Skript Teil 3 - Humboldt

Elektrostatik
Der elektrische Fluss Ψ : Wie stark „strömt“ das elektrische Feld
durch eine gegebene Fläche?
A
r
r r
Φ
Ψ A = ∫ E ( r ) ⋅ dA
A
Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin
Elektrostatik
Qualitative Herleitung des Coulomb-Gesetzes:
-
Eine pos. (Punkt-)Ladung als Quelle des elektr. Feldes im
Ursprung:
und
E q
-
E r
Fluss durch eine (imaginäre) Kugel um die Ladung ist konstant:
E dA
E
1 4
q
r
2
r
r
0
Kugel
also:
E r
4
Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin
r
2
Elektrostatik
Abstrakte Formulierung
Punktladungen werden durch kontinuierliche Ladungsverteilung
ersetzt:
q
r
Divergenz eines Feldes ist seine (lokale) Quellstärke:
divE
div E
E
0
x Ex
y Ey
z Ez
Integrale Formulierung: Satz von Gauß
E dA
Oberfläche
divE dV
Volumen
Q
0
Der Fluss eines Feldes durch eine geschlossene Oberfläche ist gleich
dem Integral der Divergenz des Feldes über dem
eingeschlossenen Volumen. Anschaulich: Ladungen sind die
Quellen/Senken des elektrischen Feldes!
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Elektrostatik
Was gibt‘s noch?
Rotation eines Feldes:
rotE
E
yEz
z Ex
xEy
zEy
x Ez
y Ex
Die Rotation eines Feldes
gibt seine lokale
Wirbelstärke an.
Hier gilt offensichtlich:
rotE 0
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Elektrostatik
Was bedeutet das für die Arbeit im Kraftfeld?
Wegintegral:
Arbeit ist „Kraft mal
Weg“ oder:
W
F ds
Kurve
q E ds
Kurve
Im Wirbelfeld ist die
geleistete Arbeit
abhängig vom zurück
gelegten Weg.
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Elektrostatik
In der Elektrostatik gilt aber:
rotE 0
Dann gilt für jede
geschlossene Kurve:
W
F ds
0
Kurve
Anders ausgedrückt:
Im rotationsfreien Feld
ist das Arbeitsintegral
nicht vom gewählten
Weg abhängig, sondern
nur von Anfangs- und
Endpunkt. Dann heißt
das Feld konservativ.
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Elektrostatik
U
Φ ( x, y, 0)
z=0
+e +e
Da rotE 0 gilt, gibt es ein
Potential Φ mit:
r
r2
W1
W2
- Φ ist bis auf eine additive
Konstante (Eichfreiheit!)
eindeutig.
W3
- Das erzeugende E-Feld
errechnet sich als Gradient
(dreidimensionale Ableitung) des Potentials:
r
r1
U = const .
Φ
Äquipotentiallinie
E grad
-e
x [a.u.]
Die Mathematik sagt:
y [a.u.]
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x
y
z
Elektrostatik
Zusammenhang zwischen Potential, Spannung und Arbeit:
Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten:
2
E ds
12
2
1
1
Energiedifferenz zwischen zwei Punkten (wegunabhängig!):
2
W 12
Also:
W 12 q
qE ds q
2
1
1
12
Potentialdifferenzen sind sehr praktische Rechengrößen und
bekommen deshalb einen eigenen Namen: Spannungen. Die SIEinheit der Spannung ist das Volt [V]. Das Rechensymbol ist meist
ein U.
Aber: Damit die Angabe einer Spannung sinnvoll ist, muss
immer ein Referenzpunkt (U=0) angegeben werden!
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Elektrostatik
Zusammenfassung:
div E
rot E 0
0
Maxwell-Gleichungen der
Elektrostatik im Vakuum
Unter Verwendung des Potentials lässt es sich sogar noch etwas
einfacher schreiben:
div grad
2
x
2
y
Laplace-Gleichung
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2
z
0
Elektrostatik
Potential eines idealen Leiters (Metall):
Feldlinie
Wiederholung: Feldlinien
müssen auf der
Leiteroberfläche
senkrecht stehen.
r
F⊥
r
F
Ladungen im Metall frei
beweglich
Dann gilt für kleine Verschiebungen entlang der Oberfläche:
d
E ds
0
Daraus folgt, dass das Potential überall auf der Oberfläche gleich ist,
unabhängig von der Form des Leiters. Die Ladungsverteilung kann
aber unterschiedlich sein!
