Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE - Peter Müller

Physik-Department LS für Funktionelle Materialien
WS 2014/15
Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE
Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Volker Körstgens, Daniel Moseguí González,
Pascal Neibecker, Nitin Saxena, Johannes Schlipf
Vorlesung 12.11.2014, Übungen 17.11. und 19.11.2014
Blatt 6
1. Eisstockschießen
Beim Eisstockschießen trifft der weiße Eisstock eines Spielers mit v0 = 4,50 m/s auf einen sich
in Ruhe befindenden silbernen Eisstock. Beide Eisstöcke haben die gleiche Masse und stoßen
elastisch. Reibungseffekte werden vernachlässigt. Nach dem Stoß bewege sich der silberne
Eisstock unter einem Winkel von ϕs = 36,0◦ zur Einfallsrichtung des weißen Eisstocks (siehe
Abbildung).
a) Bestimmen Sie die Bewegungsrichtung des weißen Eisstocks nach dem Stoß, d. h. bestimmen Sie die Winkelablenkung ϕw des weißen Eisstocks gegenüber der Einfallsrichtung!
Impulserhaltung:
→
→
→
p0 = ps + pw
→
→
→
m v0 = m vs + m vw
→
→
→
v0 = vs + vw
Energieerhaltung:
1 2
1
1
mv0 = mv2s + mv2w
2
2
2
v20 = v2s + v2w
Pythagoras: a2 = b2 + c2
→
→
→ 90,0◦ Winkel zwischen vs und vw
Winkelsumme im Dreieck: ϕs + ϕw + 90,0◦ = 180◦
ϕs + ϕw = 90,0◦
ϕw = 90,0◦ − 36,0◦ = 54,0◦
→
Der weiße Eisstock wird um ϕw = 54,0◦ in die entgegengesetzte Richtung abgelenkt wie der silberne Eisstock.
b) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten vs und vw beider Eisstöcke nach dem Stoß durch
Nutzung der Impuls- und Energieerhaltung.
Gesucht: vs = |⃗
vs | und vw = |v⃗w |
Impulserhaltungssatz:
x-Richtung: mv0 = mvsx + mvwx
y-Richtung: 0 = vsy + vwy
vsy = sin ϕs · vs
;
2
vwy = − sin ϕw · vw
sin ϕw
sin ϕs
(
)
sin2 ϕw
sin2 ϕw
2
2
2
2
+ vw = vw 1 +
→ v0 = vw ·
sin2 ϕs
sin2 ϕs
v0
vw = √
= 2,65 m/s
sin2 ϕw
1 + sin2 ϕ
→ vs = vw ·
s
v20
(
)
sin2 ϕs
sin2 ϕs
2
2
+ vs = vs 1 +
= ·
sin2 ϕw
sin2 ϕw
v0
vs = √
= 3,64 m/s
sin2 ϕs
1 + sin2 ϕ
v2s
w
c) Bestimmen Sie die Geschwindigkeiten vs und vw geometrisch mit den Winkeln ϕs und ϕw .
Aus a) und b) ist bekannt:
→
→
→
v0 = vs + vw
vs
v0
vw
sin ϕs =
v0
sin ϕw =
;
vs = v0 sin ϕw = 3,64 m/s
;
vw = v0 sin ϕs = 2,65 m/s
3
2. Kohlenzug
Ein Zug aus fünf leeren Eisenbahnwaggons rollt ohne Antrieb und näherungsweise reibungsfrei
mit einer Anfangsgeschwindigkeit v0 = 3 m/s unter einer Beladestation vorbei. Das Leergewicht
des Zuges beträgt m0 = 100 t, seine Gesamtlänge 150 m. Ab dem Zeitpunkt t = 0 wird nun
senkrecht von oben Kohle mit einer konstanten Rate von ṁ = 2 t/s in die offenen Waggons fallen
gelassen, wo sie dann liegen bleibt. Zwischen den Waggons geht keine Kohle verloren und das
Beladen wird automatisch beendet, sobald der Zug die Station vollständig passiert hat.
a) Erläutern Sie kurz, wie es sich mit der Impulserhaltung bei diesem Vorgang verhält. Wo wird
Impuls übertragen?
Der Impuls des Systems ”Kohle und Zug” in horizontaler Richtung bleibt erhalten.
Der Zug überträgt Impuls an die Kohle. In vertikaler Richtung wird der Zug von den
Gleisen und somit von der Erde gestützt. Impuls wird von der in den Zug fallenden
Kohle an die Erde übertragen. Daher ist der Impuls des Systems ”Kohle und Zug”
in vertikaler Richtung nicht erhalten.
b) Geben Sie einen Ausdruck für die Rollgeschwindigkeit v(t) des Zuges während des Beladens
an. Wie schnell ist der Zug nach 30 Sekunden?
Aus der in a) erläuterten Impulserhaltung folgt:
p x (t) = m(t) · v(t) = m0 · v0 = const.
⇒ v(t) =
m0 v0
p x (t)
=
m(t)
m0 + · t
Die Geschwindigkeit des Zugs wird also kleiner, solange Kohle zugeladen wird.
