Mechanik Übung2

Mechanik Übungen
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Arbeit, kinetische Energie
Potentielle Energie
Leistung
Impulserhaltung
Elastischer - inelastischer Stoß
Drehbewegungen
Kinetische Energie der Drehbewegung
Kinetische Energie eines rollenden Körpers
fh-pw
Übung: Arbeit, kinetische Energie
F
5
m
geg. : Masse m = 6 kg, wird von einer Kraft F = 90 N
senkrecht hoch gezogen, Höhe h = 5 m
ges. : Arbeit von Kraft F verrichtet
Arbeit von Gravitatio nskraft G verrichtet
0
mg
Geschwindi gkeit nach 5 m
r r
Arbeit W = F ⋅∆s = F ⋅?s ⋅cosθ
WF = 90 N⋅5 m⋅cos 0°= 450 Nm = 450 J
WG = 6 kg⋅9,81 ms − 2 ⋅5 m⋅cos180°= − 294 J
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Übung: Arbeit, kinetische Energie
gesamte Arbeit Wges = WF + WG = 450 J− 294 J = 156 J
F
5
m
Wges = ∆Ekin
0
mg
2
2
1 2 1 2 aus : v − v0 = 2a ⋅∆x
= mv − mv0
2
2
bei konstanter Kraft
Endgeschwi ndigkeit v
1 2
1
mv = Wges + mv02 = Wges
2
2
2 ⋅Wges
2 ⋅156 J
=
≈7,2 ms − 1
v=
6 kg
m
da : v0 = 0
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Übung: potentielle Energie
x
-kx
mg
Geg. : Feder k = 600 N/m,
m = 3 kg wird an Feder gehängt
Ges : Auslenkung x im Gleichgewi chtszustand
gespeicherte potentiell e Energie
Gleichgewi cht : Gewichtskraft + Federkraft = 0
mg + (− kx )= 0 → mg = kx
Auslenkung im Gleichgewi cht : x = mg k = 3 ⋅9,81 600 = 49 mm
Gespeicherte Energie :
1
1
N
E pot = kx 2 = 600 0,0492 m 2 = 0,72 Nm = 0,72 J
2
2
m
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Übung: Leistung
Geg. : Motor soll Masse m = 100 kg
in 10 s um 12 m heben
h=12 m
Ges. : Mindestlei stung des Motors?
Motor
Ann. : keine Reibungsve rluste
mg
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Übung: Leistung
Geg. : Motor soll Masse m = 100 kg
in 10 s um 12 m heben
Ges. : Mindestleistung des Motors?
h=12 m
Motor
Arbeit : W = F ⋅s bzw. dW = F ⋅ds
Leistung = Arbeit/Ze iteinheit
P = dW dt = F ⋅ds dt = F ⋅v
mg
Kraft vom Motor muß gleich groß wie Gewichtskr aft sein
v = 12 m 10 s = 1,2 ms − 1
P = 100 kg⋅9,81 ms − 2 ⋅1,2 ms − 1 = 1177 kgm 2 s − 3 ≈1,2 kW
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Übung: Leistung eines Autos, Bergstraße
Auto auf Bergstraße ( m = 1200 kg )
v
Steigung = 18%
FR
s
h
θ
Reibungskr aft FR = 600 N
Geschwindi gkeit = 50 km h
Ges : Leistung des Motors
FG
Ann. : Leistung notwendig zur Erhöhung der potentiell en Energie
Leistung zur Überwindun g der Reibungskr aft
Ann. : keine inneren Verluste (100% Wirkungsg rad)
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Übung: Leistung eines Autos, Bergstraße
Steigung = 18% → tan θ = 0,18 → θ = 10,2°
v
FR
s
θ
h
h = s sin θ = s ⋅0,177
für kleine Winkel ist
sin θ ≈tan θ
FG
Potentiell e Energie : E pot = mgh = mg ⋅s sin θ
dE pot
dt
dE pot
dt
ds
= mg ⋅sin θ ⋅ = mg ⋅sin θ ⋅v =
dt
50
= 1200 kg⋅9,81 ms − 2 ⋅0,177 ⋅ ms − 1 = 28,9 kW
3,6
Reibungskr aft : FR = 600 N → PR = 600 N⋅50 3,6 ms − 1 = 8,3 kW
Notwendige Motorleist ung = 28,9 kW + 8,3 kW = 37,2 kW
(50 PS)
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Übung: Impuls, Impulserhaltung
v1
m1
v2
m2
Inelastisc her Stoß :
nach dem Aufprall bleiben
beide Fahrzeuge zusammen
Inelastisc h : Impulserha ltung aber kinetische Energie ändert sich
Elastisch :
kinetische Energie ändert sich nicht
geg. : LKW m1 = 18000 kg, PKW m2 = 1200 kg
v1 = 80 km h , v2 = 120 km h
ges. : Geschwindi gkeit nach dem Aufprall?
wieviel kinetische Energie geht beim
Aufprall verloren?