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Elektrostatik
Anwendung: geladene Hohlkugel
Im Außenraum ist das
Coulomb-Gesetz gültig:
Für jede kugelsymmetrische
Ladungsanordnung gilt, dass
E q
und
E r
und
E
1 4 r2
also
E r
Testflächen
Geladene Hohlkugel
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q
4
r
2
r
r
0
Elektrostatik
Anwendung: geladene Hohlkugel
Im Innenraum bleibt die
Symmetrie erhalten:
E r
Aber in der inneren Testfläche
ist keine Ladung
eingeschlossen!
0
E 0
Der Innenraum ist feldfrei!
Testflächen
Geladene Hohlkugel
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Elektrostatik
E-Feld einer positiv geladenen
Hohlkugel in einer Ebene durch
den Mittelpunkt.
Durch Integration des Feldes
entlang eines vom Mittelpunkt
ausgehenden Strahls erhält man
das Potential:
C
C
r Kugelradius
1
4
r
0
r Kugelradius
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Elektrostatik
Feld einer (unendlich) ausgedehnten geladenen Platte:
-Wegen Symmetrie gilt, das Feld steht
senkrecht zur Platte.
-In jedem Halbraum bleibt das Feld konstant, da
ein Quader, um das gleiche Teilstück der Platte
gelegt, immer die gleiche Ladungsmenge
einschließt.
-Die Tangentialkomponente des Feldes
verändert sich stetig beim Übergang von einer
Plattenseite zur anderen, die
Normalkomponente macht einen Sprung.
E-Feld einer pos.
Geladenen Platte
bei x=0.
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Die Spannung
Energiedifferenz zwischen zwei Punkten (nur sinnvoll zu
definieren, wenn wegunabhängig!):
Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten:
Spannung
Also:
W 12 q
12
Die Potentialdifferenzen ist eine sehr praktische Rechengröße und
bekommt deshalb einen eigenen Namen: Spannung. Die SI-Einheit
der Spannung ist das Volt [V]. Das Rechensymbol ist meist ein U.
Aber: Damit die Angabe einer Spannung sinnvoll ist, muss
immer ein Referenzpunkt (U=0) angegeben werden!
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Der Kondensator
Konfiguration aus zwei Platten mit entgegen gesetzter Ladung:
-Der Außenraum bleibt weitgehend feldfrei, da Gesamtladung
sich ausgleicht.
- Zwischen den Platten herrscht ein homogenes elektrisches
Feld.
Diese Anordnung heißt Kondensator.
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
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Der Kondensator
Die Spannung U (Potentialdifferenz) zwischen den beiden Platten mit
der Fläche A und den Ladungen +Q und –Q ist:
Q
d
A
0
U Ed
Also:
Q CU
mit
C
0
A
d
C ist die Kapazität des Kondensators. Sie kann auch für andere
Geometrien angegeben werden, da immer gilt, dass die
Potentialdifferenz proportional zur Ladung ist.
Einheit der Kapazität:
1C
1 Farad 1 F
1V
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Der Kondensator
Energieinhalt des Kondensators:
Um eine weiter kleine Ladung dQ von einer Platte zur anderen zu
transportieren, benötigt man:
dW
Q
dQ
C
dQ U
Integration liefert die gesamte Arbeit (also den Energieinhalt)
Qg
W
dW
0
Also:
2
W
1Q
2C
Experimentalphysik für Biologen und Chemiker, O. Benson & A. Peters, Humboldt-Universität zu Berlin
Q
dQ
C
1
2
CU
2
Kondensator mit Dielektrikum
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
d
Potentialdifferenz U
+
Bei Isolator (Dielektrikum) zwischen den
Kondensatorplatten passiert Folgendes:
Polarisation Æ
Im Isolator wird ein Gegenfeld aufgebaut
Feld wird abgeschwächt
geringere Kraft d.h. reduziertes E-Feld
EDielektrikum =
1
εr
⋅ EVakuum
ε r : Dielektrizitätszahl
Q
A
C = ε r ⋅ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→C = εr ⋅ ε0 ⋅
U Plattenkondensator
d
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Dielektrizitätskonstanten
Material
Papier
Paraffin
PVC
Glas
Titanat
Benzol
Ethylalkohol
Wasser (0°C)
εr
1.6-2.6
1.9-2.5
3.1-3.9
5.0-9.0
15-104
2.1
27.9
87.74
Wasser (20°C)
Wasser (90°C)
Helium
Wasserstoff
Luft
80.1
58.31
1.000066
1.000264
1.000590
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Kondensatoren - Beispiele
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Kondensatoren - Beispiele
Laser
Target
Chamber
Capacitor Bay
National Ignition Facility
(Livermore National Lab / USA)
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Kondensatoren - Beispiele
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