Formelsammlung Thermodynamik - FSMB

Formelsammlung Thermodynamik
Inhaltsverzeichnis
INHALTSVERZEICHNIS .................................................................................................................... 1
ALLGEMEINES: ................................................................................................................................ 2
1. HAUPTSATZ: ................................................................................................................................ 4
ISOTHERM: ....................................................................................................................................... 4
ISOBAR: ........................................................................................................................................... 5
ISOCHOR:......................................................................................................................................... 5
REVERSIBEL – ADIABAT: (UNTER FALL VON ISENTROP)........................................................................... 5
POLYTROP: ....................................................................................................................................... 6
IDEALES GAS................................................................................................................................... 6
MOLARE GRÖSSEN ............................................................................................................................ 6
THERMISCHE ZUSTANDSGLEICHUNG .................................................................................................... 7
GEMISCHE IDEALER GASE .................................................................................................................. 7
2. HAUPTSATZ: (ENTROPIE S) ........................................................................................................ 8
ENTHALPIE H: .................................................................................................................................. 9
ARBEITEN:........................................................................................................................................ 9
VOLUMENÄNDERUNGSARBEIT: ............................................................................................................ 9
NUTZARBEIT: .................................................................................................................................... 9
TECHNISCHE ARBEIT:......................................................................................................................... 9
2-PHASENGEBIET (NASSDAMPF)................................................................................................. 10
DAMPFGEHALT ................................................................................................................................ 10
INTERPOLATION .............................................................................................................................. 10
EXERGIE:........................................................................................................................................ 10
WIRKUNGSGRAD ........................................................................................................................... 10
VERDICHTUNG ................................................................................................................................ 10
TURBINE ........................................................................................................................................ 11
LEISTUNGSZAHL .............................................................................................................................. 11
KREISPROZESSE........................................................................................................................... 11
MOTOR............................................................................................................................................ 11
