folgenden seien A , B Teilmengen von R , und (an ) , (bn ) reelle Folgen.
Welche Aussagen sind wahr, welche falsch? Achtung: Eine
richtige | fehlende | falsche Antwort wird mit 0, 5 | 0 |
0, 5 Punkten gewertet.
a. Zwischen zwei verschiedenen rationalen Zahlen
liegen unendlich viele reelle Zahlen.
b. Mit
A = { a : a 2 A} gilt
sup( A) =
sup(A) .
c. Mit A·B = {a·b : a 2 A ^ b 2 B } gilt
sup(A·B) = sup(A)· sup(B) .
Hm-1 Ws 16/17 Pöschel
Blatt SK vom 14.01.17
, wahr
, falsch
, wahr
, falsch
, wahr
, falsch
Seite 3 von 4
Hm-1
Ws 2016/7
SK.4
Scheinklausur
14.01.17
d. Ist (an )n·1 beschränkt und (bn )n·1 konvergent,
so konvergiert auch (an bn )n·1 .
e. Sind (an )n·1 und (bn )n·1 konvergent,
so konvergiert auch (an
f.
bn )n·1 .
Ist (an )n·1 unbeschräñkt und (bn )n·1 beschränkt,
so ist (an bn )n·1 unbeschränkt.
g. Für alle z 2 C gilt
h. Für alle z 2 C gilt
Hm-1 Ws 16/17 Pöschel
z̄ = iz .
|z|2 = zz̄ .
Blatt SK vom 14.01.17
, wahr
, falsch
, wahr
, wahr
, falsch
, falsch
, wahr
, wahr
, falsch
, falsch
Seite 4 von 4