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Übung: Impuls, Impulserhaltung
Impulserha ltung : m1v1 + m2v2 = m1v1′
+ m2 v2′= (m1 + m2 )v
v1 = 80 km h = 80 3,6 ms − 1 = 22,2 ms − 1
v2 = − 120 km h = − 33,3 ms − 1
Geschwindi gkeit nach dem Aufprall :
v=
m1v1 + m2 v2 18000 ⋅22,2 − 1200 ⋅33,3
=
= 18,7 m s
19200
m1 + m2
(67 ,4 km h )
Kinetische Energie vor dem Zusammenst oß :
[
]
1
1
1
m1v12 + m2 v22 = 18000 ⋅22,2 2 + 1200 ⋅33,32 = 4,45 ⋅106 J
2
2
2
1
1
Ekin,1 = (m1 + m2 )⋅v 2 = 19200 ⋅18,7 2 = 3,35 ⋅106 J
2
2
∆Ekin = 4,45 ⋅106 J − 3,35 ⋅106 J = 1,1⋅106 J
Ekin,0 =
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Übung: inelastischer Stoß
Ballistisches Pendel :
Geg : Masse der Kugel m = 9 g
M = 4 kg, h = 20 cm
Ges : Mündungsge schwindigk eit v 0
der Kugel
M
m v0
h
Inelastisc her Stoß :
Kugel bleibt in Masse M stecken
Masse M wird um Höhe h gehoben
kinetische Energie wird in potenielle Energie umgewandel t
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Impulserhaltung, ballistisches Pendel
Impulserha ltung : mv0 + M ⋅0 = (m + M )v
Geschwindi gkeit v von Auffangma sse und Kugel nach dem Aufprall
v=
mv0
m+ M
1
(m + M )v 2
2
bei maximaler Auslenkun g : Ekin = E pot = (m + M )gh
kinetische Energie : Ekin =
v = 2 gh = 2 ⋅9,81 ms − 1⋅0,2 m = 1,98 ms − 1
v0 = v
m+ M
4,009
= 1,98
= 882 ms − 1
m
0,009
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Übung: Impulserhaltung, elastischer Stoß
m
m
v0
Elastischer Stoß :
vor dem Stoß
v1
v2
kinetische Energie
ändert sich nicht!
nach dem Stoß
Geg : zwei idente Körper mit Masse m
erster Körper trifft mit v 0 auf ruhenden Körper
Ges : Wie ändern sich die Geschwindi gkeiten nach dem
elastische n Stoß?
Anleitung : Impulserha ltung, Energieerh altung
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Übung: Impulserhaltung, elastischer Stoß
Impulserha ltung : mv0 = mv1 + mv2 →
v0 = v1 + v2
Erhaltung der kinetische n Energie :
1 2 1 2 1 2
2
mv0 = mv1 + mv2 → v02 = v12 + v22 = (v1 + v2 )
2
2
2
v12 + v22 = v12 + 2 ⋅v1 ⋅v2 + v22 → 0 = 2 ⋅v1 ⋅v2
nach dem Stoß ist daher entweder v1 = 0 oder v2 = 0
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Übung: Drehbewegung, ω,α
Scheibe beginnt sich aus der Ruhelage mit konstanter
Winkelbesc hleunigung α = 4 rad s − 2 zu drehen
Ges : Wieviele Umdrehunge n führte die Scheibe in 5 s aus?
α = konst. → Drehwinkel θ = θ0 + ω 0t +
1 2
αt
2
Ann : ?0 = 0, ω 0 = 0
1 rad
2
4 2 (5 s ) = 50 rad ≈8 Umdrehunge n
2 s
1 Umdrehung = 2p rad
θ=
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Übung: Kinetische Energie der Drehbewegung
Ein massiver Zylinder mit m = 2 kg und d = 10 cm rotiert mit 500
Umdrehunge n/min um die Zylinderac hse
Ges. : kinetische Energie?
Ann. : Trägheitsm oment I = 1 2 mr 2
Winkelgesc hwindigkei t ω =
500 Umdr .
60 s
500
2π rads − 1 = 52,4 rads − 1
60
2
1
1 1
2
= Iω 2 =  ⋅2 kg⋅(0,05 m )  52,4 s − 1 = 3,43 J
2
2 2

1 Umdr . = 2π rad → ω =
Ekin
(
)
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Übung: Rollende Körper
Eine massive Kugel rollt mit konst. Geschwindi gkeit auf einer
ebenen Fläche : m = 2 kg , d = 12 cm , v = 0,2 ms -1
Ges. : kinetische Energie der Kugel
Ann. : Trägheitsm oment I =
Ekin = Etrans + Erot =
2 2
mr
5
1 2 1 2
mv + Iω
2
2
s = rθ , v = rω bzw. ω = v r
2
Ekin
Ekin
1
1 2 2 v  1 2 1 2 7
= mv 2 +
mr   = mv + mv = mv 2
2
25
5
10
r  2
2
7
= 2 k g 0,2 ms − 1 = 0,056 kg⋅m 2s − 2 = 56 mJ
10
(
)
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