DREHZAHL ..................................................................................................................................... 11
DIAGRAMME................................................................................................................................... 12
2 PHASENGEBIET ............................................................................................................................ 12
ALLGEMEIN ..................................................................................................................................... 12
EINHEITENUMRECHNER ............................................................................................................... 12
-1-
Allgemeines:
Zeichen
p
m
V
H
U
S
Rm
Einheit
bar
kg
Druck
Masse
Volumen
Enthalpie
Innere Energie
m3
J
J
Entropie
allgemeine molare Gaskonstante = 8,314 510
J
K
J
molK
m3
kg
J
kg
J
kg
J
kgK
J
kgK
v
spezifisches Volumen
u
spezifische innere Energie
h
spezifische Enthalpie
s
spezifische Entropie
R
spezifische Gaskonstante
T
E
W
Q
Temperatur
Energie
Arbeit (meist Volumenänderungsarbeit)
Wärme
K
J
J
J
E pot
potentielle Energie
J
E kin
J
κ
n
kinetische Energie
Polytropenexponent
Isentropenexponent
cp
spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck
cv
spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen
x
Dampfgehalt
M
Molmasse
N
n
Teilchenzahl
Stoffmenge
NA
Avogardo-Konstante
′
′′
η
ε
ε
VH
VT
gesättigte Flüssigkeit
gesättigter, trockener Dampf
Wirkungsgrad
Leistungsziffer
Verdichtungsverhältnis
Hubvolumen
r
J
kgK
J
kgK
kg
g
=
kmol mol
mol
1
mol
Totraumvolumen
Verdampfungsenthalpie
-2-
ηg
η mech
η th
η eff
ϕ
γ
ξ
Gütegrad
mechanischer Wirkungsgrad
theoretischer / thermischer Wirkungsgrad
effektiver Wirkungsgrad
Einspritzverhältnis
Volumenverhältnis
Massenanteile, Gewichtsanteile
-3-
1. Hauptsatz:
(
dE SYS dU SYS dH SYS
=
=
= E 2 − E1 = U 2 − U 1 = H 2 − H 1 = ∑ Q i + Wi + E Mat,i
dt
dt
dt
)
geschlossen (kein Massen zu– oder abfluss):
∑E
Mat,i
=0⇒
(
dE SYS dU SYS
=
= E 2 − E1 = U 2 − U 1 = ∑ Q i + Wi
dt
dt
)
offen (Massen zu– oder abfluss): dann immer mit Enthalpie H!
∑E
Mat,i
≠0
stationär (keine Änderung über die Zeit):
(
0 = ∑ Q i + Wi + E Mat,i
)
instationär (Änderung über die Zeit):
dE SYS
≠0
dt
Q. Wärme
adiabat:
∑Q
i
=0⇒
dE SYS dU SYS
=
= E 2 − E1 = U 2 − U1 = ∑ (Wi + E Mat,i )
dt
dt
diabat:
∑Q
i
≠0
W: mechanische Arbeit, elektrische Energie
EMat,i: Materialfluss
∑E
Mat, i
[
= ∆H + ∆E pot + ∆E kin
]
∆H = m ∗ (h 2 − h 1 ) = m ∗ (u 2 − u 1 + p 2 ∗ v 2 − p1 ∗ v1 )
∆E pot = m ∗ g ∗ z 2 − m ∗ g ∗ z1 = ρ ∗ v ∗ g ∗ z 2 − ρ ∗ v ∗ g ∗ z 1
∆E kin =
1
1
m ∗ w 22 − m ∗ w 12
2
2
Isotherm:
Polytropenexponent: n = 1
Temperatur (T) = konstant; p ∗ v = konstant
1
p
v
dp dv
+
= 0; p ∗ v = R ∗ T0 = konstant; 2 = 1
p
v
p1 v 2
1. Hauptsatz
Q12 + W12 = 0
Wärmeenergie
Q12 = − m ∗ R ∗ T ∗ ln
Volumenänderungsarbeit
W12 = m ∗ R ∗ T ∗ ln
Änderung der inneren Energie
∆U = 0
Änderung der Entropie
∆S = m ∗ R ∗ ln
V1
p
V
= − m ∗ R ∗ T ∗ ln 2 = −p1 * V1 * ln 2
V2
p1
V1
V1
p
V
= m ∗ R ∗ T ∗ ln 2 = p1 ∗ V1 ∗ ln 2
V2
p1
V1
V2
p
= m ∗ R ∗ ln 1
V1
p2
-4-
Isobar:
Polytropenexponent: n = 0
Druck (p) = konstant; p ∗ v = konstant
0
dv dT v R v 2 T2
=
; =
;
=
v
T T p 0 v1 T1
Q12 + W12 = ∆U
Q12 = c p ∗ m ∗ ∆T
1. Hauptsatz
Wärmeenergie
W12 = − p∆V = − m ∗ R ∗ ∆T
R
∆U = c v ∗ m ∗ ∆T =
* m * ∆T = Q12 + W12
κ -1
T
V
∆S = c p ∗ m ∗ ln 2 = c p ∗ m ∗ ln 2
T1
V1
Volumenänderungsarbeit
Änderung der inneren Energie
Änderung der Entropie
Isochor:
Polytropenexponent: n → ∞
Volumen (V) = konstant; p ∗ v
∞
= konstant
dp dT p R p 2 T2
=
; =
;
=
p
T T v 0 p1 T1
1. Hauptsatz
Q12 = ∆U
Wärmeenergie
Q12 = ∆U = c v ∗ m ∗ ∆T =
Volumenänderungsarbeit
W=0
Änderung der inneren Energie
∆U = Q12 = c v ∗ m ∗ ∆T =
Änderung der Entropie
R
∗ m ∗ ∆T
κ -1
R
∗ m ∗ ∆T
κ -1
T
p
∆S = c v ∗ m ∗ ln 2 = c v ∗ m ∗ ln 2
T1
p1
reversibel – adiabat: (unter Fall von isentrop)
Polytropenexponent: n = κ : Isentropenexponent
κ
Wärme (Q): dq = 0 ; p ∗ v = konstant ; ds = dq + dw R = 0
 v2