Selbst mit der Anfangsgeschwindikeit 3 m/s wäre der 150 Meter lange Zug innerhalb von 30 Sekunden 90 Meter weit gefahren, hätte also die Ladestation noch
nicht vollständig passiert. Bis zu diesem Zeitpunkt ist also die Beladung auf jeden
Fall noch im Gange. Somit folgt für die Geschwindigkeit nach 30 Sekunden:
v(30 s =
105 kg · 3 m/s
= 2 m/s
105 kg + 2 · 103 kg/s · 30 s
c) Geben Sie einen Ausdruck für die Strecke s(t) an, die der Zug in der Zeit t während des
Beladens rollt. Welche Strecke ist der Zug in 30 Sekunden gerollt?
4
Die zurückgelegte Strecke ergibt sich aus dem Integral der Geschwindigkeit über
die Zeit:
∫ t
s(t) =
v(t′ )dt′
∫
0
t
v0 m0
dt′
0 m0 + ṁt
∫
v0 m0 t
1
=
dt′
m0
′
ṁ
+
t
0 ṁ
(m
[
)]t
v0 m0
0
ln
+ t′
=
ṁ
ṁ
0
)
m0 ]
v0 m0 [ ( m0
ln
+ t − ln
=
ṁ
ṁ
ṁ
( (
))
tṁ
v0 m0
ln 1 +
=
ṁ
m0
=
⇒ s(30 s) = 0,07 km
5
3. Zusammenstoß mit Feder
Ein zunächst ruhender Gegenstand der Masse m1 = 2,00 kg befindet sich auf einer horizontalen
N
Oberfläche und ist an einer entspannten Feder mit der Federkonstanten k = 600 m
befestigt. Auf
dieser Oberfläche kann der Gegenstand reibungsfrei gleiten. Ein zweiter Gegenstand der Masse
m2 = 1,00 kg gleite ebenfalls reibungsfrei mit einer Geschwindigkeit von v = 6,00 ms unter einem
Winkel von 0,00◦ auf den ersten zu.
a) Bestimmen Sie die Amplitude der Schwingung, wenn die Gegenstände einen idealen inelastischen Stoß ausführen. Das bedeutet, dass die beiden Massen nach dem Stoß aneinanderhaften. Ein Teil der kinetischen Energie der Massen ist dabei in Verformungsarbeit umgewandelt worden, Impulserhaltung gilt aber trotzdem. Wie groß ist die Schwingungsdauer?
Körper haften aneinander =⇒ eine gemeinsame Geschwindigkeit beider Körper nach dem Stoß: ve
Impulserhaltung: m2 v = (m1 + m2 )ve
=⇒
ve =
m2 v
m1 + m2
Dies ist gleichzeitig die Maximalgeschwindigkeit, da es die Geschwindigkeit im
Gleichgewichtspunkt der Feder ist:
Ekin = E pot ⇔
1
1
(m1 + m2 )v2e = kA21
2
2
mit A1 Maximalauslenkung der Feder
√
√
√
(1,00 kg)2 · (6,00 ms )2
m22 v2
(m1 + m2 )v2e
=⇒ A1 =
=
=
= 0,141 m
N
k
( m1 + m2 ) k
3,00 kg · 600 m
Nach Vorlesung: ω02 =
k
m
Schwingungsdauer T1 =
=⇒
1
f
=
2π
ω0
√
= 2π
√
m1 + m2
k
= 2π
3,00 kg
N
600 m
= 0,444 s
b) Bestimmen Sie Amplitude und Schwingungsdauer im Falle eines elastischen Stoßes.
Geschwindigkeiten nach dem Stoß: v1 bzw. v2
Impulserhaltung: m2 v = m1 v1 + m2 v2
Energieerhaltung: 12 m2 v2 = 12 m1 v21 + 12 m2 v22
Formeln für v1 und v2 : siehe Aufgabe „Pendelkette“ (aber Vorsicht mit den Indices
und der Definition von α)!
2
v1 = 2vm1 = m2vm
(=
b wieder Maximalgeschwindigkeit der schwingenden Feder)
2 + m1
1+ m
2
1
1
m1 v21 = kA22
2
2
√
√
√
4 · 2,00 kg · (6,00 ms )2 · (1,00 kg)2
m1 v21
4m1 v2 m22
A2 =
=
=
= 0,231 m
N
k
k ( m2 + m1 )2
600 m
· (3,00 kg)2
√
√
m1
2,00 kg
T2 = 2π
= 2π
= 0,363 s
N
k
600 m
Ekin = E pot ⇔
=⇒
6
c) Beschreiben Sie die Auslenkung des an der Feder befestigten Gegenstandes für beide Stoßarten als Funktion der Zeit, unter der Annahme, der Stoß erfolge zur Zeit t = 0. Skizzieren
Sie die beiden Funktionen.
In beiden Fällen harmonische Schwingung mit x (0) = 0
=⇒
x (t) = Ai · sin(ωi · t) = Ai · sin(
2π
· t)
Ti
d) Wo besitzt das System nach dem Stoß die höchste potentielle Energie und wo die höchste
kinetische Energie?
Potentielle Energie:
Bei x = ± A ist F maximal, d.h. am Umkehrpunkt ist die Feder maximal gespannt
und die Kugel ist in Ruhe
→ Geschwindigkeit v = 0 =⇒ Ekin = 0
Wegen Energieerhaltung besitzt das System an der Stelle x = ± A die höchste
potentielle Energie.
Kinetische Energie:
Bei x = 0 ist F = 0, d.h. die Feder ist entspannt
→ Auslenkung x = 0 =⇒ E pot = 0
Wegen Energieerhaltung besitzt das System an der Stelle x = 0 die höchste
kinetische Energie.
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