 v1
κ

v 
p T
 = 1 ; 2 =  1 
p 2 T1  v 2 

1. Hauptsatz
Wärmeenergie
κ −1
Volumenänderungsarbeit
Änderung der inneren Energie
Änderung der Entropie
κ
 T  κ −1
p
; 2 =  2 
p1  T1 
W12 = ∆U
Q12 = 0
p ∗ v2
m∗R
∆T = 2
κ -1
κ
p ∗ v2
m∗R
∆U = W12 = c v ∗ m ∗ ∆T =
∆T = 2
κ -1
κ
∆S = 0
W12 = ∆U = c v ∗ m ∗ ∆T =
-5-
− p1 * v1
−1
− p1 * v1
−1
polytrop:
Polytropenexponent: n ≠ κ : Isentropenexponent
p ∗ v n = konstant
-n
n
n −1
v 
 T  n -1 T
v 
dp
dv p
= − n ; 2 =  2  =  2  ; 2 =  1 
p
v p1  v1 
T1  v 2 
 T1 
Q12 n − κ
=
W12 κ − 1
1. Hauptsatz
Q12 + W12 = ∆U
n −κ
R
n −κ
Wärmeenergie
Q12 = c v ∗ m ∗
∗ ∆T =
∗m∗
∗ ∆T
n −1
κ -1
n −1
p ∗ v 2 − p1 ∗ v1
m∗R
W12 =
∗ ∆T = 2
=
n −1
n −1
n −1
n −1








m ∗ R ∗ T1
v1
n ∗ R ∗ T1  p 2 n
=
*   − 1 =
*   − 1 =
 p1 

n −1
n −1
 v 2 

Volumenänderungsarbeit



p1 ∗ V1  p 2
=
* 
n − 1  p1

Änderung der inneren Energie
Änderung der Entropie

− 1


R
∆U = c v ∗ m ∗ ∆T =
* m * ∆T = Q12 + W12
κ -1
T
κ -n
∆S = c v ∗ m ∗
∗ ln 1
n -1
T2



n −1
n
ideales Gas
molare Grössen
R=
Rm
M
N
NA
N
Molmasse u =
NA
Molzahl u =
V
= M∗v
n
U
= M∗u
molare innere Energie U m =
n
H
= M∗h
molare Enthalpie H m =
n
S
molare Entropie S m = = M ∗ s
n
C
= M∗c
molare Wärmekapazität c m =
n
Molvolumen Vm =
-6-
molare Masse: M =
m
n
thermische Zustandsgleichung
p1 ∗ V1 p 2 ∗ V2
=
T1
T2
p∗v = R ∗T
p∗V = m∗R ∗T
p∗V = n ∗Rm ∗T
1
v
R
N
R = m = ∗Rm
M
m
R
cv =
κ -1
κ ∗R
cp =
κ -1
cp
κ=
cv
R = cp − cv
ρ=
Gemische idealer Gase
c v, Mischung = ∑ ξ i ∗ c v,i
c p, Mischung = ∑ ξ i ∗ c p,i
mi ξi ∗ m
=
V
V
R Mischung
m
mi
Mi
ξi = i =
=γi ∗
=γi ∗
; ∑ ξ i = 1;∑ m i = m
m ∑ mi
M Mischung
Ri
ρi =
M Mischung
n i vi pi
; ∑ γ i = 1;∑ n i = n
=
=
= ξi ∗
n
v
p
Mi
v
vor der Mischung (Volumenverhältnis): i ; ∑ v i = v
v i
p
nach der Mischung (Partialdruckverhältnis): i ; ∑ p i = p; p i = γ i ∗ p
p i
γi =
spezifische Gaskonstante der Mischung:
R Mischung = ∑ ξ i ∗ R i =
1
=
γi
∑R
i
ξ
Rm
Rm
= Rm ∗∑ i =
M i M Mischung
∑ (γ i ∗ M i )
molare Masse der Mischung: M Mischung =
∑m
∑n
i
i
=
Rm
R Mischung
-7-
= ∑γ i Mi
M Mischung
vi p i n i
=
=
= ξi ∗
=γi
v
p
n
Mi
Verhältnis der spezifischen Wärmekapazitäten:
κ Mischung = 1 +
1
γ
∑ κ −i 1
i
Wärmemenge:
Q = E 2 − E 1 = U 2 − U 1 = H 2 − H 1 = m ∗ c ∗ ∆T
U = m ∗ cv ∗ T
Q = m ∗ cp ∗ T
H = m ∗ cp ∗ T
Wärmeinhalt:
Q = H = U = m∗c∗T
(c: Wärmekapazität;
T: Temperatur;
∆T : Temperaturänderung)
2. Hauptsatz: (Entropie S)
Aggregat- und Temperaturwechsel (flüssig -> gasförmig,...) beachten
dS = dSa + dSi
dQ
( dSa =
: Austauschvorgänge mit der Umgebung, Entropietransport;
T
dWR
dSi =
: Dissipation, Entropieerzeugung, Entropieproduktion; nur innerhalb des Systems)
T
dSi < 0 : nicht möglich
dSa < 0 : Wärmeabfuhr
dSi = 0 : reversibler Prozess
dSa = 0 : adiabetes System
dSi > 0 : irreversibler Prozess
dS < 0
dSa < 0 und dSa > dSi
dSa > 0 : Wärmetransport
dS = 0
dSa = 0 = dSi
dS > 0
dSa ≤ 0 und dSa < dSi oder dSa > 0
geschlossene Systeme: dU = TdS − pdV
offene Systeme: dH = TdS + Vdp
ideale Gase:
T2
v
+ R ∗ ln 2
T1
v1
T
p
offen (geg.: T, p): s 2 - s 1 = c p ∗ ln 2 − R ∗ ln 2
T1
p1
p
v
geg.: p, v: s 2 - s 1 = c v ∗ ln 2 − R ∗ ln 2
p1
v1
geschlossen (geg.: T, v): s 2 - s 1 = c v ∗ ln
-8-
flüssige Stoffe:
geschlossen: s 2 - s 1 = c v ∗ ln
offen: s 2 - s 1 = c p ∗ ln
T2
T1
T2
T1
Enthalpie H:
(bei offenen Systemen)
H = p∗V + U
h = p ∗ v + u (gilt auch im 2 Phasengebiet)
dH = pdV + Vdp + U
dh = pdv + vdp + u
Isobar: (dp = 0) ⇒ dh = du + pdv
Isochor: (dv = 0) ⇒ dh = du + vdp
Ideales Gas: dh = c p dT
h = cpT
du = c v dT
u = c vT
adiabate Drosselung: dh = 0
ideales Gas: T1 = T2 da dh = 0 ↔ c p ∗ (T1 −T 2 )
Arbeiten:
Volumenänderungsarbeit:
2
(bei geschlossenen Systemen) Wv12 =
∫ − pdV
1
2
2
1
2
1
p = konstant : w v12 = ∫ − pdv = − p ∫ dv = − p ∗ (v 2 − v1 )
2
= RT
T = konstant : w v12 = ∫ − pdv mit
:pv
→ ∫ 1
1
2
v
R ∗T
1
dv = − R ∗ T ∫ dv = − R ∗ T ∗ ln  2
v
v
 v1
1
Nutzarbeit:
Wn12 = − ∫ (p System − p ∞ )dV = Wv12 − W∞12
2
1
Aufgabe Nr. 26: die Arbeit, die man aus dem System abgreifen kann. Unter Umständen mit
Volumenänderungsarbeit kombiniert.
technische Arbeit:
2
(bei offenen Systemen) Wt12 =
∫ Vdp
1
-9-



2-Phasengebiet (Nassdampf)
Dampfgehalt
mD
mD
m ′′
z − z′
=
=
=
; (z = v, u, h, s,...)
m ges m Fl + m D m ′ + m ′′ z ′′ − z ′
z = z ′ + x ∗ (z ′′ − z ′ ); (z = v, u, s, h,...)
falls u nicht tabellisiert ist: u = h − p ∗ v
h = h ′ + x ∗ (h ′′ − h ′ ) = h ′ + x ∗ r ; r := T ∗ (s ′′ − s ′) = (h ′′ − h ′)
Z
z = ; (z = v, V, u, U, h, H, s, S, ...)
m
x=
Interpolation
z - zb
y - yb
=
; (z = h, v, u, s,...)
z b −z a y b − y a
Exergie:
maximal abgebare Leistung:
c2
+ g ∗ (z 2 − z1 )
2
= u 2 - u 1 − T∞ ∗ (s 2 − s 1 ) + p ∞ ∗ (v 2 − v1 )
w max = -w t = w ex = h 2 - h 1 − T∞ ∗ (s 2 − s 1 ) +
offen:
geschlossen: w max = w t = − w ex
Anergie:
Wirkungsgrad
η=
Nutzen
Aufwand
; bei konstanter Temperatur:
η Carnot =
TA − TB
TA
Verdichtung
adiabat ⇔ isentrop
ηV =
V
z * - z1
1
*
; (z = h, T); ( z =ideal (Wirkungsgrad = 1))
=
z 2 − z1 η T
*
zuerst z mit Formeln Seite 4 ff. lösen
- 10 -
Turbine
adiabat ⇔ isentrop
ηT =
T
z 2 − z1
1
*
; (z = h, T); ( z =ideal (Wirkungsgrad = 1))
=
*
z - z1 ηV
*
zuerst z mit Formeln Seite 4 ff. lösen
Leistungszahl
ε=
TB
Nutzen
; bei konstanter Temperatur: ε Carnot =
Aufwand
TA - TB
Kreisprozesse
rechtsläufig (Uhrzeigersinn):
linksläufig:
Carnotprozess
Ericssonprozess
Stirlingprozess
Jouleprozess
Dieselprozess
Seilingerprozess
Ottoprozess
Wärmekraftmaschinen (Motoren,...): bringen Wärme vom wärmeren
ins kältere
Kältemaschinen, Kühlung, Wärmepumpen: bringen „Wärme“ (Kälte)
vom kühleren ins wärmere
s-T-s-T
T-p-T-p
T-v-T-v
s-p-s-p
s-p-s-v
s-v-p-s-v
s-v-s-v
Motor
V
V + VH
ε= 1 = T
; V1 : 1. Hub; V2 : 2. Hub
V2
VT
π ∗d2
VH = V2 − V1 = A ∗ h =
∗h
4
w eff = η m ∗ η g ∗ w th
η eff = η th ∗η g ∗η mech
Peff = n d ∗ m ∗ w eff
Drehzahl
nD
2
bei Zweitaktmotor: n = n D
bei Viertaktmotor: n =
- 11 -
Diagramme
bei Flüssigkeitsabscheidern befindet man sich unter der Dampfdruckkurve.
Vorgehensweise:
Einzeichnen der Zustände und der Zustandsänderungen im T-s-Diagramm: isobare zuerst
im p-V-Diagramm: isotherme zuerst
isentrope
s = konstant
n =κ
isobare
p = konstant
isochore
v = konstant
isotherme
T = konstant
isenthalpe
h = konstant
2 Phasengebiet
KP
T
KP
p
gesättigte
Flüssigkeit
gesättigte
Flüssigkeit
trocken,
gesättigter Dampf
trocken,
gesättigter Dampf
s
V
allgemein
T
p
s
V
Einheitenumrechner
N
= 1bar
m2
J
m2
Nm
1W = 1 = 1kg 2 = 1
s
s
s
3
3
3
1m = 1 ∗ 10 dm = 1 ∗ 10 6 cm 3 = 1 ∗ 10 9 mm 3
10 5 Pa = 10 5
- 12 -